高数复习资料课件

初等数学初等数学 代数、几何、三角、解析几何代数、几何、三角、解析几何 高等数学高等数学 微积分、微分方程（微积分、微分方程（7）、空间解析几何（）、空间解析几何（8）、）、无穷级数（无穷级数（12）微积分微积分（数学分析（数学分析）用极限研究函用极限研究函 数数 研究桥梁研究桥梁 连续连续 一元函数微积分（一元函数微积分（16）多元函数微积分（多元函数微积分（911）1 1、适应初等数学到高等数学的转变。、适应初等数学到高等数学的转变。学习方法学习方法（1）预习）预习（2）常复习）常复习（3）概念、定义、定理、）概念、定义、定理、性质和公式的内容理解不要死记硬背会用，据自己的实际情况性质和公式的内容理解不要死记硬背会用，据自己的实际情况和意愿和意愿,定理、性质和公式的证明过程可作了解定理、性质和公式的证明过程可作了解(4)作业纸上的题作业纸上的题要掌握，课本上带要掌握，课本上带“*”的选作。的选作。12 2、适应教学进度、适应教学进度。3 3、适应直接面授到多媒体教学的转变。、适应直接面授到多媒体教学的转变。4 4、作业问题。、作业问题。(作业成绩作为期末总成绩作业成绩作为期末总成绩 的一部分的一部分)学无止境，勤能补拙！学无止境，勤能补拙！2 自学内容自学内容 1.1.附录附录、；2.2.2.2.极坐标极坐标,曲线的极坐标方程；曲线的极坐标方程；3.3.3.3.参数方程。参数方程。3第一章第一章 函数与极限函数与极限 初等数学是常量数学，主要研究常量。初等数学是常量数学，主要研究常量。高等数学是变量数学，主要研究变量。高等数学是变量数学，主要研究变量。函数是变量之间的依赖关系函数是变量之间的依赖关系函数函数-高等数学的研究对象。高等数学的研究对象。极限的方法极限的方法-是研究函数的基本方法，贯穿于高等是研究函数的基本方法，贯穿于高等数学的始终。它是初等数学与高等数学的分水岭。数学的始终。它是初等数学与高等数学的分水岭。理解函数的概念，掌握极限的理论理解函数的概念，掌握极限的理论-学好高等数学的基础。学好高等数学的基础。4第一节第一节 映射与函数映射与函数 函数函数 有界性有界性 单调性单调性 周期性周期性 奇偶性奇偶性 初等函数初等函数 分段函数分段函数 复合函数复合函数 集合集合 映射映射 5一、概念与性质：一、概念与性质：一、概念与性质：一、概念与性质：1、邻域、邻域 以点以点a 为中心的任何为中心的任何开区间开区间称为点称为点a 的邻域的邻域,记为记为U(a).aa+a-U（a,）=（a-,a+）0,称集合称集合(a-,a+)为为点点a 的的邻域邻域,记为记为U(a,).aa+a-集合集合 称为称为点点a 的去心的去心邻域邻域,记为记为 即即 。6 分段函数是由几个不同解析式表示的分段函数是由几个不同解析式表示的一个一个函数函数。不能把它。不能把它看作多个函数。只不过在定义域的不同集合，有不同的解析式而已。看作多个函数。只不过在定义域的不同集合，有不同的解析式而已。几个特殊的常用的分段函数：几个特殊的常用的分段函数：x y O P9例例6 绝对值函数绝对值函数2 2、分段函数、分段函数分段函数的定义域分段函数的定义域:是各个有定义的不同集合的并集。是各个有定义的不同集合的并集。要注意各段的分界点：要注意各段的分界点：求分界点处的函数值要注意分界点在哪个求分界点处的函数值要注意分界点在哪个区间。区间。7。-1。10 xyP9例例7 符号函数符号函数 P10例例8 取整函数取整函数 .。.-1。3y.。x12123-1-2-30.-2-3.。阶梯曲线阶梯曲线 8狄利克雷函数：狄利克雷函数：93、函数的几种特性、函数的几种特性 （有界性、单调性、奇偶性、周期性）（有界性、单调性、奇偶性、周期性）有界性：有界性：有界性：有界性：下界：下界：下界：下界：都有都有 称称 在在 上有上有下界。下界。有界：有界：有界：有界：都有都有 称称 在在 上有上有界。界。无界：无界：无界：无界：使得使得 称称 在在 上无上无界。界。上界：上界：上界：上界：使得使得:都有都有 称称 在在 上有上有上界。上界。设函数设函数 的定义域为的定义域为D，数集数集 如果如果 数数 所以在（所以在（0，1）内无界。）内无界。在（在（0，1）内没有上界，但有下界，）内没有上界，但有下界，任何数都是它的上界任何数都是它的上界;它是一个有界它是一个有界函数。函数。1是它的一个上界，是它的一个上界，而大于而大于1的的 -1是它的一个下界是它的一个下界;例如：例如：在在 内，内，由由 知，知，定理：定理：定理：定理：在在 上上有界有界 在在 上上 既有上界又下界。既有上界又下界。104、反函数与复合函数、反函数与复合函数 设函数设函数 y=f(x)的定义域为的定义域为 D,值域为值域为W 则对于任意则对于任意 y0W,必定有必定有x0D,使使 x0=(y0)即：即：x也是也是y的函数，记作：的函数，记作：x=(y)其定义域为其定义域为W，值域为值域为D.称为称为 y=f(x)的的反函数反函数。相对于相对于 x=(y)，y=f(x)称为称为直接函数直接函数。注注注注:在同一个坐标系中，在同一个坐标系中，x=(y)和和 y=f(x)的图像是同一条曲线，的图像是同一条曲线，只不过自变量只不过自变量 所在的坐标轴不同。所在的坐标轴不同。习惯上，总是以习惯上，总是以 x 作为自变量，函数记做：作为自变量，函数记做：y=(x),在同一个坐标系中，在同一个坐标系中，y=(x)和和 y=f(x)的图像是不同的两条的图像是不同的两条 曲线，它们关于直线曲线，它们关于直线 y=x 对称。对称。(1)反函数反函数11直接函数直接函数 为单值函数，为单值函数，反函数反函数 不一定是单值函数不一定是单值函数.例例 的反函数可写成的反函数可写成12(2)复合函数复合函数 则则设有函数链设有函数链称为由称为由,确定的确定的复合函数复合函数,u 称为称为中间变量中间变量.注意注意:构成复合函数的条件构成复合函数的条件 不可少不可少.例如例如,函数链函数链:但可定义复合函数但可定义复合函数时时,虽不能在自然域虽不能在自然域 R下构成复合函数下构成复合函数,可定义复合函数可定义复合函数当改为当改为13两个以上函数也可构成复合函数两个以上函数也可构成复合函数.例如例如,可定义复合函数可定义复合函数:约定约定:为简单计为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.注意注意:145.5.五种基本初等函数与初等函数五种基本初等函数与初等函数 （1 1）基本初等函数：）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。统称为基本初等函数。（2 2）初等函数）初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用函数复合步骤所构成的并可用一个式子一个式子表示的函数，称为表示的函数，称为初等初等函数函数。注：注：注：注：一般情况下，分段函数不是初等函数，一般情况下，分段函数不是初等函数，特别的特别的:是初等函数。因为：是初等函数。因为：15非初等函数举例非初等函数举例:符号函数符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数取整函数当166.6.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数 双曲余弦双曲余弦 ：17双曲正切：双曲正切：18双曲函数与反双曲函数都是初等函数。双曲函数与反双曲函数都是初等函数。19直积（笛卡儿乘积）：直积（笛卡儿乘积）：差集（简称差）：差集（简称差）：函数的自然定义域：函数的自然定义域：对抽象的用算式表达的函数对抽象的用算式表达的函数 ，使算式有意使算式有意义的自变量的取值范围称为函数的自然定义域。义的自变量的取值范围称为函数的自然定义域。注注:M 为数集为数集 表示表示 M 中排除中排除 0 的集的集;表示表示 M 中排除中排除 0 与负数的集与负数的集.20例例1 1 设设 ,且且 ，求，求 的自然定义的自然定义域。域。解解解解 由由 ，知知 ，由上面的等式解得由上面的等式解得 又因为又因为 ，所以，所以 所以所以 的定义域为：的定义域为：即即 三、例题三、例题三、例题三、例题 1.求函数的定义域求函数的定义域212.2.求函数解析式求函数解析式 22例例3 设设求求解解解解 P22 16 P22 16 233.3.求复合函数的复合过程求复合函数的复合过程 (分解后的函数是：分解后的函数是：基本初等函数或其四则运算形式基本初等函数或其四则运算形式)例例4 4 设函数设函数 ，求函数的复合过程。，求函数的复合过程。解解解解 244.4.求反函数求反函数 例例5 5 设函数设函数 求求 解解解解 当当 时，时，解得解得 当当 时，时，解得解得 当当 时，时，解得解得 所以反函数为所以反函数为 255 5、函数特性讨论举例、函数特性讨论举例 因此，函数因此，函数f(x)在在R上是上是有界、单增的奇函数，非周期函数有界、单增的奇函数，非周期函数。绝对值不等式绝对值不等式例例6 6 设函数设函数 26例例7 7 常数函数：常数函数：y=CxyOC 显然，常数函数是有界的偶函数，无单调性，可以看作以任显然，常数函数是有界的偶函数，无单调性，可以看作以任意常数为周期，当意常数为周期，当C=0时，时，是唯一的既奇又偶的函数。是唯一的既奇又偶的函数。27证明证明证明证明 例例8（P21 8）28例例9 9 设函数设函数 定义域为定义域为 ，而且对于，而且对于都有都有 ，且，且 。证明。证明 为偶函数。为偶函数。证明证明证明证明 以以 代替代替 ，代入上面的等式，得，代入上面的等式，得 即即 所以所以 为偶函数。为偶函数。证明证明证明证明 设设 其中其中 为任一函数。为任一函数。显然显然 结论得证。结论得证。例例1010 证明在对称区间证明在对称区间 上，任何一个函数都可以表示为上，任何一个函数都可以表示为 一个奇函数和一个偶函数之和。一个奇函数和一个偶函数之和。29小结：小结：函数函数 有界性有界性 单调性单调性 周期性周期性 奇偶性奇偶性 初等函数初等函数 分段函数分段函数 复合函数复合函数 集合集合 映射映射 作业作业 （1 1）作业纸作业纸 P1 P1 交交 （2）习题习题1-1 课本例题课本例题30