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该类问题命题背景宽，常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查，多以选择、填空题的形式出现，试题较容易切接问题切接问题 练习:一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A 3B 4C D 6 解法2 构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为 的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为 ，选A7如图1所示，正方体,设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A B CD 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径1.已知长方体的长、宽、高分别是已知长方体的长、宽、高分别是 、1，求长方体，求长方体的外接球的体积。的外接球的体积。变题：变题：2.已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四点，且四点，且PA、PB、PC两两两两互相垂直，若互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求这个球的表面积和体积。，求这个球的表面积和体积。沿对角面截得：沿对角面截得：ACBPO O17(2)(20192)(2019银川模川模拟)长方体的三个相方体的三个相邻面的面面的面积分分别为2,3,6,2,3,6,这个个长方体的方体的顶点都在同一个球面上点都在同一个球面上,则这个个球的表面球的表面积为()A.A.B.56 B.56 C.14 D.64C.14 D.64(2)(2)选选C.C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a a，b b，c c，则，则 得得 令球的半径为令球的半径为R R，则，则(2R)(2R)2 22 22 21 12 23 32 21414，所以所以 所以所以S S球球4R4R2 214.14.例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A.3(10)B.4C.3(8)D.3(7)审题视点 听课记录、三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，则这个球的表面积为 64 在三棱锥中，,，则三棱锥外接球的表面积 .例题:一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A 3B 4C D 6C 解：设四面体为ABCD，为其外接球心。球半径为R，O为A在平面BCD上的射影，M为CD的中点。连结BAOBDAMR36OBDAMR因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为。此时，则有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路四面体与球的“接切”问题典型典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.思考思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法39 例例1四棱锥四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为的底面边长和各侧棱长都为 ，点，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为都在同一个球面上，则该球的体积为_2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，（为长方体的体对角线长）。谢谢
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