高数上总习题课件

第一章、函数与极限第一章、函数与极限习题课习题课一、主要内容一、主要内容一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题二、典型例题二、典型例题三、作业三、作业三、作业三、作业一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双双曲函数与曲函数与反双曲函数反双曲函数1 1、函数的定义、函数的定义定义定义:定义域定义域 值域值域图形图形:(一般为曲线一般为曲线 )设设函数为特殊的映射函数为特殊的映射:其中其中函数的分类函数的分类函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)(1)单值性与多值性单值性与多值性:2 2、函数的性质、函数的性质若对于每个若对于每个仅有一个值仅有一个值 y=f(x)与之对应，与之对应，则称则称y=f(x)为为单值函数单值函数，否则就是否则就是多值函数多值函数.(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D,且且D关于原点对称关于原点对称，若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.奇函数奇函数(3)函数的单调性函数的单调性:当当时时,称称 为为I I上的上的称称 为为I I 上的上的单调增函数；单调增函数；单调减函数单调减函数.设函数设函数且区间且区间(4)函数的有界性函数的有界性:使使设函数设函数且数集且数集称称 在在X上有界上有界.(5)函数的周期性函数的周期性:oyx且且则称则称为为周期函数周期函数 ,若若称称l为为周期周期(一般指一般指最小正周期最小正周期).).设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D,3 3、反函数、反函数4 4、隐函数、隐函数若函数若函数习惯上习惯上,的反函数记成的反函数记成称此称此映射映射为为 f 的的反函数反函数 .5、反函数与直接函数之间的关系、反函数与直接函数之间的关系设函数设函数 y=f(x),的反函数为的反函数为(1)(2)y=f(x)与与y=f 1(x)的的图形对称于直线图形对称于直线y=x.6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数）幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数7 7、复合函数、复合函数8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函的函数数,称为称为初等函数初等函数.则则设有函数链设有函数链称为由称为由y=f(u)和和u=g(x)构成的构成的复合函数复合函数,u 称为称为中间变量中间变量.9 9、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式双曲函数常用公式左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大1 1、极限的定义、极限的定义定义定义1 设设为一数列，为一数列，若存在常数若存在常数a，对对任意任意(无论多么小无论多么小)，总总存在存在正整数正整数N,使得当使得当 nN时，时，都有都有则称则称a为数列为数列的的极限极限，或称或称收敛于收敛于a，记为记为或或当当nN时，时，总有总有当当时时,有有则称常数则称常数A 为函数为函数当当时的时的极限极限,或或若若记作记作在点在点的某去心的某去心邻域内有定义邻域内有定义 ,设函数设函数定义定义2当当时时,有有左左极限极限:当当时时,有有右极限右极限:当当时时,有有定理定理无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的恒不为零的无穷小的倒数为无穷大无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大记作记作记作记作定理定理1 1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无有限个无穷小的代数和仍是无穷小穷小.定理定理2 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质3 3、极限的性质、极限的性质则有则有(1)(2)(3)定理定理 若若推论推论1 1.(C 为常数为常数 ).).推论推论2 2(n 为正整数为正整数 ).).4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)准则准则(或或)时时,有有则存在存在,且等于且等于A.若当若当准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.6 6、两个重要极限、两个重要极限(1)(2)7 7、无穷小的比较、无穷小的比较若若则则称称 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小,若若若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的是自变量同一变化过程中的无穷小无穷小,记作记作则则称称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小;则则称称 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小;则则称称 是关于是关于 的的 k 阶无穷小阶无穷小;则称则称 是是 的的等价无穷小等价无穷小,记作记作定义定义8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9、极限的唯一性、极限的唯一性且且存在存在 ,则则定理定理 设设定理定理 若若存在，则极限唯一存在，则极限唯一.左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类1 1、连续的定义、连续的定义定义定义1 1在在的的某邻域内有定义某邻域内有定义,则称则称函数函数设函数设函数且且定义定义2 22 2、单侧连续、单侧连续左连续左连续右连续右连续3 3、连续的充要条件、连续的充要条件定理定理4 4、间断点的定义、间断点的定义(1)(1)在点在点即即(2)(2)极限极限(3)(3)存在存在;有定义有定义 ,存在存在;函数函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:在在f(x)的的不连续点不连续点(或间断点或间断点)。并称点并称点x0为为函数函数 f(x)在在点点x0处不连续处不连续(或间断或间断),则称则称如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只要有一个不满足要有一个不满足,(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点5 5、间断点的分类、间断点的分类若若称称为为为函数为函数 f(x)跳跃间断点跳跃间断点.称称若若存在存在,但但为函数为函数 f(x)的的可去间断点可去间断点 .跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx函数在函数在x0处的左右极限都存在处的左右极限都存在.0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点及及中至少一个不存在中至少一个不存在.称称若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡 ,称称若若其中有一个为其中有一个为为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a,b)内连续，并且在左端点内连续，并且在左端点x=a处右连续，在右端点处右连续，在右端点x=b处左连续处左连续,则称函数则称函数 f(x)在在闭区间闭区间a,b上连续上连续.定理定理1 1 单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续函数必有单调的连续反函数.8 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理3 3定理定理2 2定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内内都是连续的都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数一定有最大值和最小值数一定有最大值和最小值.定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在在该区间上有界该区间上有界.定理定理3.(3.(零点定理零点定理)则至少有一点则至少有一点且且使使若若 f(x)闭区间闭区间 a,b 上连续上连续,且且则对则对A与与B之间的任一之间的任一使使至少有至少有一点一点定理定理4(4(介值定理介值定理 )若若 f(x)闭区间闭区间 a,b 上连续上连续,数数C,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与与最小值最小值m之间的任何值之间的任何值.例例1 1解解二、典型例题二、典型例题例例2 2解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得解联立方程组解联立方程组例例3 3解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则例例4 求极限求极限解解而而由夹逼准则得由夹逼准则得例例5 求极限求极限解解原式原式例例6 6解解例例7 7解解例例8 8解解例例9 9证法一证法一倘若不存在倘若不存在使使则在则在上，上，不妨设不妨设于是于是与已知矛盾与已知矛盾,原命题正确原命题正确.例例9 9证法二证法二讨论讨论:由零点定理知由零点定理知,综上所述综上所述,解解原式原式 =1.=1.(2000考研考研)例例10.求求上上,若若 f(x)在在连续连续,解解且对任意实数且对任意实数证明证明:f(x)对一切对一切 x 都连续都连续.例例1111 设设 f(x)定义在区间定义在区间对任意对任意所以所以f(x)在在 x 连续连续.三、作业三、作业1 1.下列各组函数是否相同下列各组函数是否相同?为什么为什么?相同相同相同相同相同相同思考与练习思考与练习不是不是是是不是不是提示提示:(2):(2)2.下列各种关系式表示的下列各种关系式表示的 y 是否为是否为 x 的函数的函数?为什么为什么?3.下列函数是否为初等函数下列函数是否为初等函数?为什么为什么?以上各函数都是以上各函数都是初等函数初等函数.1-11求求及其定义域及其定义域 .5 5.已知已知,求求6 6.设设求求由由得得4.4.解解:4 4.设设5.5.已知已知,求求解解:6.6.设设求求解解:测测 验验 题题测验题答案测验题答案习题课习题课一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第二章 一、导数和微分的概念及应用 导数导数:当时,为右导数当时,为左导数 微分微分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 关系关系:可导可微(思考 P124 题1)应用:(1)利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.设设存在,求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.若且存在,求解解:原式=且联想到凑导数的定义式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.设设在处连续,且求解解:思考思考:P124 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.设设试确定常数 a,b 使 f(x)处处可导,并求解解:得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 是否为连续函数?判别:机动 目录 上页 下页 返回 结束 设解解:又例5.所以 在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.设设其中可微,解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7.且存在,问怎样选择可使下述函数在处有二阶导数.解解:由题设存在,因此1)利用在连续,即得2)利用而得机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)利用而得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8.设由方程设由方程确定函数求解解:方程组两边对 t 求导,得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P124 4;5(1);6;7(3),(4),(5);8(2);10;11(2);12;13;15机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课三、中值定理及导数的应用习题课三、中值定理及导数的应用一、一、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用二、二、导数应用导数应用三、三、作业作业 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 一、一、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1.1.1.1.微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理罗尔定理罗尔定理罗尔定理 柯西中值定理柯西中值定理柯西中值定理柯西中值定理 泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理 2.2.2.2.微分中值定理的主要应微分中值定理的主要应微分中值定理的主要应微分中值定理的主要应用用用用(1)研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结证明有关中值问题的结论论3.3.3.3.有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用利用逆向思维逆向思维逆向思维逆向思维,设辅助函数设辅助函数.一般解题方法一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数.多用多用罗尔定理罗尔定理罗尔定理罗尔定理,可考虑用可考虑用柯西中值定理柯西中值定理柯西中值定理柯西中值定理.必须必须多次应用多次应用多次应用多次应用中值定理中值定理中值定理中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数,多考虑用多考虑用泰勒公式，泰勒公式，泰勒公式，泰勒公式，(5)若结论为不等式若结论为不等式,要注意要注意适当放大适当放大适当放大适当放大或或缩小的技巧缩小的技巧缩小的技巧缩小的技巧.有时也可考虑有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理对导数用中值定理对导数用中值定理.例例例例1 1 1 1.设函设函数数在在内可导内可导,且且证明证明在在内有界内有界.证证证证:取点取点再取异于再取异于的点的点对对为端点的区间上用拉氏中值定理为端点的区间上用拉氏中值定理,得得(定数定数定数定数)可见对任意可见对任意即得即得所证所证.在以在以例例例例2.2.2.2.设设在在内可导内可导,且且证明至少存在一点证明至少存在一点使使上连续上连续,在在证证证证:问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数显然显然在在 0,1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件,故至故至使使即有即有少存在一点少存在一点例例例例3.3.3.3.且且试证存在试证存在证证证证:欲证欲证因因 f(x)在在 a,b 上满足拉氏中值定理条件上满足拉氏中值定理条件,故有故有将将代入代入,化简得化简得故有故有即要证即要证例例例例4.4.4.4.设实数设实数满足下述等式满足下述等式证明方程证明方程在在(0,1)内至少有一内至少有一个实根个实根.证证证证:令令则可设则可设且且由罗尔定理知存在一点由罗尔定理知存在一点使使即即例例例例5.5.5.5.设设函数函数 f(x)在在0,3 上连续上连续,在在(0,3)内内可导可导,且且 分析分析分析分析:所给条件可写为所给条件可写为(03(03(03(03考研考研考研考研)试证必存在试证必存在 想到找一点想到找一点 c,使使证证证证:因因 f(x)在在0,3上连续上连续,所以在所以在0,2上连续上连续,且在且在0,2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m,故故由由介值定理介值定理,至少存在一点至少存在一点 由由罗尔定理知罗尔定理知,必存在必存在 例例例例6.6.6.6.设函数设函数在在上二阶可导上二阶可导,且且证明证明证证证证:由泰勒公式得由泰勒公式得两式相减得两式相减得1.1.1.1.研究函数的性态研究函数的性态研究函数的性态研究函数的性态:增减增减,极值极值,凹凸凹凸,拐点拐点,渐近线渐近线,曲率曲率2.2.2.2.解决最值问题解决最值问题解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立与简化目标函数的建立与简化 最值的判别问题最值的判别问题3.3.3.3.其他应用其他应用其他应用其他应用:求不定式极限求不定式极限;几何应用几何应用;相关变化率相关变化率;证明不等式证明不等式;研究方程实根等研究方程实根等.4.4.4.4.补充定理补充定理补充定理补充定理 (见下页见下页见下页见下页)二、二、导数应用导数应用设函数设函数在在上具有上具有n 阶导数阶导数,且且则当则当时时证证证证:令令则则利用利用在在处的处的 n 1 阶泰勒公式得阶泰勒公式得因此因此时时定理定理定理定理.的连续性及导函数的连续性及导函数例例例例7.7.7.7.填空题填空题(1)设函数设函数其其导数图形如图所示导数图形如图所示,单调减区间为单调减区间为 ;极小值点为极小值点为 ;极大值点为极大值点为 .提示提示提示提示:的的正负作正负作 f(x)的示意图的示意图.单调增区间为单调增区间为 ;.在区间在区间 上是凸弧上是凸弧;拐点为拐点为 提示提示提示提示:的的正负作正负作 f(x)的示意图的示意图.形在区间形在区间 上是凹弧上是凹弧;则函数则函数 f(x)的的图图(2)设函设函数数的图形如图所示的图形如图所示,在在上可导，上可导，例例例例8.8.8.8.证明证明在在上单调增加上单调增加.证证证证:令令在在 x,x+1 上利用拉氏中值定理上利用拉氏中值定理,得得故当故当 x 0 时时,从而从而在在上单调增上单调增.例例例例9.9.9.9.设设在在上可导上可导,且且证明证明 f(x)至多只有一个零点至多只有一个零点.证证证证:设设则则故故在在上连续单调递增上连续单调递增,从而至多只有从而至多只有一个零点一个零点.又因又因因此因此也也至多只有一个零点至多只有一个零点.思考思考思考思考:若题中若题中改为改为其它不变时其它不变时,如何设辅助函数如何设辅助函数?例例例例10.10.10.10.求数列求数列的最大项的最大项.证证证证:设设用用对数求导法得对数求导法得令令得得因为因为在在只有唯一的极大点只有唯一的极大点因此在因此在处处也取最大值也取最大值.又因又因中的最大项中的最大项.极大值极大值极大值极大值列表判别列表判别:例例例例11.11.11.11.证明证明证证证证:设设,则则故故时时,单调增加单调增加,从而从而即即思考思考思考思考:证明证明时时,如何设辅如何设辅助助函数更好函数更好?提示提示提示提示:例例例例12.12.12.12.设设且在且在上上存在存在,且且递减递减,有有证证证证:设设则则所以当所以当令令得得即所证不等式成立即所证不等式成立.单调单调证明对一切证明对一切例例例例13.13.13.13.证证证证:只要证只要证利用一阶泰勒公式利用一阶泰勒公式,得得故原故原不等式成立不等式成立.例例例例14.14.14.14.证明当证明当 x 0 时时,证证证证:令令则则法法法法1 1 1 1 由由在在处的处的二阶泰勒公式二阶泰勒公式,得得故所证故所证不等式成立不等式成立.与与 1 之间之间)法法法法2 2 2 2 列表判别列表判别:即即法法法法3 3 3 3 利用极值第二判别法利用极值第二判别法.故故也是最小值也是最小值,因此当因此当时时即即例例例例15.15.15.15.求求解法解法解法解法1 1 1 1 利用中值定理求极限利用中值定理求极限原式原式解法解法解法解法2 2 2 2 利用泰勒公式利用泰勒公式令令则则原式原式解法解法解法解法3 3 3 3 利用罗必塔法则利用罗必塔法则原式原式习题课四习题课四一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第四四章 一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解解:因为时,所以利用夹逼准则得因为 依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理原式不对不对!机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.如,P265 题4解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则夹逼准则可知(考研98)例2.求求机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:提示提示:由上题机动 目录 上页 下页 返回 结束 故练习:1.求极限解：解：原式2.求极限提示提示：原式左边=右边机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.估计下列积分值解解:因为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.证明证明证证:令则令得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何例6.解：解：且由方程确定 y 是 x 的函数,求方程两端对 x 求导,得令 x=1,得再对 y 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例7.求可微函数 f(x)使满足解解:等式两边对 x 求导,得不妨设 f(x)0,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意 f(0)=0,得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8.求多项式求多项式 f(x)使它满足方程使它满足方程解解:令则代入原方程得两边求导:可见 f(x)应为二次多项式,设代入 式比较同次幂系数,得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确?机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9.求求解解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10.求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11.选择一个常数选择一个常数 c,使使解解:令则因为被积函数为奇函数,故选择 c 使即可使原式为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12.设设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13.若若解解:令试证:则机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为因为对右端第二个积分令综上所述机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14.证明恒等式证明恒等式证证:令则因此又故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15.试证使分析分析:要证即故作辅助函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明:令令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知,存在一点思考:本题能否用柯西中值定理证明本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示提示:设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例16.设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使(03考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:(1)由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即(3)因 在a,上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17.设设证证:设且试证:则故 F(x)单调不减,即 成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课习题课一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法 第四四章 一、求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.分部积分法使用原则:1)由易求出 v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为计算格式:列表计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 多次分部积分的 规 律机动 目录 上页 下页 返回 结束 快速计算表格:特别特别:当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便.例1.求求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.求求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:例3.求求解解:原式分部积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.设设解解:令求积分即而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5.求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.求求解解:取机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:此法特别适用于如下类型的积分:例7.设设证证:证明递推公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8.求求解解:设则因连续,得记作得利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9.设 解解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,例10.求求解解:令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11.求求解解:令比较同类项系数,故 原式说明说明:此技巧适用于形为的积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12.解解：因为及机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13.求不定积分解解:原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:I=例15.求求解解:(n 为自然数)令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 习习 题题 课课 五五常数项级数常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散一、主要内容一、主要内容性质性质1 1:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛敛散性不变散性不变.性质性质2 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质3 3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;一般项级数一般项级数 定义定义幂级数幂级数 收敛性收敛性定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:幂级数展开式幂级数展开式定义定义 展开方法展开方法a.a.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过通过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项逐项积分积分等方法等方法,求展开式求展开式.(4)常见函数展开式常见函数展开式应用应用a.a.近似计算近似计算b.b.欧拉公式欧拉公式其中其中傅里叶级数傅里叶级数狄利克雷狄利克雷(DirichletDirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)二、典型例题二、典型例题例例1 1解解根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散解解根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛解解解解解解1故此正项级数收敛故此正项级数收敛.解解2故由比较审敛法可知级数收敛故由比较审敛法可知级数收敛.解解解解例例解解例例3 3解解例例4 4证证例例6 6解解例例7 7解解例例8 8解解例例9 9解解例例1010解解和函数的图形为和函数的图形为例例1111解解测测 验验 题题测验题答案测验题答案You will success!Come on!