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31 七月 20241 1高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）31 七月 20242 2一、一、二重积分的定义二重积分的定义 二、二、二重积分的性质二重积分的性质三、三、二重积分的计算方法二重积分的计算方法 第五节第五节 二二 重重 积积 分分 31 七月 20243 3一、二重积分的定义解法解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体曲顶柱体的体积积 给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”31 七月 20244 41)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体31 七月 20245 54)“取极限”令31 七月 20246 6有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求 极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域.2.平面薄片的质量平面薄片的质量31 七月 20247 72)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量31 七月 20248 8两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:31 七月 20249 9将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,定义定义31 七月 20241010曲顶柱体体积:平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作31 七月 20241111二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2定理定理1 在在D上可积上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续限个点或有限个光滑曲线外都连续,则则 在在D上可积上可积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则若有界函数若有界函数 在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 31 七月 2024121231 七月 20241313二、二重积分的性质31 七月 2024141431 七月 20241515利用性质利用性质531 七月 20241616 设函数D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍有类似结果仍有类似结果.在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则在第一象限部分在第一象限部分,则有则有积分对称性积分对称性31 七月 20241717内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似)课外练习课外练习习题习题81 2；4（2）（）（4）；531 七月 20241818思考与练习思考与练习被积函数相同,且非负,解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:31 七月 202419192.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有31 七月 20242020 三、二重积分的计算方法 第六章第六章(Calculation of Double Integral)一、直角坐标下二重积分的计算一、直角坐标下二重积分的计算二、极坐标下二重积分的计算二、极坐标下二重积分的计算三、小结与思考练习三、小结与思考练习31 七月 20242121一、直角坐标下二重积分的计算曲顶柱体的底底为任取平面故曲顶柱体体积曲顶柱体体积为截面积截面积为截柱体的设曲顶柱体的顶顶为X型区域型区域31 七月 20242222同样,若曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算Y型区域型区域31 七月 20242323为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 说明说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,31 七月 20242424均非负均非负在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于当被积函数31 七月 20242531 七月 20242626其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 例例3 计算31 七月 202427例例5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为31 七月 20242828二、在极坐标下二重积分的计算对应有在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数,分划区域D 为31 七月 20242929即则设设31 七月 20243030特别地特别地,对若 f 1 则可求得D 的面积31 七月 20243131思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)31 七月 20243231 七月 20243333其中解解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.例例7 计算31 七月 20243434利用例利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式事实上事实上,当当D 为为 R2 时时,利用例利用例6的结果的结果,得得故故式成立式成立.注注:31 七月 20243535内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则31 七月 20243636则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为31 七月 20243737课外练习习题习题65思考与练习思考与练习1.设且求31 七月 202438381.设且求提示提示:交换积分顺序后,x,y互换31 七月 20243939其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,2.计算31 七月 20244040提示提示:积分域如图3.交换积分顺序31 七月 20244141解：解：原式4.给定的次序.改变积分31 七月 20244242其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.5.计算
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