-概率基础和抽样分布课件

概率基础和抽样分布概率基础和抽样分布本章阐述的是统计推断本章阐述的是统计推断(参数估参数估计计,假设检验假设检验)的理论基础的理论基础第四章第四章随机事件及其概率随机事件及其概率1(1(免讲）免讲）随机随机现象：在一定条件下，可能象：在一定条件下，可能发生，也可能生，也可能不不发生的生的现象称之。象称之。随机随机试验E：观察随机察随机现象的，且具有如下特象的，且具有如下特点的点的试验称称为随机随机试验。1.1.试验具有明确的目的性；具有明确的目的性；2.试验在相同条件下重复在相同条件下重复进行；行；3.试验的可能的可能结果不止一个，而且所有可能果不止一个，而且所有可能结果果都是可以事先确定和都是可以事先确定和罗列出来的；列出来的；4.每次每次试验的的结果事前不能果事前不能预知。知。一一.随机试验随机事件随机试验随机事件随机事件：在随机随机事件：在随机试验E E中，所有可中，所有可能能发生的生的结果都叫随机事件。果都叫随机事件。随机事件的随机事件的类型：型：1.基本事件基本事件(简单事件事件ei ,i)2.复合事件复合事件(复复杂事件事件)3.不可能事件不可能事件()4.必然事件必然事件()二二.事件的概率事件的概率（一）古典概型（一）古典概型(二二)统计概率统计概率(经验概率经验概率)(三三)主观概率主观概率A,B 互相独立互相独立 ：P581212三三.概率的加法公式与乘法公式：概率的加法公式与乘法公式：随机变量的概率分布22概率论概括概率论概括3 3个概念：互不相容、互相对个概念：互不相容、互相对立、互相独立立、互相独立2 2个公式：加法公式、乘法公个公式：加法公式、乘法公式式1 1个期望：广义的数学期望个期望：广义的数学期望一一.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布Xx1x2xnPp1p2pn一一.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布x012p0.250.50.25【例例4-1】P61 表表4-2120.250.751x0分布函数图像如下：分布函数图像如下：二二.连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布三三.随机变量的数值特征随机变量的数值特征(P64)(一一)数学期望数学期望(二二)方差方差抽样分布33三种不同性质的分布三种不同性质的分布1.总体分布总体分布2.样本分布样本分布3.抽样分布抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的可以假定它服从某种分布 总体分布总体分布(population distribution)总体总体一个样本中各观察值的分布 也称经验分布 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布 样本分布样本分布(sample distribution)样样本本样本统计量的概率分布，样本统计量的概率分布，是一种理论分布是一种理论分布 在重复选取容量为在重复选取容量为n n的样本时，由该统计量的所有可能的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的频率分布取值形成的频率分布 随机变量是随机变量是 样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量 样本均值样本均值,样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等结果来自结果来自容量相同容量相同容量相同容量相同的的所有所有所有所有可能样本可能样本样本统计量的概率分布是进行推断的理论基础，也是抽样本统计量的概率分布是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据样推断科学性的重要依据 一一.抽样分布抽样分布(sampling distribution)抽样分布的形成过程抽样分布的形成过程(sampling distribution)总体总体计算样本统计计算样本统计计算样本统计计算样本统计计算样本统计计算样本统计量量量量量量如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、比例、方差比例、方差比例、方差样样本本例题分析例题分析设设设设一一一一个个个个总总总总体体体体，含含含含有有有有4 4个个个个元元元元素素素素(个个个个体体体体)，即即即即总总总总体体体体单单单单位位位位数数数数N N=4 4。4 4 个个个个个个个个体体体体分分分分别别别别为为为为x x1 1=1=1，x x2 2=2=2，x x3 3=3=3，x x4 4=4=4 。总总总总体体体体的的的的均值、方差及分布如下均值、方差及分布如下均值、方差及分布如下均值、方差及分布如下总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3均值和方差均值和方差均值和方差均值和方差例题分析(1)现现从从总总体体中中抽抽取取n n2 2的的简简单单随随机机样样本本，在在重重复复抽抽样条件下，共有样条件下，共有4 42 2=16=16个样本。所有样本的结果为个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n=2 的样本（共的样本（共16个）个）（一）样本均值的抽样分布(例题分析1)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）x x样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 00.10.10.20.20.30.3P P (x x)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5（一）样本均值的抽样分布（一）样本均值的抽样分布【例题例题1】分析分析样本均值样本均值 频数频数1.011.522.032.543.033.524.01样本均值的分布与总体分布的比较【例题例题1】分析 =2.5 2=1.25总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布P P(x x)1.01.00 0.1.1.2.2.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5x x二.重复抽样条件下样本均值的抽样分布(数学期望与方差)1.1.样本均值的均值样本均值的均值(数学期望数学期望)等于总体均值等于总体均值2.2.样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/1/n n结论结论【例题例题2】分析 现现从从总总体体中中抽抽取取n n2 2的的简简单单随随机机样样本本，在在不不重重复复抽抽样样条条件件下下，共共有有4 433=12=12个个样样本本。所所有有样样本本的的结结果果为为3,43,23,132,42,32,124,34,24,141,441,33211,21第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n=2 的样本（共的样本（共12个）个）样本均值的抽样分布【例题例题2】分析样本均值样本均值 频数频数1.522.022.543.023.52三三.不重复抽样条件下不重复抽样条件下样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(数学期望与方差数学期望与方差)1.1.1.1.样本均值的均值样本均值的均值样本均值的均值样本均值的均值(数学期望数学期望数学期望数学期望)等于总体均值等于总体均值等于总体均值等于总体均值.2.2.2.2.样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/1/1/1/n,n,n,n,再乘上修正因子再乘上修正因子再乘上修正因子再乘上修正因子.3.3.3.3.当当当当N N N N充分大时常以充分大时常以充分大时常以充分大时常以N N N N代替代替代替代替(N-1)(N-1)(N-1)(N-1)结论结论抽样分布的数字特征重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样抽样平均误差抽样平均误差:指的是样本统计量指的是样本统计量(样本样本均值均值,样本成数样本成数)的标准差的标准差,用用字母字母表示表示.抽样平均误差计算公式抽样平均误差计算公式:重复重复抽样抽样不重复抽样不重复抽样说明：说明：1.1.2 2 本应是总体的方差本应是总体的方差,当总体的当总体的 方差未知时方差未知时,用样本方差代替。用样本方差代替。n n:样本容量样本容量 N N:总体单位数总体单位数问题：抽样平均误差与那些因素有关？问题：抽样平均误差与那些因素有关？1.与样本容量有关，与样本容量有关，2.与总体的离散程度有关，与总体的离散程度有关，3.与抽样方法有关，样本容量相同的情况下，与抽样方法有关，样本容量相同的情况下，抽样平均误差与下列因素有关抽样平均误差与下列因素有关【例例1】从一批产品中随机抽取从一批产品中随机抽取100件件,其其中次品中次品4件件,求样本正品率的抽样平均误差求样本正品率的抽样平均误差.【例例2】从从10000件产品中按不重复抽样件产品中按不重复抽样随机抽取随机抽取1%,其中次品其中次品4件件,求样本正品率求样本正品率的抽样平均误差的抽样平均误差.【例例3】一批同型号产品由某厂两个车间一批同型号产品由某厂两个车间按不同工艺生产按不同工艺生产,已知甲车间产品正品率为已知甲车间产品正品率为80%乙车间产品正品率为乙车间产品正品率为72%,现从该批产现从该批产品中随机抽取品中随机抽取100件件,求样本正品率的抽样求样本正品率的抽样平均误差平均误差.正态分布44二二.正态分布的密度函数正态分布的密度函数:(P73 图图 4-7)正态分布密度函数的性质正态分布密度函数的性质:P734三三.正态分布函数及其标准化正态分布函数及其标准化关于标准正态的分布函数关于标准正态的分布函数注意注意!此处此处 F(Z)F(Z)与与 P74 P74 式式 4.324.32不同不同!F(Z):F(Z):在第五章中又称为置信度在第五章中又称为置信度,Z,Z称为概率度称为概率度 P75 表表 4-8 必须牢记的必须牢记的F(z)F(z)与与Z Z对应表对应表Z11.6451.9623F(Z)0.68270.900.950.95450.9973P76【例例4-4】P76【例例4-5】【例例1】:【例例2】四四.关于抽样分关于抽样分布的定理布的定理（一）正态再生定理（一）正态再生定理正态总体正态总体抽样抽样样本样本:容量为容量为 n 当正态总体方差未知且样本容量当正态总体方差未知且样本容量n30(小小样本本),样本均本均值服从服从T分布分布.（一）正态再生定理（一）正态再生定理 =50=50=50 =10=10=10X X X总体分布总体分布总体分布总体分布n n=4=4抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布xn n=16=16当当当当总总总总体体体体服服服服从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布N N(,2 2)时时时时，来来来来自自自自该该该该总总总总体体体体的的的的所所所所有有有有容容容容量量量量为为为为n n的的的的样样样样本本本本的的的的均均均均值值值值 x x也也也也服服服服从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布，x x 的的的的数数数数学期望为学期望为学期望为学期望为，方差为，方差为，方差为，方差为 2 2/n n。即。即。即。即 x xN N(,2 2/n n)（二）正态逼近（二）正态逼近(中心极限定理中心极限定理)任意总体任意总体抽样抽样样本样本:容量为容量为 n30)（二）正态逼近（二）正态逼近 中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)当样本容量足够当样本容量足够大时大时(n n 30)30)，样本均值的抽样样本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布中中中中心心心心极极极极限限限限定定定定理理理理：设设从从均均值值为为 ，方方差差为为 2 2的的一一个个任任意意总总体体中中抽抽取取容容量量为为n n的的样样本本，当当n n充充分分大大时时，样样本本均均值值的的抽抽样样分分布近似服从均值为布近似服从均值为 、方差为、方差为 2 2/n n的正态分布的正态分布一个任意分一个任意分一个任意分一个任意分布的总体布的总体布的总体布的总体x x中心极限定理中心极限定理(Lindeberg-Levy)中心极限定理的意义中心极限定理的意义:P77其意义在于其意义在于:1.无论总体服从何种无论总体服从何种分布分布,只要其一、二阶矩存在只要其一、二阶矩存在,其其样本均值的极限分布总是正态分样本均值的极限分布总是正态分布。因此在大样本布。因此在大样本(样本容量样本容量 n30)情况下情况下,可认为样本均值服可认为样本均值服从正态分布。从正态分布。2.中心极限定理揭示了正中心极限定理揭示了正态分布的形成机制态分布的形成机制,如果某如果某一变量的变化受许多随机一变量的变化受许多随机因素的影响因素的影响,这些因素中没这些因素中没有一个是起主导作用的有一个是起主导作用的,那那末这个变量就是服从正态末这个变量就是服从正态分布的随机变量。分布的随机变量。统计量的标准化统计量的标准化(数学变换式数学变换式)抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布总体分布总体分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本大样本大样本大样本小样本小样本小样本小样本正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布【例例4-6】P78【例例4-7】P79本章小结本章小结1.总体分布、样本分布、抽样分布总体分布、样本分布、抽样分布.2.简单随机抽样的抽样平均误差简单随机抽样的抽样平均误差.3.正态分布和抽样分布的正态再生和正态逼近正态分布和抽样分布的正态再生和正态逼近.第第5 5次作业次作业:(P82)思考与练习思考与练习1,8,12,18,211、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。7月-247月-24Thursday,July 25,20242、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。14:23:3614:23:3614:237/25/2024 2:23:36 PM3、越是没有本领的就越加自命不凡。7月-2414:23:3614:23Jul-2425-Jul-244、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。14:23:3614:23:3614:23Thursday,July 25,20245、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。7月-247月-2414:23:3614:23:36July 25,20246、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。25七月20242:23:36下午14:23:367月-247、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。七月242:23下午7月-2414:23July 25,20248、业余生活要有意义，不要越轨。2024/7/2514:23:3614:23:3625 July 20249、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。2:23:36下午2:23下午14:23:367月-2410、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。7/25/2024 2:23:36 PM14:23:3625-7月-2411、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。7/25/2024 2:23 PM7/25/2024 2:23 PM7月-247月-2412、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。25-Jul-2425 July 20247月-2413、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。Thursday,July 25,202425-Jul-247月-2414、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自己眷恋了。7月-2414:23:3625 July 202414:23谢谢大家谢谢大家