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等比数列概念旧知回顾旧知回顾从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等等同一个常数同一个常数公差公差(d)d可正可负可正可负,且可以为零且可以为零旧知回顾从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数公差(d（2）一位数学家说过：你如果能将一张一位数学家说过：你如果能将一张纸对折纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。上月球。以上两个实例所包含的数学问题以上两个实例所包含的数学问题:创设情景,引入新课（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”1，(1)1，2，4，8，16，32，(2)（2）一位数学家说过：你如果能将一张纸对折38次，我就能顺 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项起，每一项与它的项与它的前前一项的一项的 比比 等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等那么这个数列就叫做等比比数列数列，这个常数叫，这个常数叫做等比数列的做等比数列的公比公比（q）。一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项起，每一项与它的项与它的前前一项的一项的 差差 等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等那么这个数列就叫做等差差数列数列，这个常数叫，这个常数叫做等差数列的做等差数列的公差公差（d）。）。等比数列等比数列等差数列等差数列等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前课堂互动(1)1，3，9，27，81，(3)5，5，5，5，5，5，(4)1，-1，1，-1，1，是是,公比公比 q=3是是,公比公比 q=x 是是,公公 比比q=-1(7)(2)是是,公比公比 q=观察并判断下列数列是否是等比数列观察并判断下列数列是否是等比数列:是是,公比公比 q=1(5)1，0，1，0，1，(6)0，0，0，0，0，不是等比数列不是等比数列不是等比数列不是等比数列课堂互动(1)1，3，9，27，81，(3)(1)1，3，9，27，(3)5，5，5，5，(4)1，-1，1，-1，(2)(5)1，0，1，0，(6)0，0，0，0，1.1.各项不能为零各项不能为零,即即 2.2.公比不能为零公比不能为零,即即4.4.数列数列 a,a,a,a,a,a,时时,既是等差数列既是等差数列又是等比数列又是等比数列;时时,只是等差数列只是等差数列而不是等比数列而不是等比数列.3.3.当当q0q0，各项与首项同号，各项与首项同号 当当q0q0，各项符号正负相间，各项符号正负相间对概念的更深理解(1)1，3，9，27，(3)5，等差数列通项公式的推导等差数列通项公式的推导:(n-1)个 式子 方法一方法一:(叠叠加法加法)方法二方法二:(归纳法归纳法)等差数列通项公式的推导:(n-1)个 式子 方法一:(等比数列通项公式的推导：等比数列通项公式的推导：(n-1)个 式子 方法一方法一:叠乘法叠乘法 方法二方法二:归纳法归纳法11-=nnqaa等比数列通项公式的推导：(n-1)个 式子 方法一:叠等比数列的通项公式当当q=1时，这是时，这是一个常函数。一个常函数。等比数列等比数列 ，首项为首项为 ,公比为公比为q,则通项公式为则通项公式为等比数列的通项公式当q=1时，这是一个常函数。等比数列 在等差数列在等差数列 中中试问：在等比数列试问：在等比数列 中，如果知道中，如果知道 和公比和公比q，能否求，能否求？如果能，请写出表达式。？如果能，请写出表达式。变形结论变形结论:在等差数列 中试问：在等比数列 等比中项的定义等比中项的定义 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a,G,b成等成等比数列，那么比数列，那么G就叫做就叫做a与与b的等比中项的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得在这个定义下，由等比数列的定义可得等比中项的定义 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,等比数列的通项公式练习例例1.求下列等比数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：（2）1.2，2.4，4.8，（1）5，-15，45，等比数列的通项公式练习例1.求下列等比数列的第4，5项：（2 例例2 一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分别项分别是是12与与18,求它的第求它的第1项与第项与第2项项.解：设这个等比数列的第解：设这个等比数列的第1项是项是 ,公比是公比是q，那么，那么解得，解得，因此因此 答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是 与与 8.典型例题 例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是课堂互动课堂互动（2 2）一个等比数列的第）一个等比数列的第2 2项是项是10,10,第第3 3项是项是20,20,求它的第求它的第1 1项与第项与第4 4项项.(1)(1)一个等比数列的第一个等比数列的第5 5项是项是 ,公比是公比是 ，求它的第，求它的第1 1项；项；解得，解得，答：它的第一项是答：它的第一项是36.解：设它的第一项是解：设它的第一项是 ，则由题意得，则由题意得解：设它的第一项是解：设它的第一项是 ，公比是，公比是 q，则由题意得，则由题意得答：它的第一项是答：它的第一项是5，第，第4项是项是40.，解得解得，因此因此课堂互动（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它等比数列的例题2它是一个与它是一个与n n无关的常数，无关的常数，所以所以 是一个以是一个以 为公比的等比数列为公比的等比数列 例例3 已知已知是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，是等比数列是等比数列.求证求证证明证明:设数列设数列 首项为首项为,公比为公比为 ;首项为首项为,公比为公比为 那么数列那么数列的第的第n n项与第项与第n+1n+1项项分别为：分别为：即为即为等比数列的例题2它是一个与n无关的常数，所以 是一个以 为例例5、等比数列、等比数列 a n 中，中，a 4 a 7=512，a 3+a 8=124,公比公比 q 为整数，求为整数，求 a 10.法一：直接列方程组求法一：直接列方程组求 a 1、q。法二：在法一中消去了法二：在法一中消去了 a 1，可令，可令 t=q 5法三：由法三：由 a 4 a 7=a 3 a 8=512 公比公比 q 为整数为整数 a 10=a 3q 10 3=4(-2)7=512合作交流例5、等比数列 a n 中，a 4 a 7=回顾小结回顾小结从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的比比等等同一个常数同一个常数公比公比(q)q可正可负可正可负,但不可为零但不可为零从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等等同一个常数同一个常数公差公差(d)d可正可负可正可负,且可以为零且可以为零回顾小结从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个常数公比(q通项公式的推导通项公式的推导:旧知回顾旧知回顾(n-1)个 式子 方法一方法一:(:(叠叠加法加法)方法二方法二:(:(归纳法归纳法)通项公式的推导:旧知回顾(n-1)个 式子 方法一:(作作 业业 思考：思考：一张报纸对折一张报纸对折38次后，其高度真的能达到月球的高次后，其高度真的能达到月球的高度吗？度吗？作 业 思考：一张报纸对折38次后，其高度真的能达谢谢指导!
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