虚功原理(4学时)汇总课件

虚功原理在这一章里，我们将介绍特别适用于研究约束质点系或刚体系统平衡问题的一个原理，它从虚位移和功的概念出发，得出系统的平衡条件，这个原理叫做虚功原理或虚位移原理。虚功原理是研究约束质点系或刚体系统平衡问题的一般性原理，也是分析力学的一个重要原理，将它与达朗贝尔原理相结合，可得到动力学普遍方程。本章首先介绍功的概念，并举例说明功的计算方法，给出重力作功和弹性力作功的计算公式。介绍保守力与势能的概念。讨论质点系内力的功和作用在定轴转动刚体上外力的功，给出力偶作功的计算公式。在介绍约束及其分类的基础上，引入虚位移和虚功的概念，介绍适用于约束质点系或刚体系统平衡问题的虚功原理。虚功原理功的定义及其计算重力的功、弹力的功、保守力的功、质点的势能；约束力的功、转动刚体上外力的功、力偶的功。约束、虚位移、虚功约束的分类、虚位移的定义；虚功的计算、理想约束。虚功原理举例说明应用虚功原理求解约束质点系或刚体系统平衡问题的方法。功与能功与能在研究物体运动的能量变化时需要用到功的概念。在动力学中，功和能量是与质量和力平行的基本概念。物体能量的变化可以用功的大小来度量（参见第10章），功与能量的关系就好比质量和力的关系一样。历史上，正是借助功的概念和定量计算，发现了自然界的普遍原理能量守恒原理。无论在物理学课程或力学专门课程中，功的概念都是重要的基本概念。6功的定义及其计算功的定义及其计算如图所示，假设质点沿路径L移动，受力F作用，在t、t+dt时刻质点位置为r、r+dr。力F在位移dr上的元功dW定义为：力F在位移曲线L上移动作功的总和为力在单位时间内作的功称为功率功率，计算公式为：7重力作功的计算重力作功的计算如图所示，设质点沿任意路径L从A点移动到B点。因为重力P沿z轴的负方向，所以根据功的定义式，得到重力作功为：重力作功与质点从A点移动到B点的具体路径无关，其大小等于质点的重力与质点移动前后两个位置的高度差的乘积。从高处往低处移动，重力作正功，反之，重力作负功。质点移动路径L8弹力作功的计算弹力作功的计算对于质点-弹簧系统，已知弹簧的原长为l，弹簧刚度系数为c，弹簧的一端固定于坐标原点O，弹簧的另一端联结一质点，该质点沿任意路径L从A点移动到B点（弹簧对应的变形量分别记为dA、dB）。弹力F沿矢径r=rer的方向，其大小等于弹簧刚度c与弹簧变形量d=r-l的乘积，即：质点移动路径L9弹力作功的计算弹力作功的计算质点移动路径L因为所以10弹力作功的计算公式弹力作功的计算公式由上面的计算得到质点从A移动到B，弹力作功公式为：弹力作功与质点移动的具体路径无关，其大小等于质点移动前后两个位置的弹簧变形量平方差与弹簧刚度的乘积之半。如果移动前弹簧变形量大于移动后的变形量，弹力作正功，反之，弹力作负功。质点移动路径L11保守力、势函数、势能保守力、势函数、势能有一类力，它们作功的大小与力移动的路径无关，只与移动前后两个位置有关，具有这种性质的力称为保保守守力力或有有势力势力。常见的保守力有重力、弹力和万有引力。设质点M在空间运动，受保守力F作用，在t时刻的位置为r，由保守力的性质和功的定义，保守力F在位移dr上的元功可以表示为某个函数V（称为保守力F的势势函函数数）的全微分，即这里V=V(r)是质点位置r的单值连续可微函数，其函数值称为质点在位置r的势势能能，可以定义为受保守力F作用的质点从位置r移动到任意选取的参考位置rO，保守力F作的功。12保守力、势函数、势能保守力、势函数、势能根据上述定义，在保守力F作用下，质点在位置r（相对于参考位置rO）的势能势能可表示为 如果用VA、VB分别记质点在位置rA、rB的势能，则由定义有式中WAB表示在保守力F作用下，质点从位置rA移动到位置rB，保守力F作的功，因此，当WAB 0时，有VAVB，这表明：保守力F作正功时，势能减少，反之，势能增加。13保守力、势函数、势能保守力、势函数、势能势能为常数的平面或曲面称为等等势势面面。在保守力F作用下，质点在等势面上移动时，保守力F不作功。势函数取零值的等势面称为零势能面零势能面。根据势能定义，容易得到质点在重力和弹力作用下，在位置r（相对于任意参考位置rO）的势能计算公式如下式中z、zO分别为r、rO的z坐标，c为弹簧刚度，l为弹簧原长。14保守力的等势面、势能的相对性保守力的等势面、势能的相对性弹力的等势面是球面，即r=常数；地面上的质点所受重力的等势面是z=常数，即与水平坐标面oxy平行的平面，这是工程上一种近似观点。严格地说，重力的等势面也是球面，球心位于地球的质量中心。质点沿等势面运动时，保守力作功为零。物质的能量守恒定律是自然界少有的几个普遍定律。质点沿等势面运动并且只只受受保保守守力力作作用用时时，由于保守力不作功，根据动能定理（见第10章），质点的动动能能将保持不变，这是在特殊情形下的能量守恒形式。质点或质点系的势能值不具有绝对意义，它与零势能位置的选取有关，只具具有有相相对对意意义义，它反映的是质点系在运动过程中两个位置之间保守力作功的定量性质。15保守力与势函数的梯度保守力与势函数的梯度定义矢量性微分运算符号矢量性微分运算符号则有等式左端称为势函数V1、V2的负梯梯度度，右端分别是重力P和弹力F，其方向沿负梯度矢量，即等势面的负法线方向。对于保守力，存在单值连续可微的势函数，其大小等于势函数的梯度值，其方向沿等势面的负法线方向，指向势函数减小一侧，故保守力又称为有势力有势力。16零势能位置的选取、机械能零势能位置的选取、机械能根据计算的方便，零势能位置可以任意选取可以任意选取。对于重力，通常取z=0为零势能位置；对于弹力，通常选取r=l，即弹簧的长度等于原长时为零势能位置，这样，质点在位置r=xi+yj+zk的重力势能和弹力势能可分别写为：质点的动能与势能的总和称为机机械械能能。当保守力作负功，系统的势能增加，反之，系统的势能减少。在第10章，将了解到：只受保守力作用的质点系，在运动过程中系统的机械能保持不变，这就是机械能守恒定理机械能守恒定理。17质点系或刚体内力的功质点系或刚体内力的功考察质点系内两个质点A1和A2，两点之间的距离记为L=A1A2，彼此间彼此间作用力为F和F，质点的元位移为dr1和dr2，则内力F和F的元功之和为式中dL与质点A1和A2之间的距离变化有关。当两点的距离增大时，dL0，反之，dL0，如果两点的距离保持不变，则dL=0。刚体内任意两点之间的距离不变，所以，刚刚体体内内力力作作功的总和恒等于零。功的总和恒等于零。18定轴转动刚体上外力的功及功率定轴转动刚体上外力的功及功率设刚体绕定轴z转动，角速度矢量，刚体上A点作用外力F，A的位置矢量为r力F的元功为即：作用在定轴转动刚体上外力的元功，等于该力对转轴的矩与刚体转角的乘积。力F 的功率即：定轴转动刚体上外外力力F的的功功率率，等于该力对转轴的矩与刚体角速度的乘积。19力偶的功及功率力偶的功及功率以上结论可用于计算力偶的元功力偶的元功：力偶在转动刚体上的元功dW等于力偶矩矢量在转轴z上的投影mz与转角d的乘积，即力偶在转动刚体上的功功率率等于力偶矩矢量在转轴z上的投影mz与刚体角速度的乘积，即对于滑动滑动情况，摩擦力的功为s为滑动的路程。对于一般滚动一般滚动情况，动滑动摩擦力的元功为Vc为接触点的相对滑动速度。滚动阻力偶的元功为对于纯纯滚滚动动情况，滑动摩擦力不作功，滚动阻力偶的功一般忽略不计。20滚动情况摩擦力的功摩擦力的功约束、虚位移、虚功约束、虚位移、虚功虚位移的概念与约束及约束质点系有关。对质点系或刚体位置或运动的限制称为约束约束，关于约束条件的数学方程称为约束方程约束方程。质点或刚体所受的约束可以有不同的分类：几何约束与运动约束；定常约束与非定常约束；完整约束与非完整约束；双面约束与单面约束，等等。几何约束和运动约束几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束几何约束。例例：如图单摆小球所受的约束即为几何约束，其约束方程为22ppt/87约束的分类约束的分类23受几何约束的单摆ppt/8724ppt/87例例：小球在曲面上运动所受的约束为几何约束，曲面方程为其约束方程：25ppt/87在曲面上运动的小球例：曲柄连杆滑块机构。A点的约束方程：滑块B的约束方程26ppt/8727除了对质点或刚体位置的限制以外，也对其速度参数加以限制的约束称为速度约束或运动约束速度约束或运动约束。例：轮子在水平地面上做纯滚动，刚体在地面上作纯滚动时，与地面接触点的速度v=0就是一种运动约束。由基点法，A点的约束方程为：或ppt/87运动约束：运动约束：28轮子在水平地面上做纯滚动ppt/87定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的、约束方程中显含时间变量的约束称为非定常非定常约束约束，否则，称为定常约束。例例：摆线长度随时间变化的单摆M所受的约束为非定常约束，约束方程为：29ppt/87单摆的摆线长度随时间变化30ppt/87完整约束与非完整约束完整约束与非完整约束对于一般的含有速度参数的运动约束，如果能够通过积分化为几何约束，则称为完完整整约约束束（例如关于纯滚动圆轮轮心速度的运动约束v=rw就是完整约束，可通过积分化为关于轮心位移的几何约束u=r），否则，称为非完整约束。几何约束是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。31双侧约束与单侧约束双侧约束与单侧约束在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双侧约束。双侧约束方程是等式。只限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。单侧约束方程为不等式。例如：32刚杆x2+y2=l2柔绳x2+y2 l2本章只讨论定定常常、双双侧侧、几几何何约约束束或完完整整约约束束，质点系的约束方程一般可写为：n为质点数，s 为约束方程数。33同时满足约束方程和动力学方程及其初始条件的位移称为实位移。只满足约束方程的位移称为可能位移。虚位移是指受定常约束的质点系或刚体系统在约束许可的条件下可能有的任何无穷小的位移，虚位移与实际过程无关，即与时间变化无关。如果约束是非定常的，则可能位移与虚位移不同，此时，虚位移定义为任意两个无穷小可能位移之差。发生虚位移的前提是质点系或刚体系统具有一定的自由度。34实位移、可能位移、虚位移 虚位移和无穷小实位移分别用变分记号d、微分记号d表示，例如虚位移反映的是约束在给定瞬时的性质。对于定常约束，有对于非定常约束，虚位移定义为任意两个无穷小可能位移之差35ppt/87自自由由度度是指完全确定质点或刚体在空间的位置所需要的独立变量的数目。例如，质点需要x、y、z三个变量确定其空间位置，所以，不受约束的质点不受约束的质点具有三个自由度。一般地，受到s个约束、由n个质点组成的质点系，其自由度为k=3n-s.一个平面运动刚体平面运动刚体需要x、y、三个变量确定其空间位置，所以，平面运动刚体也具有三个自由度。在平平面面上上运运动动的的质质点点只有两个自由度（相当于由于约束z=0，减少了一个自由度）。自自由由运运动动的的刚刚体体具有六个自由度（包括三个移动自由度x、y、z、三个转动自由度y、q、）。36自由度自由度用来确定质点系或刚体系统空间位置的独立参数，称为广广义坐标义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s 等）也可以取角位移（如,等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目等于系统的自由度数目。37广义坐标广义坐标设力F作用在受约束的质点或刚体上，其作用点跟随质点或刚体有一虚位移d r，则力F的虚功定义为简单地说，虚虚功功就是力F在虚位移上的功，力F在实位移上的功称为实功实功。如果质点系或刚体系统所受的约束力在虚位移上所作的总虚功为零，这样的约束称为理理想想约约束束。对理想约束，约束力的总虚功为零38虚功、理想约束虚功、理想约束393 3、无重刚杆、无重刚杆4 4、不可伸长的柔索、不可伸长的柔索2 2、光滑铰链、光滑铰链1 1、光滑支承面、光滑支承面5 5、刚体的纯滚动、刚体的纯滚动理想约束举例理想约束举例虚功与实功的区别在于虚位移与实位移的区别。物体在真实的运动过程中从一处移动到另一处，无论位移多么小都需要一定的时间，力F在真实位移上作功会使物体的能量发生变化。虚位移不需要时间，只是一种可能位移或任意两个无限小可能位移之差，力F在虚位移上的功不改变物体的能量。由于真实的位移也是一种可能位移，只要是定常约束，无限小的真实位移就是无数虚位移当中的一个。40虚功、虚位移与实位移虚功、虚位移与实位移可以根据约束方程，利用微微分分的的方方法法得到各虚位移满足的方程。例如：一个在初始半径为r0并以常速率a增大的球面上运动的质点，其约束方程可写为式中x、y、z是运动质点的坐标值。对上式求微分，可得到任意两组可能位移dr1、dr2满足的方程：两式相减，考虑到非定常约束条件下，虚位移定义为任意两个无限小可能位移之差，得到虚位移d r满足的方程41虚位移之间的关系虚位移之间的关系虚位移d r满足的方程这是一种等等时时变变分分的运算，即：在求增量时，将时间固定，不考虑时间的变化（相当于令dt=0）。如果上述球面半径保持不变，即定常约束条件下，无限小可能位移dr与虚位移d r满足相同的方程。寻找虚位移满足的关系式，是正确计算作用在系统上力系的虚功的前提。42虚位移之间的关系、等时变分虚位移之间的关系、等时变分43虚功原理虚功原理为了介绍并理解虚功原理，让我们来考察杠杆的平衡条件。如图所示，杠杆AB在主动力和约束力的共同作用下处于平衡。杠杆的平衡现令杠杆AB沿逆时针方向转过一个约束许可的无穷小转角d，我们来计算主动力所作的总虚功。显然，A、B两点的虚位移与转角d的关系为主动力的总虚功为将杠杆的平衡条件代入上式，得到主动力的总虚功等于零，即44杠杆的平衡杠杆的平衡杠杆的平衡45虚功原理虚功原理杠杆的平衡与作用在杠杆上的力系的总虚功等于零是等价的，这个结论对一般的质点系或刚体系统也是成立的，由此得到分析力学的一个重要原理虚虚功功原原理理：具有定常、理想约束的质点系或刚体系统，其平衡的充分必要条件是，在任何虚位移上所有主动力的虚功之和等于零，其解析表达式为总虚功为零的必要性可以由质点系的平衡条件推出，反之，平衡原理可由总虚功为零的充分性推出。46虚功原理的简单推导虚功原理的简单推导设质点系处于静静平平衡衡状态，则质点i上作用的主动力Fi和约束力Fni满足平衡条件，即对理想约束，约束力的总虚功为零，所以47 以理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。应用虚功原理求解质点系平衡问题的步骤1、选取研究对象：48例 如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶（F，F），其力偶矩 M=2Fl，螺杆的螺距为h，求：机构平衡时加在被压物体上的力。49解：给系统以虚位移满足如下关系：代入上式50例图中所示结构，各杆自重不计，在G点作用一铅直向上的力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l.用解解除除约约束束法法求支座B的水平约束力。51解：解除B端水平约束，以力 代替，如图(b)。代入虚功方程 52解得如图在CG 间加一弹簧，刚度为K，且已有伸长量0,求 FBx.在弹簧处代之以力，如图，其中 53例例 图示椭圆规机构中，连杆AB长为l，滑块A，B与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求：主动力FA与FB之间的关系。54解：(1)给以虚位移代入虚功方程,有即由(在 A，B 连线上投影相等)55(2)用解析法.建立坐标系，由有得56代入到由速度投影定理，有代入上式得(3)虚速度法定义:为虚速度57例例如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩M与主动力F之间的关系。58解:给以虚位移由图中关系有代入虚功方程得 59用虚速度法:代入到 用建立坐标，取变分的方法，有解得60例例 求图所示无重组合梁支座A的约束力FA.61解：解除A处约束，代之FA，给以虚位移，如图。代入虚功方程，得62本章小结本章小结虚位移 虚功 理想约束 虚功原理：具有理想约束的质点系，其平衡条件是作用于质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功总和为零，即建立虚位移之间关系的三种方法：1.几何法：直接写出虚位移之间的几何关系；2.解析法：写出坐标之间的关系，然后求变分找出虚位移之间的关系；3.虚速度法：找出在平衡位置处力作用点的虚速度之间的关系，各点虚位移之比等于各点虚速度之比。63 以理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤1、选取研究对象：64 2、进行受力分析：画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦力和待求的约束反力。3、确定虚位移之间的关系。4、应用虚位移原理建立方程。5、解虚功方程求出未知数。人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。