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1第一章第一章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动振动工程研究所振动分类（自由度）单自由度多自由度（有限自由度）大自由度连续体（无限自由度）振动工程研究所振动分类（运动特点）简谐振动周期振动（可分解为若干简谐振动之和）非周期确定性振动 （可分解为无限个简谐振动之和）*概周期振动 *一般确定性运动随机振动混沌振动 振动工程研究所研究的起点研究的起点-单自由度系统的确定振单自由度系统的确定振动动是以后研究复杂系统的基础。是以后研究复杂系统的基础。有助于理解实际工程振动问题。有助于理解实际工程振动问题。很多实际问题可简化为单自由度问题。很多实际问题可简化为单自由度问题。振动工程研究所1.0.1 简谐振动的表示简谐振动的表示三要素：振幅、频率、相位三要素：振幅、频率、相位（概念复习概念复习）简谐振动的三种表示法简谐振动的三种表示法三角函数法三角函数法1.0 振动的描述振动的描述 注注意意位位移移、速速度度、加加速速度度之之间间得相位关系得相位关系振动工程研究所复数法复数法 旋转向量法（几何法）旋转向量法（几何法）纵轴投影纵轴投影振动工程研究所复数法的位移、速度、加速度关系振动工程研究所三种表示法的差异三种表示法的差异三角函数最直接、最常用。三角函数最直接、最常用。旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。复数法与三角函数是一致的。复数法与三角函数是一致的。向向Y轴投影轴投影取虚部取虚部振动工程研究所简谐振动的合成简谐振动的合成 频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动，频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动，且频率不变。且频率不变。用复数法用复数法振动工程研究所不同频率的简谐振动的合成不再是简谐振动1.周期振动(频率可频率可通约)证证 明明关键关键整数倍数整数倍数振动工程研究所 2.调制信号用高频传递低频信号两两个个振振幅幅相相同同，而而相相位位不不同同、频频率率接接近近且且可可通通约约的的谐谐振振动动合合成成振动工程研究所几个概念拍:周期振动的一种拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率 (差一倍)包络线:有两条振动工程研究所两两个个振振幅幅、相相位位、频频率率都都不不同同的的谐谐振振动动合合成成同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。振动工程研究所李沙育（Lissajous）图振动方向相互垂直的简谐振动合成示波器观测频率与象位的传统工具振动工程研究所1.1 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程振动系统的组成三要素：质量，刚度，阻尼 必须要素振动系统的数学模型:运动方程（力平衡给出方程）kmcu(t)f(t)振动工程研究所 f s弹性恢复力与弹簧两端的相对相对位移（变形）成正比，方向相反。弹簧受力有势能；松弛完全放势能（无阻尼）。方程中的弹性项方程中的弹性项振动工程研究所粘性阻尼力与物体在介质中的相对相对运动速度成正比，方向相反。（最简阻尼形式）方程中的阻尼项方程中的阻尼项振动工程研究所根根据据DAlembert原原理理（动动静静转转换换），质质量量块块（无无变变形形）提提供供与与外外力力大大小小相相同同、方方向向相相反反的的惯性力惯性力方程中的惯性项方程中的惯性项振动工程研究所建模步骤建立坐标系建立坐标系 原点为静止点 坐标正向为标示外力方向分离体法（材力，结力）分离体法（材力，结力）对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力力平衡力平衡 达朗贝尔原理振动工程研究所由由繁繁入入简简方程分类单自由度系统振动方程自由振动自由振动方程无外激励无外激励 偏离静平衡偏离静平衡 初始条件初始条件无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特点略去阻尼突出自由振动的特点振动工程研究所1.21.2无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动方程方程初始条件初始条件(定解条件定解条件)注意注意 特点特点 二阶常系数齐次方程二阶常系数齐次方程振动工程研究所解的形式与试探解微分方程解微分方程解=通解（通解（+特解）特解）（1）试探解的提出与代入）试探解的提出与代入（2）用初始条件定系数）用初始条件定系数数学理论数学理论实际经验实际经验振动工程研究所因为 ,故得到有特征方程（以s为变量的代数方程）特征解（根）为其中 为固有圆频率.或 固有频率 （固有 周期？）振动工程研究所自由运动方程的通解可取为:或其中其中 或或 为积分常数。由初为积分常数。由初始条件定。始条件定。无阻尼系统的自由振动是无阻尼系统的自由振动是简谐振动简谐振动 振动工程研究所无阻尼自由振动的时间域响应(时间历程)可表达为或（易记忆）（易记忆）振动工程研究所两个并联弹簧刚度增加,两个串联弹簧刚度削弱,刚度元件的串并联刚度元件的串并联振动工程研究所例例:升降机钢丝绳中最大张力升降机钢丝绳中最大张力 mk振动工程研究所解：解：初始条件初始条件 方程方程 固有频率固有频率振幅振幅 由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为 钢丝绳中总张力的最大值是钢丝绳中总张力的最大值是 振动工程研究所1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统物理系统多样 数学模型唯一(等效性)工程实际简化例子 汽车乘员抗颠簸性研究 翼尖挂弹环境研究 摩天轮刹车性能研究 振动工程研究所摆振动系统中不存在弹性元件，恢复力由摆锤重力提供。(势能提供者为重力，地球是储能元件)动力矩方程或力矩平衡方程动力矩方程或力矩平衡方程振动的幅度很小时振动的幅度很小时 振动工程研究所小角度简化方程为小角度简化方程为系统振动的固有频率系统振动的固有频率 周期与摆线长关系周期与摆线长关系 振动工程研究所系统振动的系统振动的Duffin方程方程 周期误差与角度关系周期误差与角度关系 大角度简化方法大角度简化方法振动工程研究所刚体摆质量为m，质心C距铰中心O距离为l 绕固定铰使用动量矩定理绕固定铰使用动量矩定理 考虑小角度条件考虑小角度条件固有频率及固有周期固有频率及固有周期 振动工程研究所与材料力学联系单自由度扭振假定盘和轴都为均质体，不考假定盘和轴都为均质体，不考虑轴的质量。设扭矩作用在盘虑轴的质量。设扭矩作用在盘面，此时圆盘产生一角位移，面，此时圆盘产生一角位移，其中其中定义轴的扭转刚度为定义轴的扭转刚度为 振动工程研究所扭转振动方程 扭转振动固有频率 系统对初始扰动的自由振动响应振动工程研究所梁横向振动 例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的位移，静态挠度：等效刚度 振动工程研究所系统自由振动方程为 振动固有频率 悬臂梁、固支梁情况类似，关键在于确定自由度与给出等效刚度振动工程研究所*用能量法确定固有频率用能量法确定固有频率 根据机械能守恒条件可得根据机械能守恒条件可得 固有振动是简谐固有振动是简谐振动，其位移和振动，其位移和速度分别为速度分别为（一一种种简简单单方方法法，也也可可发发展展用用于于近近似似求求多多自自由由度系统固有特性）度系统固有特性）振动工程研究所右端称作右端称作Rayleigh商，商，计算系统固有频率的方法其中参考动能：参参考考动动能能求求法法：将将最最大大动动能能中中的的速速度度项换成位移项既成参考动能。项换成位移项既成参考动能。振动工程研究所半半径径为为r、质质量量为为m的的圆圆柱柱体体在在半半径径为为R的的内内圆圆柱柱面面上上绕绕最低点作纯滚动，试求其微振动的固有频率。最低点作纯滚动，试求其微振动的固有频率。例例 圆柱体的微振动圆柱体的微振动解：解：设圆柱体作纯滚动，设圆柱体作纯滚动，圆柱体的动能是圆柱体的动能是 重力势能为重力势能为 由由Rayleigh商得系统固有频率为系统固有频率为 关键是确定便于建模的独立自由度，简化三角函数关键是确定便于建模的独立自由度，简化三角函数振动工程研究所*弹性元件的分布质量及其简化（1）假设速度分布（2）计算分布质量动能（3）根据动能相等计算等效集中质量例：例：一端固定弹簧，以自由端为分析自由度一端固定弹簧，以自由端为分析自由度弹簧上距固定端弹簧上距固定端x处点的位移：处点的位移：微段弹簧质量：微段弹簧质量：动能：动能：振动工程研究所等效质量：等效质量：振动工程研究所无阻尼单自由度系统求解目的求固有特性（固有频率，周期）求固有特性（固有频率，周期）（主要目的）（主要目的）研究极小阻尼下响应研究极小阻尼下响应振动工程研究所1.4 粘性阻尼单自由度系统的自由振动粘性阻尼单自由度系统的自由振动 求解初值问题：求解初值问题：它的解具有如下形式它的解具有如下形式非平凡解特征方程非平凡解特征方程含阻尼元件：线性阻尼含阻尼元件：线性阻尼无外激励无外激励平凡解平凡解振动工程研究所解出一对特征根解出一对特征根阻尼比阻尼比定义定义固有频率固有频率阻尼比不同，解形式不同。阻尼比不同，解形式不同。振动工程研究所（1）过阻尼情况）过阻尼情况，特征根是一对互异实根，特征根是一对互异实根 引入初始条件引入初始条件积分常数积分常数振动工程研究所指数衰减指数衰减振动工程研究所（2）临界阻尼情况）临界阻尼情况，特征根是一对相等的实根，特征根是一对相等的实根 引入初始条件引入初始条件积分常数积分常数振动工程研究所振动工程研究所（3）欠阻尼情况（）欠阻尼情况（）,这时特征根是一对共轭复根这时特征根是一对共轭复根通解是通解是:（最主要）（最主要）振动工程研究所自然频率（阻尼振动频率）自然频率（阻尼振动频率）引入初始条件引入初始条件积分常数积分常数参数与量纲参数与量纲振动工程研究所通解形式通解形式初始位移引起的振动初始位移引起的振动初始速度引起的振动初始速度引起的振动解的迭加性解的迭加性振动工程研究所粘性阻尼振动系统的自由振动解的另一形式由初始条件决定包包络络线线振动工程研究所欠阻尼系统振动特性欠阻尼系统振动特性（1）自由振动振幅按指数规律衰减）自由振动振幅按指数规律衰减（2）非周期非周期振动：振幅不同但有振动：振幅不同但有等时性等时性。周期概念周期概念自然周期（阻尼固有周期）概念自然周期（阻尼固有周期）概念振动工程研究所（3）阻尼比的影响）阻尼比的影响关系：关系：（4）振幅对数衰减率振幅对数衰减率：经过一个自然周期的振：经过一个自然周期的振幅之比的自然对数。幅之比的自然对数。（5）由振幅对数衰减率求阻尼比（逆问题）由振幅对数衰减率求阻尼比（逆问题）工工程程性性振动工程研究所阻尼比与解的关系阻尼比与解的关系简谐振动简谐振动过阻尼衰减过阻尼衰减振动工程研究所小结数学模型建立特征解（动特性）固有自然初始条件下响应（冲击响应）（冲击响应）（初始变形）（初始变形）振动工程研究所1.5 简谐力激励下的受迫振动简谐力激励下的受迫振动 1.5.1.5.0 0无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动 或力激励力激励 位移激励位移激励振动工程研究所(1)当当 时特解形式为时特解形式为解的特性讨论（试探解）解的特性讨论（试探解）强迫振动的响应（非齐次方程解）强迫振动的响应（非齐次方程解）由两部分组成由两部分组成通解（自由振动）通解（自由振动）特解（强迫振动）特解（强迫振动）振动工程研究所积分常数由初始条件决定积分常数由初始条件决定。(2)(2)当当 时时,方程方程(1.5.1)的特解具有如下形式的特解具有如下形式代入方程代入方程振动工程研究所运动方程的解变为积分常数变为系统位移响应中最后一部分随时间增加趋于无穷，这是激励频率与系统固有频率相等时的共振共振现象。（超谐共振，亚谐共振）超谐共振，亚谐共振）振动工程研究所1.5.1.5.1 1 简谐力激励下受迫振动的简谐力激励下受迫振动的解解 运动方程运动方程阻尼自由振动通解阻尼自由振动通解强迫振动特解（注意相位变化）强迫振动特解（注意相位变化）振动工程研究所阻尼系统强迫振动方程的解为阻尼系统强迫振动方程的解为（1）三角方）三角方程常利用待程常利用待定系数法求定系数法求解解（2）运用技）运用技巧较多巧较多振动工程研究所其中积分常数可由初始条件确定，它们是其中积分常数可由初始条件确定，它们是 积分常数与系统的物理参数有关；积分常数与系统的物理参数有关；也与激振频率有关。也与激振频率有关。振动工程研究所响应由两部分组成：响应由两部分组成：a.第一部分类似于粘性阻尼系统的自由振动，其幅值随时第一部分类似于粘性阻尼系统的自由振动，其幅值随时间增长而衰减。间增长而衰减。初始条件响应初始条件响应部分。部分。振动工程研究所b.第二部分响应如图第二部分响应如图1.5.1中细实线所示。它是简谐力引起中细实线所示。它是简谐力引起的简谐振动，其幅值是常数，不因阻尼而衰减，故称为的简谐振动，其幅值是常数，不因阻尼而衰减，故称为稳稳态响应态响应部分部分。系统的完整受迫振动由上述两部分叠加而成。在时间历程上，系统的受迫振动响应分为两个阶段：在时间历程上，系统的受迫振动响应分为两个阶段：由给定的初始条件出发，系统振动由自由衰减振动响由给定的初始条件出发，系统振动由自由衰减振动响应和强迫振动响应相叠加，呈现较为复杂的波形。随着应和强迫振动响应相叠加，呈现较为复杂的波形。随着时间增长，自由衰减振动响应趋于零，而强迫振动响应时间增长，自由衰减振动响应趋于零，而强迫振动响应成为主要成分。这个阶段称为成为主要成分。这个阶段称为过渡过程过渡过程。过渡过程只经过渡过程只经历一个不长的时间，阻尼越大，过渡过程持续的时间越历一个不长的时间，阻尼越大，过渡过程持续的时间越短。短。经经过过一一段段时时间间后后，系系统统的的振振动动响响应应将将以以强强迫迫振振动动响响应应为为主主，这这一一阶阶段段称称作作稳稳态态过过程程。只只要要有有激激振振力力作作用用，稳稳态振动将一直持续下去。态振动将一直持续下去。振动工程研究所1.5.1.5.2 2阻尼系统的稳态振动响应阻尼系统的稳态振动响应 无无量量纲纲化化激激励励频频率率,（便便于于观察观察 比较和使用）比较和使用）过过渡渡过过程程很很短短暂暂，在在实实践践中中主主要要关关心心系系统统稳稳态态振动。振动。振幅放大系数振幅放大系数（相对振幅）（相对振幅）振动工程研究所位移幅频特性曲线位移幅频特性曲线位移相频特性曲线位移相频特性曲线振动工程研究所稳态响应速度函数描述稳态响应速度函数描述速度振幅速度振幅 速度相位差速度相位差速度振幅放大系数速度振幅放大系数人为定义概人为定义概念并选择念并选择n振动工程研究所稳态响应加速度函数描述稳态响应加速度函数描述加速度振幅加速度振幅 加速度相位差加速度相位差加速度振幅放大系数加速度振幅放大系数人为定义概人为定义概念并选择念并选择n振动工程研究所速度幅频特性速度幅频特性曲线曲线 加速度幅频特性加速度幅频特性曲线曲线 振动工程研究所稳态响应频率特性稳态响应频率特性低频段低频段（1）（2）（3）弹性占优弹性占优振动工程研究所稳态响应频率特性（续）稳态响应频率特性（续）高频段高频段（1）（2）（3）惯性占优惯性占优振动工程研究所稳态响应频率特性（共振）稳态响应频率特性（共振）位移共振位移共振速度共振速度共振加速度共振加速度共振共振频率共振频率阻尼特性占优阻尼特性占优阻尼力等于激励阻尼力等于激励相位共振相位共振振动工程研究所系统品质因数系统品质因数（共振放大系数共振放大系数表示阻尼的又一参量）表示阻尼的又一参量）定义：共振区定义：共振区放大系数大于峰值放大系数大于峰值 处处半功率点半功率点半功率带宽半功率带宽振动工程研究所共振的过渡过程共振的过渡过程 共振区及其半功率带共振区及其半功率带 STOP振动工程研究所例：旋转部件偏心质量引起的振动例：旋转部件偏心质量引起的振动 振动工程研究所化为简谐强迫振动形式化为简谐强迫振动形式稳态位移的幅值和相位分别为稳态位移的幅值和相位分别为 稳稳态态位位移移幅幅值值化为无量纲形式化为无量纲形式 其其位位移移幅幅频频特特性性曲曲线线与与常常幅幅值值简简谐谐力力激激励励系系统统的的加加速速度幅频特性曲线相同度幅频特性曲线相同 对应的转速称为对应的转速称为临界转速临界转速 分母不分母不是静变是静变形形振动工程研究所例：单盘转子的弓形回旋例：单盘转子的弓形回旋图图1.5.8 作同步弓形回旋的单盘转子作同步弓形回旋的单盘转子 选择自由度：选择自由度：C点在点在ODC平面内正交运动的自由度平面内正交运动的自由度振动工程研究所两个互相独立的运动方程两个互相独立的运动方程系统的稳态响应为系统的稳态响应为 轴轴的的动动挠挠度度（即即形形心心D的的运运动动）轨轨迹迹是是一个与时间无关的圆一个与时间无关的圆 注意注意振动工程研究所 动挠度与偏心距的比值可表示为如下无量纲形式动挠度与偏心距的比值可表示为如下无量纲形式 它也等于常幅值简谐力激励系统的加速度放大系数它也等于常幅值简谐力激励系统的加速度放大系数 转子的共振动挠度为转子的共振动挠度为：若若阻阻尼尼比比较较小小，即即使使转转子子平平衡衡得得很很好好（e 很很小小），动动挠挠度度r也会相当大。这个转速称为也会相当大。这个转速称为单盘转子的临界转速单盘转子的临界转速刚性转子刚性转子 柔性转子柔性转子振动工程研究所1.6基础简谐激励下的受迫振动基础简谐激励下的受迫振动 1.6.1 1.6.1 振动方程振动方程 振动工程研究所变量替换变量替换相对运动方程相对运动方程（以质量块与基础距离改变为自由度）（以质量块与基础距离改变为自由度）绝对运动方程绝对运动方程（以质量块位移为自由度）（以质量块位移为自由度）振动工程研究所采用正弦函数描述基础简谐运动，绝对运动方程可写为采用正弦函数描述基础简谐运动，绝对运动方程可写为稳态响应稳态响应（特解）（特解）具有以下形式具有以下形式1.6.2 1.6.2 稳态振动分析稳态振动分析绝对运动绝对运动为激励初相位（与响应幅值无关）为激励初相位（与响应幅值无关）振动工程研究所绝对运动传递率定义为：解参数为：解参数为：另一种形式：另一种形式：振动工程研究所绝对运动传递率的频率特性绝对运动传递率的频率特性 幅频幅频相频相频振动工程研究所（1）在低频段（）在低频段（）系统的绝对运动）系统的绝对运动接近于基础运动，它们之间基本上没有相对运动。接近于基础运动，它们之间基本上没有相对运动。（2）在共振频段（）在共振频段（）附近，有峰值；说明）附近，有峰值；说明基础运动经过弹簧和阻尼器后被放大传递到质量基础运动经过弹簧和阻尼器后被放大传递到质量块。块。绝对运动传递特性绝对运动传递特性（3）幅频特性曲线都在）幅频特性曲线都在 时通过。时通过。（4 4）在在高高频频段段（），；说说明基础运动被弹簧和阻尼器隔离明基础运动被弹簧和阻尼器隔离振动工程研究所相对运动相对运动解参数解参数无量纲化相对运动传递率无量纲化相对运动传递率振动工程研究所1.7 振动的隔离振动的隔离 隔离振动（简称隔离振动（简称隔振隔振）就是研究物体之间振动的传递）就是研究物体之间振动的传递关系，关系，减小相互间所传递的振动量减小相互间所传递的振动量。第第一一类类:隔隔力力：通通过过弹弹性性支支撑撑来来隔隔离离振振源源传传到到基基础础的的力（发动机减振安装）力（发动机减振安装）第第二二类类:隔隔幅幅：通通过过弹弹性性支支撑撑减减小小基基础础传传到到设设备备的的振动幅值（仪表环境改善）振动幅值（仪表环境改善）振动工程研究所1.7.1第一类隔振第一类隔振隔振器传到刚性地基的弹性力和阻尼力隔振器传到刚性地基的弹性力和阻尼力 将将经经过过隔隔振振器器传传到到基基础础的的力力幅幅与与激激励励幅幅值值之之比比定定义义为为力传递率力传递率 二者相位差二者相位差 ，其合力的幅值为，其合力的幅值为 当当 时，时，这时有隔力效果。，这时有隔力效果。振动工程研究所1.7.2第二类隔振第二类隔振基基础础作作简简谐谐运运动动时时，系系统统的的绝绝对对运运动动传递率已由下式给出。传递率已由下式给出。显然，只有当显然，只有当 时，时，,隔振器才有效果。隔振器才有效果。隔振器的刚度系数隔振器的刚度系数k应满足应满足 阻阻尼尼越越小小传传递递率率越越低低，隔隔振振效效果果越越好好。但但为为了了减减少少系系统统通通过过共共振振区区时时的的振振幅幅，必必须须为为隔隔振振器器配配置置适当的阻尼。适当的阻尼。由于阻尼一般很小，由于阻尼一般很小，或或 在高频段可近似为在高频段可近似为 振动工程研究所例例1.7.1 某直升机在旋翼额定转速360rpm时机身强烈振动，为使直升机上某电子设备的隔振效果达到 ，试求隔振器弹簧的在设备自重下的静变形。解：记隔振器弹簧在设备自重作用下的静变形为 ，由虎克定律变化放大系数简化式为可可见见，低低频频隔隔振振器器的的弹弹簧簧必必须须很很柔柔软软。柔柔软软弹弹簧簧带带来来的的问问题题一一是是隔隔振振系系统统要要有有足足够够大大的的静静变变形形空空间间，二二是是侧侧向向稳稳定定性性差差。因因此此，隔离低频振动是工程实践中的难题。隔离低频振动是工程实践中的难题。综合上两式得到静力学方法测动特性，动力学方法测静力特性静力学方法测动特性，动力学方法测静力特性振动工程研究所几种常用减振方法改变特性 变刚度，质量 隔振：降低刚度，增加质量 变阻尼 减振：加阻尼改变系统构成 吸振器，阻尼器，附加结构振动工程研究所1.8 等效线性粘性阻尼等效线性粘性阻尼 1.8.1 阻尼的等效阻尼的等效 一般阻尼动力学系统一般阻尼动力学系统上式右端第一项为阻尼力。若系统作上式右端第一项为阻尼力。若系统作简谐振动简谐振动则阻尼力在一个振动周期内消耗的能量：则阻尼力在一个振动周期内消耗的能量：阻尼力在微位移区间阻尼力在微位移区间dudu上所做的功为：上所做的功为：亦与位移有关亦与位移有关周期周期内阻内阻尼作尼作用等用等效效振动工程研究所将上述阻尼力等效为粘性阻尼将上述阻尼力等效为粘性阻尼等效粘性阻尼在一个周期内所做的负功等效粘性阻尼在一个周期内所做的负功令令等等效效粘粘性性阻阻尼尼在在一一个个周周期期内内所所做做的的负负功功与与真真实实阻尼的相等：阻尼的相等：得得等效等效粘性阻尼比粘性阻尼比若等效粘性阻尼比较大，应检查简化条件！若等效粘性阻尼比较大，应检查简化条件！振动工程研究所损耗因子损耗因子定义：系统阻尼在每个振动周期中所耗定义：系统阻尼在每个振动周期中所耗能量与系统最大弹性势能之比，再除以能量与系统最大弹性势能之比，再除以 。等等效效粘粘性性阻阻尼尼系系数数和和损损耗因子之间的关系为耗因子之间的关系为 对比对比振动工程研究所1.8.2 1.8.2 几种阻尼的等效实例几种阻尼的等效实例 低粘度流体阻尼低粘度流体阻尼 Coulomb干摩擦阻尼干摩擦阻尼 振动工程研究所 结构阻尼结构阻尼（迟滞阻尼）（迟滞阻尼）是一常数，称为是一常数，称为迟滞阻尼系数迟滞阻尼系数 损耗因子为损耗因子为：等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数结构阻尼系统微分方程复描述结构阻尼系统微分方程复描述损耗因子非损耗因子非频变频变振动工程研究所刚度表达式：刚度表达式：粘性阻尼亦可等效为结构阻尼粘性阻尼亦可等效为结构阻尼损耗因子频损耗因子频变变复刚度的准确（频域）表达方式：复刚度的准确（频域）表达方式：粘弹性材料的复模量频域表达式：粘弹性材料的复模量频域表达式：振动工程研究所复刚度描述下的简谐振动稳态解复刚度描述下的简谐振动稳态解动力学方程动力学方程代入试探解代入试探解得稳态解得稳态解位移放大系数位移放大系数振动工程研究所方程：方程：无阻尼有阻尼无阻尼有阻尼激励：激励：单频单频多频无限频率多频无限频率自由度：自由度：单单多无限多无限研究进展图研究进展图振动工程研究所1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析 将周期激励作将周期激励作Fourier展开，得到一系列简谐激励的线展开，得到一系列简谐激励的线性组合，分别求解简谐激励下系统的响应，然后根据线性组合，分别求解简谐激励下系统的响应，然后根据线性叠加原理进行叠加，得到整个响应。性叠加原理进行叠加，得到整个响应。解决问题的思路解决问题的思路 问题及方程问题及方程振动工程研究所各谐分量的系数为该分量的谱周周期期振振动动：离离散散谱谱振动工程研究所复数表示利用利用得到得到欧拉公式欧拉公式双边频谱双边频谱振动工程研究所几个概念与思考振动是在实数域内的，为什么可用复数表达？基频 r阶谐波频谱图：幅频、相频阶数是否总有无限多项为什么单边频谱幅值是双边的二倍振动工程研究所谐波逼近对矩形波的谐波逼近对矩形波的谐波逼近谐波分量幅值与阶次成反比（思考意义思考意义）振动工程研究所长（无限）周期的谱分析长（无限）周期的谱分析（周期无限的谐波分析）谐波分析-谱分析 F级数-F变换周期变大-圆频率变小 谱线连续振动工程研究所变量代数变换变量代数变换代入代入振动工程研究所计算机计算方法软件：VC，VB函数；MATLAB；MATHCAD；MAPLE名称：FFT DFT 结果：(幅值，相位）(实部，虚部）六十年代发现之后对信息、电子、通讯作用巨大振动工程研究所由于线性系统解的线性迭加性，解应为各频率由于线性系统解的线性迭加性，解应为各频率分量激励对应解的和分量激励对应解的和 稳态解：稳态解：1.9.2 周期激励受迫振动响应周期激励受迫振动响应振动工程研究所或或振动工程研究所周期力作用下系统的稳态响应的特性周期力作用下系统的稳态响应的特性：a.a.系系统统的的稳稳态态响响应应是是周周期期振振动动，其其周周期期等等于于激激振振力的周期力的周期 b.b.系系统统的的稳稳态态响响应应由由激激振振力力的的各各次次谐谐波波分分量量分分别别作用下的稳态响应叠加而成。作用下的稳态响应叠加而成。c.c.系系统统稳稳态态响响应应中中，频频率率最最靠靠近近固固有有频频率率的的谐谐波波最最大大，在在响响应应中中占占主主要要成成分分；频频率率远远离离固固有有频频率率的的谐谐波波很很小小，在在响响应应中中占占次次要要成成分分。换换言言之之，系系统统相相当当于于一一个个滤滤波波器器，放放大大了了靠靠近近固固有有频频率率的的激激励励谐谐波波分分量量，而而抑抑制制了了远远离离固固有有频频率率的的激激励励谐谐波波分量的响应。分量的响应。振动工程研究所瞬态响应解法1、求通解形式2、求稳态特解和式3、通解特解4、代入初始条件，得通解系数。振动工程研究所1.10 一般（瞬态）激励下的振动分一般（瞬态）激励下的振动分析析 其中其中 是一个任意函数。是一个任意函数。求求解解思思路路：先先把把一一般般激激励励分分解解为为一一系系列列简简单单激激励励的的线线性性组组合合，然然后后求求出出各各简简单单激激励励下下系系统统的的响响应应，再再运运用用线线性性系系统统响响应应的的可可叠叠加加性性获获得得一一般般激激励励引引起的响应。起的响应。问题及方程问题及方程振动工程研究所1.10.1.10.1 Fourier1 Fourier变换法变换法 对一般激励进行分解的一种直观方法对一般激励进行分解的一种直观方法是将其分解为无限多简谐激励之和是将其分解为无限多简谐激励之和 F氏变换氏变换(无穷大周期无穷大周期F级数展开级数展开)式中式中激励频域分布激励频域分布周期激励周期激励扩展扩展振动工程研究所频域响应解频域响应解(位移位移)频响函数频响函数重要重要概念概念单位简谐力引起的系统稳态位移，又称作单位简谐力引起的系统稳态位移，又称作动柔度动柔度(1)(1)是系统输出与输入的是系统输出与输入的Fourier变换之比，变换之比，与激励幅值大小无关，与系统初始条件无与激励幅值大小无关，与系统初始条件无关关 。(2)(2)完整地包含了系统的动特性信息完整地包含了系统的动特性信息。测试理测试理论公式论公式振动工程研究所频响函数与放大系数关系频响函数与放大系数关系频响函数对应的时域意义频响函数对应的时域意义单位脉冲响应与频响函数互为单位脉冲响应与频响函数互为F氏变换氏变换时域解的两种解法时域解的两种解法振动工程研究所1.10.1.10.2 Laplace2 Laplace变换法变换法 L氏变换定义RZZR一般不作直接计算式一般不作直接计算式振动工程研究所动力学方程与动力学方程与L氏域解氏域解（与初始条件有关）（与初始条件有关）零初始条件零初始条件振动工程研究所Laplace逆变换得逆变换得传递函数定义传递函数定义定义系统位移（输出量）的定义系统位移（输出量）的Laplace变换变换与激振力（输入量）的与激振力（输入量）的Laplace变换之比变换之比为为传递函数传递函数 振动工程研究所传递函数与单位脉冲响应是一个传递函数与单位脉冲响应是一个Laplace变换对变换对 传递函数与频响函数关系传递函数与频响函数关系频率域是频率域是s域的特款，而频响函数是传递函数的域的特款，而频响函数是传递函数的特款。特款。振动工程研究所1.10.1.10.3 3单位脉冲响应法单位脉冲响应法 矩矩形形波波（1）单单位位脉脉冲冲函函数数（Dirac)Dirac)及其性质及其性质 积分性质积分性质(定义定义)取取极极限限脉冲函数演化脉冲函数演化单位性单位性振动工程研究所度量性度量性（象尺一样量出各时刻（象尺一样量出各时刻 的函数值）的函数值）（2）脉冲载荷脉冲载荷及其响应及其响应 理想脉冲力：作用时间极短，幅值极大，但冲量有限。理想脉冲力：作用时间极短，幅值极大，但冲量有限。脉冲载荷定义：脉冲载荷定义：单位脉冲力：单位脉冲力：冲量冲量速度变换：速度变换：冲量冲量冲量定理冲量定理振动工程研究所当脉冲在当脉冲在 作用时，响应延迟为作用时，响应延迟为当冲量当冲量I=1,单位脉冲响应单位脉冲响应(阻尼系统自由振动解阻尼系统自由振动解)系统进行初始条件如下的自由振动。系统进行初始条件如下的自由振动。专用专用 h(t)表示表示t时刻单位原点脉冲激励的响应时刻单位原点脉冲激励的响应 相当于相当于y轴前移轴前移 振动工程研究所（3）Duhamel积分积分（脉冲激励响应的线性叠加）（脉冲激励响应的线性叠加）线性系统数乘特性线性系统数乘特性线性系统叠加特性线性系统叠加特性可改写成可改写成振动工程研究所例例：试试求求初初始始静静止止的的单单自自由由度度系系统统在在如如下下单单位位阶阶跃跃力力 作作用下的响应。用下的响应。解：考虑阻尼的系统的运动微分方程及初始条件可写为解：考虑阻尼的系统的运动微分方程及初始条件可写为系统响应可由上述系统响应可由上述Duhamel积分求得，或用坐标变换得到积分求得，或用坐标变换得到坐标变换坐标变换（实际位移（实际位移静变形）静变形）方程变为方程变为振动工程研究所单单位位阶阶跃跃响响应应 响应为阻尼系统自由振动解响应为阻尼系统自由振动解专用专用 g(t)表示表示t时刻单位原点阶跃激励的响应时刻单位原点阶跃激励的响应 振动工程研究所单位阶跃响应是系统在新平衡位置的自由振动单位阶跃响应是系统在新平衡位置的自由振动 振动工程研究所单位脉冲力与单位阶跃力有如下关系单位脉冲力与单位阶跃力有如下关系 单位脉冲响应与单位阶跃响应也有类似关系单位脉冲响应与单位阶跃响应也有类似关系（4）非零初始条件与激励联合激发的响应）非零初始条件与激励联合激发的响应 或或无阻尼系统，单位阶跃响应：无阻尼系统，单位阶跃响应：振动工程研究所阶跃分解法阶跃分解法 对对激激励励作作分分解解的的第第二二种种直直观观方方法法是是将将其其视视作作一一系系列列阶阶跃跃激激励励的的叠叠加加，系系统统响响应应将将等等于于各各个个阶阶跃跃激激励励响响应应的的叠加。叠加。应应 用用 Duhamel积分积分 振动工程研究所例例：零零初初始始条条件件下下无无阻阻尼尼系系统统在在受受如如下下矩矩形形脉脉冲冲力力作用的响应。作用的响应。解：此时有解：此时有 、，故，故STOP推广至推广至 i 个跳跃点个跳跃点振动工程研究所受迫振动分析方法汇总受迫振动分析方法汇总时域时域脉冲（阶跃）脉冲（阶跃）响应法响应法h(t)g(t)频域频域F氏变换法氏变换法频响函数频响函数H(w)L氏域氏域L氏变换法氏变换法传递函数传递函数134结束第一章结束第一章
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