虚功及虚功原理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度改课件

v虚功及虚功原理v结 构 位 移 计 算 的 一 般 公 式v图乘法及举例v温 度 改 变 产 生 的 位 移 计 算v支 座 移 动 产 生 的 位 移 计 算v线弹性体互等定理6-1 静定结构位移 a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础；c）建筑起拱。-t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差不产生内力和变形产生刚体移动 位移是几何量，自然可用几何法来求，如lD=b但更方便的方法是虚功法，其理论基础是虚功原理。a）荷载作用；2、产生位移的原因主要有三种：计算位移时，常假定：1）=E；2）小变形；3）具有理想约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。1、计算位移有三个目的：产生内力，产生变形产生位移6-2虚功原理 一、实功与虚功 实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 W11，W22。实功恒为正实功恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如W12，如力与位移同向，虚功为正虚功为正，如 力与位移反向，虚功为负虚功为负。F1F2112212荷载由零增大到F1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系F与成正比。F11F1元功 dW=FdW11=dW=SOAB =1/2F111再加F2，F2在自身引起的位移22上作的功W22=1/2F222在12过程中，F1的值不变，W12=F11212与F1无关dWOABKj位移发生的位置产生位移的原因 二、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S；与位有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：W=S1）广义力是单个力F，则广义位移是该力作用点的全位移在 力的方向上的分量。Pm2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。3）若广义力是等值、反向的一对力FFFttABBAW=FA+FB=F（A+B）=F这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两 点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABmmABW=mA+mB=m（A+B）=m这里是AB两截面的相对转角表示与广义力相应的广义位移表示与广义力相应的广义位移。三、刚体虚功原理静力分析的方法基本方法：选分离体，列平衡方程。虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。1、虚功原理 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系，当体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒为零。是指约束反力在可能位移上所作虚功恒等于零的约束作功的双方（平衡力系、可能位移）彼此独立无关2、虚功原理的应用1）需设位移求未知力（虚位移原理）2）需设力系求位移（虚力原理）abACB 1）需设位移求未知力（虚位移原理）FX求杠杆在图示位置平衡时X的值。PXXXFP=0 XFXPDDP 1 X=1，P=b/aFXP=-d01刚体内力在可能的位移上所作虚功恒为零1 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。如以上式子就是力矩平衡方程方程。如以上式子就是力矩平衡方程M MC C0 02 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可以随意虚设，如设便，可以随意虚设，如设X=1X=1。3 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平衡问题。静力平衡问题。=0 P 1 P 1 P 1 ababababab 例例 各段杆长为a，求该机构在图示位置平衡时，F与Q的关系。yxxyFQ(1)虚设位移，建立位移之间的关系,Fctgq23=FQyx0=D+Dqdayqcos3=Dq,d ax q sin-2=Ddadyqqcos3=dadxqq,sin2-=ayqsin3=axqcos2=FQxyDD(2)建立虚功方程，求未知力虚功法的特点：虚功法的特点：1 1、将平衡问题归结为几何问题求解；、将平衡问题归结为几何问题求解；2 2、直接建立荷载与未知力之间的关系，、直接建立荷载与未知力之间的关系，而不需求其它未知力。而不需求其它未知力。动画演示T1 abFXabF求静定结构的约束力求静定结构的约束力 作出机构可能发生的刚体虚位移图；应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的方法：1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度的机构，使原来的约束力X变成主动力。2）沿X方向虚设单位虚位移。利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。3）建立虚功方程，求未知力。a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAX=11.50.75YCqqaqa2虚功方程为:YC10.75/a+qa0.75 qa20.75/a1/2q1.53a0YC=2.25qa a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAqaqa20.5a0.25a虚功方程为:MA10.25MA1a(上拉)+qa0.25aqa20.25+q(a2a/2 0.5a a/2MA=0.75qa2)0 2）需设力系求位移（虚力原理）b acF=1建立虚功方程：F+RAc=0（）1 1）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以随意虚设，如设可以随意虚设，如设F=1F=1。2 2）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何 问题。问题。刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。W12 0刚体虚功原理刚体虚功原理12四、变形体系的虚功原理:状态1是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的变形上作的内虚功之和,即：证明FN1FN1+dFNFS1FS1+dFSM1M1+dMdsdsds2dsd2=2ds微段的变形可分为2ds，2ds，2ds+=dsM dsF dsFN1dWW212S1 21212k g e 内内内12dW=FN12ds+FS12ds+M12ds+dsM dsFS1 ds FN121 21 2k g eW12=2ds (变形体)6-3 6-3 单位荷载法单位荷载法 （位移计算的一般公式）位移计算的一般公式）F1F2t1t2222位移状态 2c1c2KKKHF=1虚拟力状态 12R1R需首先虚拟力状态 在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力F=1()+=+D iiKH dsMFSFNcR2221k g e()-+=DiicR dsMFSFN222kge(610)(610)式是结构位移计算的一般公式,注:1)适用于静定结构和超静定结构;2)材料可以是弹性的也可是非弹性的;3)产生位移的原因可以是各种因素;4)既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响；5)(610)右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。荷载作用下的位移计算()-+=DiicR dsMFSFN222kge(610)FNP FSP MP真实位移状态+=DdsGA FSFSk dsdsEIMMP PEA FNFN Pkp（615）注：（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度；（2）FNP、FSP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因；虚设单位荷载 引起的内力是dsEIMMP（5）桁架 =（6）桁梁混合结构 用于梁式杆用于桁架杆（7）拱通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中计算水平位移 时才考虑轴向变形对位移的影响，即dsEIMMPEA FNFN P+=（3）公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。（4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的=（8）该公式既用于静定结构也用于超静定结构。但必须是弹性体系 （9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载。F=1m=1m=1m=1F=1F=1l1/l1/lAB求A点的水平位移求A截面的转角求AB两截面的相对转角求AB两点的相对位移求AB两点连线的转角位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！例例 图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。（）ABF=1/lF=1/lF=1/lF=1/lllC ABF=1/lF=1/llABF=1/lF=1/ll（）AB杆的转角AB连线的转角AB杆和AC杆的相对转角 例6-4图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆，拉杆采用钢杆。求C的竖向位移。柱 q解：1)将q化为结点荷载F=ql/4-4.74F-4.42F4.5F3.0F2)求FFFF/2F/20.287l0.25l0.222l0.25l0.263l0.263lADCEGBFl/12 l/122F2F6-4 荷载作用下的位移计算举例ADCEGBF11/21/21.501.50-1.58-1.58004)求C材料杆件FNPA lFNEA l FNFN P钢筋混凝土钢筋ADCDDECEAEEG1.581.5001.501.504.74F4.42F4.50F3.00F0.263l0.263l0.088l0.278l0.278l0.222lAbAb0.75AbAg3Ag2Ag1.97Fl/AbEb1.84Fl/AbEb000.63Fl/AgEg0.5Fl/AgEgC=Fl(3.81/AbEb+1.13/AgEg)2 3)求FF=1例例 求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载q cos=FSq sin-=FNq sin-=FMqcos=FFS Pqsin-=FFN Pqsin-=FRMP虚拟荷载3）位移公式为SNMD+D+D=P PPGA dsFS FSEA dsFNFNEIdsMM+=DGAFREAFREIFR+=D4443pk ppds=Rddds钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMSD2=DMNARI2412=DDMSRhGAREIk可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 引起的位移相比可以忽略 不计。但对于深梁剪切变 形引起的位移不可忽略。2）实际荷载dGAFRdEAFREIFR+=cossin20203q qk qqpp22h101R如 Fl/2l/2EIABx1x2例例 求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载 m=1m=1Mp（x1）=Fx/2 0 x1l/2Mp（x2）=F（lx）/2 l/2 x2ll-x(x)M=0 xlEIFl162=EIdxxlFlxdxEIFxlxlll2)(2220-=EIdsMMlPB0=j积分常可用图形相乘来代替2）Mp须分段写 kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIydxEIMM0w=yEI01w=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0注注：表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积与竖标y0在杆的同侧，y0 取正号，否则取负号。y0=x0tg 6-5 图乘法 位移计算举例几种常见图形的面积和形心的位置(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或Fl/2l/2EIABm=11/2Fl/4ql2/2MPMPF=1llqAB例例 求梁B段转角。例例 求梁B点竖向位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。FFaaa例例 求图示梁中点的挠度。FaFaMPF=13a/4a/2a/2Fl/2l/2C例例 求图示梁C点的挠度。MPFlCF=1l/2l/6l6EIFl123=FlEIC212=DEIFl4853=Fl6EI5llEIyC22210=Dw5Fl/6？例例 判断下列图乘结果正确与否。S=y0（）y0 S=y0（）y0 S=y0（）y0 S=1y1+2y2 （）1y12y2y0 S=y0（）y0 S=y0（）图乘法图乘法 位移计算举例位移计算举例=DPEIydxEIMM0w表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。图乘法的应用条件：竖标y0面积与竖标y0在杆的同侧，y0 取正号，否则取负号。几种常见图形的面积和形心的位置：h3l/4l/4二次抛物线=hl/3顶点l/2l/2h二次抛物线=2hl/3顶点 a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/312y1y2()bcadbdacl+=226dc+323bl+2dc+332al=2yydxMMki+=2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6（262+243+63+42）=111（1）32649 S=9/6（262+203+6302）=9S=9/6（262243+6342）=15S=9/6（262+2436342）=332364（3）9（2）32649（4 4）2369 labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS+=b)非标准抛物线成直线形例例 6-8 预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm,混凝土容重为25000N/m3,求C点的挠度。解：q=2500010.025625N/m I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6m4 E=3.3 1010N/m2 折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2举例 2.2m0.8mABC折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2200378F=10.8MPq=625N/m2.2m0.8mABC1y136.08.0433=y4.08.0212=y533.08.0321=y()85.01332211+=DyyyEIwww3.538.0200313=w5552.2378322=w2202.2200211=wy32y2 qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPF=111l1y12y23y3B23=ly3221=yly12832323=qllqlw42212321=qllqlww8321232432414222=+=EIqllqllqllqlEI()1332211+=DMyyyEIwwwFNP=ql/2FNP=090019 3434832101222122423=DD=lhbhMNlh bhlAlIEIqlEAql2122=DPNEAqlEAlqlEAlFNFN例例 求B点的水平位移。6kN2kN/m2kN/m 6m3m3mAB例例 求AB两点的相对水平位移。36189MPF=1F=163)()=EI-756+3322318-+EI643636311+-2639632(+-+-=DEI61833631826362661EI=常数9 9 99999 F=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2例例 求B点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222+lqlEIlB432831122=DEIqlllqlEIB843231142=DylqlEIB283312102+=DLq？ql2/8l/2？ql2/32y0 dxMMEIlP+021dxMMEIEIlP-=021111dxEIMMdxEIMMlPlP020211dxEIMMdxEIMMllPlPVB+=D20111上式中的两项积分都是标准图形相乘。如l1=l/2，EI2=2EI1，则1325617EIql=214323121llqlEI+2112432831211llqlEIEIVB-=DMPF=1xl1lqA BEI2EI1ql2/2 lql2/8l/2 aEI2aEI1allEI2aEI2+allEI2aEI1=aEI1 1）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀、缩。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h2t0=（h1t2+h2t1）/ht=t2-t13）微段的变形 dsdat0dsk=d/ds=a（t2-t1）ds/hds=at/h=0 ()-+=DiicR dsMFSFN2 2 2k g e(610)Dit=MNhttwawa0D+=dsMht dsFNtaa0D+=DitdshtM ds tFNa a 0该公式仅适用于静定结构e=at0at1dsat2ds 6-6 温度改变而产生的位移计算考虑到正负号例例 6-11 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa0+10+10CF=1F=11aN 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0 g=0。代入()-+=DiicR dsMFSFN2 2 2k g e(610)得到：仅用于静定结构abl/2l/2h1 10=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX 6-7 支座移动而产生的位移计算求顶铰处的的相对转角 应用条件:1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。F1F2F1F2FN1 M1 FS1FN2 M2 FS21 1、功的互等定理功的互等定理+dsGA FkFEIMMEA FFS1S212N1N2=D=FW21221+=dsGA FkFEIMMEA FFS2S121N2N1D=FW12112功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即：W12=W21 6-8互等定理2 2、位移互等定理位移互等定理F1F2位移互等定理：在任一线性变形体系中，由单位荷载F1=1所引起的与单位荷载F2相应的位移21等于由单位荷载F2=1所引起的与单位荷载F1相应的位移12。21122112dd=FFD=D212121注意:1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。F =1令 F =23 3、反力互等定理反力互等定理c1c2R11R21R22R12RcR+=221120cRR+221110反力互等定理：在任一线性变形体系中，由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12。注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。c=1令 c =2 1r12=r214 4、反力位移互等定理反力位移互等定理反力位移互等定理：在任一线性变形体系中，由单位荷载所引起的结构某一支座的反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位荷载作用处的位移，但符号相反。注意:这里反力是广义力，支座位移则是相应的广义位移。Fl/2l/23Fl/16CAC例例 已知图结构的弯矩图,求同一结构由于支座A的转动引起地C点的挠度。解：W12=W21W21=0W12=FC3Fl/160 C=3l/16 例例 图示同一结构的两种状态，求=？F=1m=1m=1AB =A+BBA （反力位移互等定理）（位移互等定理）例例 已知图a梁支座C上升0.02m引起的D=0.03m/16,试绘图b的M图。FRc(b)aa/2a/2ABCDD0.02m(a)Wab=0=Wba=FD+RC CRC=3F/323Fa/32 小结:一、虚功原理We=Wi力：满足平衡位移：变形连续虚设位移虚位移原理（求未知力）虚力原理（求未知位移）虚设力系二、=刚架、梁桁架支座移动组合结构、拱各项含义虚设广义单位荷载的方法三、图乘法求位移 =DPEIydxEIMM0w图乘法求位移的适用条件y0的取法 标准图形的面积和形心位置非标准图形乘直线形的处理方法四、互等定理适用条件内容 W12=W212112d d=r12=r21qllEIB求B点竖向位移1ql2/83ql2/2MPl r12=-214kN4kN.m2kN/m12kN.m4m4mEIAB求B5kN12844MPkN.m1kN.m 求DVFFF4m3=12m3mABDC5F8FF=15/34/3000000000013F