虚位移原理和达朗伯原理课件

1 第二章第二章虚位移原理和达朗伯原理虚位移原理和达朗伯原理2.1 虚位移原理虚位移原理2.1.1 虚位移原理 在理论力学静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。2具有完整定常理想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的元功之和等于零。即2.1.1 虚位移原理虚位移原理(2.1.1)主动力在虚位移中所做的元功称为虚功，虚位移原理称为虚功原理，上式称为虚功方程。3 证明证明：(1)必要性：即质点系处于平衡时，必有 质点系处于平衡 任一质点Mi也平衡。对质点Mi 的任一虚位移 ，有由于是理想约束所以对整个质点系：4 (2)充分性：即当质点系满足 ，质点系一定平衡。若 ，假设质点系不平衡，则至少有一个质点（设为第i个质点）不平衡（由静止进入运动），则有 在 方向上产生实位移 ，取 ，则对质点系：(理想约束下，)与前述条件矛盾故 时质点系必处于平衡。5 2.1.2 用虚速度表示的虚位移原理用虚速度表示的虚位移原理虚位移原理还可写成：Firi cosi=0aiFi与dri之间的夹角；Xi、Yi、Zi 及xi、yi、zi主动力Fi及ri在x、y、z轴上的投影。上三式均称为虚功方程，实际应用时,用两式。解析式解析式(2.1.2)在式(2.1.1)、(2.1.2)等号两边同除以dt，得6 2.1.3 虚位移原理的应用虚位移原理的应用1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；4、求平衡构架内二力杆的内力。主动力在虚速度中所做的元功率称为虚功率，这种用虚速度表示的虚位移原理称为虚功率原理：具有完整定常理想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚速度上所作的元功率之和等于零。上两式称为虚功率方程。7例例1 椭圆规机构，连杆AB长l，杆重及各处摩擦不计，求在图示位置平衡时，主动力P和Q之间的关系。解解：研究整个机构。系统受理想完整定常约束。81、几何法、几何法：使A发生虚位移 ，B的虚位移 ，则由虚位移原理，得：由 的任意性，（）=0得9 2、解析法、解析法 系统为单自由度，取为广义坐标。由于 任意，（）=0故 由虚位移原理：10解解：此系统具有两个自由度，取角及为广义坐标。例例2 均质杆OA及AB在A点铰接，两杆各长2a和2b，各重P1及P2，B点作用有水平力 F，求平衡时的角及。y11应用虚位移原理：代入(a)式，得：解法一：解析法解法一：解析法12由于 是彼此独立的，所以：由此解得：13而代入上式，得解法二：几何法解法二：几何法 先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一组虚位移，如图所示。14 再使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的另一组虚位移，如图所示。而代入上式后，得：图中：15例例3 多跨静定梁，求支座B处反力。解解：将支座B 除去，代入相应的约束反力 。由虚位移原理：16注意：注意：用虚位移原理求约束反力，每次只能解除一个约束每次只能解除一个约束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。要求多个约束反力，依次一个一个解除约束。drB0，由（*）得：17例例4 直杆AB通过滑套D带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，弹簧为原长，弹簧k=5(kN/m)，求在任意位置（角）平衡时，加在AB杆上的力偶矩M=？解解：本题是已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系。一个自由度，以为广义坐标。18以系统为研究对象：去掉弹簧代之以弹性力。由虚位移原理：方法一：几何法给AB一虚位移d，则：由点的复合运动：19方法二：解析法由虚位移原理：注意：M d 的正负？F呢？20例例5 两均质杆A1B1与A2B2各长l1、l2，各重P1、P2，放在如图位置，接触处均光滑。求平衡时的1、2关系。解：系统为一自由度（1）解析法建立如图坐标，则21由虚位移原理：代入（*）得：22（2）几何法 给B点一虚位移rB，各点虚位移如图23由虚位移原理：将代入r1、r2（*）得.24求桁架中1、2杆的内力25求A、B处的支座反力26作业答案：P=25N27 以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：1、正确选取研究对象：、正确选取研究对象：28 2、正确进行受力分析、正确进行受力分析：画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。4、应用虚位移原理建立方程。、应用虚位移原理建立方程。5、解虚功方程求出未知数。、解虚功方程求出未知数。29 设有n个质点组成的质点系，具有f=k个自由度，可由k个广义坐标q1，q2，.，qk 确定其位置。在非定常约束下，质点系中任一质点Mi的矢径一、广义力一、广义力Mi的虚位移（固定时间t）：2.2 用广义力表示的虚位移原理用广义力表示的虚位移原理30 设作用在Mi上的主动力为Fi，则作用于质点系上所有主动力的元功之和：对应于广义坐标对应于广义坐标qa a 的广义力的广义力广义力的量纲取决于广义坐标的量纲：q：长度，Q：力；q：角度，Q：力矩；广义力的数目=广义坐标的数目。二、广义力的计算方法二、广义力的计算方法1、解析式31 xi、yi、zi均是广义坐标q1、q2、.、qk及时间t的函数。2、实际应用时，由 由于各广义坐标彼此独立，所以在求某个广义力Qa时，仅使对应的广义坐标qa变分d qa，而其余的广义坐标则保持不变。即：令d qa0，d qj=0（j=1，2，.k，j a），32 这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系，所有主动力的元功之和：3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置的势能V=V(x1，y1，z1，.，xi，yi，zi)=V(q1，q2，.，qk)由理论力学知(2.3.2)将式(2.3.2)代入广义力的解析式(2.2.5)，得33 三、以广义力表示的虚位移原理三、以广义力表示的虚位移原理当质点系平衡时，由虚位移原理：由于qa彼此独立，所以即：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分条件是，系统的所有广义力都等于零。可见：在保守系统中，广义力等于质点系的势能函数对相应广义坐标的偏导数并冠以负号。34 例例6：两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。解解：由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度。以为广义坐标，C1、C2距O点的垂直距离：以过O点的水平面为零势面，则系统的平衡条件为：35 由此解出。36 例例7：图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦，求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。解：解：系统具有2自由度。以sA、sB为广义坐标（1）当sA改变sA而sB=0（B不动），此时sC=sA/237 （2）当sB改变sB而sA=0，此时sC=sB/2系统平衡时有QA=QB=0由QB=0 得 W=2P由QA=0 得 F=W/2=P38 例例 图示摆，已知均质杆OA和AB的长度、重量分别为l1、l2、W1、W2，并在B端作用一水平向右的力P，试计算摆的广义力。解法一：用解析式(2.2.5)求解。解解 取1、2为广义坐标X1=W1x=0,Y1=W1y=W1；X2=W2x=0,Y2=W2y=W2；X3=Px=P,Y3=Py=039 X1=W1x=0,Y1=W1y=W1；X2=W2x=0,Y2=W2y=W2；X3=Px=P,Y3=Py=040 解法二：用式(2.2.6)求解（1）令d10，d2=0。则dr1=0.5l1d1dr2=drB=drA=l1d141 （2）令d1=0，d2 0。则dr1=0dr2=0.5l2 d2drB=l2d242 43 若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置的势能V=V(x1，y1，z1，.，xi，yi，zi)=V(q1，q2，.，qk)代入虚功方程的解析式：2.3 质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题由理论力学知(2.3.2)一、平衡条件一、平衡条件44 表明：在势力场中，具有完整定常约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：质点系势能的一阶等时变分等于零。质点系平衡时有：即：dV=0表明：在势力场中，具有完整定常约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：质点系势能对广义坐标的一阶偏导数等于零。势力场中的广义力称为广义有势力。45 在保守系统中，从式(2.3.6)解出的就是质点系的平衡位置。但是在平衡位置上，平衡状态并不相同。设质点系原处于平衡状态，因受轻微扰动而偏离平衡位置，若此后质点系只在其平衡位置附近运动，这种平衡状态称为稳定平衡（下图a）。二、平衡稳定性的概念二、平衡稳定性的概念46 如果此后质点系远离平衡位置，则平衡是不稳定的，其中图（b）为不稳定平衡，图（c）为随遇平衡。定理：若保守系统在平衡位置的势能为极小值，则其平衡是稳定的；若势能非极小值，则其平衡是不稳定的。1.单自由度系统平衡稳定性质的判断方法单自由度系统平衡稳定性质的判断方法以q为广义坐标，由求出平衡位置q047 则势能具有极小值，平衡是稳定的。则势能具有极大值，平衡是不稳定的。则要根据更高阶的导数来判断：若第一个非零导数是偶数阶且该导数为正，则势能具有极小值，平衡是稳定的；若该导数为负，则平衡是不稳定的；若各阶导数均为零，表明V为常量，平衡是随遇的。48 2.两自由度系统平衡稳定性质的判断方法两自由度系统平衡稳定性质的判断方法以q1、q2为广义坐标，由求出平衡位置q10、q20当q1=q10、q2=q20时，若(2.3.11)49 势能具有极小值，平衡是稳定的。否则，平衡是不稳定的。例例 质量为m的小球M可在光滑半圆滑槽内滑动，滑槽半径R。试讨论小球平衡的稳定性。解解：系统为保守系统。取小球与圆心的连线OM与铅直线的夹角q为广义坐标。则小球的势能（以O点零势能点）解出平衡位置=0、（不合题意）50 例例 质量为m的刚性平台用两根无重杆AB、CD及两根弹簧常数为k的弹簧支承。弹簧原长为l，k=2mg/l。试讨论当AB、CD 处于铅直位置时，平台平衡的稳定性。平衡是稳定的。解解：取q为广义坐标，以水平线AD为重力势能零位置。则51 系统平衡时有 ，即显然，=90为其一个解，这对应于AB及CD为铅直时的平衡位置。52 当=90时所以当AB、CD 处于铅直位置时，平台平衡是稳定的。