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第第8章章 多元函数微分学多元函数微分学空间解析几何简介空间解析几何简介多元函数的基本概念多元函数的基本概念偏导数及其在经济中的应用偏导数及其在经济中的应用全微分全微分多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则隐函数的求导公式隐函数的求导公式多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法8.2 多元函数的基本概念多元函数的基本概念问题的提出问题的提出平面点集平面点集多元函数的概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的连续性例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为例例2 2 求求 的定义域。的定义域。解解所求定义域为所求定义域为例例3求极限求极限解解令令则则完完例例4求求极限极限解解其中其中所以所以完完例例5求求极限极限解解当当时，时，所以所以完完例例6 求求极限极限解解(当当所以所以完完例例7 求求解解因为因为而而例例7 求求解解而而所以所以故故完完例例8证明证明不不存在存在.证证取取为为常数常数),易见题设易见题设极限的值随极限的值随的的变化而变化变化而变化,极限不存在极限不存在.完完则则故题设故题设例例9证明证明不不存在存在.证证取取其值随其值随的的不同而变化不同而变化,完完故极限不存在故极限不存在.例例10 讨论二元函数讨论二元函数在在处的处的连续性连续性.解解由由表达式的特征，表达式的特征，利用极坐标变换：利用极坐标变换：令令则则所以函数在所以函数在点处点处连续连续.完完例例11 求求解解例例13求求解解 因因初等函数初等函数在在处连续，处连续，故故完完例例4 求求的偏导数的偏导数.解解 把把和和看作常数看作常数,对对求导求导,利用函数关于自变量的对称性利用函数关于自变量的对称性,可得可得完完得得例例5 试证函数试证函数的偏导数的偏导数存在存在,证证点不连续点不连续.但但在在证证即偏导数即偏导数存在存在.但由上节的例但由上节的例 8极限极限知道知道,不存在不存在,故故在在点不连续点不连续.完完例例6设设求求及及解解完完例例7解解设设完完求二阶偏导数求二阶偏导数.例例8求求的二阶偏导数的二阶偏导数.解解完完例例9满足拉普满足拉普验证函数验证函数拉斯方程拉斯方程证证例例9满足拉普满足拉普验证函数验证函数拉斯方程拉斯方程证证例例9满足拉普满足拉普验证函数验证函数拉斯方程拉斯方程证证完完例例10 证明函数证明函数满足满足Laplace方程方程其中其中证证由函数关于自变量的对称性由函数关于自变量的对称性,得得例例10 证明函数证明函数满足满足Laplace方程方程其中其中证证完完例例11 设设试求试求及及解解因因当当时时,例例11 设设试求试求及及解解所以所以例例11 设设试求试求及及解解同理有同理有当当时时,例例11 设设试求试求及及解解同理有同理有所以所以完完计算计算的近似值的近似值.解解设函数设函数取取由二元函数全微分近似计算公式得由二元函数全微分近似计算公式得例例 6完完例例1设设而而求全导数求全导数解解完完例例2 设设而而求求和和解解例例2 设设而而求求和和解解完完例例3 求求的偏导数的偏导数.解解设设则则则则可得可得例例3 求求的偏导数的偏导数.解解则则完完例例4 设设求求和和解解例例4 设设求求和和解解完完例例5 设设求求解解完完例例6 设设其中其中有连续有连续的二阶偏导数的二阶偏导数,求求解解设设则则解解设设则则完完例例7 设设有二阶连续偏有二阶连续偏导导数数,求求和和解解令令记记同理记同理记例例7 设设有二阶连续偏有二阶连续偏导导数数,求求和和解解例例7 设设有二阶连续偏有二阶连续偏导导数数,求求和和解解完完例例9 利用一阶全微分形式的不变性求函数利用一阶全微分形式的不变性求函数的偏导数的偏导数.解解例例9 利用一阶全微分形式的不变性求函数利用一阶全微分形式的不变性求函数的偏导数的偏导数.解解所以所以完完例例10 求函数求函数的全微分的全微分.解解设设则则于是于是由由例例10 求函数求函数的全微分的全微分.解解于是于是由由代入上式代入上式,得得完完例例11求求已知已知和和解解故所求偏导数故所求偏导数完完例例2求由方程求由方程的导数的导数所确定的隐所确定的隐函数函数解解此题在第二章第六节采用两边求导的此题在第二章第六节采用两边求导的方法做方法做过过,这里我们直接用公式求之这里我们直接用公式求之.令令则则由原方程知由原方程知时时,所以所以完完例例3求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的偏导数的偏导数解解 设设则则且且例例3求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数的偏导数的偏导数解解利用隐函数求导公式利用隐函数求导公式,得得完完例例4求由方程求由方程所确定所确定的隐函数的隐函数的偏导数的偏导数和和解解令令则则显然都是连续显然都是连续.所以所以,当当时时,由隐函数存在定理得由隐函数存在定理得完完例例5设设求求解解 令令则则完完解解将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得例例4 求函数求函数的极值的极值.解解先解方程组先解方程组解得驻点为解得驻点为再求出二阶偏导数再求出二阶偏导数在点在点(1,0)处处,故函数在该点处有极小值故函数在该点处有极小值又又在点在点(1,2)处处,故函数在这两点处没有极值故函数在这两点处没有极值;处处,例例4 求函数求函数的极值的极值.解解解得驻点为解得驻点为再求出二阶偏导数再求出二阶偏导数在点在点(1,0)处处,故函数在该点处有极小值故函数在该点处有极小值又又在点在点(1,2)处处,故函数在这两点处没有极值故函数在这两点处没有极值;处处,故函数在该点处有极大值故函数在该点处有极大值又又在点在点处处,完完例例5求函数求函数在矩形域在矩形域上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解先求函数先求函数在在内驻点内驻点.由由求得求得在在内部的唯一驻点内部的唯一驻点(1,1),且且其次求函数其次求函数如如 图图 所所 示示.在在的的边边界界上上的的最最大大值值和和 最最 小小 值值.区域区域的边界包含四的边界包含四条直线段条直线段(0,2)(3,2)(0,0)(3,0)例例5求函数求函数在矩形域在矩形域上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解 其次求函数其次求函数如如 图图 所所 示示.在在的的边边界界上上的的最最大大值值和和 最最 小小 值值.区域区域的边界包含四的边界包含四条直线段条直线段(0,2)(3,2)(0,0)(3,0)在在上上这是这是的单调增加函数的单调增加函数,故在故在上上的最大值为的最大值为最小值为最小值为同样在同样在和和上上也是单调的一元函数也是单调的一元函数,易得最易得最大值、最小值分别为大值、最小值分别为例例5求函数求函数在矩形域在矩形域上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解在在上上这是这是的单调增加函数的单调增加函数,故在故在上上的最大值为的最大值为最小值为最小值为(在在 上上),(在在 上上),同样在同样在和和上上也是单调的一元函数也是单调的一元函数,易易得最大值、最小值分别为得最大值、最小值分别为例例5求函数求函数在矩形域在矩形域上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解(在在 上上),(在在 上上),而在而在上上易求出易求出在在上的上的最小值最小值最大值最大值将将在驻点上的值在驻点上的值与与上的上的最大值和最小值比较最大值和最小值比较,最后得到最后得到在在上的上的最小值最小值最大值最大值完完例例5求函数求函数在矩形域在矩形域上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解而在而在上上易求出易求出在在上的上的最小值最小值最大值最大值例例6求函数求函数在区域在区域上的最小值上的最小值.解解先求先求在在内的极值内的极值.由由解方程组解方程组得驻点得驻点(0,0),(2,0).由于由于所以所以,在点在点(0,0)处处故在故在(0,0)处有极小值处有极小值在点在点(2,0)处处故函数在点故函数在点(2,0)处无极值处无极值.例例6求函数求函数在区域在区域上的最小值上的最小值.解解由于由于所以所以,在点在点(0,0)处处故在故在(0,0)处有极小值处有极小值再求再求在边界在边界上的最小值上的最小值.由于点由于点在圆周在圆周上变化上变化,出出代入代入中中,有有这时这时 是是的一元函数的一元函数,最后比较可得最后比较可得,函数函数在闭区间在闭区间上的最小值上的最小值完完例例6求函数求函数在区域在区域上的最小值上的最小值.解解 再求再求在边界在边界上的最小值上的最小值.由于点由于点在圆周在圆周上变化上变化,故可解故可解求得在求得在上的最小值上的最小值),44(1622 -=xxy例例7 求求的最大值和最小值的最大值和最小值.解解解得驻点解得驻点因为因为和和例例7 求求的最大值和最小值的最大值和最小值.解解解得驻点解得驻点因为因为和和即边界上的值为零即边界上的值为零.又又所以最大值为所以最大值为最小值为最小值为完完例例8方体水箱方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的问当长、宽、高各取怎样的尺寸时尺寸时,能使用料最省能使用料最省.解解宽为宽为设水箱的长为设水箱的长为此水箱所用材料的面积此水箱所用材料的面积此此为为目目标标函函数数.下下面面求求使使这这函函数数取取得得最最小小值值的的点点令令则其高应为则其高应为m.某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为2m 的有盖长的有盖长才才例例8方体水箱方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的问当长、宽、高各取怎样的尺寸时尺寸时,能使用料最省能使用料最省.解解令令某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为2m 的有盖长的有盖长才才得唯一的驻点得唯一的驻点根据题意可断定根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点该驻点即为所求最小值点.高为高为水箱所用的材料最省水箱所用的材料最省.注注:体积一定的长方体中体积一定的长方体中,以立方体的表面积以立方体的表面积为最为最小小.当水箱的长为当水箱的长为m、宽为宽为m、因此因此解这方程组解这方程组,时时,m完完例例9设设为商品为商品的需求量的需求量,的需求量的需求量,为商品为商品其需求函数分别为其需求函数分别为总成本函数为总成本函数为其中其中为商品为商品和和 的价格的价格,试问价格试问价格取何值时可使利润最大取何值时可使利润最大?解解 按题意按题意,总收益函数为总收益函数为于是总利润函数为于是总利润函数为例例9设设为商品为商品的需求量的需求量,的需求量的需求量,为商品为商品其需求函数分别为其需求函数分别为总成本函数为总成本函数为其中其中为商品为商品和和 的价格的价格,试问价格试问价格取何值时可使利润最大取何值时可使利润最大?解解 为使总利润最大为使总利润最大,求一阶偏导数求一阶偏导数,并令其为零并令其为零:例例9设设为商品为商品的需求量的需求量,的需求量的需求量,为商品为商品其需求函数分别为其需求函数分别为总成本函数为总成本函数为其中其中为商品为商品和和 的价格的价格,试问价格试问价格取何值时可使利润最大取何值时可使利润最大?解解 为使总利润最大为使总利润最大,求一阶偏导数求一阶偏导数,并令其为零并令其为零:由此解得由此解得又因又因故取价格故取价格时利润可达最大时利润可达最大,时的产量为时的产量为而此而此完完条件极值的概念条件极值的概念前面所讨论的极值问题前面所讨论的极值问题,一般只要求落在定义域内一般只要求落在定义域内,并无其它限制条件并无其它限制条件,类极值我们称为类极值我们称为无条件极值无条件极值.对于函数的自变量对于函数的自变量这这但在实际问题中但在实际问题中,会遇到对函数的自变量会遇到对函数的自变量常常还有附加条件的极值问题还有附加条件的极值问题.例如例如,的体积问题的体积问题.则体积则体积因为长方体的表面积是定值因为长方体的表面积是定值,求表面积为求表面积为而体积为最大而体积为最大设长方体的长、设长方体的长、宽、宽、高分别为高分别为所以自变量所以自变量还须满足附加条件还须满足附加条件像这样对自变量有附加条件的极值称为像这样对自变量有附加条件的极值称为条件极值条件极值.的长方体的长方体例例13 求表面积为求表面积为而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积.解解 设长方体的三棱长为设长方体的三棱长为则问题就是在条件则问题就是在条件(1)下下,求函数求函数的最大值的最大值.作拉格朗日函数作拉格朗日函数由由代入代入(1)式式,得唯一可能的极值点得唯一可能的极值点:例例13 求表面积为求表面积为而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积.解解由由代入代入(1)式式,得唯一可能的极值点得唯一可能的极值点:此点就是所求最大值点此点就是所求最大值点.即即,表面积为表面积为的长方体中的长方体中,方体的体积为最大方体的体积为最大,最大体积最大体积由问题本身意义知由问题本身意义知,以棱长为以棱长为的正的正完完例例14 在经济学中有个在经济学中有个CobbDouglas生产函数模型生产函数模型式中式中代表劳动力的数量代表劳动力的数量,本数量本数量(确切地说是确切地说是个单位资本个单位资本),与与是常数是常数,由各工厂的具体情形而定由各工厂的具体情形而定,函数值表示生产函数值表示生产现在已知某制造商的现在已知某制造商的CobbDouglas生产函数是生产函数是元元,该制造商的总预算是该制造商的总预算是50000元元.这笔钱用于雇用劳动力与资本这笔钱用于雇用劳动力与资本,以使生产量最高以使生产量最高?为资为资量量.每个劳动力与每单位资本的成本分别是每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及元及250问他该如何分配问他该如何分配例例14解解 这是个条件极值问题这是个条件极值问题,求函数求函数在条件在条件下的最大值下的最大值.令令由方程组由方程组中的第一个方程解得中的第一个方程解得将其代入第二将其代入第二个方程中个方程中,得得例例14解解在该式两边同乘在该式两边同乘有有即即将此结果代入方程组的第三方程得将此结果代入方程组的第三方程得即该制造商应该雇用即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余的部分作个劳动力而把其余的部分作为资本投入为资本投入,这时可获得最大产量这时可获得最大产量完完例例15设销售收入设销售收入(单位单位:万元万元)告宣传的费用告宣传的费用(单位单位:万元万元)之间的关系为之间的关系为与花费在两种广与花费在两种广利润额相当于五分之一的销售收入利润额相当于五分之一的销售收入,扣除广告费扣除广告费用用.试问如何分配两种广告费用使利润最大试问如何分配两种广告费用使利润最大?并要扣除广告并要扣除广告已知广告费用总预算金是已知广告费用总预算金是 25 万元万元,解解设利润为设利润为有有限制条件为限制条件为这时条件极值问题这时条件极值问题.令令例例15设销售收入设销售收入(单位单位:万元万元)告宣传的费用告宣传的费用(单位单位:万元万元)之间的关系为之间的关系为与花费在两种广与花费在两种广利润额相当于五分之一的销售收入利润额相当于五分之一的销售收入,扣除广告费扣除广告费用用.试问如何分配两种广告费用使利润最大试问如何分配两种广告费用使利润最大?并要扣除广告并要扣除广告已知广告费用总预算金是已知广告费用总预算金是 25 万元万元,解解令令从从又又解得解得解解令令从从根根据据问问题题本本身身的的意意义义及及驻驻点点的的唯唯一一性性即即知知.当投当投入入两两种种广广告告的的费费用用分分别别为为 15万万元元和和 10万万元元时时,使利润最大使利润最大.完完可可
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