线性代数第四章-课件(同名1606)

考虑所有的n维行(或列)向量形成的集合,由于这些行(列)向量均可看成1n(n1)的矩阵,可以进行加法运算和数乘运算,并且运算的结果仍然是n维行(列)向量.即该集合关于加法运算和数乘运算是封闭的，在数学上我们称该集合关于这两个运算构成了一个运算系统，这个系统就是我们本章要定义的向量空间.：第四章第四章向量向量间的的线性关系与性关系与线性方程性方程组空空间1向量之间关于这两个运算的关系,即所谓的线性关系则是线性代数所要研究的核心内容.利用这些理论去解释线性方程组求解过程,将会发现对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其化为行阶梯型时,这些阶梯型矩阵中其元素不全为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量间所共有的一个十分重要的数字特征,从而我们能够更深入地了解线性方程组解的结构.24.1向量空向量空间和子空和子空间的的定定义4.2线性性组合与合与线性表出性表出4.3线性相关与性相关与线性无关性无关4.4向量空向量空间的基和的基和维数数4.5极大无关极大无关组和向量和向量组的秩的秩4.6矩矩阵的秩的秩4.7线性方程性方程组解的解的结构构4.8基基变换和坐和坐标变换*34.1定定义及性及性质 一、一、向量空向量空间的定的定义如上定如上定义的的n维向量也称向量也称为n维行向量行向量.n维向向量也可以用量也可以用列列的形式写出的形式写出,称称为列向量列向量:定定义4.1.14.1.1任意任意n个个(实)数数a1,a2,an 构成的如构成的如下的下的n元有序元有序组(a1,a2,an)称称为n维(实)向量向量,每一每一ai称称为此向量的第此向量的第i个个分量分量.4其中，其中，b1,b2,bn为任意（任意（实）数）数.如无特如无特别申申明，明，n维向量均向量均为实向量向量.5通常通常,记为R所有所有实数的集合数的集合,并并记Rn为所有所有n维行向量的集合或所有行向量的集合或所有n维列向量的集合列向量的集合.现考考虑为所有所有n维行向量的集合的情形（同理可行向量的集合的情形（同理可讨论为所有所有n维列向量的集合的情形）列向量的集合的情形）.6向量的相等向量的相等:两个向量两个向量=(a1,a2,an)和和=(b1,b2,bn)相等相等，当且，当且仅当当ai=bi,i=1,2,n,并并记为=.零向量零向量:分量全分量全为零的向量称零的向量称为零向量零向量，记为O=(0,0,0)负向量向量:任一向量任一向量=(a1,a2,an)的各分量反号得的各分量反号得到的向量称到的向量称为 的的负向量向量，记为 =(a1,a2,an)7向量的和向量的和:设=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn),则 与与 的的和和为 +=(a1+b1,a2+b2,an+bn)数乘向量数乘向量:设=(a1,a2,an)，k是任一是任一实数，数，则数数k与向量与向量 的的积为k =k(a1,a2,an)=(ka1,ka2,kan)向量的差向量的差:设=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn),则 与与 的的差差为 =(a1 b1,a2 b2,an bn)8显然,关于向量的加法和数乘,定理2.1.1中运算律成立.我们现在定义：9定定义4.1.2所有所有n维实向量的集合向量的集合Rn中定中定义了如上了如上的向量加法和数乘向量两种运算的向量加法和数乘向量两种运算,(并并满足如下的足如下的8条运算律条运算律)称称为n维实向量空向量空间.1 +=+（加法交（加法交换律）律）2 +(+)=(+)+（加法（加法结合合律）律）3+O=4+(-)=O51=6k(l)=(kl)7.k(+)=k+k 8.(k+l)=k+l 其中其中,是任意向量是任意向量,k,l是任意的是任意的实数数.10特特别地我地我们有：有：设,是是Rn中任意两个向量，中任意两个向量，则(i)0=O，kO=O；k为任意任意实数；数；(ii)如如k=O，那么那么k=0或者或者=O；(iii)如如+=O，那么那么=；(iv)(1)=11二二.向量子空向量子空间定定义4.1.3设W是的是的Rn一个非空子集一个非空子集.如果如果(i)对任意的任意的,W，均有均有+W;(ii)对任意的任意的 W 和任意的和任意的kR，有有k W.则称称W是是Rn的一个的一个子空子空间.子空子空间中向量加法和数乘向量中向量加法和数乘向量满足向量空足向量空间定定义中的八条运算律中的八条运算律.从而从而将向量空将向量空间和它的子空和它的子空间均称均称为向量空向量空间.12例例1证明明:如果如果W是是Rn的一个子空的一个子空间,则必有必有O W.例例2设S为R2中所有形如中所有形如(a为任意任意实数数)的向的向量的集合量的集合,验证S是是R2的一个子空的一个子空间.例例3验证下述集合是下述集合是Rn(n 2)的一个子空的一个子空间.13例例4验证如下形式的向量的全体构成的集合如下形式的向量的全体构成的集合不是不是的子空的子空间.明明显地，地，Rn是是Rn自身的子空自身的子空间;另外另外,只含零只含零向量的子集向量的子集=O也是也是Rn的一个子空的一个子空间.144.2线性性组合与合与线性表出性表出一、一、线性性组合与合与线性表出性表出定定义4.2.1 设 1,2,m Rn,k1,k2,km为m个数个数,称向称向k1 1+k2 2+km m为向量向量组 1,2,m的一个的一个线性性组合合.，15定定义4.2.2 设 1,2,m,Rn,如果存在如果存在数数l1,l2,lm使得使得=l1 1+l2 2+lm m则称称向量向量可由向量可由向量组 1,2,m线性表出性表出.，16例例4.2.1线性方程性方程组的向量形式的向量形式:给定一定一线性方性方程程组令系数矩令系数矩阵 aijm n的列向量的列向量组为 1,2,n,而而且令向量且令向量 =(b1,b2,bm)T,则该线性方程性方程组可以可以表示表示为以下向量形式：以下向量形式：x1 1+x2 2+xn n=从而从而,线性方程性方程组(4.2.1)是否有解当且是否有解当且仅当当该方程方程组的常数的常数项向量向量 是否可由其系数矩是否可由其系数矩阵的列向量的列向量组 1,1,n线性表出性表出.17例例4.2.2试判定向量判定向量=(1,2,0,2)T是否可由向是否可由向量量组线性表出性表出.1=(1,1,1,0)T,2=(1,1,0,1)T,3=(1,0,1,1)T,4=(0,1,1,1)T18定理定理4.2.1设 1,2,m是一是一组向量，向量，则span(1,2,m)是一个向量空是一个向量空间.二、生成子空二、生成子空间*19推推论4.2.3设W是是Rn的一个子空的一个子空间,1,2,m是是W中一中一组向量向量,则W=span(1,2,m)（即即W由向量由向量组 1,2,m所生成）的充分必要条件所生成）的充分必要条件是：是：W中每一向量可由中每一向量可由 1,2,m线性表出性表出.定理定理4.2.2设W是是Rn的一个子空的一个子空间,1,2,m是是W中一中一组向量向量,则span(1,2,m)W20注注.若若W=span(1,2,m),则称称 1,2,m是子空是子空间W的一的一组生成元生成元,并称并称W为 1,2,m生成的子空生成的子空间.21一一 定定义线性相关与性相关与线性无关是性无关是线性代数中十分重要的概性代数中十分重要的概念，是理解向量空念，是理解向量空间构成的关构成的关键性概念性概念.4.34.3 线性相关与性相关与线性无关性无关22取取,为平面平面上起点在原点且不共上起点在原点且不共线的两个向量的两个向量.则,生成了生成了的一个子空的一个子空间.由由,不共不共线知知,对任意的两个不全任意的两个不全为零的数零的数k和和l,线性性组合合k+l 不不是零向量是零向量.否否则,如有不全如有不全为零的数零的数k和和l,使得使得k+l=O不妨不妨设l0，则有有 =(k/l)从而从而 与与 共共线(即即是是 的的倍倍),矛盾矛盾.因此因此,等式等式k+l=O，k，l R要成立要成立,必必须有有k 0和和l 0同同时成立成立.此此时称称 与与 是是线性无关的性无关的.23另外，由另外，由,生成生成W知，知，W中任意向量中任意向量 可由可由,线性表出性表出,即存在即存在实数数c和和d，使得，使得 =c+d 即有即有 c+d =O (4.3.1)从而从而,有不全有不全为零的数零的数c,d,和和 1,使得使得(4.3.1)成立成立.这时称称向量向量组 ,是是线性相关的性相关的.24定定义4.3.1设 1,2,m是向量空是向量空间V的一的一组向向量量.如存在一如存在一组不全不全为零的数零的数k1,k2,km使得使得k1 1+k2 2+km m=O(4.3.2)则称称 1,2,m是是线性相关性相关的；的；否否则,当且当且仅当当k1,k2,km全全为零零时(4.3.2)式才成式才成立立,则称称 1,2,m是是线性无关性无关的的.25 单独一个向量独一个向量线性相关当且性相关当且仅当它是零向当它是零向量量 单独一个向量独一个向量线性无关当且性无关当且仅当它是非零当它是非零向量向量两向量两向量线性相关性相关两向量两向量对应元素成比例元素成比例两向量两向量线性无关性无关两向量不两向量不对应成比例成比例注注.26 一向量一向量组中存在一个中存在一个向量，向量，则一定一定线性相性相关关 几何上：两向量几何上：两向量线性相关性相关两向量共两向量共线；三向量三向量线性相关性相关三向量共面三向量共面.2728分析分析.判断判断 1，2，3是否是否线性相关，即，求是否性相关，即，求是否存在非零常数存在非零常数k1，k2，k3使得使得k1 1k2 2k3 30写成方程写成方程组的形式的形式为利用行初等利用行初等变换的方法解此方程的方法解此方程组.29(1)解解.因因为故故 1，2，3线性无关性无关.30(2)解解.因因为故故 1，2，3，4线性相关性相关.3132小小结：判定：判定给定的一向量定的一向量组 1,2,m是否是否线性相关或性相关或线性无关，通常运用性无关，通常运用“待定系数法待定系数法”，即，即设待定系数待定系数满足关系式足关系式再根据向量相等再根据向量相等则各各对应分量分分量分别相等而得到一相等而得到一个关于个关于这m个待定系数（做个待定系数（做为未知量）的未知量）的齐次次线性方程性方程组，并，并进一步求解一步求解.如有非零解如有非零解,则 1,2,m线性相关性相关.否否则,1,2,m线性无关性无关.在在本章第六本章第六节我我们还将引入初等将引入初等变换的方法的方法对向量向量组的的线性相关性性相关性进行判定行判定.3334定理定理4.3.1向量向量组(m 2)线性相关的充分必要条件性相关的充分必要条件是此向量是此向量组中中至少至少有一个向量是其余向量的有一个向量是其余向量的线性性组合合.二二.性性质证.必要性必要性.线性相关，性相关，至少有一个系数至少有一个系数ki0，使得，使得35充分性充分性.所以所以A线性相关性相关.36定定义4.3.2设 1,2,m和和 1,2,s是两是两组向量向量.如果每一如果每一 i均可由均可由 1,2,m线性表性表出出,则称向量称向量组 1,2,s可由向量可由向量组 1,2,m线性表出性表出;进一步一步,如果向量如果向量组 1,2,m也可由向量也可由向量组 1,2,s线性表出性表出,则称两称两向量向量组等价等价.37注注线性表出具有性表出具有“传递性性”，即，即，设向量向量组 1,2,m也可由向量也可由向量组 1,2,s线性表出，性表出，而而 1,2,s可由可由 1,2,t 线性表出，性表出，则 2,m也可由向量也可由向量组 1,2,t线性表出性表出.38设向量向量组 1,2,m可由向量可由向量组 1,2,s线性表出性表出,即，即，写成矩写成矩阵形式形式39定理定理4.3.2设向量向量组 1,2,m可由向量可由向量组 1,2,s线性表出性表出,并且并且ms，则 1,2,m线性相关性相关.通俗地：通俗地：“多的如能被少的表出，多的如能被少的表出，则相关相关”.定理定理4.3.2*如向量如向量组 1,2,m可由向量可由向量组 1,2,s线性表出，并且性表出，并且 1,2,m线性无关，性无关，则必有必有m s.此定理可等价地叙述此定理可等价地叙述为：通俗地通俗地说，“少的不能表出多的无关少的不能表出多的无关组”.40推推论4.3.1两两组线性无关的向量性无关的向量组如果等价如果等价则所含所含向量个数相等向量个数相等.推推论4.3.2多于多于n个的个的n维向量向量组线性相关性相关.证明明.由由定理定理4.3.2与与例例3可以得出可以得出结论.41424344定理定理4.3.3一一组线性无关的性无关的n维向量添加向量添加k个同序个同序号分量后得到的号分量后得到的n+k维向量向量组仍然仍然线性无关性无关.（“原无关，添加分量后仍无关原无关，添加分量后仍无关”）此定理可等价地表述此定理可等价地表述为:定理定理4.3.3*设 i=(ai1,ai2,aim),i=1,2,s是一是一组线性相关的性相关的n维向量向量.则去掉每一去掉每一 i中第中第j1,j2,jk 位上的分量位上的分量(1j1j1jkm)后得到向后得到向量量组也也线性相关性相关.（“原相关，去掉分量后仍相关原相关，去掉分量后仍相关”）.45注注：“原无关，去掉分量后可能相关原无关，去掉分量后可能相关”；“原相关，添加分量后可能无关原相关，添加分量后可能无关”.46定理定理4.3.64.3.6 一个向量一个向量组中若部分向量中若部分向量线性相性相关，关，则整个向量整个向量组也也线性相关性相关证.设向量向量组 中有中有r个向量个向量线性相关，不性相关，不妨妨设 线性相关，性相关，则存在一存在一组不全不全为零的零的数数 ，使得，使得因而存在不全因而存在不全为零的数零的数 使得使得故故 线性相关性相关.47定理定理4.3.64.3.6*线性无关的向量性无关的向量组中任一部分向量中任一部分向量组也也线性无关性无关48答案答案：应用定理用定理4.3.5.49例例6.6.若向量若向量组 线性相关，而向量性相关，而向量组 线性无关，性无关，则向量向量 可由可由 线性表出，且表示法唯一性表出，且表示法唯一.证明明.504.4向量空向量空间的基和的基和维数数定定义4.4.1向量空向量空间V 中一中一组向量向量 1,2,m如如满足足(i)1,2,m线性无关性无关;(ii)V 中任一向量可由此向量中任一向量可由此向量组线性表出性表出.则称称 1,2,m为V 中的一个中的一个基基.5152定理定理4.4.1设 1,2,s和和 1,2,t均均为向量空向量空间W的基的基.那么必有那么必有s=t.证明明.由由推推论4.3.1直接可得直接可得.定定义4.4.2一向量空一向量空间V O时,V 的任一基所含的任一基所含向量个数称向量个数称为V的的维数数;当当V=O时,称称V 的的维数数为0.53注注.由此例子可看到由此例子可看到,一向量空一向量空间的向量是的向量是n维的的,但此空但此空间的的维数却可能小于数却可能小于n.例例4.4.2取上一取上一节例例5中的向量中的向量组544.5极大无关极大无关组与向量与向量组的秩的秩给定一定一组向量向量,它它们可能是可能是线性相关的性相关的,但其部但其部分向量分向量组可能是可能是线性无关的性无关的.而确定其部分向量而确定其部分向量组线性无关向量的性无关向量的最大个数最大个数则十分重要十分重要.它不但它不但可确定可确定这组向量生成的子空向量生成的子空间的的维数数,而且在定而且在定义矩矩阵的秩的秩,讨论线性方程性方程组解的解的结构等都起着构等都起着关关键的作用的作用.55例如例如,下述五个四下述五个四维向量向量显然然线性相关性相关.56定定义4.5.1称一向量称一向量组 1,2,m的部分向量的部分向量组 i1,i2,ir(i1i2ir)为一一极大极大线性无性无关关组(简称称极大无关极大无关组),如果如果(i)i1,i2,ir线性无关性无关;(ii)每一每一 j,1 j m,可由可由 i1,i2,ir 线性表性表出出.注注.由由例例6可知，可知，(ii)可等价地表示可等价地表示为(ii)每一每一 j(1 j m),j,i1,i2,ir 线性相关性相关.57定定义4.5.2一向量一向量组的任一极大无关的任一极大无关组所含向量的所含向量的个数称个数称为此向量此向量组的的秩秩.定理定理4.5.1一向量一向量组的任意两个极大无关的任意两个极大无关组所含所含向量个数相等向量个数相等.证明明.由由推推论4.3.3直接可得直接可得.58定理定理4.5.2*i1,i2,ir是向量是向量组 1,2,m的极大无关的极大无关组，当且，当且仅当当 i1,i2,ir是向量空是向量空间span(1,m)的的基基.注注.向量向量组 1,2,m与它的任一极大无关与它的任一极大无关组 i1,i2,ir等价等价.定理定理4.5.3设向量组可由向量组1,2,s线性表出,则向量组5960定理定理4.5.3设向量向量组 1,2,m可由向量可由向量组 1,2,s线性表出性表出,则向量向量组 1,2,m的秩不的秩不大于向量大于向量组 1,2,s的秩的秩.定理定理4.5.3设向量组可由向量组1,2,s线性表出,则向量组60例例求向量求向量组 1=(0,2,6,0,8)，2=(1,3,2,0,4),3=(1,2,5,0,0)，4=(3,8,5,2,11)的秩，一个极大无关的秩，一个极大无关组，并将其它向量用此极大并将其它向量用此极大无关无关组线性表出性表出解解.616263故向量故向量组 1,2,3,4的秩的秩为3，1,2,4是是一一个极大无关个极大无关组，且有，且有644.6矩矩阵的秩的秩65定理定理4.6.1初等初等变换不改不改变矩矩阵的秩的秩.由于任意矩由于任意矩阵的行秩与列秩相等，的行秩与列秩相等，则统称矩称矩阵的行秩和列秩的行秩和列秩为此此矩矩阵的秩的秩,并并记一矩一矩阵A的秩的秩为r(A).定定义4.6.1一矩一矩阵A的行向量的行向量组的秩称的秩称为A的的行秩行秩;而其列向量而其列向量组的秩称的秩称为A的的列秩列秩.定理定理4.6.2矩矩阵的行秩与列秩相等的行秩与列秩相等.由此定理和定理由此定理和定理2.4.1(3),我我们得到又一个方得到又一个方阵可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件:推推论4.6.1一一阶方方阵可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件为r(A)=n.6667在一个在一个m n级矩矩阵A中中,任取其中不同的任取其中不同的k行和行和不同的不同的k列列(k m,n)交叉位上的交叉位上的k2个元素构成的个元素构成的k阶行列式称行列式称为A的一个的一个k阶子式子式.定理定理4.6.3矩矩阵A的秩的秩为r当且当且仅当当A中存在一个中存在一个不等于不等于0的的r阶子式，并且子式，并且A中所有中所有r+1子式子式(如存在如存在)均等于均等于0.67对于于向量向量组，将此向量，将此向量组作作为列行向量构造一个列行向量构造一个矩矩阵A，并并对A仅施行初等行施行初等行变换将其化将其化为行最行最简形矩形矩阵B，则B保持保持A的列向量的列向量组间的的线性关性关系系.从而有从而有:求矩求矩阵的秩以及向量的秩以及向量组的秩的方法的秩的方法：对于于矩矩阵，对其施行初等行其施行初等行变换化成行化成行阶梯形，梯形，而而阶梯形中不全梯形中不全为零的行的个数即零的行的个数即为其秩，而其秩，而这些不全些不全为零的行零的行对应于原矩于原矩阵的行的行向量的行的行向量组即即为原矩原矩阵行向量行向量组的一个极大无关的一个极大无关组.68(i)如如 j1,j2,jr是是B的不全的不全为零的行的第一个零的行的第一个不不为零的数所在列的列向量零的数所在列的列向量,则A中中对应于于 j1,j2,jr的列向量是的列向量是 j1,j2,jr的列向量的列向量组的极大的极大无关无关组；(ii)如如 j是是B的一个列向量的一个列向量,且且 j=k1 j1+k2 j2+kr jr,则A中中对应于于 j的列向量的列向量 j=k1 j1+k2 j2+kr jr.69707171即，即，1,2,s可由可由 1,2,n线性表出，性表出，同理可同理可证总之，之，故故 1,2,s的任一极大无关的任一极大无关组可由可由 1,2,n的任一极大无关的任一极大无关组线性表出性表出，从而，从而724.线性方程性方程组解的解的结构构4.7.1.齐次次线性方程性方程组的基的基础解系和通解解系和通解从第一章我从第一章我们知道，知道，齐次次线性方程性方程组若有非零解，若有非零解，则必有无必有无穷多解当然，人多解当然，人们不可能逐一写出全不可能逐一写出全部解但是，部解但是，这些解之些解之间存在一定的存在一定的线性关系性关系由由这些些线性关系，就可性关系，就可给出出齐次次线性方程性方程组的的通通解解73定理定理.7.1齐次次线性方程性方程组(4.7.1)有非零解的有非零解的充分必要条件充分必要条件为r(A)n；而只有零解的充分必要而只有零解的充分必要条件条件为r(A)n74定理定理4.7.2如果向量如果向量 1,2是是齐次次线性方程性方程组(4.7.1)解向量，解向量，k是任意常数，是任意常数，则 1 2，k 1均是均是(4.7.1)的解向量的解向量推推论n阶方方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是r(A)=n从而，从而，(4.7.1)的全体解向量构成了一个向量空的全体解向量构成了一个向量空间，称，称为(4.7.1)的的解空解空间.75定定义.7.1一一齐次次线性方程性方程组如有非零解，如有非零解，则其解空其解空间的一个基称的一个基称为此此齐次次线性方程性方程组的一的一个个基基础解系解系定理定理4.7.3设齐次次线性方程性方程组(4.7.1)的系数的系数矩矩阵的秩的秩r n,则(4.7.1)的基的基础解系由解系由n r 个解个解向量向量组成成76此行最此行最简型作型作为系数矩系数矩阵所所对应的方程的方程组为，即，即77令令78显然然是是齐次方程次方程组的一的一组解，且由于解，且由于右右边的向量的向量组无关，故以上的向无关，故以上的向量量组也是一个无关也是一个无关组.79另一方面，把上述方程另一方面，把上述方程组写成向量的形式，写成向量的形式，这表示，方程表示，方程组的任意一的任意一组解均可表示解均可表示为向量的向量的 线性性组合合,故其故其为基基础解系解系.80定定义.7.2设齐次次线性方程性方程组(16)的系数矩的系数矩阵的秩的秩rn，而向量而向量组 1,2,n-r 是其基是其基础解解系，系，则称向量称向量 k1 1+k2 2+kn-r n-r为(16)的的通解通解，其中，其中k1,k2,kn-r为任意常数任意常数81例例4.7.1求下述求下述齐次次线性方程性方程组的一个基的一个基础解系，解系，并写出其通解并写出其通解.解解.对系数矩系数矩阵作初等行作初等行变换82所以所以83从而基从而基础解系解系为通解通解为84解解.对系数矩系数矩阵作初等行作初等行变换补充例充例1 1 求下列求下列齐次次线性方程性方程组的基的基础解系与通解解系与通解.85从而基从而基础解系解系为通解通解为所以所以86补充例充例2求下列以求下列以A为系数矩系数矩阵齐次方程次方程组的基的基础解系与通解解系与通解87所以，基所以，基础解系解系为所以所以线性方程性方程组的通解的通解为884.7.2.非非齐次的次的线性方程性方程组的解的的解的讨论设非非齐次次线性方程性方程组AX=(4.7.5)其中其中A=(aij)m n,X=(x1,x2,xn)T,(b1,b2,bm)T,并且并且b1,b2,bm 不全不全为零零.上述方程上述方程组有解有解时,其解与其解与对应的的齐次次线性方程性方程组AX=O(4.7.6)的解有着密切的的解有着密切的联系系.89定定义4.7.3称称齐次次线性方程性方程组(4.7.6)为线性方程性方程组(4.7.5)的的导出方程出方程组定理定理4.7.4设非非齐次次线性方程性方程组(4.7.5)有解有解,并并且其系数矩且其系数矩阵A的秩的秩为rn,0是其一个特定的解向是其一个特定的解向量量(称称为特解特解)，而，而 1,2,n-r 是是导出方程出方程组(4.7.6)的一个基的一个基础解系，解系，则非非齐次次线性方程性方程组的的全部解全部解(也称也称为(4.7.5)的的通解通解)为 0+k1 1+k2 2+kn-r n-r（4.7.7）其中其中k1,k2,kn-r为任意常数任意常数90推推论4.7.1线性方程性方程组(4.7.5)的任意两个解向量的任意两个解向量的差是其的差是其导出方程出方程组(4.7.6)的一个解向量；的一个解向量；线性性方程方程组(4.7.5)的一个解向量与其的一个解向量与其导出方程出方程组(4.7.6)的一个解向量的和是的一个解向量的和是线性方程性方程组(4.7.5)的一个解的一个解向量向量.注注通解不要写成通解不要写成k0 0+k1 1+k2 2+kn-r n-r 91结合第一章的合第一章的讨论,得如下得如下结论.定理定理4.7.6设线性方程性方程组(20)的系数矩的系数矩阵的秩的秩为r,增广矩增广矩阵的秩的秩为r.那么那么(i)r r,则方程方程组(20)无解无解;(ii)r=r=n,则方程方程组(20)的解唯一的解唯一;(iii)r=rn,则方程方程组(20)有无有无穷多的解多的解,其其通解由通解由(22)式式给出出.92例例4.7.2求下述非求下述非齐次次线性方程性方程组的通解：的通解：解解.对方程方程组的增广矩的增广矩阵进行行初等行行初等变换：93所以所以原方程原方程组的一个特解的一个特解为94导出出组的基的基础解系解系为通解通解为95因因所以所以线性方程性方程组有无有无穷多解多解.解解.对增广矩增广矩阵进行行初等行行初等变换：补充例充例3求解下列非求解下列非齐次次线性方程性方程组96令令，求得基，求得基础解系解系为97令令，得一特解，得一特解故所求通解故所求通解为98求求该方程方程组的通解的通解.补充例充例4设四元非四元非齐次次线性方程性方程组Axb的系数的系数矩矩阵A的秩的秩为3，已知它的解向量，已知它的解向量为 ，其中，其中解解.方程方程组的的导出出组基基础解系含解系含4 3=1个向量，个向量，为99故方程故方程组的通解的通解为1002)有解有解时，进一步将此一步将此阶梯形矩梯形矩阵化化为行最行最简形形,并利用此行最并利用此行最简形的系数矩形的系数矩阵部分部分(去掉最后一列去掉最后一列),求以此求以此为系数矩系数矩阵的的齐次次线性方程性方程组的一个基的一个基础解系，例如：解系，例如：总结：求非求非齐次次线性方程性方程组的通解的步的通解的步骤如下：如下：1)将其增广矩将其增广矩阵经初等行初等行变换化化为行行阶梯形梯形后判后判断是否有解；断是否有解；1013)再利用此行最再利用此行最简形矩形矩阵为增广矩增广矩阵求求对应的的非非齐次次线性方程性方程组的一个特解的一个特解 0令自由令自由变元全取元全取零即可（便于零即可（便于计算）算）.1024.8基基变换与坐与坐标变换*103104105问题是：作是：作为同一向量在不同基下的坐同一向量在不同基下的坐标向量，向量，(d1,d2,dn)T与与(c1,c2,cn)T之之间的关系如何表的关系如何表示？示？106107108定理定理4.8.2向量空向量空间V的任两个基之的任两个基之间的的过渡矩渡矩阵可逆可逆.109110小小结111112113若已知具体的向量数若已知具体的向量数值114115116117118作作业：pp.?-?，1,2，3,5(1)，6(2),(4)，8，11,13,18,19,22,23(2),25(2),26(1),27.119