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1标题添加点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容总体概述点击此处输入相关文本内容标题添加点击此处输入相关文本内容2一、矩阵的加法1.1.定义设A=(aij)mn,B=(bij)mn，则矩阵C=(cij)mn=(aij+bij)mn.称为矩阵A 与B的和，记作C=A+B.两矩阵的和=对应元素求和两矩阵同型时,才可以求和3如:4加法的运算规律设A,B,C,O都是mn 矩阵，则(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A交换律结合律5二、矩阵的减法(1)负矩阵 设A=(aij)mn,则称(aij)mn为A的负矩阵，简记A显然 A+(A)=O,(A)=A(2)减法 设A=(aij)mn ,B=(bij)mnAB=A+(B)=(aij bij)mn6三、数与矩阵的乘法1 1、定义记为 A，即设 是常数，A=(aij)mn ，则矩阵(aij)mn称为数 与矩阵 A 的乘积，数与矩阵相乘数与矩阵相乘=矩阵的每一个元素都与数相乘矩阵的每一个元素都与数相乘72.2.性质设A、B为m n矩阵，、为常数(1)()A=(A)=(A);(2)(A+B)=A+B;(3)(+)A=A+A;(4)1A=A(1)A=A矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.8例1设求A2B.解：92)已知 且A+2X=B，求X.练 习10答 案1)解：11答 案2)解：12四、矩阵乘法1.1.定义并把此乘积记作注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中C Cij ij=A A的第的第i i行与行与B B的第的第j j列元列元素乘积之和素乘积之和13 AB无意义;BA有意义.+第 j 列第 i 行=14例2解：例3 3解：15解：66页练 习16例4 4 设矩阵求乘积AB 和 BA.解：注：AB BA，即矩阵乘法不满足交换律。17练 习试证：(1)AB=O；(2)AC=AD证：67页 6故 AC AD.1819解：更正练 习用yi来表示xi从yi到xi的线性变换从xi到yi的线性变换用xi来表示yi20解：从yi到xi的线性变换从zi到yi的线性变换从zi到xi的线性变换21复 习试证：(1)AB=O；(2)AC=AD证：故 AC AD.两个非零矩阵的乘积有可能是零矩阵22 矩阵乘法的运算规律（其中 为数）;单位矩阵左乘矩阵A、右乘矩阵A的结果仍是原矩阵A 单位矩阵在乘法中相似于1在乘法中的作用23例如24比较：在数的乘法中，若 ab=0 a=0 或 b=0两个非零矩阵乘积可能为O.在矩阵乘法中,若 AB=O A=O 或 B=O在矩阵乘法中,若 AC=AD,且 A O C=D 在数的乘法中，若 ac=ad，且 a 0 c=d (消去律成立)(消去律不成立)25设A和B均为n阶方阵，且满足AB=O，则必有（）.（A）A=O或B=O （B）A+B=O（C）|A|=O或|B|=O （D）|A|+|B|=O思 考26如果AB=BA,则称A,B是可交换的.一般而言，27例5 设某化工厂第一季度各厂的生产情况以及各产品成本和出产价如下表所示：产品产量B1B2B3A1A2203017201210价格产品成本价 出厂价B1B2B3711207.211.320.5问：各厂第一季度各厂生产的各种产品的总产品成本和总出产价为多少？C=AB各厂各种产品的产量各种产品的成本价及出厂价28解：价格 分厂总成本价总出厂价A1567528.1A263064729例6 6 （交通网络模型）右图示明了d 国家三个城市，e 国三个城市，f 国两个城市相互间之道路.d1d2d3e1e2e3f2f1在 d 国家和 e 国家间城市通路情况可用下列形式表示：在 e 国和 f 国间城市通路情况可用下列形式表示：其中：0,1 指城市间的通路数求：d 国家和 f 国家城市通路形式？30解：d 国家和e 国家的通路形式e 国家和f 国家的通路形式e 国家和f 国家的通路形式d1d2d3f2f131)方阵的幂:若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即并且 32例7 7 证明证：33 练 习 题(1)设A，B均是n阶方阵,且试证:B2=E.34 练 习 题(1)设A，B均是n阶方阵,且试证:B2=E.证：35解36例8 8解：67页 83738练 习 题解：39五、矩阵的转置将矩阵A mn的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT。例如：则1.1.定义402 2、转置矩阵的运算性质41例8解：42练 习解：4344对称矩阵(1)若方阵A满足AT=A，即 aji=aij，则称A为对称矩阵。对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.45(2)若方阵A满足AT=A,即 aji=aij，则称A为反对称矩阵。这时 aii=0(i=1,2,n)反对称阵的对角线上的元素全为0.46例9 9证：67页 847例10证：4849解：6666页50解：512、设为3维列向量，T是的转置，若1、设 B为三阶非零矩阵，且AB=O，则t=_。523、53复 习证：于是得，AAT 为反对称阵.于是，A+AT为对称阵.54七、矩阵的行列式定义若|A|0，则称方阵 A 是非奇异(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的。55 性质：(2)|A|=n|A|，(3)|A B|=|A|B|=|B A|(1)|AT|=|A|A m|=|A|m|A 1 A 2 A m|=|A 1|A 2|A m|推广：56例如：有而所以|A B|=|A|B|57矩阵（伴随矩阵的）定义对应元素代数余子式的转置矩阵58解：练 习59例11证：同一行元素乘以相同行元素代数余子式之和为|A|同一行元素乘以不同行元素代数余子式之和为060616263解：练 习6465Q|A您的问题是？善于提问,勤于思考问答环节66结束语感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极的参与。课程后会发放课程满意度评估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和意见，也请写在上边67感谢观看Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentationandmakeitintoafilm68
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