线性代数矩阵的相似对角化课件

1第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 5.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质一、相似矩阵的基本概念与性质二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析三、矩阵相似对角化的方法步骤三、矩阵相似对角化的方法步骤四、矩阵相似对角化的应用四、矩阵相似对角化的应用2第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 一、相似矩阵的基本概念与性质一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念相似矩阵的概念定义定义对于对于 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B，则称则称 A 与与 B 相似相似，称对称对 A 所进行的运算所进行的运算 为对为对 A 进行进行相似变换相似变换。称可逆矩阵称可逆矩阵 P 为把为把 A 变成变成 B 的的相似变换矩阵相似变换矩阵。记为记为若存在可逆的若存在可逆的 n 阶方阵阶方阵 P 使得使得或者称或者称 A 相似于相似于 B，注注矩阵相似是矩阵相似是矩阵等价矩阵等价的一种特殊情况。的一种特殊情况。P144 定义定义 5.2 3第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 一、相似矩阵的基本概念与性质一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质相似矩阵的性质(1)反身性反身性性质性质(2)对称性对称性 若若 则则(3)传递性传递性 若若 则则(4)若若 则则(5)若若 则则 P144 定理定理 5.5 P144 4第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 定理定理若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 与与 B 相似，则相似，则 A 与与 B 有相同的特征多项式有相同的特征多项式,证明证明 因因 A 与与 B 相似，即存在可逆的矩阵相似，即存在可逆的矩阵 P 使得使得即即 A 与与 B 有相同的特征多项式。有相同的特征多项式。从而从而 A 与与 B 有相同的特征值。有相同的特征值。故故一、相似矩阵的基本概念与性质一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质相似矩阵的性质 P144 定理定理5.5(3)5第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析定义定义对于对于 n 阶矩阵阶矩阵 A，则称则称 A 可可相似对角化相似对角化；若存在可逆的若存在可逆的 n 阶方阵阶方阵 P，使得使得记为记为 P145 定义定义 5.3 6第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 P 使使则则则则特别地，特别地，若若二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析好处好处(之一之一)7第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 例例证明矩阵证明矩阵 不能相似对角化。不能相似对角化。证证(反证法反证法)假设存在可逆矩阵假设存在可逆矩阵 P，使得，使得即得即得故它们有相同的特征值，故它们有相同的特征值，由矩阵由矩阵 A 与与 L L 相似，相似，矛盾！矛盾！故矩阵故矩阵 A 不能相似对角化。不能相似对角化。8第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 1.问题分析问题分析(1)L L 如何构成如何构成？L L 的主对角线上的元素由的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。的全部特征值构成。由于由于 是是 L L 的的 n 个特征值，个特征值，而而 A 与与 L L 相似，相似，因此因此 就是就是 A 的的 n 个特征值个特征值.记为记为 所考虑的问题是寻找可逆的所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵阶方阵 P，使得，使得即即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析9第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 1.问题分析问题分析(2)P 如何构成如何构成？P 的列向量由的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。的线性无关的特征向量构成。设设 即即则由则由 有有于是有于是有又因为又因为 P 可逆，可逆，且且 线性无关，线性无关，故故因此因此 是是 A 的的 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.即即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析10第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 A 有有 n 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，推论推论如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个不同的特征值，则矩阵个不同的特征值，则矩阵 A 可以可以相似对角化。相似对角化。定理定理n 阶矩阵阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵能够相似于对角矩阵 的充分必要条件是的充分必要条件是1.问题分析问题分析2.矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件即即 A 每个特征值所对每个特征值所对应的线性无关的特征向量的个数应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于必须恰好等于该特征该特征值的值的重数重数。二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 P145 定理定理 5.6 P146 推论推论2 P145 推论推论111第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 三、矩阵相似对角化的方法步骤三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤步骤(1)求求 n 阶方阵阶方阵 A 的特征值的特征值其其重数重数分别为分别为(2)对每一个特征值对每一个特征值 求矩阵求矩阵 A 特征向量，特征向量，并找出其中线性无关的特征向量，其并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数最大个数为为(3)若若 则则 A 不能相似对角化；不能相似对角化；(4)若若从而有从而有则以这些特征向量作为列向量构成矩阵则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，12第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 其中其中个个个个个个三、矩阵相似对角化的方法步骤三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤步骤(4)若若从而有从而有则以这些特征向量作为列向量构成矩阵则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，13第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 三、矩阵相似对角化的方法步骤三、矩阵相似对角化的方法步骤(2)因因 是是 的基础解系中的解向量，的基础解系中的解向量，故故 的的因此因此 P 也也不是唯一不是唯一的。的。(3)由于由于 的根只有的根只有 n 个个(重根按重数计算重根按重数计算)，所以所以则则 是唯一是唯一的。的。如果不计特征值的排列顺序，如果不计特征值的排列顺序，几点说明几点说明(1)P 中的列向量中的列向量(即即特征向量特征向量)的排列顺序要与的排列顺序要与特征值的顺序一致。特征值的顺序一致。取法不是唯一的。取法不是唯一的。14第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 例例试将矩阵试将矩阵 相似对角化。相似对角化。解解令令(三重根三重根)得得 A 的特征值为的特征值为由由得得 A 的特征向量为的特征向量为显然，最多能找到显然，最多能找到两个两个线性无关的特征向量，线性无关的特征向量，因此矩阵因此矩阵 A 不能相似对角化。不能相似对角化。15第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 例例将矩阵将矩阵 相似对角化，并求相似对角化，并求解解(1)由由得得 A 的特征值为的特征值为对对 对对 取取特征向量特征向量令令 则则 (重根重根)(单根单根)取取特征向量特征向量16第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 解解有有(2)由由例例将矩阵将矩阵 相似对角化，并求相似对角化，并求17第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 则则 P 可逆，可逆，解解(1)令令且且例例设三阶方阵设三阶方阵 A 的三个特征值为的三个特征值为 且且对应的特征向量分别是对应的特征向量分别是求矩阵求矩阵 A 和和18第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 (2)因此有因此有19第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 证证(1)由题意可知：由题意可知：n 维基本向量维基本向量 是是 A 的特征向量，的特征向量，例例设任意非零设任意非零 n 维向量都是维向量都是 n 阶方阵阶方阵 A 的特征向量，的特征向量，证明证明 A 为数量阵。为数量阵。令令即即则存在则存在 使得使得20第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 例例设任意非零设任意非零 n 维向量都是维向量都是 n 阶方阵阶方阵 A 的特征向量，的特征向量，证证(2)又又 n 维向量维向量 也是也是 A 的特征向量，的特征向量，证明证明 A 为数量阵。为数量阵。故存在故存在 使得使得即即因此因此即即 A 为数量阵。为数量阵。21第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 例例四、矩阵相似对角化的应用四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题人口流动问题P148 例例1022第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 第一年末城乡人口为第一年末城乡人口为解解(1)设最初城市和农村人口分别为设最初城市和农村人口分别为即即第第 k 年末城乡人口为年末城乡人口为即即记记则有则有23第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 (2)由由求得求得 A 的特征值为的特征值为它们对应的特征向量分别为它们对应的特征向量分别为令令则则且且因而有因而有24第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 (3)第第 k 年末城乡人口为年末城乡人口为故故当当 时，时，即当即当 时，城与农村的人口之比为时，城与农村的人口之比为 2:1.25第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 由由 A 的特征值为的特征值为对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为故第故第 k 年末城乡人口为年末城乡人口为注注本题还可以直接利用本题还可以直接利用特征值特征值与与特征向量特征向量的性质来求解的性质来求解(线性无关线性无关)有有26第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 例例求解求解常系数常系数线性线性常微分常微分方程组方程组四、矩阵相似对角化的应用四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题人口流动问题2.微分方程组求解问题微分方程组求解问题其中，其中，设想设想:假如假如微分微分方程组为方程组为则它们是三个独立则它们是三个独立其解非常容易得到其解非常容易得到.的齐次型的齐次型微分微分方程方程,27第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 解解(1)将微分方程组改写为矩阵形式将微分方程组改写为矩阵形式令令简记为简记为则微分方程组则微分方程组 可改写为可改写为简写为简写为简记为简记为28第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 解解(2)将矩阵将矩阵 A 相似对角化相似对角化由由得得 A 的特征值为的特征值为对对 对对 特征向量为特征向量为特征向量为特征向量为令令 则则 (重根重根)(单根单根)29第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 解解(3)将微分方程组将微分方程组“化简化简”有有由由则微分方程组变为则微分方程组变为令令则则相应地，微分方程组相应地，微分方程组“化简化简”为为即即30第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 解解(4)求解微分方程组求解微分方程组对微分方程组对微分方程组 求解可得：求解可得：故原方程组的解为故原方程组的解为即即其中其中 为任意常数。为任意常数。31第五章 相似矩阵 5.2 矩阵的相似对角化 轻松一下吧