线性代数4-3节-课件

3 3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列矩阵的行秩与列秩秩 3.1 3.1 向量组的秩向量组的秩 (P95）定义定义3.13.1 设有向量组设有向量组A：1，2，s，如，如果在果在A中存在中存在 r 个向量个向量A0:满足满足 1）向量组）向量组A0线性无关；线性无关；2）向量组）向量组A中任一向量可用中任一向量可用A0线性表示，线性表示，则称向量组则称向量组 A0是向量组是向量组 A的一个极大线性无关组（简称的一个极大线性无关组（简称极极大无关组大无关组）。极大无关组所含向量的个数）。极大无关组所含向量的个数 r 称为向量组称为向量组A的秩。的秩。向量组向量组1,2,s 的秩可记为的秩可记为R(1,2,s)。1、零向量组的秩规定为零向量组的秩规定为0（没有极大无关组）。（没有极大无关组）。2、一个向量组的极大无关组通常不唯一。一个向量组的极大无关组通常不唯一。由定义由定义3.1可得下面的结论：可得下面的结论：i)向量组线性无关的充分必要条件是向量组向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该组向量的个数；向量组线性相关的的秩等于该组向量的个数；向量组线性相关的充分必要条件是向量组的秩小于该组向量的个充分必要条件是向量组的秩小于该组向量的个数。数。说明：说明：ii)向量组向量组A的部分组的部分组A0:为为A的的极大无关组的充分必要条件是极大无关组的充分必要条件是 1）向量组向量组A0线性无关；线性无关；2）向量组向量组A中任意中任意r+1个向量（如果存在的话）个向量（如果存在的话）线性相关。线性相关。iii)如果向量组如果向量组A的秩为的秩为r（r0），则），则A中任意中任意 r个线性无关的向量都是个线性无关的向量都是A的一个极大无关组。的一个极大无关组。的秩为的秩为2,1,2;1,3;2,3都是该向量组的极大都是该向量组的极大无关组。无关组。例如向量组例如向量组在这里，在这里，证证：设向量组设向量组A0：1,2,r是是 A的极大无关组的极大无关组,则则A0是是A的部分组的部分组,故故 A0 总能由总能由 A 线性表示；由线性表示；由极大无关组的定义知，对于极大无关组的定义知，对于A中任意向量中任意向量，有，有r+1个向量个向量1,2,r,线性相关，而线性相关，而1,2,r线线性无关，由定理性无关，由定理2.4知知能由能由1,2,r线性表示，线性表示，即向量组即向量组A能由能由A0线性表示。所以向量组线性表示。所以向量组A与与A0等等价。价。定理定理3.13.1 向量组与其任意极大无关组等价。向量组与其任意极大无关组等价。（书（书P96）定理定理3.23.2 设向量组设向量组能由向量组能由向量组线性表示，线性表示，则向量组则向量组的秩不大于向量组的秩不大于向量组的秩。的秩。推论推论3.13.1 一个向量组的任意两个极大无关组等价。一个向量组的任意两个极大无关组等价。推论推论3.23.2 一个向量组的秩是唯一确定的一个向量组的秩是唯一确定的（推论推论2.6）证明：证明：设向量组设向量组的一个极大无关组的一个极大无关组0：1,2,r，向量组向量组的一个极大无关组的一个极大无关组0：1,2,s。由。由定理定理3.1可知向量组可知向量组0能由能由线性表示，而向量组线性表示，而向量组又能由又能由线性表示，向量组线性表示，向量组又能由又能由0线性表示，线性表示，故向量组故向量组0能由能由0线性表示，由线性表示，由推论推论2.5便知便知rs.定理定理3.33.3 等价的向量组的秩相等。等价的向量组的秩相等。证证:设向量组设向量组与向量组与向量组的秩分别为的秩分别为 r 和和 s，因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故示，故 r s与与 s r 同时成立，所以同时成立，所以s=r。例例1 1 向量组向量组能由向量组能由向量组线性表示线性表示，且它，且它们的秩相等，试证向量组们的秩相等，试证向量组与向量组与向量组等价。等价。注注:秩相等的向量组不一定等价秩相等的向量组不一定等价.(书书P96）证明：证明：设向量组设向量组：，是由向量是由向量组组和和合并成的向量组，向量组合并成的向量组，向量组和和的秩的秩均为均为r。因为向量组。因为向量组能由向量组能由向量组线性表示线性表示，故向量组，故向量组能由能由向量组向量组线性表示线性表示。而。而向量组向量组是是向量组向量组的部分组，故的部分组，故向量组向量组总总能由能由向量组向量组线性表示线性表示，所以，所以向量组向量组与与向量组向量组等价等价，由，由定理定理3.3知，向量组知，向量组的秩为的秩为r。又因为向量组。又因为向量组秩为秩为 r，且向量，且向量组组也是也是向量组向量组的部分组，的部分组，所以向量组所以向量组的极大无关组也可作为向量的极大无关组也可作为向量组组的一个极大无关组。由的一个极大无关组。由定理定理3.1，向量，向量组组与向量组与向量组的一个极大无关组等价的一个极大无关组等价,从从而向量组而向量组与向量组与向量组等价等价，由等价的传，由等价的传递性递性 推知，向量组推知，向量组与向量组与向量组等价。等价。3.2 3.2 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩 定义定义3.23.2 矩阵矩阵A的行向量组的秩成为的行向量组的秩成为A的的行秩行秩，矩阵矩阵A的列向量组的秩成为的列向量组的秩成为A的的列秩列秩。（书（书P97)例例2 2 设矩阵设矩阵 则显然则显然A的秩为的秩为2，A的行向量组的行向量组为为1=(1,1,1),2=(0,1,2),3=(0,0,0).易见，易见，1，2是是A的行向量组的一个极大无关组，的行向量组的一个极大无关组，因此因此A的行秩是的行秩是2。A的列向量组为的列向量组为 由于由于1，2线性无关，线性无关，3=22-1，故故1，2是是A的列向量组的一个极大无关组，的列向量组的一个极大无关组，因而因而A的列秩为的列秩为2。在例在例2中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩。那末，这一结论是否具有普遍意义呢？下列秩。那末，这一结论是否具有普遍意义呢？下面的定理回答了这个问题。面的定理回答了这个问题。定理定理3.43.4 矩阵的秩等于其行秩，也等于其列秩。矩阵的秩等于其行秩，也等于其列秩。证明：证明：设设A=(1,2,m)，R(A)=r，并设，并设 r 阶阶子式子式 Dr 0。根据推论根据推论2.1和和Dr 0知知,Dr所在的所在的r个个列向量线性无关；又由于列向量线性无关；又由于A中所有中所有r+1阶子式均为阶子式均为零零,故故A中任意中任意 r+1个列向量都线性相关。因此个列向量都线性相关。因此Dr所在的所在的 r 列是列是 A的列向量组的一个极大无关组的列向量组的一个极大无关组,所所以以A的列秩等于的列秩等于r。即矩阵。即矩阵A的秩等于的秩等于A的列秩。的列秩。同理可证矩阵同理可证矩阵A的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于R(A)。（书（书P97）由此可见由此可见：若若Dr是矩阵是矩阵A的一个最高阶非零的一个最高阶非零子式，则子式，则Dr所在的所在的r列即是列向量组的一个极大列即是列向量组的一个极大无关组，无关组，Dr所在的所在的r行即是行向量组的一个极大行即是行向量组的一个极大无关组。因为初等变换不改变矩阵的秩，从而无关组。因为初等变换不改变矩阵的秩，从而不改变其行秩和列秩，所以不改变其行秩和列秩，所以用初等变换可以求用初等变换可以求向量组的秩和极大无关组向量组的秩和极大无关组。求矩阵求矩阵A的列向量组的列向量组 的的一个极大无关组，并把不是极大无关组的列向量一个极大无关组，并把不是极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。用极大无关组线性表示。例例3 3 设矩阵设矩阵解：解：对对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵 显然显然R(A)=3,故列向量组的极大无关组含故列向量组的极大无关组含 3个个列向量。而三个非零行的非零首元在列向量。而三个非零行的非零首元在1、2、4三列三列上，故上，故 1,2,4为列向量组的一个极大无关为列向量组的一个极大无关组。这是因为：组。这是因为：知知 R(1,2,4)=3,故故1,2,4线性无关。线性无关。为把为把3,5用用1,2,4线性表示，把线性表示，把A再变再变 成成最简形矩阵最简形矩阵显然，显然，3=12，5=41+3234。因为初等行变换不改变列向量组间的线性关系，因为初等行变换不改变列向量组间的线性关系，所以有所以有说明：说明：1).这一结论表明这一结论表明,初等行变换不改变列向初等行变换不改变列向 量组间的线性关系量组间的线性关系.这是因为这是因为,秩不变秩不变,极大极大 无关列的序号也没变无关列的序号也没变;2).向量组的极大无关组不唯一向量组的极大无关组不唯一.通常取的通常取的是行阶梯形矩阵中非零行的是行阶梯形矩阵中非零行的首非零元所对首非零元所对应的原向量构成的向量组应的原向量构成的向量组;4）本例题型是常见考试题，请多关注。）本例题型是常见考试题，请多关注。5）类型题）类型题：书：书P98例例3.3、习题课教程、习题课教程P90例例10课堂练习：课堂练习：书书P100(A)-4（书（书P99)定理定理3.53.5 设设A、B均为均为mn矩阵，则矩阵，则R(A+B)R(A)+R(B)。证明：证明：显然显然A+B的列向量组可由的列向量组可由A的列向的列向量组和量组和B的列向量组线性表示。设的列向量组线性表示。设R(A)=s，R(B)=t，不妨设不妨设1,2,s是是A的列向量组的的列向量组的一个极大无关组，一个极大无关组，1,2,t是是B的列向量组的列向量组的一个极大无关组。由于向量组与它的极大的一个极大无关组。由于向量组与它的极大无关组等价无关组等价,由传递性知由传递性知A+B的列向量组可由的列向量组可由向量组向量组1,2,s,1,2,t线性表示线性表示,根据定理根据定理3.23.2，有，有=R(A)+R(B)。s+tR(1,2,s,1,2,t)R(A+B)=(A+B)的列秩的列秩 定理定理3.63.6 设设Cmn=Ams Bsn，则则 证明：证明：将矩阵将矩阵C 和和 A用其列向量表示为用其列向量表示为C=(c1,c2,cn),A=(a1,a2,as),B=(bij),由由 知矩阵知矩阵 C 的列向量组能由的列向量组能由 A的列向量组线性表的列向量组线性表示，因此示，因此R(C)R(A)。又因又因 CT=BTAT,同理可证同理可证R(C T)R(BT)。即即 R(C)R(B)。例例4 4 已知已知证明证明:向量组向量组 1,2与与 1,2等价。等价。证一：证一：要证存在要证存在2阶方阵阶方阵X、Y，使，使(1,2)X=(1,2)(1,2)Y=(1,2)先求先求X，对增广矩阵，对增广矩阵(1,2,1,2)施行初等施行初等行变换变为行最简形矩阵：行变换变为行最简形矩阵：(1,2,1,2)即得即得1,2与与 1,2等价。等价。因因|X|=10,知知X可逆，取可逆，取Y=X-1,即合所求。因即合所求。因此向量组此向量组 证二：证二：显然显然1,2线性无关，线性无关，1,2也线性也线性 无关，而无关，而(1,2,1,2)知知R(1,2,1,2)=2。因此。因此1,2与与1,2都是向量组都是向量组1,2,1,2的极大无关组，所以的极大无关组，所以1,2与与1,2等价。等价。最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换小小 结结1、P86（B)第第3题题证：证：因为因为 能由能由 线性表示，即有线性表示，即有2、（书、（书P94(A)第第9题）题）两端取行列式得，两端取行列式得，由推论由推论2.2知知证明：证明：必要性必要性由由 线性无关线性无关,对于任意对于任意n维向量维向量 ,都有都有 线性相关线性相关,所以任意向量所以任意向量 都可由向量组都可由向量组 线性表示线性表示;3、书、书P94(A)第第10题题充分性充分性:由任意由任意n维向量都可由向量组维向量都可由向量组 线性表示线性表示,所以单位坐标向量组所以单位坐标向量组可由可由 线性表示线性表示,由上题可知由上题可知线性无关线性无关.4、（书、（书P95(A)第第11题、题、参考习参考习P91例例12）5、（书、（书P95（B)第第5题、题、习习P91例例12）6、书、书P95（B)第第6题、习题、习P87例例4 7、书、书P95（B)第第7题、习题、习P88例例7