磁流体力学课件

第第4章章 磁流体力学磁流体力学n磁磁流流体体力力学学研研究究导导电电流流体体在在电电磁磁场场中中运运动动规规律的一种宏观理论。律的一种宏观理论。n因因为为等等离离子子体体可可以以看看成成导导电电流流体体，其其运运动动通通常常又又和和电电磁磁场场结结合合在在一一起起，而而等等离离子子体体的的某某些些现现象象或或行行为为只只与与它它的的宏宏观观平平均均性性质质有有关关，因因此此可可以以近近似似地用磁流体力学来描写。地用磁流体力学来描写。n磁磁流流体体力力学学是是把把流流体体力力学学与与电电动动力力学学结结合合起起来来描描述述导导电电流流体体在在电电磁磁场场中中运运动动的的一一种种理理论论，它它的的基基本方程式包括电动力学方程组和流体力学方程组。本方程式包括电动力学方程组和流体力学方程组。第4章 磁流体力学磁流体力学研究导电流体在电磁场中运动1等离子体的流体力学描述等离子体的流体力学描述及磁流体力学方程组及磁流体力学方程组 n等等离离子子体体的的流流体体力力学学描描述述，通通常常是是用用体体系系的的状状态态量：流体元的量：流体元的 质量密度质量密度 或数密度或数密度 速度速度 能量密度能量密度 或温度或温度 等，等，这这些些状状态态量量都都是是时时间间t t 和和t t时时刻刻流流体体元元空空间间位位置置r r的的函函数数。要要研研究究这这些些状状态态量量的的时时间间演演化化规规律律，需需要建立流体力学方程组要建立流体力学方程组。n流流体体力力学学方方程程组组可可以以从从体体系系的的动动理理学学方方程程的的矩矩方方程程得得到到；从从物物理理上上比比较较直直观观的的、唯唯象象的的方方法法导导出出。现在应用前一种方法推导磁流体力学方程组。现在应用前一种方法推导磁流体力学方程组。等离子体的流体力学描述及磁流体力学方程组 等离子体的流体力24.1 速度矩及矩方程速度矩及矩方程 1.速度矩速度矩 建立宏观与微观的联系建立宏观与微观的联系n等等离离子子体体中中包包含含有有一一种种以以上上正正电电荷荷离离子子和和电电子子，设设类粒子的分布函数为类粒子的分布函数为 它满足动理学方程它满足动理学方程 右右边边项项简简化化为为 ，表表示示各各类类粒粒子子间间碰碰撞撞引引起的分布函数变化。起的分布函数变化。4.1 速度矩及矩方程 1.速度矩3（1）速度矩定义：速度矩定义：设设 ，则速度矩定义为，则速度矩定义为 其中其中 为粒子数密度，符号为粒子数密度，符号表表示对速度分布求平均。示对速度分布求平均。（2）零阶、一阶、二阶和三阶矩）零阶、一阶、二阶和三阶矩 （i）零阶矩零阶矩 质量密度或体密度质量密度或体密度 （1）速度矩定义：4（ii）一阶矩）一阶矩 流体平均速度流体平均速度n定义：定义：表明表明w是无规热运动速度。是无规热运动速度。（iii）二阶矩）二阶矩 2阶张量，阶张量，9个分量个分量 （ii）一阶矩5n式中热压强张量式中热压强张量n对角项对角项n非对角项是对称的，只有非对角项是对称的，只有3 3个独立分量：个独立分量：n如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局域性麦克斯韦分布域性麦克斯韦分布 式中热压强张量6n用局域性麦克斯韦分布得用局域性麦克斯韦分布得 的对角项就是热压强。的对角项就是热压强。n粒子系的总动能密度粒子系的总动能密度 第一项为单位体积流体平均运动动能，第二项为第一项为单位体积流体平均运动动能，第二项为热运动动能。热运动动能。用局域性麦克斯韦分布得7n定义：定义：为对称张量，为对称张量，只有只有6个非对角项，个非对角项，3个分量是个分量是独立的，其意义为独立的，其意义为粘滞应力张量。粘滞应力张量。（iv）三阶矩三阶矩 有有27个分量，但有明确物理意义的只有其中个分量，但有明确物理意义的只有其中3个个分量：分量：定义：8n定义：定义：n各各项项意意义义：右右为为流流体体宏宏观观流流动动带带走走的的总总动动能能；为为流流体体宏宏观观流流动动时时压压强强张张量量做做的的功功率率，当当 u=0时时，这这两两项项都都为为0；称称热热流流矢矢量量，即即使使u=0，也也存存在在，它它是是由由碰碰撞撞产产生生的的热热量量从从高高温温流流体体元元到低温流体元的流动。到低温流体元的流动。磁流体力学课件92.速度矩方程速度矩方程n在动理学方程中的各项乘以在动理学方程中的各项乘以 ，并对，并对 积分，积分，即可得到一般的速度矩方程。即可得到一般的速度矩方程。n第三项粒子受的力第三项粒子受的力 2.速度矩方程10n上式分部积分的第一项为上式分部积分的第一项为0，这是因为边界条件：，这是因为边界条件：n对洛仑兹力项也可用分部积分方法计算，除边界对洛仑兹力项也可用分部积分方法计算，除边界条件外，还有条件外，还有 磁流体力学课件11n最后的最后的一般速度一般速度矩方程：矩方程：磁流体力学课件124.2 等离子体的双流体力学方程等离子体的双流体力学方程 n一般的矩方程中，物理上有意义的只有零阶、一一般的矩方程中，物理上有意义的只有零阶、一阶、二阶三种矩，它们是与质量、动量、能量守阶、二阶三种矩，它们是与质量、动量、能量守恒相联系的。对普通流体，这三种矩方程可得到恒相联系的。对普通流体，这三种矩方程可得到流体力学方程组。流体力学方程组。n对于等离子体，至少含有一种正离子和电子，如对于等离子体，至少含有一种正离子和电子，如果正离子和电子没有达到平衡，这样离子和电子果正离子和电子没有达到平衡，这样离子和电子作为两种不同粒子，就相应有两种不同的流体方作为两种不同粒子，就相应有两种不同的流体方程，称双体力学方程。程，称双体力学方程。n在在计计算算矩矩方方程程碰碰撞撞项项的的贡贡献献时时，假假定定没没有有粒粒子子的的电离、复合等情况，即都只发生弹性碰撞。电离、复合等情况，即都只发生弹性碰撞。4.2 等离子体的双流体力学方程 一般的矩方程中，物理上有意13（1）粒子数守恒方程（或连续性方程）粒子数守恒方程（或连续性方程）令令 得得n连续性方程连续性方程 因为只发生弹性碰撞，碰撞过程粒子数守恒，所以因为只发生弹性碰撞，碰撞过程粒子数守恒，所以碰撞项碰撞项 令粒子令粒子质量质量m，则质量密度则质量密度n质量守恒方程质量守恒方程 （1）粒子数守恒方程（或连续性方程）14（2）流体元运动方程）流体元运动方程令令 ，一阶矩方程，一阶矩方程n注意：注意：流体元以平均速度流体元以平均速度u 运动所受的洛仑兹力运动所受的洛仑兹力 n碰撞项碰撞项 R为摩擦阻力为摩擦阻力 n最后得最后得流体元的流体元的运动方程运动方程（2）流体元运动方程15n利用粒子数守恒方程，流体元利用粒子数守恒方程，流体元运动方程简化运动方程简化为为n左边表示流体元动量变化率，左边表示流体元动量变化率，n右边各项意义是流体元所受的力：右边各项意义是流体元所受的力：nF为电磁场力，为电磁场力，是热压力，是热压力，是粘滞是粘滞力，力，R为为粒子与不同粒子与不同粒子弹性碰撞后，粒子弹性碰撞后，粒子失去粒子失去的动量，即流体元受到一个摩擦阻力。注意的动量，即流体元受到一个摩擦阻力。注意同类同类粒子弹性碰撞动量守恒，所以同类粒子间碰撞对粒子弹性碰撞动量守恒，所以同类粒子间碰撞对R无贡献。无贡献。利用粒子数守恒方程，流体元运动方程简化为16（3）能量平衡方程）能量平衡方程 令令由矩方程得由矩方程得最后两项是弹性碰撞的贡献最后两项是弹性碰撞的贡献 （3）能量平衡方程17nQ是是不同类粒子不同类粒子的弹性碰撞引起的能量交换，的弹性碰撞引起的能量交换，因因为弹性碰撞动能守恒，为弹性碰撞动能守恒，同类粒子间的碰撞无贡献。同类粒子间的碰撞无贡献。n总动能守恒方程总动能守恒方程(能量平衡方程能量平衡方程)n右右从流体元表面流入的净能流；从流体元表面流入的净能流；电场对流体电场对流体元做的功率即欧姆加热功率；元做的功率即欧姆加热功率；碰撞摩擦阻力做碰撞摩擦阻力做的功率；的功率；不同类粒子碰撞交换的能量。不同类粒子碰撞交换的能量。磁流体力学课件18n应用粒子数守恒方程、运动方程，应用粒子数守恒方程、运动方程，能量平衡方能量平衡方程简化为程简化为（热能平衡方程热能平衡方程）n右方各项的物理意义：右方各项的物理意义：内摩擦（粘滞力）做的内摩擦（粘滞力）做的功率；功率；热传导；热传导；碰撞引起的热能交换。如果，碰撞引起的热能交换。如果，u=0则表明流体元的温度变化仅来源于热传导和则表明流体元的温度变化仅来源于热传导和碰撞引起的热交换。碰撞引起的热交换。n上面方程的简化计算并不难，但比较冗长。上面方程的简化计算并不难，但比较冗长。n令令 直接进行计算可能更简便些直接进行计算可能更简便些。但在计算中应当但在计算中应当注意注意：应用粒子数守恒方程、运动方程，能量平衡方程简化为（热能平衡方19n各项计算结果如下：各项计算结果如下：n 各项计算结果如下：20n21 第第1项项=0，因为，因为 第第2项项=0，因为，因为 出现两次：出现两次：22n碰撞项碰撞项n将将以以上上各各项项计计算算结结果果代代入入矩矩方方程程就就可可以以得得到到热热能能形式的平衡方程形式的平衡方程 碰撞项23等离子体双流体方程组等离子体双流体方程组 n加上加上角标角标等离子体双流体方程组 加上角标24n受的力场：受的力场：n其中其中nE0和和B0是是外外场场，E1和和B1为为等等离离子子体体本本身身的的电电荷荷、电电流流产产生生的的场场，称称为为波波场场。波波场场是是与与双双流流体体方方程程耦合的麦克斯韦方程组确定。耦合的麦克斯韦方程组确定。受的力场：25n波场满足波场满足麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组：波场满足麦克斯韦方程组：26n由动理学方程求速度矩得到的双流体力学方程组由动理学方程求速度矩得到的双流体力学方程组是是严格的、精确的，但是它不封闭严格的、精确的，但是它不封闭。在求每一阶。在求每一阶矩方程时，总含有更高一阶矩的分量，所以无论矩方程时，总含有更高一阶矩的分量，所以无论如何增加矩方程的阶数，方程组都不可能封闭。如何增加矩方程的阶数，方程组都不可能封闭。n在一定条件下，略去高阶矩，或高阶矩用低阶矩在一定条件下，略去高阶矩，或高阶矩用低阶矩表示，这样才能获得封闭的矩方程组。表示，这样才能获得封闭的矩方程组。n例如，对于冷等离子体，因热能很小，压强张量例如，对于冷等离子体，因热能很小，压强张量和热流矢量都可以忽略，即和热流矢量都可以忽略，即 ，这，这样高阶矩被截断，方程组可以闭合。另一种情况，样高阶矩被截断，方程组可以闭合。另一种情况，碰撞频繁或占优势，流体接近平衡的麦克斯韦分碰撞频繁或占优势，流体接近平衡的麦克斯韦分布，布，和和 q 都是微小的量，可以用都是微小的量，可以用Chapman-Enskog展开方法截断。展开方法截断。方程组就可封闭方程组就可封闭。由动理学方程求速度矩得到的双流体力学方程组是严格的、精确的，27封闭的双流体方程组封闭的双流体方程组n上面方程组中含有独立未知函数：上面方程组中含有独立未知函数：n、u、T(=i,e)共共10个，个，不是独立的，正好不是独立的，正好方程数目也方程数目也10个个。封闭的双流体方程组28n波波场场E1、B1的的麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组，再再加加上上电电荷荷连连续续性性方方程程，E1与与电电流流密密度度 j 的的欧欧姆姆定定律律，这这样样共共有有E1、B1、e（电电荷荷密密度度）、j（电电流流密密度度）共共10个个未未知知函函数数，而而相相应应的的也也有有确确定定这这些些函函数数的的10个个方方程程。因因此此双双流流体体方方程程组组及及与与电电磁磁场场的的耦耦合合共共有有20个方程，确定个方程，确定20个未知函数。个未知函数。n在在双双流流体体方方程程组组中中，如如果果只只考考虑虑外外场场作作用用，而而忽忽略略波波场场E1、B1，这这样样就就不不需需要要与与之之耦耦合合的的麦麦克克斯斯韦方程组，于是就变成韦方程组，于是就变成输运方程组输运方程组。n如如果果忽忽略略碰碰撞撞项项，同同时时也也不不考考虑虑粘粘滞滞力力，而而且且取取 Ti=Te=常常量量,只只考考虑虑波波场场的的作作用用，这这样样需需保保留留波波场场的的麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组，于于是是就就得得到到描描述述等等离离子子体体波波的双流体方程组。的双流体方程组。波场E1、B1的麦克斯韦方程组，再加上电荷连续性方程，E1与294.3 磁（单）流体力学方程磁（单）流体力学方程 n当等离子体中的电子和离子之间有很强的耦合，当等离子体中的电子和离子之间有很强的耦合，电中性条件上总是满足，而且研究的问题随时间电中性条件上总是满足，而且研究的问题随时间变化很缓慢，离子、电子的流动速度都小于离子变化很缓慢，离子、电子的流动速度都小于离子热运动的速度，这样可以把电子、离子看成一种热运动的速度，这样可以把电子、离子看成一种流体，即单流体模型，它所满足的运动方程组称流体，即单流体模型，它所满足的运动方程组称单流体方程，或称单流体方程，或称磁流体力学方程磁流体力学方程。n磁流体力学方程但可以从双流体方程组导得。磁流体力学方程但可以从双流体方程组导得。4.3 磁（单）流体力学方程 当等离子体中的电子和离子之间有30n定义单流体的宏观物理量：定义单流体的宏观物理量：粒子数密度粒子数密度 质量密度质量密度 电荷密度电荷密度 质心速度质心速度 热运动速度热运动速度n注意：注意：热运动速度是热运动速度是以质心运动速度以质心运动速度 u作参考的作参考的 定义单流体的宏观物理量：31n注意：注意：热运动速度是热运动速度是以质心运动速度以质心运动速度 u作参考的作参考的n压强张量压强张量 对角项分量对角项分量n总压强张量总压强张量 其中其中 （两种粒子温度相同）（两种粒子温度相同）n热流矢量热流矢量n总热流矢量总热流矢量 注意：热运动速度是以质心运动速度 u作参考的32n单流体速度矩的表示式单流体速度矩的表示式（1）（2）单流体速度矩的表示式33（3）n根据以上定义和速度矩的计算结果，可以应用双根据以上定义和速度矩的计算结果，可以应用双流体方程，对不同种类粒子求和得到单流体方程。流体方程，对不同种类粒子求和得到单流体方程。（3）34n为了计算方便，双流体方程组取为了计算方便，双流体方程组取方程方程(1)(1)乘上乘上m，并对，并对=i,e两式相加得两式相加得n单流体的连续性方程单流体的连续性方程 为了计算方便，双流体方程组取35n类似方法，由方程（类似方法，由方程（2）n得得n因为总动量守恒因为总动量守恒n电中性电中性n方程变为方程变为n最后最后得得运动方程运动方程 类似方法，由方程（2）36由方程由方程(3)求和得求和得单流体能量平衡方程单流体能量平衡方程碰撞项（总动能守恒）碰撞项（总动能守恒）方方程程左左方方第第1项项为为流流体体元元总总能能量量的的变变化化率率；第第2项项 经经流流体体元元表表面面流流出出去去的的净净能能流流，它它分分三三个个部部分分：热热传传导导流流出出的的能能量量、流流出出的的总总能能流流和和压压强强张张量量做做的功率，在右方为电场做的功率（欧姆加热）的功率，在右方为电场做的功率（欧姆加热）由方程(3)37n现在求得的现在求得的3个单个单流体方程，仍存在速度矩不封流体方程，仍存在速度矩不封闭问题。闭问题。n对对于于单单流流体体模模型型，等等离离子子体体行行为为变变化化更更为为缓缓慢慢，其其特特征征时时间间远远大大于于粒粒子子间间平平均均碰碰撞撞时时间间，因因而而碰碰撞撞更更加加充充分分，使使不不同同成成分分的的流流体体元元都都处处在在以以质质心心运运动动速速度度为为u的的局局部部热热平平衡衡状状态态。因因此此可可以以应应用用局域性平衡的麦克斯韦速度分布局域性平衡的麦克斯韦速度分布零级近似得零级近似得n如如果果实实际际分分布布函函数数与与平平衡衡态态偏偏离离不不远远，结结果果仍仍近近似成立，这样单流体方程组就是封闭的。似成立，这样单流体方程组就是封闭的。现在求得的3个单流体方程，仍存在速度矩不封闭问题。38n能量方程简化，计算是繁琐的，这里省略，其结能量方程简化，计算是繁琐的，这里省略，其结果为果为n两边再乘以两边再乘以 后得后得单流体能量方程单流体能量方程n运动导体的欧姆定律为运动导体的欧姆定律为n再再加加上上电电磁磁场场中中麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组，最最后后得得磁磁（单单）流体力学方程组流体力学方程组 能量方程简化，计算是繁琐的，这里省略，其结果为39磁（单）流体力学方程组磁（单）流体力学方程组 磁（单）流体力学方程组 40n共共有有14个个方方程程和和需需要要由由方方程程确确定定的的，u，p，j，E，B等等14个未知物理量，所以方程组是闭合的。个未知物理量，所以方程组是闭合的。n现现在在对对这这些些基基本本方方程程式式作作一一些些说说明明。在在运运动动方方程程和能量方程中和能量方程中 是运流导数，即跟随流体元运动的时间微分算符是运流导数，即跟随流体元运动的时间微分算符n在在麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组中中，因因为为在在磁磁流流体体中中场场的的变变化化比比较较缓缓慢慢，忽忽略略了了位位移移电电流流项项；如如果果场场的的变变化化较较快快，则则位位移移电电流流项项要要保保留留。两两个个散散度度方方程程只只作作为为初初始始条条件件，在在这这里里没没有有被被列列入入。在在有有些些问问题题中中，由由于于正正负负电电荷荷分分离离，破破坏坏了了电电中中性性，存存在在空空间间电电荷荷密密度度，则则方方程程应应保保留留 。这这样样增增加加了了一一个方程，相应地也增加了一个未知量电荷密度。个方程，相应地也增加了一个未知量电荷密度。共有14个方程和需要由方程确定的，u，p，j，E，B等1441理想磁流体力学方程组理想磁流体力学方程组 n无粘滞性、绝热、理想导体（无粘滞性、绝热、理想导体（）理想磁流体力学方程组 无粘滞性、绝热、理想导体（424.4 磁压强与磁应力磁压强与磁应力n单位体积导电流体所受的磁力单位体积导电流体所受的磁力 其中其中 称麦克斯韦应力张量（磁场部分）。称麦克斯韦应力张量（磁场部分）。在等离子体物理中称在等离子体物理中称磁应力张量磁应力张量n磁力的一种新解释。取一体积磁力的一种新解释。取一体积V 4.4 磁压强与磁应力单位体积导电流体所受的磁力43n磁力的一种新解释。取一体积磁力的一种新解释。取一体积Vn式中式中 代代表表法法向向矢矢量量为为n的的单单位位面面元元上上的的应应力力，称称磁磁应应力力，其其中中第第1项项表表示示沿沿磁磁力力线线方方向向、大大小小B2/0为为的的张张力力，第第2项项是是大大小小为为B2/20、方方向向与与n相相反反的的各各向向同同性性的的磁磁压压强强，因因此此流流体体所所受受的的磁磁力力等等效效于于各各向向同同性性的的磁磁压压强强（B2/20）和和沿沿磁磁力力线线方方向向张力（张力（B2/0）之和。）之和。n磁磁力力线线好好像像拉拉紧紧的的橡橡皮皮筋筋，沿沿力力线线方方向向是是张张力力，磁磁场场增增强强张张力力也也增增大大。如如果果磁磁力力线线是是弯弯曲曲的的，这这个张力就可产生一指向磁力线曲率中心的恢复力。个张力就可产生一指向磁力线曲率中心的恢复力。磁力的一种新解释。取一体积V44n在运动方程中考虑动力压强作用，流体总的受力在运动方程中考虑动力压强作用，流体总的受力n新定义的新定义的 为流体所受的为流体所受的总的应力张量总的应力张量。n如果如果B沿沿z轴方向，则总应力张量可以表示为轴方向，则总应力张量可以表示为n磁流体所受的总应力为各向同性的总压强磁流体所受的总应力为各向同性的总压强p*和沿和沿磁力线方向的张力磁力线方向的张力 在运动方程中考虑动力压强作用，流体总的受力45n流体热压强与磁压强之比流体热压强与磁压强之比是磁流体力学一个重是磁流体力学一个重要无量纲参量，称要无量纲参量，称值值n值反映了磁约束的性能，值反映了磁约束的性能，值越高，实现约束的代值越高，实现约束的代 价就越低，同时值也反映价就越低，同时值也反映 等离子体物理状况。等离子体物理状况。流体热压强与磁压强之比是磁流体力学一个重要无量纲参量，称值464.5 磁场的冻结与扩散磁场的冻结与扩散 n导电流体与磁场相互作用的重要性质导电流体与磁场相互作用的重要性质磁场的磁场的冻结与扩散效应。冻结与扩散效应。由麦克斯韦方程组由麦克斯韦方程组 欧姆定律欧姆定律 消去消去 j，得，得4.5 磁场的冻结与扩散 导电流体与磁场相互作用的重要性质47n两边求旋度，并假设两边求旋度，并假设 为常数，得为常数，得 称感应方程称感应方程 量纲与流体力学中的粘滞系数相同，所以称为量纲与流体力学中的粘滞系数相同，所以称为磁粘滞系数。磁粘滞系数。n下面分两种极端情况，分别讨论感应方程右方两下面分两种极端情况，分别讨论感应方程右方两项的物理意义。项的物理意义。两边求旋度，并假设 为常数，得481.磁场的冻结磁场的冻结 n假设等离子体是理想导体假设等离子体是理想导体，则则感应方程感应方程变为变为 称为冻结方程。因为由这个方程可以证明如下两称为冻结方程。因为由这个方程可以证明如下两条定理：条定理：n定理定理1 1 通过和理想导电流体一起运动的任何封闭通过和理想导电流体一起运动的任何封闭回路所围曲面的磁通量是不变的。回路所围曲面的磁通量是不变的。n定理定理2 2 在理想导电流体中，起始位于一根磁力线在理想导电流体中，起始位于一根磁力线上的流体元，以后也一直处在这根磁力线上。上的流体元，以后也一直处在这根磁力线上。1.磁场的冻结 假设等离子体是理想导体，49n定定理理1 1 证证明明：任任意意取取一一与与流流体体一一起起运运动动的的回回路路C，回回路路上上的的线线元元dl与与流流体体一一起起运运动动时时，单单位位时时间间切割磁力线引起的磁通变化为切割磁力线引起的磁通变化为 随流体一起运动时，闭合回路随流体一起运动时，闭合回路 C所围面积的磁通量变化率所围面积的磁通量变化率n得证（得证（等于零是利用了冻结方程等于零是利用了冻结方程）n定定理理1表表明明：不不管管外外界界磁磁场场如如何何变变化化，随随着着理理想想导导电电流流体体一一起起运运动动的的任任何何闭闭合合回回路路所所围围的的磁磁力力线线数目是不变的。数目是不变的。定理1 证明：任意取一与流体一起运动的回路C，回路上的线元d50n定理定理2 证明：证明：由冻结方程由冻结方程n应用连续性方程和应用连续性方程和 得得 改写为改写为 上式结果的意义，实际上是证明了定理上式结果的意义，实际上是证明了定理2 2。下面进行说明：下面进行说明：定理2 证明：由冻结方程51设设在在一一根根磁磁力力线线上上取取一一流流体体物物质质线线元元 ，线线元元一一端端流流速速为为u，另另一一端端为为 ，因因此此单单位时间流体线元的变化率位时间流体线元的变化率 两两方方程程相相比比，与与 B/满满足足相相同同的的时时间间演演化化方方程程。这这表表明明，如如果果初初始始时时矢矢量量 与与B/平平行行，则则以以后后也也保保持持平平行行，而而且且它它们们的的长长度度也也成成比比例例地地变变化化。也也就就是是说说，开开始始时时如如果果 在在一一根根磁磁力力线线上上（与与B/平行），以后任何刻也都处在这根磁力线上。平行），以后任何刻也都处在这根磁力线上。以以上上两两个个定定理理说说明明：在在理理想想导导电电流流体体中中，不不仅仅与与流流体体一一起起运运动动的的回回路路所所包包围围的的磁磁力力线线数数目目不不变变，而而且物质线元只能沿同一根磁力线运动。且物质线元只能沿同一根磁力线运动。设在一根磁力线上取一流体物质线元 ，线元一端流速为u52n磁磁场场冻冻结结现现象象：流流体体沿沿磁磁力力线线方方向向运运动动是是自自由由的的，如如果果流流体体有有垂垂直直于于磁磁力力线线方方向向的的运运动动，则则磁磁力力线线也也要要随随着着流流体体物物质质一一起起运运动动。就就好好像像磁磁力力线线被被“冻冻结结”在在理理想想导导电电流流体体中中，或或者者是是理理想想导导电电流流体体物物质质粘粘在磁力线上。在磁力线上。n物物理理上上理理解解：当当导导体体有有切切割割磁磁力力线线的的相相对对运运动动时时就就产产生生感感应应电电场场和和感感应应电电流流，感感应应电电流流的的方方向向使使它它产产生生的的磁磁场场来来对对抗抗原原来来磁磁场场的的变变化化。对对于于理理想想导导体体，因因为为电电导导率率趋趋于于，只只要要有有感感应应电电场场，引引起起的的感感应应电电流流就就无无限限大大。因因此此在在理理想想导导体体中中就就不不允允许许存存在在感感应应电电场场，即即不不允允许许导导电电流流体体有有切切割割磁磁力力线线的的相相对对运运动动，所以磁力线被冻结在理想导电的流体中。所以磁力线被冻结在理想导电的流体中。n高高温温等等离离子子体体是是电电导导率率很很大大的的流流体体，在在其其中中的的磁磁场场就就有有“冻冻结结”现现象象。原原来来在在等等离离子子体体外外的的磁磁场场，也也就难以进入等离子体内。就难以进入等离子体内。磁场冻结现象：流体沿磁力线方向运动是自由的，如果流体有垂直于532.磁场的扩散磁场的扩散 n电导率有限，并假定流体电导率有限，并假定流体静止静止不动不动，感应方程变为感应方程变为 这这就就是是磁磁场场的的扩扩散散方方程程。它它说说明明当当电电导导率率有有限限时时，磁磁力力线线不不完完全全冻冻结结在在等等离离子子体体中中，等等离离子子体体中中的的磁磁场场会会随随时时间间衰衰减减，即即磁磁场场从从强强的的区区域域向向弱弱的的区区域域扩扩散。散。n估算磁场从等离子体中扩散出去的特征时间（磁扩估算磁场从等离子体中扩散出去的特征时间（磁扩散时间或磁衰减时间）散时间或磁衰减时间）2.磁场的扩散 电导率有限，并假定流体静止不动，感应方程变54n设原来磁场集中在线度为设原来磁场集中在线度为L的等离子体区域的等离子体区域n扩散方程近似地为扩散方程近似地为n方程的解方程的解n磁扩散时间或衰减时间磁扩散时间或衰减时间n电导率越大，磁场衰减越慢，如果电导率为无穷，电导率越大，磁场衰减越慢，如果电导率为无穷，则磁场不衰减（冻结）。对于有限电导率的流体，则磁场不衰减（冻结）。对于有限电导率的流体，如果它的特征长度如果它的特征长度L越大，则磁场衰减也越慢。越大，则磁场衰减也越慢。对于宇宙等离子体，因为它的线度对于宇宙等离子体，因为它的线度L很大，所以很大，所以衰减时间就特别长。（见表衰减时间就特别长。（见表4.5.1）设原来磁场集中在线度为L的等离子体区域553.横越磁场扩散与玻姆扩散横越磁场扩散与玻姆扩散 n前面研究了两种极端情况效应，即磁场冻结与磁前面研究了两种极端情况效应，即磁场冻结与磁场扩散，实际上两项效应都存在。场扩散，实际上两项效应都存在。n现在研究稳态情况下，现在研究稳态情况下，垂直磁场方向等离子体的垂直磁场方向等离子体的定向流动，即横越磁场扩散定向流动，即横越磁场扩散。方程为。方程为 因为因为 ，近似常量，则得（不是唯一的）近似常量，则得（不是唯一的）3.横越磁场扩散与玻姆扩散 前面研究了两种极端情况效应，即56n上式两边同上式两边同B，得得稳态时稳态时 流体运动方程流体运动方程假定电子、离子密度相同，假定电子、离子密度相同，电子温度与离子温度不同，电子温度与离子温度不同，则则 上式两边同B，得57n以后可以证明，等离子体电导率以后可以证明，等离子体电导率 式中式中 为电子与离子碰撞频率为电子与离子碰撞频率 这这是是典典型型的的扩扩散散方方程程，u为为横横向向扩扩散散流流速速度度，D为横向扩散系数。为横向扩散系数。n结结果果表表明明，要要维维持持稳稳态态磁磁场场，一一定定要要存存在在横横越越磁磁场场的的稳稳定定扩扩散散流流。横横向向扩扩散散系系数数与与磁磁场场强强度度的的平平方方成成反反比比，通通常常称称这这种种扩扩散散为为经经典典扩扩散散。只只要要磁磁场场B足够大，则扩散系数就很小。足够大，则扩散系数就很小。以后可以证明，等离子体电导率58n实实验验发发现现，横横向向扩扩散散系系数数比比经经典典扩扩散散高高得得多多。在在20世世纪纪40年年代代，Bohm等等人人就就注注意意到到磁磁约约束束等等离离子子体体中中反反常常扩扩散散现现象象。他他发发现现横横向向扩扩散散系系数数是是与与磁磁场场强强度度成成反反比比。Bohm给给出出一一个个半半经经验验的的扩扩散散系系数数公式：公式：DB称称玻玻姆姆扩扩散散系系数数，后后来来许许多多实实验验结结果果都都相相符符合合，因此就把这种因此就把这种反常扩散称为反常扩散称为Bohm扩散扩散。n玻玻姆姆扩扩散散系系数数比比经经典典扩扩散散系系数数大大几几个个量量级级。后后来来对对玻玻姆姆扩扩散散机机制制有有许许多多研研究究，也也有有几几种种不不同同解解释释，如如湍湍流流电电场场的的存存在在、粒粒子子和和电电场场涨涨落落、存存在在不不对对称称电电场场导导致致指指向向器器壁壁的的电电漂漂移移流流等等。目目前前，很很多多实实验验的的扩扩散散系系数数已已经经比比Bohm扩扩散散系系数数低低得得多多。现现在都把玻姆扩散系数作为估计反常扩散的上限。在都把玻姆扩散系数作为估计反常扩散的上限。实验发现，横向扩散系数比经典扩散高得多。在20世纪40年代，594.6 磁流体平衡与箍缩效应磁流体平衡与箍缩效应 1.磁流体平衡磁流体平衡n要实现等离子体的磁约束，首先要实现平衡。要实现等离子体的磁约束，首先要实现平衡。当当磁磁流流体体的的每每一一小小体体积积元元所所受受的的合合力力为为0 0时时，则则可实现平衡。因此，运动方程可实现平衡。因此，运动方程n等离子体平衡条件等离子体平衡条件n只只有有电电流流洛洛仑仑兹兹力力与与压压强强梯梯度度相相等等时时，等等离离子子体体才能达到平衡。才能达到平衡。4.6 磁流体平衡与箍缩效应 1.磁流体平衡60n由平衡条件得到由平衡条件得到 平衡时磁力线和电流线都应在等压面上。平衡时磁力线和电流线都应在等压面上。n一般等离子体都是中间密度大，而到边缘密度减一般等离子体都是中间密度大，而到边缘密度减小直到小直到0 0，所以等离子体流体元受的压力（，所以等离子体流体元受的压力（）是由轴心垂直等压面向外，而流体元上的电流受是由轴心垂直等压面向外，而流体元上的电流受的洛仑兹力（的洛仑兹力（）是垂直等压面向里，只有）是垂直等压面向里，只有这两种力相互抵消才能达到平衡，所以这两种力相互抵消才能达到平衡，所以()()就是磁场对等离子体施加的约束力。就是磁场对等离子体施加的约束力。由平衡条件得到 61n如果磁力线是直线而且互相平行，这时平衡条件如果磁力线是直线而且互相平行，这时平衡条件很简单。利用：很简单。利用：n平衡条件可改写为平衡条件可改写为 因为沿磁场方向因为沿磁场方向B无变化无变化 所以所以平衡条件变为平衡条件变为n这个条件在整个区域都必须满足。一般动力压强这个条件在整个区域都必须满足。一般动力压强是中心区域最大、向边缘减小，要实现平衡，磁是中心区域最大、向边缘减小，要实现平衡，磁场应从中心区比较弱到边缘逐渐增强，压强与磁场应从中心区比较弱到边缘逐渐增强，压强与磁压强之和为常量。说明等离子体具有反磁性。压强之和为常量。说明等离子体具有反磁性。如果磁力线是直线而且互相平行，这时平衡条件很简单。利用：622.箍缩效应箍缩效应n流过等离子体的强电流和这电流产生的磁场之间流过等离子体的强电流和这电流产生的磁场之间的相互作用，能引起等离子体向中心区域压缩，的相互作用，能引起等离子体向中心区域压缩，并使等离子体密度、温度增加，这种效应称为箍并使等离子体密度、温度增加，这种效应称为箍缩（缩（pinch）效应。下面讨论两个例子。）效应。下面讨论两个例子。（1）角向箍缩）角向箍缩(-pinch)圆圆柱柱形形放放电电管管（玻玻璃璃管管或或陶陶瓷瓷管管制制成成），内内充充有有气气体体，在在它它外外面面包包围围一一同同轴轴的的柱柱形形单单匝匝线线圈圈。当当开开关关K接接通通，电电容容器器C就就快快速速给给线线圈圈放放电电，流流经经线线圈圈的的电电流流在在放放电电管管中中产产生生一一个个与与管管轴轴（设设为为 z轴轴）同同向向的的变变化化的的磁磁场场，从从而而在在管管内内产产生生角角向向的的感应电场。由法拉第电磁感应定律感应电场。由法拉第电磁感应定律2.箍缩效应流过等离子体的强电流和这电流产生的磁场之间的相63n由法拉第电磁感应定律由法拉第电磁感应定律n得得n在初始阶段，在初始阶段，E方向与电流的方向相反，而且在管方向与电流的方向相反，而且在管壁附近壁附近E较大。如果较大。如果 上升很快，管壁附近气上升很快，管壁附近气体先击穿，形成等离子体，同时有一薄层角向感应体先击穿，形成等离子体，同时有一薄层角向感应电流。感应电流与沿轴向的磁场电流。感应电流与沿轴向的磁场B形成的洛仑兹力，形成的洛仑兹力，使等离子体脱离管壁并向轴线压缩，提高等离子体使等离子体脱离管壁并向轴线压缩，提高等离子体密度并增加动能，经粒子间碰撞提高等离子体温度，密度并增加动能，经粒子间碰撞提高等离子体温度，最后磁压强与热压强达到平衡，形成等离子体柱，最后磁压强与热压强达到平衡，形成等离子体柱，获得磁约束的高温等离子体。角向感应电流与外线获得磁约束的高温等离子体。角向感应电流与外线圈中电流产生的轴向磁场相互作用，在径向引起箍圈中电流产生的轴向磁场相互作用，在径向引起箍缩（或压缩）称为角向箍缩（缩（或压缩）称为角向箍缩（-pinch）。）。由法拉第电磁感应定律64-Pinch-Pinch65n角向箍缩的平衡条件角向箍缩的平衡条件 选取柱坐标系（选取柱坐标系（r,z）,等离子体电流等离子体电流 电流产生的磁场电流产生的磁场 ，由，由 得得 平衡条件平衡条件取等离子体半径取等离子体半径r=a时时得得角向箍缩平衡条件角向箍缩平衡条件 角向箍缩的平衡条件66角向箍缩平衡时各物理量的径向分布角向箍缩平衡时各物理量的径向分布 n在在等等离离子子体体柱柱界界面面上上压压强强为为0，根根据据平平衡衡条条件件，在在柱柱界界面面上上磁磁场场最最强强，沿沿半半径径向向里里（轴轴心心）等等离离子子体体压压强强增增大大，则则磁磁场场减减小小，但但热热压压强强与与磁磁压压强强之之和和保保持不变。持不变。n实实际际上上，由由于于放放电电管管两两端端是是开开口口的的，不不受受磁磁场场约约束束，等等离离子子体体会会从从两两端端逃逃逸逸，因因此此这这种种平平衡衡维维持持时时间间很很短，约微秒量级。短，约微秒量级。角向箍缩平衡时各物理量的径向分布 在等离子体柱界面上压强为067（2）z箍缩（箍缩（z-pinch）n沿沿z轴的直圆柱形放电管，轴的直圆柱形放电管，脉冲放电时形成等离子体。脉冲放电时形成等离子体。设沿轴向流过轴对称的电设沿轴向流过轴对称的电流，电流产生的磁场，由流，电流产生的磁场，由于电流与自身磁场的相互于电流与自身磁场的相互作用作用 ，使等离子体，使等离子体受到指向轴线方向的作用受到指向轴线方向的作用力，把等离子体向轴线方力，把等离子体向轴线方向压缩，这就是向压缩，这就是z箍缩效应。箍缩效应。（2）z箍缩（z-pinch）沿z轴的直圆柱形放电管，脉冲放68Z-PinchZ-Pinch69n设设平平衡衡时时柱柱的的半半径径为为a，柱柱内内压压强强分分布布为为p(r)。麦麦克斯韦方程克斯韦方程 在柱坐标系中可表示为在柱坐标系中可表示为 解得磁场分布解得磁场分布总电流总电流 由平衡条件由平衡条件 设平衡时柱的半径为a，柱内压强分布为p(r)。麦克斯韦方程 70n方程的解为方程的解为 因为因为 r=a，p=0 p0为为r=0时的动力压强时的动力压强 等离子体柱内平均压强（只能求平均！）等离子体柱内平均压强（只能求平均！）这这就就是是平平衡衡状状态态时时等等离离子子体体柱柱的的平平均均压压强强、总总电电流、柱半径之间的关系。流、柱半径之间的关系。方程的解为71n对于热核聚变，要求等离子体温度对于热核聚变，要求等离子体温度10keV，密度，密度1021m-3，估计放电电流，估计放电电流9108aA，这个电流在柱，这个电流在柱面上产生的磁场。因此要约束高温等离子体需要面上产生的磁场。因此要约束高温等离子体需要很大的电流。很大的电流。n只有给出电流密度分布，以上相关的计算公式才只有给出电流密度分布，以上相关的计算公式才能给出各物理量的径向分布。能给出各物理量的径向分布。电流分布在柱面上很薄的一层内电流分布在柱面上很薄的一层内 电流密度在柱内为常量电流密度在柱内为常量 对于热核聚变，要求等离子体温度10keV，密度1021m-372补充：平衡的稳定性问题示例补充：平衡的稳定性问题示例补充：平衡的稳定性问题示例73扭曲型不稳定性扭曲型不稳定性扭曲型不稳定性744.7 广义欧姆定律与等离子体电导率广义欧姆定律与等离子体电导率 n如果等离子体中离子和电子的平均速度不同，则如果等离子体中离子和电子的平均速度不同，则它们之间的相对运动就会产生宏观电流。它们之间的相对运动就会产生宏观电流。应用双应用双流体模型来研究电流的规律。流体模型来研究电流的规律。1.1.广义欧姆定律广义欧姆定律设电子和离子的密度相同设电子和离子的密度相同 ne=ni=n，并保持电中性并保持电中性,摩擦阻力通常可写成前苏联布拉金斯基定义的形式摩擦阻力通常可写成前苏联布拉金斯基定义的形式同类粒子碰撞对摩擦阻力无贡献同类粒子碰撞对摩擦阻力无贡献 4.7 广义欧姆定律与等离子体电导率 如果等离子体中离子和电75n双流体方程双流体方程 n用用e/mi乘乘以以第第1式式，e/me乘乘以以第第2式式，然然后后两两式式相相减减，得得n电流密度电流密度 双流体方程 76n做近似做近似n前式左方第前式左方第1项项 忽略了二级小量项。忽略了二级小量项。左方第左方第2项为二级小量项，项为二级小量项，也可忽略。也可忽略。做近似77n前式右方第前式右方第2项中因子项中因子n应用以上结果得应用以上结果得 上式就是等离子体的上式就是等离子体的广义欧姆定律广义欧姆定律 前式右方第2项中因子78n等离子体电导率等离子体电导率n对于稳恒情况，对于稳恒情况，广义欧姆定律为，广义欧姆定律为n这这就就是是宏宏观观描描述述等等离离子子体体的的导导电电性性质质。方方括括号号中中第第1项项就就是是通通常常磁磁流流体体运运动动时时欧欧姆姆定定律律，是是运运动动流流体体电电场场引引起起的的电电流流；方方括括号号中中第第2、3项项是是双双流流体体效效应应增增加加的的项项，第第2项项是是霍霍尔尔电电流流效效应应，它它反反映映磁磁场场对对等等离离子子体体电电子子运运动动的的影影响响，第第3项项是是电电子子压压强强梯梯度度引引起起的的，即即等等离离子子体体中中温温度度不不均均匀匀或或密度不均匀都会引起电流。密度不均匀都会引起电流。等离子体电导率79n如如果果洛洛仑仑兹兹力力与与热热压压力力同同一一量量级级，则则双双流流体体效效应应增增加加的的这这两两项项也也同同一一量量级级。现现在在可可以以估估计计这这两两项项的量级：的量级：当当 时时，双双流流体体效效应应的的两两项项可可以以忽忽略略，欧姆定律就是通常的磁流体形式。欧姆定律就是通常的磁流体形式。当当 时时，双双流流体体的的两两项项引引起起的的电电流流就就很很大，可以大大超过大，可以大大超过j j。n一一般般情情况况，研研究究等等离离子子体体准准稳稳态态或或静静态态的的磁磁流流体体行行为为时时（如如平平衡衡），双双流流体体效效应应的的两两项项可可以以忽忽略略。但但是是，如如果果研研究究磁磁流流体体中中波波的的行行为为，则则这这两两项项不不能能忽忽略略。因因此此，广广义义欧欧姆姆定定律律中中的的各各项项大大小小及及取取捨，要视研究的具体问题而定。捨，要视研究的具体问题而定。如果洛仑兹力与热压力同一量级，则双流体效应增加的这两项也同一802.等离子体电导率等离子体电导率n在在稳稳恒恒情情况况下下，广广义义欧欧姆姆定定律律表表式式中中，引引入入有有效效电场电场n广广义义欧欧姆姆定定律律可可以以表表示示为为（电电子子离离子子平平均均碰碰撞撞时时间间 ）n选直角坐标系，选直角坐标系，x 轴沿轴沿B方向，则上式可以写为方向，则上式可以写为2.等离子体电导率81n由方程组，解得由方程组，解得n也可改写为也可改写为n 电导率张量，也可表示为电导率张量，也可表示为 由方程组，解得82n结果讨论：结果讨论：n一一般般情情况况下下，j与与 方方向向不不一一致致，这这是是因因为为有有磁磁场时，等离子体是场时，等离子体是各向异性导电介质各向异性导电介质，但，但j与与 各分量具有线性关系，所以电导率具有张量形式。各分量具有线性关系，所以电导率具有张量形式。（i）如果）如果 与与B平行平行，表明，表明，j与与 同方向，而且电导率为同方向，而且电导率为 并与磁场并与磁场大小无关。大小无关。结果讨论：83（ii）如果）如果 与与B垂直，可设垂直，可设 沿沿z轴方向，即轴方向，即（ii）如果 与B垂直，可设 沿z轴方84n沿电场方向电导率多了因子沿电场方向电导率多了因子 如果磁场很强，则电导率降低很多；如果磁场很强，则电导率降低很多；n垂垂直直磁磁场场的的电电场场除除了了产产生生沿沿电电场场方方向向的的电电流流(jz)外外，还还产产生生既既垂垂直直电电场场又又垂垂直直磁磁场场的的电电流流（jy），这这就就是是霍霍尔尔电电流流，沿沿这这个个方方向向的的电电导导率率比比沿沿电电场场方向的大（方向的大（）倍，但还是比）倍，但还是比 小小,因为因为n如如果果B=0，即即无无磁磁场场情情况况，而而且且 （一一般般金属导体近似满足），则简化为金属导体近似满足），则简化为n这这就就是是普普通通导导体体情情况况或或无无磁磁场场等等离离子子体体情情况况，这这时时j与与E同方向，电导率是各向同性的同方向，电导率是各向同性的。沿电场方向电导率多了因子85n最最后后再再说说明明：由由动动理理学学理理论论可可以以计计算算得得到到电电子子-离子平均碰撞频率离子平均碰撞频率 可得电导率可得电导率 n结结果果表表明明，高高温温等等离离子子体体是是良良导导体体，而而且且随随着着温温度度升升高高，电电导导率率按按 增增长长。因因此此在在温温度度很很高高时时，等等离离子子体体电电阻阻非非常常小小，这这样样对对等等离离子子体体欧欧姆姆加热将失效。加热将失效。最后再说明：由动理学理论可以计算得到电子-离子平均碰撞频率86磁流体力学课件87