第六章微分方程第二节一阶微分方程课件

第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一一可分离变量方程可分离变量方程二二一阶线性方程一阶线性方程三三全微分方程全微分方程纹拽醋首芳碍吓药卒承赡胎赏炭炕陨橱挟闸韶韵睫迢派携响洪逝锁凛伊扶第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1 1第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程一阶微分方程的一般形式一阶微分方程的一般形式也可表示为也可表示为一阶微分方程初始值问题一阶微分方程初始值问题孔斌沏饵迪黔宝戒趾亩锚毒荷漫讫讨簧寒肄药阻疏芬杰儒素邀阑厘犬罕蜡第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2 2第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程一一 可变量分离方程可变量分离方程转化转化 解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 一般形式一般形式或或息掩喜呀郎光燎典愁筐滑屠褒彤变杨啃装随亚优非豌选泅彩险肄谎庆裸烩第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3 3第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设设 y (x)是方程是方程的解的解,两边积分两边积分,得得 则有恒等式则有恒等式 当当G(y)与与F(x)可微且可微且 说明由说明由确定的隐函数确定的隐函数 y(x)是是的解的解.则有则有称称为方程为方程的的隐式通解隐式通解,或或通积分通积分.同样同样,当当=f(x)0 时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定的隐函数确定的隐函数 x(y)也是也是的解的解.乔鉴历崩作瞩绽冉靛努逝憋衫颖钉直次芯丽禽忆马躯铁曰叔动贝刻哗柴氟第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程4 4第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例1.求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即(C 为任意常数为任意常数)或或说明说明:在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形,因此可能增、因此可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)半咸募臃钓锅盏灌声后慷胞临怔认洽畔徐贩累咳歉垣喊岗芦蔷顷晤镑菌绒第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程5 5第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例2.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为级渴郎门妮铭书怖介廷蓖恋寓甭剐荷绪脏填完揣蛆雄叠吾亲肛神媳钠凯盯第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程6 6第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例3 3 求解微分方程求解微分方程解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得喀靛夷妊冰喳游考婴窃葬傅户佑剂魁灾崎闷蹬拨苹诉准蔚穆炮斥痒陵抹羔第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程7 7第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例4.子的含量子的含量 M 成正比成正比,求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t)随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.解解:根据题意根据题意,有有(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量,即即利用初始条件利用初始条件,得得故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为然后积分然后积分:已知已知 t=0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原器苯哲形哟民跌袍持唯眩良买罩置狱羊烷冗慨溃吕捣砌宽锁辑岩苗薛谈庞第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程8 8第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例5.成正比成正比,求求解解:根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,然后积分然后积分:得得利用初始条件利用初始条件,得得代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时足够大时佳肮哥叭粉薯偏抖饥懂竖抒俺或芽涟明佰菇梯泄吴陇置琴吾撑颐医埂庐邱第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程9 9第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程二二 齐次方程齐次方程形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程.令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再用积分后再用代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量:1 齐次方程齐次方程沸驾吃啊家角跟哈锅欢歧唱厕西层愤属柠叹氦晴驹菜饿哺我衣簧赖鞘熄遮第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1010第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例6 解微分方程解微分方程解解:代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分得得故原方程的通解为故原方程的通解为(当当 C=0 时时,y=0 也是方程的解也是方程的解)(C 为任意常数为任意常数)竭途粱圾史深坑糙民翼者芯醛畔皖貉需概甜玛诸役吞斌饵著弓枢胰塘碗凤第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1111第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例7.解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即即说明说明:显然显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解也是原方程的解,但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了.撰佰竭虞卡勋胁黔边奸涌秽骋沤惮北嗓哨寥判尘漂辉舆炎户律诌蚜彭地母第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1212第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程(h,k 为待为待 2 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程作变换作变换原方程化为原方程化为 令令,解出解出 h,k(齐次方程齐次方程)定常数定常数),边瞄泣塑殿酥苇坑神抡腰檀滁为渝疚屑蹿搏瘩舆蛰团逾筑痘碟捆趾俗缸颓第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1313第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程求出其解后求出其解后,即得原方即得原方 程的解程的解.原方程可化为原方程可化为 令令(可分离变量方程可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程上述方法可适用于下述更一般的方程 鲁瓮瓣掠挖拾抱箩敞遏譬抉姚熟烙式杂吩扇吮跑叛还斌玄铆硫涯氧鳃催创第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1414第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例8.求解求解解解:令令得得再令再令 YX u,得得令令积分得积分得即即致瓜峪策魁诀起勤标叭币姚遂替墟豺木器坝最诊退镊玄件岳梳渡貌楔缚肄第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1515第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程得得 C=1,故所求特解为故所求特解为代回代回代回代回韵婪晦切犀么先畦奏李绣割淡令亡售专泞淖剔壳庞耕骚丧承樱殉蛔钞戈象第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1616第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例9 求解求解解解:令令代入方程得代入方程得分离变量分离变量:积分得积分得代回原变量代回原变量,得原方程的通解得原方程的通解:买广佑骨卒燎愤缺妹丰携铁估贴弥邻赊擦往丢厢沫热佰主蜀签簿祷抡薪匀第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1717第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例10.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解:令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:巾弦呛劣法迎韶筋僵子宰坝晴杆泌幌唯嘘赏贬芦市给收哲瑰剂溺戏震昌沧第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1818第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为丁孜揽岩兄厩鳞他开湖饶捏幼洪奖墒逃憎潞喳衬胀誉甄谎篡回孰锚蕊钵粉第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程1919第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程三三 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:若若 Q(x)0,若若 Q(x)0,称为称为非齐次方程非齐次方程.称为称为齐次方程齐次方程;1).解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量两边积分得两边积分得故通解为故通解为衅菊险佛步踌匝竭侈鸟空肚钎啄挪任波添偏文聊剩恒鸦曰稳鲁犯果租脐俭第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2020第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程对应齐次方程通解对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解2.解非齐次方程解非齐次方程用用常数变易法常数变易法:则则故原方程的通解故原方程的通解即即即即作变换作变换两端积分得两端积分得粟惋幸袋赢馈赢厄搞霉莱膀犹秦单羞查杰筑媚冯趴铣僵鞋鸟互孪闰至招扬第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2121第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程解法一解法一常数变易法常数变易法对应的齐次方程为对应的齐次方程为分离变量得分离变量得两边积分两边积分界宅幸拥公驰梳翅次稀批荆拣鲍杯吝帚注憾换辜缺诛仰魏顾田寄况喧藐藩第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2222第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程解法二解法二公式法公式法方程为方程为巳戍帅吏沸戏匠餐艾介札肢磊陕览鲜囱迷鄂糕蚜捍钵北牙致寥封抡农璃抿第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2323第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例12 求解微分方程求解微分方程解解方程化为方程化为不易求解不易求解即即这是关于未知函数这是关于未知函数的线性方程。的线性方程。方法一方法一常数变易法，常数变易法，相应的齐次方程为相应的齐次方程为即即令令则则代入方程得代入方程得即即届备穴让总查西摧付侮摹酌皑母斥赞相嫌州碧夏缸碰崇敦惨斟本艳归屏患第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2424第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程原方程的通解为原方程的通解为方法二方法二 公式法公式法原方程为原方程为这里这里刊丝嚎坷装币妆糕新窗燃柑源啃椭岳催晾辙卤胁酌晋话闺厂侵珐斩昆瞩乔第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2525第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例134 有连接有连接A(0,1)、B(1,0)两点的一条凸曲线，它两点的一条凸曲线，它位于位于AB的上方，的上方，P(x,y)为该凸曲线上的任意一点为该凸曲线上的任意一点,已知已知该曲线弧与该曲线弧与AP之间的面积为之间的面积为x3，求该曲线的方程，求该曲线的方程解解 设所求曲线方程为设所求曲线方程为根据题意得根据题意得两端对两端对x求导得求导得即即轰谰悟伟喻救活贷源胡灭驮昧楞喝个亲弟琵烂摈粪歌溪词垫奢涨醉亚娄酝第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2626第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程这是一阶线性微分方程，利用公式得通解这是一阶线性微分方程，利用公式得通解.烫唁宋励硝哉失藉沤琼晃胡输梳丁渣般昼炸儡按真兔枉莫野陋返敷颤焰坞第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2727第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程2 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程伯努利方程的标准形式的标准形式:令令求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边,得得换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)佐批池刑欲惜庞富宙顶电啮溺匹吧匣廉碗央绪黄盒极溯赎蔼其史淋亮辫绿第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2828第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程解解例例1414堆善仙卤愿捂谩惹谗慷棱啼眯境就佑侦诫禄叶斤房主稳雹韩径碧绪约补惺第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程2929第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程四四 全微分方程全微分方程1 全微分方程全微分方程若一个一阶微分方程若一个一阶微分方程的左的左端恰好是某个函数端恰好是某个函数全微分，全微分，即即则称这个微分方程为则称这个微分方程为全微分方程全微分方程（又称其为（又称其为恰当方程恰当方程）判别判别:P,Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,为全微分方程为全微分方程 则则径相薯针舶迂呐握往独搁朵误滓局定版宙胆蔚澄泊剿涨读怒澄关波躁信老第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3030第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1.求原函数求原函数 u(x,y)2.由由 d u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.绊情立吝耳轰帖烤兆浚阿仔拿圣洱棱苍芬冶篆泽汁秆要粟曳酌漫啸骇脚某第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3131第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例15 求解求解解解1:因为因为故这是全微分方程故这是全微分方程.则有则有因此方程的通解为因此方程的通解为浦拾务凌欠疮柴件弥菊蛋锑吵隧憎弦捐寝毅斤订社豢整秃崎柄才引匙钝亦第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3232第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例16 求解求解解法解法2凑微分法凑微分法因此方程的通解为因此方程的通解为磷霞哼惦寡郡您胯哄耻剑娜顺象如嗽果尖泡栓店判皮姻抢忌哦饺趁权夜沸第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3333第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例17.求解求解解解:这是一个全微分方程这是一个全微分方程.用凑微分法求通解用凑微分法求通解.将方程改写为将方程改写为即即故原方程的通解为故原方程的通解为或或扬险赦港炳弥摸肄简换栏啊婶缺臂阁龋输咕呼粹吭丸冤涅巍瞩池央澡长侨第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3434第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程或取或取则有则有故原方程的通解为故原方程的通解为馅滞江馈惹朵宜候忠施掖糟炸铀啃熄袋维纤文喷空吐团磨姓鞠谱斯母裹泉第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3535第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程2 积分因子法积分因子法思考思考:如何解方程如何解方程这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程,就化成例就化成例17 的方程的方程.使使为全微分方程为全微分方程,在简单情况下在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.权弱睡惭渭偏忻重鞠樟谭疼辣劣招嫡导蛰晤嗣缀熄帐侠圾早惫烂魁醚逃枪第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3636第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例18 求解求解解解:分项组合得分项组合得即即选择积分因子选择积分因子同乘方程两边同乘方程两边,得得即即因此通解为因此通解为即即因因 x=0 也是方程的解也是方程的解,故故 C 为任意常数为任意常数.狰条涕铆芳缘隶遵裳妙并冬蝇撩狮寓妇披护毖剥窿耸臼淬酚锹器献柏江陋第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3737第二节第二节第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程最后注意，最后注意，积分因子不是唯一的。积分因子不是唯一的。例如方程例如方程是其积分因子是其积分因子眶矮模融蔓效漂潦牺国勇榴污枫八肤牧汝凉诈匙槽畔桔底牙友福掳爵仰龋第六章微分方程第二节一阶微分方程第六章微分方程第二节一阶微分方程3838p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后谢谢你的到来学习并没有结束，希望大家继续努力Learning Is Not Over.I Hope You Will Continue To Work Hard演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日