系统传递函数课件

第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1控制系统时域数学模型2.2拉普拉斯变换和传递函数2.3控制系统的结构图与信号流图2.4 MATLAB在系统建模中的应用第二章 控制系统的数学模型2.1控制系统时域数学模型主要内容 控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 脉冲响应函数 各种数学模型的相互转换主要内容 控制系统的微分方程-建立和求解重重点点与与难难点点重重 点点1.传递函数的定义和性质2.典型环节的传递函数3.控制系统的结构图及化简 4.自动控制系统的传递函数难难 点点如何由实际的物理系统建立系统的数学模型系统结构图的等效变换 重 点 与 难 点重 点1.传递函数的定义和性2.1控制系统时域数学模型2.1.1 线性系统的微分方程 列写方法：（1）确定元件的输入、输出变量。（2）从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。（3）消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。（4）标准化将与输入有关的各项放在等号的右边,与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。2.1控制系统时域数学模型2.1.1 线性系统的微分方程 例例2-12-1试列写图试列写图2-12-1所示电枢控制直流电动机的微分所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压（方程，要求取电枢电压（V V）为输入量，电动机转）为输入量，电动机转速为输出量。图中、分别是电枢电路的电阻和电速为输出量。图中、分别是电枢电路的电阻和电感，是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁感，是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。通为常值。图2-1 电枢控制直流电动机原理图例2-1试列写图2-1所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求解：解：1 1.电枢回路电压平衡方程：电枢回路电压平衡方程：2电磁转矩方程：3电动机轴上的转矩平衡方程：（2-1）（2-2）（2-3）解：1.电枢回路电压平衡方程：2电磁转矩方程：3电 由式（2-1）、式（2-2）和式（2-3）中消去中间变量、及便可得到以为输出量，以为输入量的直流电动机微分方程为：在工程应用中，由于电枢电路电感较小，通常忽略不计，因而式（2-4）可简化为:式中 是电动机机电时间常（s），,是电动机传递系数。由式（2-1）、式（2-2）和式（2-3）中消去中间例例2.22.2 速度控制系统速度控制系统_+uf+ug功率功率放大放大TG负载负载 R1R2R3R3R4_+ua_MR1u1C例2.2 速度控制系统_uf+功率TG负载 R1R2R3R31、运放：2、运放：3、功放：4、电机：5、测速机：最后合并上述方程有：1、运放：2、运放：3、功放：4、电机：5、测速机：最后令 可见：可见：既与既与 有关又与有关又与 有关。有关。当当 为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度 随动系统，随动系统，一般不变：一般不变：则有令 可见：既与 有关又与 有关。则有为常值，当为变化量，系统为恒值调速系统：当两方程的系统相同时，从动态性能的角度看，两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究。为常值，当为变化量，系统为恒值调速系统：当两方程的系统相同2.1.2 非线性特性的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统 为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。2.1.2 非线性特性的线性化 在经典控制领域，主要设具有连续变化的非线性函数为:y=f（x)，若取某一平衡状态为工作点，如右图中的 。A点附近有点为 ，当 很小时，AB段可近似看做线性的。AByx0设具有连续变化的非线性函数为:y=f（x)，若取某一平衡状态设f(x)在 点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：AByx0若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性近似。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。设f(x)在 点连续可微，AByx对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：，工作点为 。则可近似为：式中：，。为与工作点有关的常数。注意：上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、库仑干摩擦、饱和特性等），它是可以用泰勒级数展开的。实际的工作情况在工作点附近。变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。2.2拉普拉斯变换和传递函数2.2.1拉普拉斯变换与反变换若令 是复数，上式就是拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为式中，称 为原函数；称 为象函数。拉氏变换就是由原函数求象函数的过程。定义：2.2拉普拉斯变换和传递函数2.2.1拉普拉斯变换与反变换当已知象函数，可用求出与唯一对应的原函数称上式为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。定义：，当已知象函数，可用求出与唯一对应的原函数称上式为拉普拉斯反变2.2.2传递函数的定义与性质 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如下问题：不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合问题易于实现。2.2.2传递函数的定义与性质 传递函数是经典控制理论系统或环节的微分方程为：式中：x（t）输入，y（t）输出 为常系数一、传递函数的基本概念将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）称为系统或环节的传递函数，即：环节的传递函数是它的微分方程在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。也可写成：Y(s)=G(s)X(s)。通过拉氏反变换可求出时域表达式y(t)。系统或环节的微分方程为：一、传递函数的基本概念将上式求拉氏变总结:传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为零时进行拉氏变化得到的。已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。可以由环节的微分方程直接得出传递函数，只要将各阶导数用各阶s代替即可。即：总结:已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对于大多数实际系统，分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。关于传递函数的几点说明传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一传递函数的几种表现形式：表示为有理分式形式：式中：为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。表示成零点、极点形式：式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。传递系数（零极点形式传递函数增益）传递函数的几种表现形式：表示为有理分式形式：式中：写成时间常数形式：分别称为时间常数，K称为放大系数显然：写成时间常数形式：分别称为时间常数，K称为放大系数显然：若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若 为共轭复极点，则：或：其中系数 由 或 求得。同样，共轭复零点可表示如下：或：若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若 若再考虑有n个零值点，则传递函数的通式可以写成：从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。式中：或：比例环节积分环节惯性环节二阶微分振荡环节一阶微分若再考虑有n个零值点，从上式可以看出：传递函 传递函数具有以下性质：1.传递函数是复变量的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。其中，且所有系数均为实数。2.传递函数是系统或元件数学模型的另一种形式，是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式。它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也与系统的初始条件无关。3.传递函数与微分方程有相通性。只要把系统或元件微分方程中各阶导数用相应阶次的变量代替，就很容易求得系统或元件的传递函数。4.传递函数的拉氏反变换是脉冲响应。传递函数具有以下性质：2.2.3 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 从上述传函的一般表示中看出，任何系统均由从上述传函的一般表示中看出，任何系统均由等环节组成，此为此为典型环节典型环节。1、微分方程：、微分方程：c(t)=Kr(t)2、传函：、传函：G(s)=K.既无零点也无极点。既无零点也无极点。（一）比例环节：（一）比例环节：2.2.3 典型环节及其传递函数 从上述传函的一般表示中看出3、响应：若r(t)=1(t)，则c(t)=K 1(t)。输出与输入成比例，不失真也不延时，如无弹性 变形的杠杆、放大器、分压器、齿轮、减速器等。3、响应：若r(t)=1(t)，则c(t)=K 1(t)。1.微分方程：2.传递函数：只有一个零值极点。（二）积分环节：（二）积分环节：3.阶跃响应：1.微分方程：2.传递函数：时所需的时间。其中其中T=RC是是 增长到 象积分器：象积分器：时所需的时间。1微方：有一个负极点 2传函：3响应：（三）惯性环节：（三）惯性环节：1微方：2传函：3响应：（三）惯性环节：如RC网络、LR回路。（四）微分环节：（四）微分环节：1微方：2传函：，只有一个零值零点。如RC网络、LR回路。（四）微分环节：1微方：2传函：，则则 阶跃函数阶跃函数因此微分环节能预示因此微分环节能预示的变化趋势。的变化趋势。脉冲函数脉冲函数,3响应：，则，则因此因此则 运放组成的微分器：实际系统中，微分环节常带实际系统中，微分环节常带有惯性，如右图的有惯性，如右图的RCRC网络：网络：当时，才有运放组成的微分器：实际系统中，微分环节常带当时，才有（五）一阶微分环节：（五）一阶微分环节：1 1微方：微方：2 2传函：传函：有一个负值零点有一个负值零点 同样实际中常带有惯同样实际中常带有惯性，如右图的性，如右图的RCRC网络：网络：（五）一阶微分环节：1微方：2传函：有一个负值零点 同样令令只有当只有当时，才有时，才有令只有当时，才有（六）振荡环节：（六）振荡环节：1 1微方：微方：2 2传函：传函：有两个极点：有两个极点：为两个不为两个不 相等的负实根。相等的负实根。一对共轭复数根。一对共轭复数根。（六）振荡环节：1微方：2传函：有两个极点：为两个不（输出延迟（输出延迟 后复现输入）后复现输入）（七）延迟环节：（七）延迟环节：如枢控电机、如枢控电机、R-L-C 网络、动力系等。网络、动力系等。2.2.响应：当响应：当时，时，图所示。图所示。四种不同四种不同的响应如的响应如（输出延迟 （七）延迟环节：如枢控电机、3 3处理方法：处理方法：展开成台劳级：展开成台劳级：很小时，可将很小时，可将为超越函数，当为超越函数，当2 2传函：传函：如皮带传输机、晶闸管整流装置等。如皮带传输机、晶闸管整流装置等。1 1微方：微方：即将延迟环节近似为惯性环节。即将延迟环节近似为惯性环节。3处理方法：展开成台劳级：很小时，可将为超越函数，当2传2.3控制系统的结构图与信号流图2.3.1控制的基本构成 1定义：由具有一定函数关系组成的、并标明信号 传递方向的系统方框图称为动态结构图。2组成：4个基本单元。信号线：带箭头的直线，表示信号传递的方向，线上标注信号所对应的变量，信号传递 具有单向性。引出点：信号引出或测量的位置，从同一信号线上取出的信号数值和性质完全相同。2.3控制系统的结构图与信号流图2.3.1控制的基本构成 比较点：表示两个或两个以上信号在该点相加减，运算符号必须表明，一般正号可省略。方框：表示输入、输出信号之间的动态传递 关系，方框的输出信号等于方框的输 入信号与方框中G(s)的乘积。比较点：表示两个或两个以上信号在该点相加减，方框：表示输2.3.2 结构图的等效变换与化简 1.环节的串联环节的串联是很常见的一种结构形式，其特点是，前一个环节的输出信号为后一个环节的输入信号，如下图所示。2.3.2 结构图的等效变换与化简 1.环节的串联环节的串2.环节的并联 环节并联的特点是，各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减），如图所示。2.环节的并联 环节并联的特点是，各环节的输入信号相同，输出3.环节的反馈连接 若传递函数分别为和的两个环节如图(a)形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加，“-”号则表示相减，为负反馈。构成反馈连接后，信号的传递形成了封闭的路线，形成了闭环控制。按照控制信号的传递方向，可将闭环回路分成两个通道，前向通道和反馈通道。前向通道传递正向控制信号，通道中的传递函数称为前向通道传递函数，如图(a)中 的。反馈通道是把输出信号反馈到输入端，它的传递函数称为反馈通道传递函数，如图(a)中 的。当时，称为单位反馈。3.环节的反馈连接 若传递函数分别为和的两个环节如图4.4.比较点和引出点的移动比较点和引出点的移动 在系统结构图简化过程中，有时为了便于进行方框的串联、并联或反馈连接的运算，需要移动比较点或引出点的位置。这时应注意在移动前后必须保持信号的等效性，而且比较点和引出点之间一般不宜交换位置。表2-1列出了结构图简化（等效变换）的基本规则。利用这些规则可以将比较复杂的系统结构图进行简化。表2-1 结构图简化（等效变换）的基本规则序号名称原方框图等效方框图1串联4.比较点和引出点的移动 在系统结构图简化过程中，有2并联3反馈4等效单位反馈5比较点前移2并联3反馈4等效单位反馈5比较点前移6比较后移点7引出点前移8引出点后移6比较后移点7引出点前移8引出点后移9交换或合并比较点10交换比较点或引出点9交换或合并比较点10交换比较点或引出点下面举例说明结构图的等效变换和简化过程。例2-11 试求图2-16所示多回路系统的闭环传递函数。图2-16 例2-11系统的结构图 解解：按照图2-17所示的步骤，根据环节串联、并联和反馈连接的规则简化。可以求得下面举例说明结构图的等效变换和简化过程。系统传递函数课件图2-17 例2-11结构图的化简图2-17 例2-11结构图的化简2.3.3 系统传递函数系统传递函数 1.系统开环传递函数 系统的开环传递函数，是用根轨迹法和频率法分析系统的主要数学模型。在图2-21中，将反馈环节的输出端断开，则前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积 称为系统的开环传递函数。相当于 。2.作用下的系统闭环传递函数图2-20 闭环控制系统的典型结构图2.3.3 系统传递函数 1.系统开环传递函数 系统的3.作用下的系统闭环传递函数 令 ，图2-20简化为图2-21，输出 对输入 的传递函数为 称为作用下的系统闭环传递函数。图2-21 作用下的系统结构图为了研究扰动对系统的影响，需要求输出 对 的传递函数。令 ，图2-20转化为图2-22由图可得称 为 作用下的系统闭环传递函数。图2-22 作用下的系统结构图3.作用下的系统闭环传递函数 令 ，图4.系统的总输出 当给定输入和扰动输入同时作用于系统时，根据线性叠加原理，线性系统的总输出应为各输入信号引起的输出之总和。因此有5.闭环系统的误差传递函数 误差大小直接反映了系统的控制精度。在此定义误差为给定信号与反馈信号之差，即 作用下闭环系统的给定误差传递函数 令 ，则可由图2-20转化得到的图2-23（a）求得4.系统的总输出 当给定输入和扰动输入同时作用于系统 作用下闭环系统的扰动误差传递函数取 ，则可由图2-23（b）求得 图2-23 、作用下误差输出的结构图(a)(b)作用下闭环系统的扰动误差传递函数取 ，则系统的总误差根据叠加原理，系统的总误差为 对比上面导出的四个传递函数 、和 的表达式，可以看出，表达式虽然各不相同，但其分母却完全相同，为 ,这是闭环控制系统的本质特征。系统的总误差2.3.4 信号流图与梅逊公式 控制系统的信号流图与结构图一样都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。对于结构比较复杂的系统，结构图的变换和化简过程往往显得繁琐而费时。与结构图相比，信号流图符号简单，更便于绘制和应用，而且可以利用梅逊公式直接求出任意两个变量之间的传递函数。但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。1.信号流图-+组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：2.3.4 信号流图与梅逊公式 控制系统的信号流图与上图中，两者都具有关系:。支路对节点 来说是输出支路，对节点y来说是输入支路。节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点 表示输出信号。支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。上图中，两者都具有关系:几个术语：输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如：X8。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的开通路叫前向通路。输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。几个术语：输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如：回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为回路。互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终2.梅逊增益公式 用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：式中：总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第k个前向通道的总传输；流图特征式；其计算公式为：2.梅逊增益公式 用梅逊公式可不必简化信号流（正负号间隔）式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回 路传输乘积之和；所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分。（正负号间隔）式中：流图中所有不例例2-13 2-13 一系统信号流图如图2-25所示，试求系统的传递函数。例2-13信号流图解解：由图可知此系统有两条前向通道 ，其增益各为 和 。有三个回路，即 ，因此 。上述三个回路中只有 与 互不接触，与 及 都接触，因此 。例2-13 一系统信号流图如图2-25所示，试求系统的传递由此得系统的特征式为由图可知，与前向通道相接触的回路为 、，因此在 中除去 、得 的特征余子式 。又由图可知，与 前向通道相接触的回路为 及 ，因此在中除去 、得 的特征余子式 。由此得系统的传递函数为 由此得系统的特征式为由图可知，与前向通道相接触的回路为 注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出对混合节点（中间变量）的增益不能直接应用梅森公式。也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递函数：一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数。注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出2.4 MATLAB在系统建模中的应用 在MATLAB中，可以直接采用内部函数进行拉氏变换和拉氏反变换，函数名分别为laplace和ilaplace。使用前，需先用syms函数设置有关的符号变量。具体内容查看资料。2.4 MATLAB在系统建模中的应用 在MATLA本章小结本章小结 控制系统的数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。通常是先分析系统中各元部件的工作原理，然后利用有关定理，舍去次要因素并进行适当的线性化处理，最后获得既简单又能反映系统动态本质的数学模型。微分方程是系统的时域数学模型，正确理解和掌握系统的工作过程、各元部件的工作原理是建立微分方程的前提。传递函数是在零初始条件下系统输出的拉氏变换和输入的拉氏变换之比，是经典控制理论中重要的数学模型，熟练掌握和运用传递函数的概念，有助于分析和研究复杂系统。本章小结 控制系统的数学模型是描述系统因果关系的数学表达 结构图和信号流图是两种用图形表示的数学模型，具有直观、形象的特点。引入这两种数学模型的目的就是为了求系统的传递函数。利用结构图求系统的传递函数，首先需要将结构图进行等效变换，但必须遵循等效变换的原则。利用信号流图求系统的传递函数，不必简化信号流图就可以方便地应用梅逊公式求复杂系统的传递函数，而且梅逊公式也可以直接用于系统结构图。这就为求取系统的传递函数提供了不同的方法及互相检验结果的有效手段。结构图和信号流图是两种用图形表示的数学模型，具有直观、