第五章速度运动学课件

机器人原理与应用机器人原理与应用2024/7/141第五章 速度运动学 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/142本本章章将将进进一一步步讨讨论论运运动动的的几几何何学学及及与与时时间间有有关关的的量量，即即讨论机器人的速度运动学问题。讨论机器人的速度运动学问题。速速度度运运动动学学问问题题重重要要是是因因为为操操作作机机不不仅仅需需要要达达到到某某个个（或或一一系系列列的的）位位置置，而而且且常常需需要要它它按按给给定定的的速速度度达达到到这些位置。这些位置。主要内容：主要内容：5.1 微分关系微分关系 5.2 操作机的微分移动操作机的微分移动 5.3 微分转动的两个定理微分转动的两个定理 5.4 微分算子微分算子 5.5 雅可比矩阵及其变换雅可比矩阵及其变换 5.6 雅可比矩阵的力学意义雅可比矩阵的力学意义 第五章第五章 速度运动学速度运动学5.1 微分关系2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1465.2 操作机的微分移动操作机的微分移动 所谓微分运动指的是无限小的运动，即无限小的移动和所谓微分运动指的是无限小的运动，即无限小的移动和无限小的转动。它既可以用指定的当前坐标系来描述，也可无限小的转动。它既可以用指定的当前坐标系来描述，也可以用基础坐标系来描述。以用基础坐标系来描述。对于微分移动（平动）的齐次变换矩阵对于微分移动（平动）的齐次变换矩阵T可表示为可表示为 式中式中 是微分位移矢量在基础坐标系或当前坐标系的是微分位移矢量在基础坐标系或当前坐标系的分量。分量。第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1475.3 微分转动的两个定理微分转动的两个定理 若绕若绕x轴转微小轴转微小 角表示为角表示为 ，并考虑，并考虑，则对则对x,y,zx,y,z多轴多轴微分转动的齐次变换矩阵微分转动的齐次变换矩阵R R应该有如下形式：应该有如下形式：第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/148上面的近似等式上面的近似等式是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/149定定理理1 1 绕绕任任意意单单位位向向量量 转转动动 的的微微分分转转动动等等效于绕轴效于绕轴x，y，z的的3个微分转动个微分转动 ，并有并有于是总的转动微分于是总的转动微分 可由如下的齐次矩阵描述可由如下的齐次矩阵描述 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1410证明证明：取以下的两个相继微分转动，则有取以下的两个相继微分转动，则有 略去二阶无穷小量后得：略去二阶无穷小量后得：定理定理2 微分转动与微分转动的次序无关微分转动与微分转动的次序无关 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1411 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14125.4 微分算子微分算子 已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵T来描述，来描述，经过微分运动后变为经过微分运动后变为T+dT。应用相对于基础坐标系的左乘法。应用相对于基础坐标系的左乘法则，则，T+dT可以表示为：可以表示为：得得 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1413定义微分算子定义微分算子 得得 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1414例例：设操作机的位姿为设操作机的位姿为 ，求求先先实实施施转转动动 ，再再实实施施移移动动 的的微微分分运运动动dT，以及其后操作机的新位姿，以及其后操作机的新位姿T+dT。解：解：由于由于 =0.1，dx=1；=0，dy=0；=0，dz=0.5由定义式得：由定义式得：第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1415则则操作机实施微分运动后的新位姿为：操作机实施微分运动后的新位姿为：第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1416 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1417 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1418 第五章第五章 速度运动学速度运动学操作机实施微分运动后的新位姿为：第五章第五章 速度运动学速度运动学5.4.2 微分变换的解释微分变换的解释矩阵表示由于微分运动所引起的坐标系的变化，这个矩阵中的各元素为：（5-22）第五章第五章 速度运动学速度运动学dA意味着该x坐标系沿轴移动了-1.5个单位的微小量，沿y轴移动了0.8个单位的微小量，沿z轴移动了1.1个单位的微小量。同时它也意味着坐标系的旋转使得在n向量的nx分量上改变了-0.3，在分量nz上改变了0.2，而在向量o的分量ox上改变了0.1，分量oy上改变了-0.2，在向量a的分量ay上改变了0.3，在其分量az上改变了-0.1。第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14225.5 雅可比矩阵及其变换雅可比矩阵及其变换 5.5.1 雅可比矩阵雅可比矩阵 即为著名的雅可比矩阵。通过即为著名的雅可比矩阵。通过 可以实现从关节速度可以实现从关节速度到基坐标速度的变换。到基坐标速度的变换。考虑操作机的手爪位姿考虑操作机的手爪位姿 r 和关节变量和关节变量 的关系用正运动学的关系用正运动学方程方程 表示的情况。表示的情况。对于对于6 关节的操作机关节的操作机 ，有有 ，第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1423展开为：展开为：同样对于同样对于mn维的空间的机器人，其雅可比矩阵维的空间的机器人，其雅可比矩阵 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1424雅可比矩阵的一般形式：雅可比矩阵的一般形式：一般地一般地,对于对于n个自由度的机械手末端手爪的角速度和线速个自由度的机械手末端手爪的角速度和线速度，在基坐标系中的描述记为度，在基坐标系中的描述记为,。如果写成一个向量。如果写成一个向量具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式其中其中,为为n1的机械手关节的机械手关节(旋转或平移关节旋转或平移关节)的位移向量。的位移向量。雅可比矩阵雅可比矩阵J()表明了机械手关节速度与末端表明了机械手关节速度与末端(手爪手爪)直角直角坐标速度之间的线性变换关系。坐标速度之间的线性变换关系。第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14255.5.2 雅可比逆矩阵雅可比逆矩阵当机械手有六个自由度时当机械手有六个自由度时,雅可比矩阵雅可比矩阵J J()()为为66方阵。如果方阵。如果J J()()可逆可逆,那末只要给定机械手末端的直角坐标速度那末只要给定机械手末端的直角坐标速度,就可以求得就可以求得相应的关节速度相应的关节速度 但但是是,雅雅可可比比矩矩阵阵J()J()是是随随着着机机械械手手的的形形态态变变化化的的,某某些些形形态态下下的的值值就就可可能能使使J()J()成成为为奇奇异异,这这时时的的机机械械手手末末端端位位置置称称之之为为机机械手的奇异点。械手的奇异点。当当机机械械手手处处于于奇奇异异形形态态时时,它它在在直直角角坐坐标标空空间间的的自自由由度度就就有有所所减减少少,这这意意味味着着在在直直角角坐坐标标空空间间的的某某些些方方向向上上,无无论论选选取取什什么么样样的的关关节节速速度度,机机械械手手都都不不能能沿沿着着那那些些方方向向运运动动。奇奇异异点点可可能能处处于于机机械械手手工工作作空间的边界或工作空间内部。空间的边界或工作空间内部。第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14265.5.3 操作机的雅可比矩阵及其逆矩阵操作机的雅可比矩阵及其逆矩阵 对于对于 操作机操作机 根据雅可比矩阵的定义根据雅可比矩阵的定义式有：式有：则则 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1427由由 操作机几何关系得：操作机几何关系得：对对 t 求导得求导得 另外，有另外，有对对 t 求导得求导得 则则求雅可比逆矩阵求雅可比逆矩阵 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14求雅可比逆矩阵求雅可比逆矩阵根据逆矩阵的定义：根据逆矩阵的定义：第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1429解：解：得得例例5-1 试求图所示的试求图所示的2自由度机械手的雅可比矩阵自由度机械手的雅可比矩阵 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14315.5.4 雅可比矩阵的物理意义雅可比矩阵的物理意义 关节关节1关节关节2 和和 分别为分别为 和和 反反时针转动时针转动 而成。而成。将雅可比矩阵定义为列向量将雅可比矩阵定义为列向量 以上述例题为例：以上述例题为例：有有如何验证？如何验证？第五章第五章 速度运动学速度运动学 第五章第五章 速度运动学速度运动学 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1434解：解：已知已知 ，则，则 ，又知，又知 ，则由已知矩阵式可知，则由已知矩阵式可知 分分析析：当当x0时时,。又又因因为为已已假假设设了了y1，以以致致 ，即即操操作作机机手手臂臂长长度度不不为为零零，上上式式分分母母不不为为零零，不不会出现奇异问题。会出现奇异问题。例例5-2：已知：已知：，当手部沿着，当手部沿着y=1的直线以匀速的直线以匀速 运动，试将运动，试将 ，表示为表示为 x 的函数的函数。第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1435（1）对对于于 ，当当 r 趋趋于于 0 时时，操操作作机机出出现现奇奇异异问问题题。此此时时操操作作机机失失控控，即即遇遇到到速速度度趋趋于于无无穷穷大大的的困困难难。此此时时，若若 或或 为为有有限限值值时时，和和 趋趋于于无无穷穷大大。事事实实上上 的条件是很容易辨别和避免的的条件是很容易辨别和避免的；（2）由由以以上上 操操作作机机的的雅雅可可比比矩矩阵阵及及其其逆逆阵阵的的推推导导可可以以看看出出，当当操操作作机机具具有有6关关节节时时，雅雅可可比比矩矩阵阵的的推推导导将将会更加复杂。会更加复杂。由以上分析可以得出两点结论由以上分析可以得出两点结论：第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学例5-3计算PUMA560机器人的雅克比矩阵由于PUMA560的6个关节都是转动关节，所以其雅克比矩阵含有6列。第五章第五章 速度运动学速度运动学 第五章第五章 速度运动学速度运动学 第五章第五章 速度运动学速度运动学 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14475.5 雅可比矩阵的力学意义雅可比矩阵的力学意义类似于速度的雅可比矩阵形式类似于速度的雅可比矩阵形式,我们也可以得到一个我们也可以得到一个力域中的雅可比矩阵形式力域中的雅可比矩阵形式,而且可以证明而且可以证明,在此在此,速度速度雅可比矩阵是以转置的形式出现的雅可比矩阵是以转置的形式出现的其其中中,为为n1向向量量,表表示示n个个关关节节上上的的平平衡衡力力/平平衡衡力力矩矩,而而 为为作作用用在在手手爪爪上上的的直直角角坐坐标标力力/力力矩矩形形成成的的61向向量量。因因此此,实实际际上上 表表示示把把手手爪爪上上的的直直角角坐坐标标力力/力矩映射为等价的关节力力矩映射为等价的关节力/关节力矩。关节力矩。第五章第五章 速度运动学速度运动学 机器人静力分析机器人静力分析2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/14 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1453主要参考文献陈哲，吉熙章编著，机器人技术基础，机械陈哲，吉熙章编著，机器人技术基础，机械工业出版社，工业出版社，1997.10周远清，张再兴，智能机器人系统，清华大周远清，张再兴，智能机器人系统，清华大学出版社，学出版社，1989.8白井良明（日），机器人工程，科学出版社，白井良明（日），机器人工程，科学出版社，OHM社，北京，社，北京，2001.2 第五章第五章 速度运动学速度运动学2024/7/1454The End of Chapter 5