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第一节 偶然误差的统计规律 1 1、描述偶然误差分布的三种方法、描述偶然误差分布的三种方法 1 1）列表法）列表法误差区间误差区间为负值的为负值的为正值的为正值的个数个数 i i相对个数个数相对个数个数 i i/n/n个数个数 i i相对个数个数相对个数个数 i i/n/n0.0-0.50.0-0.51231230.1580.1581161160.1490.1490.5-1.00.5-1.099990.1270.12798980.1250.1251.0-1.51.0-1.572720.0920.09274740.0950.095和和3933930.5030.5033883880.4970.497相同条件下，对测区781个三角形内角进行观测，求出内角和的真误差第一节 偶然误差的统计规律 1 1、描述偶然误差分布的三种方法、描述偶然误差分布的三种方法2 2）绘图法）绘图法第一节 偶然误差的统计规律 1 1、描述偶然误差分布的三种方法、描述偶然误差分布的三种方法3 3）密度函数法）密度函数法第一节 偶然误差的统计规律 2 2、偶然误差的分布特性、偶然误差的分布特性（1 1）有界性：）有界性：uu在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值，在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值，或偶然误差的绝对值大于某个值的概率为零。或偶然误差的绝对值大于某个值的概率为零。（2 2）聚中性：）聚中性：uu绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（3 3）对称性：）对称性：uu绝对值相等的正负误差出现的概率相等绝对值相等的正负误差出现的概率相等（4 4）抵偿性：）抵偿性：uu偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0 0第一节 偶然误差的统计规律 3 3、由偶然误差特性引出的两个测量依据、由偶然误差特性引出的两个测量依据制定测量限差的依据制定测量限差的依据uu依据偶然误差的有界性，在实际工作中可根据观测条件确定依据偶然误差的有界性，在实际工作中可根据观测条件确定一个误差限值，若观测值的误差绝对值小于该限值，认为观一个误差限值，若观测值的误差绝对值小于该限值，认为观测值符合要求，否则应剔除或重测。测值符合要求，否则应剔除或重测。判断系统误差（粗差）的依据判断系统误差（粗差）的依据uu依据抵偿性，若误差的理论平均值不为零，且数值较大，说依据抵偿性，若误差的理论平均值不为零，且数值较大，说明观测成果中含有系统误差和粗差。明观测成果中含有系统误差和粗差。第二节 衡量精度的指标 1 1、精度、精度定义：定义：uu误差分布的密集或离散的程度。误差分布的密集或离散的程度。uu若两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度若两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。uu所谓精度高低，是对不同观测组而言。对于同一组的若干个所谓精度高低，是对不同观测组而言。对于同一组的若干个观测值，因对应于同一种误差分布，故每个观测值的精度都观测值，因对应于同一种误差分布，故每个观测值的精度都相同。相同。uu在相同观测条件下进行的一组观测，每一观测值都称为等精在相同观测条件下进行的一组观测，每一观测值都称为等精度观测值。度观测值。第二节 衡量精度的指标 1 1、精度、精度精确精确准确准确第二节 衡量精度的指标 2 2、衡量精度的指标、衡量精度的指标1 1）方差）方差uu设有一组同精度的独立观测值，其相应的一组真误差为设有一组同精度的独立观测值，其相应的一组真误差为 1 1、2 2、n n，则独立误差平方的平均值的极限为该组观测值，则独立误差平方的平均值的极限为该组观测值的方差。的方差。2 2）中误差）中误差uu方差的算术平方根（统计学称为标准差），恒为正。方差的算术平方根（统计学称为标准差），恒为正。第二节 衡量精度的指标 2 2、衡量精度的指标、衡量精度的指标 上述公式都是在上述公式都是在 情况下定义的，实际工作中，情况下定义的，实际工作中，观测次数不能无限多，一般只能得到方差和中误差的观测次数不能无限多，一般只能得到方差和中误差的估计值：估计值：第二节 衡量精度的指标 例题例题某测区的某测区的1616个三角形内角和的误差如下，试求三角形个三角形内角和的误差如下，试求三角形内角和中误差。内角和中误差。-5.2-5.2+3.1+3.10.00.0-0.2-0.2+1.1+1.1-1.7-1.7+0.1+0.1+1.2+1.2-0.6-0.6+2.2+2.2-3.2-3.2+1.4+1.4-0.8-0.8+1.0+1.0-0.2-0.2+1.0+1.0第二节 衡量精度的指标 练习练习 设设有有一一列列等等精精度度观观测测值值的的真真误误差差为为：+0.22+0.22，-0.42-0.42，+0.12+0.12，-0.32-0.32，+0.65+0.65，+0.81+0.81，-0.45-0.45，-0.67-0.67，-0.74-0.74，+0.90+0.90。试试求求其中误差。其中误差。第二节 衡量精度的指标 练习练习为了鉴定经纬仪的精度，对已知的水平角为了鉴定经纬仪的精度，对已知的水平角(=(=4545 0000 0000)作了作了1212次观测，其结果为：次观测，其结果为：45 00 06,44 59 55,44 59 58,45 00 04,45 00 0345 00 06,44 59 55,44 59 58,45 00 04,45 00 0345 00 04,45 00 00,44 59 58,44 59 59,44 59 59 45 00 04,45 00 00,44 59 58,44 59 59,44 59 59 45 00 0645 00 06，45 00 03 45 00 03假设无误差，试求观测值的中误差。假设无误差，试求观测值的中误差。第二节 衡量精度的指标 观测值方差的估算方法观测值方差的估算方法1 1）当真值或理论值已知时）当真值或理论值已知时2 2）当真值未知时）当真值未知时第二节 衡量精度的指标 练习练习 在测站在测站D D上用经纬仪分别观测了三个方向上用经纬仪分别观测了三个方向A A、B B、C C，得，得1010个测回的方向观测读数个测回的方向观测读数a a、b b、c c，试估算各个方向观测，试估算各个方向观测值的方差。值的方差。a ab bc c284729284729471819471819695034695034343420203535282818183333333317173535353524243131353518183030313116162929292925253232272719193232323218183737第二节 衡量精度的指标 2 2、衡量精度的指标、衡量精度的指标3 3）极限误差）极限误差uu绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%31.7%；绝对值；绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%4.5%；绝对值大于；绝对值大于三倍中误差的观测误差出现的概率仅为三倍中误差的观测误差出现的概率仅为0.3%0.3%。uu观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此，实际工观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，称为极限误差。作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，称为极限误差。若对观测要求较严，也可规定两倍中误差为极限误差。若对观测要求较严，也可规定两倍中误差为极限误差。第二节 衡量精度的指标 练习练习有一段距离，其观测值及其中误差为有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m 345.675m 1515m mm m，试估计这个观测值的真误差实际可能出现的试估计这个观测值的真误差实际可能出现的范围是多少范围是多少？求出该观测值的相对中误差。？求出该观测值的相对中误差。第二节 衡量精度的指标 2 2、衡量精度的指标、衡量精度的指标4 4）相对误差）相对误差uu观测值的误差与观测值之比，称为相对误差观测值的误差与观测值之比，称为相对误差uu相对误差是衡量单位长度的精度，是个无名数，在测量中经相对误差是衡量单位长度的精度，是个无名数，在测量中经常将分子化为常将分子化为1 1，分母化为整数，分母化为整数N N，即用，即用 表示。表示。uu一般来说，当观测误差随着观测量的大小而变化时，用相对一般来说，当观测误差随着观测量的大小而变化时，用相对误差来描述其精度。误差来描述其精度。uu相对真误差、相对中误差、相对极限误差相对真误差、相对中误差、相对极限误差uu为了与相对误差区别，真误差、中误差和极限误差统称为绝为了与相对误差区别，真误差、中误差和极限误差统称为绝对误差。对误差。第二节 衡量精度的指标 练习练习 已知已知S S1 1=300.445m=300.445m 4.5cm,S4.5cm,S2 2=660.844m=660.844m 4.5cm4.5cm，试，试说明：它们的真误差是否相等？它们的最大误差是否说明：它们的真误差是否相等？它们的最大误差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对误差是否相相等？它们的精度是否相等？它们的相对误差是否相等？等？第三节 观测向量的精度 1 1、观测量间的协方差、观测量间的协方差当观测量之间不再误差独立时当观测量之间不再误差独立时,观测量观测量L Li i和和L Lj j之间的之间的误差相关误差相关,描述这种相关程度的指标是协方差描述这种相关程度的指标是协方差 ,表示观测值表示观测值L Li i和和L Lj j不相关不相关,即相互独立即相互独立 ,表示观测值表示观测值L Li i和和L Lj j相关相关,不相互独立不相互独立第三节 观测向量的精度|协方差的估算1）当真值已知时2）当真值未知时第三节 观测向量的精度|练习 试估算三个方向观测值a、b、c之间的协方差。a b c-2.3-0.41.22.70.62.2-3.3-1.40.21.7-2.42.23.74.6-1.83.7-1.4-2.8-0.3-3.4-3.8-2.35.6-0.8-4.3-0.4-0.80.7-1.44.2abc284729471819695034342035281833331735352431351830311629292532271932321837第三节 观测向量的精度 2 2、观测向量的方差阵、观测向量的方差阵观测向量：观测向量：uu若观测值有若观测值有L L1 1、L L2 2、L Ln n个，可将它们表示成一个向量个，可将它们表示成一个向量L=L=（L L1 1,L,L2 2,L Ln n）T T方差阵方差阵D DLLLLuu观测向量的精度一般用方差矩阵观测向量的精度一般用方差矩阵D DLLLL表示表示uuD DLLLL中既有各个观测向量的方差，表示其中既有各个观测向量的方差，表示其 精度，也有观测量之间的协方差，表示精度，也有观测量之间的协方差，表示 观测值之间的误差相关关系。观测值之间的误差相关关系。第三节 观测向量的精度 2 2、观测向量的方差阵、观测向量的方差阵uu主对角线上的元素为相应观测值的方差，其余元素为两个主对角线上的元素为相应观测值的方差，其余元素为两个观测值的协方差观测值的协方差uu如果观测向量相互均不相关，则所有非对角线元素为零如果观测向量相互均不相关，则所有非对角线元素为零第三节 观测向量的精度|练习第三节 观测向量的精度|练习第四节 误差传播律实际工作中，往往会遇到某些量的大小不是直接测实际工作中，往往会遇到某些量的大小不是直接测定，而是由观测值通过一定的函数关系计算出来的，定，而是由观测值通过一定的函数关系计算出来的，即常常遇到的某些量是观测值的函数。即常常遇到的某些量是观测值的函数。观测值函数的中误差与观测值的中误差之间，观测值函数的中误差与观测值的中误差之间，存在着怎样的关系？存在着怎样的关系？中误差可由相应的方差开方得到，所以可通过方差中误差可由相应的方差开方得到，所以可通过方差和协方差的运算规律来导出。和协方差的运算规律来导出。第四节 误差传播律|1、线性函数 若观测值间独立，则函数的方差为:若观测值间不独立，则函数的方差为：第四节 误差传播律|1、线性函数 第四节 误差传播律|1、线性函数 第四节 误差传播律|1、线性函数倍乘函数和（差）函数 1、观测量独立时？2、n个独立观测量？3、各观测值精度相同时？第四节 误差传播律|练习 在1：500的图上，量得某两点的距离d=20.5mm，d的量测中误差 ,求该两点实地距离S及其中误差。第四节 误差传播律|例题 如图所示,观测了、三个角度,已知其中误差分别为12、24、24，求角度的中误差。第四节 误差传播律 例题 用钢尺分五段测量某距离，得到各段距离及其相应用钢尺分五段测量某距离，得到各段距离及其相应的中误差如下，试求该距离的中误差如下，试求该距离S S的中误差及相对中误差的中误差及相对中误差。S S1 1=50.350m1.5mm S=50.350m1.5mm S2 2=150.555m2.5mm S=150.555m2.5mm S3 3=100.650m2.0mm=100.650m2.0mm S S4 4=100.450m2.0mm S=100.450m2.0mm S5 5=50.455m1.5mm=50.455m1.5mm 第四节 误差传播律 例题例题 同精度观测三角形的三个内角同精度观测三角形的三个内角L L1 1、L L2 2、L L3 3，其相应，其相应中误差为中误差为，且观测值之间相互独立。试求：三角形闭，且观测值之间相互独立。试求：三角形闭合差合差 的中误差；将闭合差平均分配后角的中误差；将闭合差平均分配后角A A的中误差。的中误差。第四节 误差传播律 练习练习 导线的转折角的中误差为导线的转折角的中误差为 求方位角求方位角 的中误差。的中误差。第四节 误差传播律 练习练习 随机向量随机向量L L的协方差阵为：的协方差阵为：求求 的方差。的方差。第四节 误差传播律|练习 第四节 误差传播律|2、一般函数第四节 误差传播律 例题例题 已知长方形的厂房，经过测量，其长已知长方形的厂房，经过测量，其长x x的观测值为的观测值为90m90m，宽，宽y y观测值为观测值为50m50m，中误差分别为，中误差分别为2mm2mm、3mm3mm，求其面积及相应的中误差。求其面积及相应的中误差。第四节 误差传播律 练习练习 已知观测值已知观测值L L1 1、L L2 2的中误差的中误差 1 1=2 2=，1212=0=0，设设X X=2=2 L L1 1+5,+5,Y Y=L L1 1-2 -2 L L2 2,Z Z=L L1 1 L L2 2,t t=X X+Y Y，试求，试求X X、Y Y、Z Z和和t t的中误差。的中误差。第四节 误差传播律 练习练习 设有观测值向量设有观测值向量L=LL=L1 1 L L2 2 L L3 3 T T，其协方差阵为，其协方差阵为试分别求下列函数的方差：试分别求下列函数的方差：F F1 1=L=L1 1-3L-3L3 3；F F2 2=3L=3L2 2L L3 3第四节 误差传播律 练习练习 由已知点由已知点A A丈量距离丈量距离S S并测量坐标方位角，借以计并测量坐标方位角，借以计算算P P点的坐标。观测值及中误差为点的坐标。观测值及中误差为S=127.00m0.03mS=127.00m0.03m,=30002.5,=30002.5,设设A A点坐标无误差，试求待定点点坐标无误差，试求待定点P P的点的点位中误差位中误差 P P。第四节 误差传播律第四节 误差传播律 练习练习设测得导线边长设测得导线边长 ，坐标方位角坐标方位角 ，试求纵横坐标增量，试求纵横坐标增量 的中误差。的中误差。第四节 误差传播律 多个观测向量线性函数的方差阵多个观测向量线性函数的方差阵 若观测向量的多个线性函数为：若观测向量的多个线性函数为：于是，观测向量的多个线性函数可写为于是，观测向量的多个线性函数可写为Z=KX+KZ=KX+K0 0 方差为：方差为：第四节 误差传播律 多个观测向量线性函数的方差阵多个观测向量线性函数的方差阵 若还有观测向量的另外若还有观测向量的另外r r个线性函数：个线性函数：第四节 误差传播律 练习练习设有观测值向量设有观测值向量L=LL=L1 1 L L2 2 L L3 3 T T，其协方差阵为，其协方差阵为现有函数现有函数 1 1=L=L1 1L L2 2；2 2=2L=2L1 1-L-L3 3，试求函数的方差，试求函数的方差D D 1 1、D D 2 2和互协方和互协方差差D D 1 1 2 2第五节 误差传播律在测量中的应用 1 1、水准测量的精度、水准测量的精度 设经过设经过n n个测站测定个测站测定A A、B B两水准点间的高差，且第两水准点间的高差，且第i i站站的观测高差为的观测高差为h hi i，则，则A A、B B两点的总高差两点的总高差h hABAB为：为：h hABAB=h h1 1+h h2 2+.+.+h hn n 设各测站观测高差的精度相同，其中误差为设各测站观测高差的精度相同，其中误差为 站站，则：，则：第五节 误差传播律在测量中的应用 1 1、水准测量的精度、水准测量的精度 若水准路线布设在平坦地区，则各测站的距离若水准路线布设在平坦地区，则各测站的距离s s大致大致相等，令相等，令A A、B B两点间的距离为两点间的距离为S S，测站数，测站数 ，则，则 如果如果S S及及s s均以公里为单位，则均以公里为单位，则 表示单位距离表示单位距离(1km)(1km)的测站数，的测站数，就是单位距离观测高差的中误差。就是单位距离观测高差的中误差。第五节 误差传播律在测量中的应用 1 1、水准测量的精度、水准测量的精度 当各测站高差的观测精度相同时，水准测量中高差的当各测站高差的观测精度相同时，水准测量中高差的中误差与测站数的平方根成正比中误差与测站数的平方根成正比 当各测站的距离大致相等时，水准测量中高差的中误当各测站的距离大致相等时，水准测量中高差的中误差与距离的平方根成正比差与距离的平方根成正比第五节 误差传播律在测量中的应用 练习练习 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm5cm，问可以设多少站？，问可以设多少站？第五节 误差传播律在测量中的应用 练习练习在已知水准点在已知水准点A A、B(B(其高程无误差其高程无误差)间布设水准路线，路间布设水准路线，路线长为线长为S S1 1=2km=2km，S S2 2=6km=6km，S S3 3=4km=4km，设每公里高差中，设每公里高差中误差误差=1.0mm=1.0mm，试试求：求：(1)(1)将将闭闭合差按距离分配之后合差按距离分配之后P P1 1、P P2 2两点两点间间高差中高差中误误差差(2)(2)分配分配闭闭合差后合差后P P1 1点高程的中点高程的中误误差。差。第五节 误差传播律在测量中的应用 练习练习第五节 误差传播律在测量中的应用 练习练习第五节 误差传播律在测量中的应用 练习练习若要在两已知高程点间布设一条附合水准路线若要在两已知高程点间布设一条附合水准路线,已知每已知每千米观测中误差等于千米观测中误差等于5.0mm,5.0mm,欲使平差后线路中点欲使平差后线路中点C C高高程中误差不大于程中误差不大于10mm,10mm,问该线路长度最多可达几千米问该线路长度最多可达几千米?第五节 误差传播律在测量中的应用 练习练习第五节 误差传播律在测量中的应用 2 2、导线边方位角的精度、导线边方位角的精度 当支导线以同样的精度测得当支导线以同样的精度测得n n个转折角个转折角(左角左角)1 1、2 2、n n，它们的中误差均为，它们的中误差均为 。第。第n n条导线边的坐标条导线边的坐标方位角为：方位角为：第五节 误差传播律在测量中的应用 2 2、导线边方位角的精度、导线边方位角的精度 则第则第n n条导线边的坐标方位角的中误差为：条导线边的坐标方位角的中误差为：uu支导线中第支导线中第n n条导线边的坐标方位角的中误差，等于各转折条导线边的坐标方位角的中误差，等于各转折角之中误差的角之中误差的 倍。倍。第五节 误差传播律在测量中的应用 3 3、同精度独立观测值的算术平均值的精度、同精度独立观测值的算术平均值的精度 设对某量同精度独立观测设对某量同精度独立观测n n次，其观测值为次，其观测值为L L1 1、L L2 2、L Ln n、，中误差均为、，中误差均为，取，取n n个观测值的算术平均值个观测值的算术平均值作为该量的最后结果，即：作为该量的最后结果，即：由误差传播律，可得算术平均值的中误差为：由误差传播律，可得算术平均值的中误差为：第五节 误差传播律在测量中的应用 练习练习 有一角度测有一角度测4 4测回，得中误差测回，得中误差0.420.42，问再增加多少测，问再增加多少测回其中误差为回其中误差为0.280.28？第五节 误差传播律在测量中的应用 4 4、若干个独立误差的联合影响、若干个独立误差的联合影响 一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响，此一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响，此时，观测结果的中误差可看成各个独立误差的代数和。时，观测结果的中误差可看成各个独立误差的代数和。第五节 误差传播律在测量中的应用 5 5、根据实际要求确定部分观测值的精度、根据实际要求确定部分观测值的精度在测量实际工作中，常出现为了使观测值函数的精度在测量实际工作中，常出现为了使观测值函数的精度达到某一预定值的要求，反推观测值应具有的精度。达到某一预定值的要求，反推观测值应具有的精度。在制定有关测量观测精度的规范中常采用这种方法。在制定有关测量观测精度的规范中常采用这种方法。第五节 误差传播律在测量中的应用 练习练习一个三角形观测其两个内角一个三角形观测其两个内角 和和，第三个内角为，第三个内角为，若，若已知已知 角的测角中误差为角的测角中误差为 ，要求，要求 角的中误差角的中误差 ，问，问 角的测角精度不能低于多少？角的测角精度不能低于多少？第五节 误差传播律在测量中的应用 练习练习ABCABC为为等边三角形，观测边长和角度得观测值为等边三角形，观测边长和角度得观测值为bb b b=1000m=1000m0.015m0.015m，=6000=6000 0000，且，且 =。为为使算得的边长使算得的边长a a具有中误差具有中误差 a a =0.02m,0.02m,试问试问角角 和和 的的观观测测精度精度应为应为多少？多少？第五节 误差传播律在测量中的应用第六节 权与定权的常用方法 1 1、权的概念、权的概念 在一组不等精度的观测值中，由于观测值的精度不同，在一组不等精度的观测值中，由于观测值的精度不同，观测值的可靠程度也不同。观测值的可靠程度也不同。uu观测值精度越高，可靠程度越大，否则，可靠程度越小观测值精度越高，可靠程度越大，否则，可靠程度越小 在数据处理时，不能将这些观测值等同看待，需要确在数据处理时，不能将这些观测值等同看待，需要确定观测值在计算中所占的比重。定观测值在计算中所占的比重。第六节 权与定权的常用方法 举例举例 已知角已知角A=30A=3025362536，观测两次，观测两次A A1 1=30=302534225342，A A2 2=30=302542425424，求角，求角A A最或是值及其中误差。最或是值及其中误差。第六节 权与定权的常用方法 1 1、权的概念、权的概念 如果观测值的观测精度不相同，在做数据处理时，不如果观测值的观测精度不相同，在做数据处理时，不能将观测值等同看待，而应该让精度高的观测值参与能将观测值等同看待，而应该让精度高的观测值参与计算所占的比重大一些，精度低的观测值参与计算所计算所占的比重大一些，精度低的观测值参与计算所占的比重小一些，并且二者的比重关系还必须适当。占的比重小一些，并且二者的比重关系还必须适当。权权P P：衡量不同精度观测值在进行数据处理时所占分：衡量不同精度观测值在进行数据处理时所占分量的轻重。量的轻重。第六节 权与定权的常用方法 2 2、权与单位权、权与单位权1 1）单位权中误差）单位权中误差uu当当P=1P=1时，时，0 0=i i ，就是说，就是说 0 0是权为是权为1 1的观测值的中误差。的观测值的中误差。uu权为权为1 1的观测值称为单位权观测值，与之相应的中误差称为的观测值称为单位权观测值，与之相应的中误差称为单位权观测值的中误差，简称单位权中误差。单位权观测值的中误差，简称单位权中误差。第六节 权与定权的常用方法 2 2、权与单位权、权与单位权2 2）权的意义）权的意义uu权的大小可衡量观测值精度的高低：权的大小可衡量观测值精度的高低：uu观测值的权除与自身中误差有关外，还取决于单位权中误差观测值的权除与自身中误差有关外，还取决于单位权中误差 0 0的大小，的大小，0 0大小可以任意选取，只会改变观测值自身权的大小可以任意选取，只会改变观测值自身权的大小，大小，0 0一旦确定，一旦确定，观测值观测值之之间权间权的比例关系保持不的比例关系保持不变变。uu权不唯一权不唯一uu权的意义在于它们之间的相对意义，对一个观测值单纯谈论权的意义在于它们之间的相对意义，对一个观测值单纯谈论权的大小毫无意义。权的大小毫无意义。uu 0 0可以任意可以任意选选取，在同一取，在同一问题问题中只能中只能选选定一个定一个 0 0值值，不能同，不能同时选时选定几个不同的数定几个不同的数值值，否，否则则就破坏就破坏权权之之间间的比例关系，失的比例关系，失去去观测值权观测值权的意的意义义。第六节 权与定权的常用方法 2 2、权与单位权、权与单位权3 3）权与中误差的区别）权与中误差的区别uu权是一组观测值的相对精度指标，这组观测值可以是同类性权是一组观测值的相对精度指标，这组观测值可以是同类性质的，也可以是不同类性质的观测值。质的，也可以是不同类性质的观测值。uu中误差是表征精度的中误差是表征精度的绝对绝对绝对绝对的数字指标的数字指标uu权是表征精度的权是表征精度的相对相对相对相对的数字指标。的数字指标。第六节 权与定权的常用方法 2 2、权与单位权、权与单位权4 4）权的单位）权的单位uu同类观测值，权是无量纲单位同类观测值，权是无量纲单位uu不同类观测值，权的单位确定不同类观测值，权的单位确定第六节 权与定权的常用方法 练习练习设某角的三个观测值及其中误差分别为：设某角的三个观测值及其中误差分别为：3041202.03041202.03041264.03041264.0、3041161.0 3041161.0，现分别取，现分别取2.02.0、4.0 4.0、1.0 1.0作作为单位权中误差，计算三组不同的观测值权，再按各组权分别为单位权中误差，计算三组不同的观测值权，再按各组权分别计算这个角的加权平均值及其中误差。计算这个角的加权平均值及其中误差。第六节 权与定权的常用方法|练习不相同精度观测角A和角B，其权分别为 已知B=8，试求单位权中误差和角A的中误差。第六节 权与定权的常用方法 3 3、测量中定权的常用方法、测量中定权的常用方法 运用公式定权，必须事先知道观测值的中误差。实际运用公式定权，必须事先知道观测值的中误差。实际作业中，观测值的中误差往往在平差计算后才能得到，作业中，观测值的中误差往往在平差计算后才能得到，而平差计算前必须知道观测值的权，可见采用基本方而平差计算前必须知道观测值的权，可见采用基本方法定权有时很难实现。法定权有时很难实现。第六节 权与定权的常用方法 3 3、测量中定权的常用方法、测量中定权的常用方法1 1）水准测量的权）水准测量的权uu设在水准测量中，每一测站观测高差的精度相同，且中误差设在水准测量中，每一测站观测高差的精度相同，且中误差为为 站站 。若第。若第i i条水准路线共有条水准路线共有n ni i站，这段水准路线观测的高站，这段水准路线观测的高差中误差为：差中误差为：uu令令C C个测站测得的高差中误差为单位权中误差，即个测站测得的高差中误差为单位权中误差，即uu水准测量中高差的权为：水准测量中高差的权为：第六节 权与定权的常用方法 3 3、测量中定权的常用方法、测量中定权的常用方法1 1）水准测量的权）水准测量的权 常数常数C C的含义的含义uu当当n ni i=1=1，P Pi i=C=C：C C是是1 1测站的观测高差的权测站的观测高差的权uu当当P Pi i=1=1，n ni i =C=C：C C是单位权观测高差的测站数是单位权观测高差的测站数第六节 权与定权的常用方法 练习练习 设某水准网由设某水准网由4 4条路线组成，各路线的观测高差分别为条路线组成，各路线的观测高差分别为h h1 1、h h2 2、h h3 3、h h4 4，已知各路线的测站数为，已知各路线的测站数为n n1 1=20=20、n n2 2=40=40、n n3 3=80=80、n n4 4=10=10，且各测站观测高差的精度相同，试确定各观测高差的权，并指且各测站观测高差的精度相同，试确定各观测高差的权，并指出一个测站的观测高差的权。出一个测站的观测高差的权。第六节 权与定权的常用方法 3 3、测量中定权的常用方法、测量中定权的常用方法1 1）水准测量的权）水准测量的权uu如果已知单位距离（如果已知单位距离（1km1km）的观测高差中误差相等，设为）的观测高差中误差相等，设为 kmkm ，第，第i i条水准路线的距离为条水准路线的距离为S Si ikmkm，这段水准路线观测高差，这段水准路线观测高差中误差为：中误差为：uu令令CkmCkm观测高差中误差为单位权中误差，即观测高差中误差为单位权中误差，即uu水准测量中高差的权为：水准测量中高差的权为：第六节 权与定权的常用方法 3 3、测量中定权的常用方法、测量中定权的常用方法1 1）水准测量的权）水准测量的权 常数常数C C的含义的含义uu当当S Si i=1=1，P Pi i=C C：C C是是1 1公里观测高差的权公里观测高差的权uu当当P Pi i=1=1，S Si i =C C：C C是单位权观测高差的公里数是单位权观测高差的公里数第六节 权与定权的常用方法 练习练习 设路线的四条线路长度为设路线的四条线路长度为S S1 1=3km=3km、S S2 2=4km=4km、S S3 3=6km=6km、S S4 4=12km=12km，设每公里观测高差的精度相同，已知第，设每公里观测高差的精度相同，已知第4 4条线路观测高差的权条线路观测高差的权为为2 2，试求其他线路的权，并指明单位权观测值。，试求其他线路的权，并指明单位权观测值。第六节 权与定权的常用方法 3 3、测量中定权的常用方法、测量中定权的常用方法1 1）水准测量的权）水准测量的权 在水准测量中，究竟用水准路线的距离定权，还是用在水准测量中，究竟用水准路线的距离定权，还是用测站数定权，一般是这样理解的：测站数定权，一般是这样理解的：uu当地形起伏不大的地区，每公里的测站数基本相同，则用水当地形起伏不大的地区，每公里的测站数基本相同，则用水准路线的距离定权；准路线的距离定权；uu当地面起伏较大时，每公里的测站数相差较大，则按测站数当地面起伏较大时，每公里的测站数相差较大，则按测站数定权。定权。第六节 权与定权的常用方法 3 3、测量中定权的常用方法、测量中定权的常用方法1 1）水准测量的权）水准测量的权水准网中的所有水准路线都是按同一等级的水准测量水准网中的所有水准路线都是按同一等级的水准测量规范的技术要求进行观测的，那么一般就可以认为每规范的技术要求进行观测的，那么一般就可以认为每公里观测高差的精度是相同的，即假定每公里观测高公里观测高差的精度是相同的，即假定每公里观测高差的中误差为差的中误差为公里公里。第六节 权与定权的常用方法|练习 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A、B、C之间的高差，设该三角形边长分别为S1=10km，S2=8km，S3=4km令40km的高差观测值为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。第六节 权与定权的常用方法|练习 设已知点A、B之间的附合水准路线长为80km，令每公里观测高差的权等于1，求平差后线路中点（最弱点）C点高程的权及该点平差前的权。第六节 权与定权的常用方法|练习 由已知水准点A、B和C向待定点D进行水准测量，以测定D点高程。各线路长度为S1=2km，S2=S3=4km，S4=1km，设2km线路观测高差为单位权观测值，其中误差0=2mm，试求D点高程最或是值（加权平均值）的中误差D。第六节 权与定权的常用方法第六节 权与定权的常用方法|3 测量中定权的常用方法2)三角高程的权用三角测量推算的高差观测值，其精度随边长的增加而急剧下降，其两点间高差观测值权的计算公式为：Si为任意一边的水平距离；C为任意常数第六节 权与定权的常用方法|3 测量中定权的常用方法3)同精度观测值的算术平均值的权设L1、L2 Ln分别是N1、N2Nn次同精度观测值的算术平均值，若每次观测值的中误差均为，则Li的中误差为：令 ，则Li的权为：第六节 权与定权的常用方法|3 测量中定权的常用方法3)同精度观测值的算术平均值的权第六节 权与定权的常用方法|练习 某人对三个角L1、L2、L3同精度分别观测3个测回、6个测回、12个测回，试求：(1)三个角的平均值的权；(2)单位权观测值的测回数；(3)一测回的权。第六节 权与定权的常用方法|练习 设n个同精度观测值的权为P，其算术平均值的权为 ，问P与 的关系如何？第六节 权与定权的常用方法|练习 设对角A进行4次同精度独立观测，一次测角中误差为2.4，已知4次算术平均值的权为2。试问：(1)单位权观测值是什么？(2)单位权中误差等于多少？(3)欲使角A的权等于6，应观测几次？第六节 权与定权的常用方法|练习 设对某一长度进行同精度独立观测，已知一次观测中误差=2mm，设4次观测值平均值的权为3。试求：(1)单位权中误差；(2)一次观测值的权；(3)欲使平均值的权等于9，应观测几次？第六节 权与定权的常用方法|4 协因数与协因数阵1)观测值的协因数由权的定义可知，观测值的权与它的方差成反比，设有观测值Li和Lj，它们的方差分别为i2和j2，它们之间的协方差为ij，令第六节 权与定权的常用方法|4 协因数与协因数阵1)观测值的协因数观测值的协因数与方差成正比，因而协因数与权有类似作用，也是比较观测值精度高低的一种指标。互协因数与协方差成正比，是比较观测值之间相关程度的一种指标。互协因数的绝对值越大，表示观测值相关程度越高，反之越低。互协因数为零，表示观测值之间不相关，也称为独立观测。第六节 权与定权的常用方法|4 协因数与协因数阵2)协因数阵当一组观测值L1、L2Ln构成观测值向量 ，每个观测值均有自己的协因数，任意两个观测值之间也有互协因数，与向量的方差阵类似，定义观测向量L的协因数阵：第六节 权与定权的常用方法|4 协因数与协因数阵2)协因数阵主对角线上的元素分别为各个观测值的协因数(权倒数)，非主对角线上的元素为相应观测值之间的互协因数（相关权倒数），Qij=Qji当观测值之间相互独立时第六节 权与定权的常用方法|4 协因数与协因数阵3)权阵协因数阵可以表示观测向量的相对精度，但在相关平差计算中，常常直接用其逆阵参与运算，定义协因数阵的逆阵为观测向量的权阵，用P表示：第六节 权与定权的常用方法|4 协因数与协因数阵3)权阵对单个观测值来说，相对精度指标为权和协因数，二者互为倒数；对观测向量来说，相对精度指标为协因数阵和权阵，二者互为逆阵关系。观测值的协因数均可在其观测向量的协因数阵中（主对角线上的元素）找出，而观测值的权不一定能在其观测向量的权阵中找出。若观测值之间相互独立，权阵为对角阵，主对角线上元素为相应观测值的权；若观测值之间不相互独立，权阵中主对角线上元素不是相应观测值的权，但它们之间的比例关系与观测值间的比例关系相同第六节 权与定权的常用方法|练习 已知观测向量L的协因数阵为 ，试求观测值的权PL1、PL2。第六节 权与定权的常用方法|练习 已知观测向量L的权阵为 ，试求观测向量L的协因数阵及观测值L1、L2的权。第六节 权与定权的常用方法|例题 已知观测向量L的权阵为 ，单位权方差为3，试求第六节 权与定权的常用方法|练习 已知观测向量L的方差阵为 ，以及L1的协因数 ，试求单位权方差、权阵和权PL1、PL2。第六节 权与定权的常用方法|练习 已知观测向量L的方差阵为 ，单位权方差 为2，现有函数F=L1+3L2-2L3，试求函数F的方差和协因数。第六节 权与定权的常用方法|练习 已知观测向量 的权阵为 ，试求PXX、PYY、PX1、PX2、Py。第六节 权与定权的常用方法|5 协因数及权倒数传播律1)协因数传播律由协因数传播公式得到观测向量X的函数向量Z=KX的协因数传播公式：第六节 权与定权的常用方法|5 协因数及权倒数传播律1)协因数传播律第六节 权与定权的常用方法|练习 已知观测向量L的协因数阵为 ，试求向量 的协因数阵。第六节 权与定权的常用方法|练习 在测站O上观测了、三个角度，构成观测向量L=（）T，已知其协因数阵为：求角度的协因数。第六节 权与定权的常用方法|练习 第六节 权与定权的常用方法|练习 已知观测向量L的协因数阵为 ，设有函数 ，试求协因数阵QYY，QYZ，QZZ，QYW，QWW。第六节 权与定权的常用方法|练习 已知观测向量L的方差阵为 ，观测值L1的权 PL1=1，现有函数F1=L1+3L2-4，F2=5L1-L2+1，试求：(1)F1与F2是否统计相关？(2)F1与F2的权PF1、PF2。第六节 权与定权的常用方法|练习 如图，令方向观测值li(i=1,2,10)的协因数阵Qll=I，试求角度观测值向量L的协因数阵QLL第六节 权与定权的常用方法第六节 权与定权的常用方法|5 协因数及权倒数传播律2)权倒数传播律当观测值L1,L2,Ln之间相互独立时，组成观测向量L，其协因数阵为对角阵，即：设有独立观测值函数Z=f(L1,L2,Ln)，则函数协因数第六节 权与定权的常用方法|5 协因数及权倒数传播律非线性函数的协因数设有观测向量X的非线性函数:Z=f(X)=f(x1,x2,xn)当各观测值相互独立时，函数协因数为：第六节 权与定权的常用方法|练习 已知独立观测值Li的权为Pi，求加权平均值的权。第六节 权与定权的常用方法|练习 设有一系列不等精度的独立观测值L1、L2和L3，它们的权分别为P1、P2和P3，试求下列各函数的权倒数（协因数）：第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用由中误差定义看出，要想计算出中误差，必须已知观测值真误差，而要求出观测值真误差，必须已知观测值真值，但真值往往是未知的，因而就无法利用定义式计算观测值中误差。特定环境下，由观测值构成的函数真值已知可求出函数值的中误差，再利用误差传播律反求观测值的中误差。第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用|1 由三角形闭合差计算测角中误差设在一个三角网中，以同精度独立分别观测n个三角形的三个内角。由各观测值计算出n个三角形内角和的真误差(三角形闭合差)12n,则三角形内角和的中误差为：由于三角形的内角和是三内角观测值的和，即：则有：菲列罗公式：主要用于三角网的外业结束后估算测角中误差。三角形个数不宜太少。第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用|2 用不同精度的真误差计算单位权中误差设一系列非等精度观测值及其对应的真误差和权为：将非等精度观测值Li乘以相应权Pi的平方根，组成一组虚拟观测值Li，则Li与Li关系为：虚拟值Li中误差为：第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用|2 用不同精度的真误差计算单位权中误差说明虚拟观测值的中误差相同，且都等于单位权中误差，故可以把虚拟观测值看作等精度的观测值，其权为1，所以求单位权中误差，实际上就是求虚拟观测值的中误差。这就是利用非等精度观测值的真误差计算单位权中误差的计算公式。第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用|3 由双观测值之差计算中误差在测量工作中，经常对一系列观测量进行成对观测，形成双观测值。观测对的真值相同，真值之差为0，因而，可利用各观测对之差计算中误差。设对x1,x2,xn各观测2次，得到独立观测值为：假定同一观测对的两个观测值精度相同，其权为Pi，不同对观测值精度不同，即权Pi的数值随i的不同而异。第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用|3 由双观测值之差计算中误差各观测值之差为：由权倒数传播律得：由于差数di的真值为0，所以差数di是权为Pdi观测对差值的真误差，则单位权中误差为：第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用|3 由双观测值之差计算中误差各观测值中误差为：第i对观测值的平均值为：特殊情况，如果所有观测值都是同精度观测值，可令它们的权为1，则等精度双次观测值的中误差为：第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用|练习设某一水准线路分5段观测，其往返观测结果见表。试求：(1)每段高差平均值及其中误差；(2)该条水准线路高差平均值及其中误差。第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用|练习有一水准线路分3段观测，每段均作往返观测，结果见表。令2km观测高差的权为单位权，试求：(1)单位权中误差；(2)各段一次观测高差的中误差；(3)各段高差平均值的中误差；(4)全长一次观测高差的中误差；(5)全长高差平均值的中误差。第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用补充：直接观测平差测量工作中，为了获得较准确的观测成果以及检查观测中可能出现的错误，常对某一量作多次观测，得出多个互不相等的观测值。|直接平差任务：求某一未知量的最或然值；计算各观测值以及最或然值的中误差。补充：直接观测平差|1 最或然值设对某量X进行了n次观测，得到观测值L1、L2、Ln，相应的权为P1、P2、Pn，则观测值的最或然值(加权平均值)为：如为n次等精度观测，即P1=P2=Pn=1，则补充：直接观测平差|2 最或然值中误差及权按照权倒数传播律得：设单位权中误差为0，则最或然值中误差为：补充：直接观测平差|3 单位权中误差前面已经得出由真误差计算单位权中误差公式：一般情况下，真误差不知道，只知道改正数，因此需找出观测值改正数v与真误差之间的关系。补充：直接观测平差|3 单位权中误差补充：直接观测平差|练习 某一导线边等精度往返共丈量4次，经加入改正后所得长度列于表中，试求该边长一次丈量中误差及最或然值中误差。补充：直接观测平差补充：直接观测平差|练习 如图，有一个结点的水准网，其中、点为已知高程点，按箭头所示方向测得各段高差与路线长度见表。试计算K与R两点高程以及K点高程的最或然值中误差。补充：直接观测平差补充：直接观测平差|练习 有单一结点导线网，已知边方位角及导线角见表。试求结边D1D2的方位角最或然值及其中误差。公式汇总公式汇总公式汇总 更多精品资请访问更多精品资请访问 更多品资源请访问更多品资源请访问
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