第三章--静态电磁场剖析课件

第三章第三章 静态电磁场静态电磁场第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 静电场、稳恒电场和稳恒磁场都不随时间变化，统称为静态场。静态情况下，有 麦克斯韦方程简化为 可见，电场与磁场是相互独立的，故可分别讨论。本章从麦克斯韦方程出发，分别讨论静电场、稳恒电场和稳恒磁场的处理方法。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.1静电场的电位3.1.1静电场的电位 静电场的场方程为由于静电场无旋，故可将其写为这里标量函数 称为电位或电势。根据梯度的性质可知，E 垂直于等电位面，并指向电位降落的方向。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场设L 为连接a、b 两点的任意路径，则有 可见，静电场中任意两点之间的电位差可由沿连接这两点的任意路径的积分得到。以上定义的是电位的梯度和电位差。只有规定了电位的零点，电场中每一点的电位才具有确定的值。电位的零点可以任意选取，因为电位加上一个任意常数并不影响其梯度或电位差的值。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.1.2电位的微分方程 仅考虑各向同性介质。将E=-代入D=E，两边取散度，再利用D=，可得整理得此即各向同性介质中电位满足的方程。对均匀介质，=0，上式成为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 若所论区域中处处 =0，则在该区域中，满足拉普拉斯方程：由上可见，的微分方程包含了静电场的基本方程和本构关系：因此，对静电场而言，电位的微分方程与场方程等价。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.1.3电位方程的积分解 对无界空间中电荷分布在有限区域的情形，通常取无穷远处为电位零点。这样，电荷体系在空间任一场点P引起的电位为例如，点电荷q 位于无限大介质中r处，其在场点r处引起的电场为则电位分布为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场根据电位叠加原理，体积V 中的电荷分布在场点 r 处引起的电位为 曲面S 上的面电荷分布引起的电位为 曲线L 上的面电荷分布引起的电位为 若电荷分布涉及无限远，则上述积分可能发散。这时，取任一有限远点为电位零点，利用电位积分定义式计算电位。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 可以证明，上述表达式即为电位方程在无界空间中的解。证：将积分式代入电位方程的左边，有利用得第三章第三章 静态电磁场静态电磁场因为故积分域可缩小为以点 r 为中心的小球体 V。当半径足够小时，积分成为再利用可得第三章第三章 静态电磁场静态电磁场【例1】如图所示，半径为a、面电荷密度为S的均匀带电圆盘位于x y 平面上。求圆盘轴线上的电位。解：由图可知，r处的面元为 第三章第三章 静态电磁场静态电磁场代入得第三章第三章 静态电磁场静态电磁场【例2】求偶极矩为 p=ez q l 的电偶极子引起的电场分布。解：电偶极子由两个相距很近（l r）的等值异号的点电荷构成，电偶极子引起的电位就是此两个点电荷引起的电位的叠加。以电偶极子中心为坐标原点，则电偶极子在空间任意点引起的电位为其中第三章第三章 静态电磁场静态电磁场因为 l 0），则此时电容器的电容为所储存的能量为 设想x 处的极板发生一个虚位移dl=ex dx。若设极板的电位不变，则该极板受力为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场令x=b，即得 若设位移中极板的电量不变，则因 ，有再把和x=b 代入，仍得第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.3导体系统的电容对于多导体系统，为概括导体电位对系统结构参数的依赖，必须引入电位系数、电容系数，以及部分电容等概念。3.3.1 电位系数 带电导体在空间任一点引起的电位正比于导体所带的电量。根据叠加原理，空间任一点的电位由各导体上的电荷分布共同决定。考虑由n 个导体组成的系统，设第j 个导体带电量为qj，则空间任一点的电位可写为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场其中pj 与各电荷无关，其值仅取决于导体系统的结构参数。第i 个导体的电位于是可写为 pi j 称为电位系数，其物理意义为：当导体j 带有单位正电荷，而其它导体皆不带电时，导体i 的电位。由此，称Pi i 为自电位系数，Pi j（i j）则称为互电位系数。由 Pi j 的物理意义知，如下关系成立：第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 电位系数具有互易性，即证明：由交换指标i、j，然后交换求和顺序，则有比较两式，即得 pi j=pj i。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场【例1】球形电容器如图所示，试写出各电位系数。解：内、外导体的电位分别为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场可写为由此即有这里p22=p12，这是因为导体2把导体1封闭起来，当导体1不带电时，二者等位。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.3.2 电容系数由电位系数可写出其中Ai j是pij的代数余子式。i j 称为电容系数，其值仅取决于导体系统结构参数。j j 为导体j 的自电容系数，i i 为导体i 与导体j（ij）的互电容系数或感应系数。电容系数也具有互易性：i i=j j 。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 电位系数的物理意义：设导体i 的电位为1V，而其它导体均接地，由电位系数表达式，ii 是导体i 所带的电量，而ij 则为接地导体j（j i）上的感应电量。由上述物理意义可知：因为感应电荷的量值不可能多于引起感应的源电荷的量值，故有第三章第三章 静态电磁场静态电磁场于是有3.3.3 部分电容方程组(i=1,2,n)可写为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 由于i j=j i，比照两导体构成的电容器，可定义导体 i 和导体j 之间的互部分电容为显然 Ci j 0，Ci j=Cj i。注意到i 是相对于无穷远的电位，比照孤立导体电容的定义，可定义导体的自部分电容：显然Ci i 0。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场利用部分电容，可将前述方程组写为其中。综上可知，任何两个未被屏蔽的导体之间都有互部分电容。任何未被屏蔽的导体与大地之间也有电容，这就是该导体的自部分电容。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 三导体静电平衡体系的等效电路如下：第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.3.4 电容器的电容 当两个导体靠得较近，而其他导体对此二者电位差的影响可忽略时，二者构成电容器。此时有q1=-q2 =q。电容器电容的定义是利用 第三章第三章 静态电磁场静态电磁场可得 另一方面，两导体之间、导体与大地之间都有电容，如图所示。按电路理论，易于证明以上两式等价：因为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场故可求得第三章第三章 静态电磁场静态电磁场将以上各Ci j 代入，即得由以上证明可见，电容器的电容公式所给出的是导体系统的总电容，其中包括了两个导体的自电容和互电容。假定电容器的极板1被极板2屏蔽，则 C11=0，于是p22=p21=p12，从而有可见，对于严格的电容器而言，电容C 给出的是两导体间的互电容。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.4稳恒电场和稳恒电流场 稳恒电场是稳恒运动的电荷引起的电场，亦即存在稳恒电流时的电场。在导体中，自由电荷只有在电场力作用下才能发生宏观移动，因此，稳恒情况下导体内电场不为零，这一点与静电场不同。本节将讨论稳恒电场的主要性质。3.4.1 稳恒电场的基本方程和边界条件1.场方程 稳恒情况下，仍有 ，因此稳恒电场的方程与静电场的方程一样第三章第三章 静态电磁场静态电磁场稳恒情况下，电流连续性方程为 稳恒电流场与稳恒电场以欧姆定律相联系：2.边界条件在两种导电介质的交界面处，不存在传导电流，故电流的边界条件为 电场的边界条件仍为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场【例1】试证明，稳恒情况下各向同性均匀导电介质内部不存在自由电荷。证明：对于各向同性介质，有D=E，故联立上面两式，可解得若介质均匀，则有=0，=0。代入上式，即得可见，各向同性均匀介质内部不存在自由电荷。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.4.2 稳恒电场的电位稳恒电场仍满足E=0，故也可定义电位：将上式和 J=E 代入J=0，对于均匀导电介质（=0），可得 满足方程 在两种导电介质的交界面处，电位满足的边界条件为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.4.3 解稳恒电流场的静电比拟法 稳恒电流场与无源区域中静电场的电位移有类似的方程及边界条件等关系式：均匀介质中的稳恒电流场无源区域中的静电场第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 由上表可见，只要把静电场公式中的q、D、分别换成J、I、，就可得到稳恒电流场的相应公式。这两组方程是对偶方程，q、D、与J、I、是对偶量。由上述有可知，电导G 与电容C 也是对偶量。如果某无源区域静电场边值问题的解已知，则可经对偶量的代换，得到相应的稳恒电流场边值问题的解。这就是求解均匀导电介质中稳恒电流场的静电比拟法。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场【例2】用静电比拟法求无限长平行双导线之间单位长度的电导。解：设导线的半径为a，两线间距为d，空间充满介电常数为 的均匀介质。则平行双导线之间单位长度的电容为按对偶关系，把 换成，C 换成G，就得到单位长度的电导：第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.5 稳恒磁场的矢量磁位3.5.1稳恒磁场的矢量磁位 稳恒磁场的方程为B=0，H=J 稳恒磁场是无散场，可引入矢量磁位A：对于各向同性均匀介质，B=H，所以的旋度方程成为 由此可得A 满足方程第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 A 的微分方程概括了稳恒磁场的基本方程，因此，求解稳恒磁场问题转化为求解A 的方程。由矢量磁位的定义式（3-5-3），并利用斯托克斯定理，可以得到如下积分关系：3.5.2 库仑规范 A 的定义 B=A 只是规定了A 的旋度。因而A 的散度可任意指定。对A 所做的一种规定，称为一种规范。根据实际情况取适当的规范，可使分析得以简化。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场对稳恒磁场情况，取库仑规范：可使A 的方程形式最为简单。库仑规范下，在各向同性均匀介质中，A 满足矢量泊松方程：若所论区域中无源（即处处J=0），则在该区域内，A 满足拉普拉斯方程：注意，2A 是一个矢量，其方向一般与A 不同。一般来说，(2A)i 2Ai(i=1,2,3)。仅对直角分量才有 第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.5.3 磁位方程的积分解在直角坐标系中该方程与静电场的电位方程形式相似，由此可得，方程在无界空间中的解为相应的矢量形式为此式表明，空间任一点的矢量磁位由全体电流决定。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 由上式可得r 处的电流元J(r)dV 在场点r 处激发的矢量磁位：可见电流元激发的矢量磁位与该电流元同方向。对电流沿曲面分布的情况，则有对于线电流，第三章第三章 静态电磁场静态电磁场例1求无限长直线电流的矢量磁位。解：先计算长为l 的有限长直线电流I 的矢量磁位。以导线的轴线为轴建立圆柱坐标系(,z)，电流方向沿z 轴正向。直线电流上任一电流元Idz产生的矢量磁位积分，得第三章第三章 静态电磁场静态电磁场当l时可见，空间中任一点A 的仅与场点到直线电流的距离有关。若l，则A。而任一场点与某一有限远点=0的矢量磁位差为有限值。以有限远点=0为A 的零点，则无限长直线电流的矢量磁位为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场例2试求圆形电流环在远处引起的磁感应强度。解：设电流环位于真空中，其半径为a，电流强度为I。取坐标系如图。因为电流关于 z 轴对称，故|A|与 角无关，因此可取场点位于=0平面，以简化分析。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 在电流环上关于=0平面对称处取两个电流元 I dl1和Idl2，两者在场点引起的磁位分别为于是第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 由此，整个电流环在场点引起的矢量磁位为因为故第三章第三章 静态电磁场静态电磁场对远离电流环处，r a，第三章第三章 静态电磁场静态电磁场考虑到方向，则有其中m=ezm为线圈的磁矩。由此，电流环在远处引起的磁感应强度为其磁场强度为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.5.4 磁偶极子 一个位于原点、电偶极矩p=ezp 的电偶极子引起的电场强度为由上例，电流环在远处引起的磁场强度为可见，两者完全类似，且有如下对偶关系：第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 据此，可将电流环在远处引起的磁场看作是由“磁偶极子”引起的场，其“磁偶极矩”为pm=0m。这样，如果一个电流环的线度远小于其到场点的距离，它就可看作是磁偶极子。但应注意，电流环的场分布仅在远区才与电偶极子的相似，在近区则完全不同，如图：第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.6稳恒磁场的能量3.6.1 用矢量磁位求磁场能量 将B=A 代入磁场的能量公式，并利用H=J 和整个空间的磁能可写为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场这里S面位于无穷远处。J只分布在有限区域内的情形下，在S面上，故于是得第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 对于载流回路产生的磁场，由J dV=I dl，并利用A与B 的积分关系，上式可以写其中，为穿过回路C 所围面的磁通量。3.6.2 求磁场力的虚位移法 考虑一段载流导线在磁场中发生的一虚拟位移dl。在此过程中磁场力做功 dA=F dl。另一方面，载流导线位置变化将导致磁能改变，设磁能的增量为 dWm。根据能量的转化与守恒定律，电源必需提供能量dWS第三章第三章 静态电磁场静态电磁场分两种情况讨论。1假想穿过回路的磁通保持不变此时回路中都无感应电动势，故电源不必为反抗感应电动势做功而提供能量，即dWS=0，故有矢量表达式为2假想回路中的电流保持不变因为感应电动势的出现将导致回路中的电流发生变化。故若在虚位移中保持回路中的电流不变，电源必须反抗感应电动势做功。设回路中的感应电动势为i，为保持电流不变，回路中电源在dt 时间内为反抗感应电动势作的功为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场另一方面，在电流不变的过程中，磁能的增量为所以可见因此有第三章第三章 静态电磁场静态电磁场【例1】设两无限大导体平面平行放置，面间距为d。两导体分别载有方向相反的电流，面电流密度大小皆为JS，如图所示。求导体平面单位面积所受的磁场力。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场解：先求磁场能。该系统的磁场集中在两平面之间：设导体面积为S，则两导体之间储存的磁场能为 现在来求上导体平面的受力。1）若设虚位移中导体的电流不变，则单位面积受力为f 沿 z 轴正方向，故导体受的是斥力。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场2）若设虚位移中导体间的磁通不变，则截面yd 上的磁通为当导体间距为z时，由上式有故两导体之间储存的磁能为 第三章第三章 静态电磁场静态电磁场于是有令z=d，并利用 =0JSyd，即得与前一解法结果相同。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场3.6.4利用磁能求自感系数 在自感系数公式L=/I中，是与电流I 环绕的磁通，而I 是没有横截面积的线电流。但实际的导体电流总有一定截面。在导体内部，磁场与电流共处同一空间，这时，“与电流环绕的磁通”就变得不清晰起来。可见，上式只能应用于线电流。自感系数可以从磁能角度加以定义。根据注意到B和H 皆正比于I，故可定义第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 由此可得利用磁能求自感系数的表达式：磁能可分为导体内部和外部两部分，它们分别用下标i和e表示：自感系数也相应地分为内自感和外自感两部分：其中第三章第三章 静态电磁场静态电磁场【例2】无限长同轴线的内导体是半径为a 的圆柱体，外导体是内半径为b、厚度可忽略的同轴圆筒，导体间充满磁导率为的均匀介质，电流沿内导体流去，沿外导体流回，如图所示。求单位长度的自感系数。解：设电流强度为I。由安培环路定理可知磁场的分布为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场在 b，B、H 皆为0。于是磁场能量密度为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场由上知，a 区间的磁能为在a b 区间，磁场能量为0。综上可知，在长度为 l 的空间内，磁能为 第三章第三章 静态电磁场静态电磁场于是单位长度的自感系数为 可见，同轴线的自感系数是两项之和，第一项来自内导体柱中的磁能，为内自感系数；第二项来自导体柱外的磁能，为外自感系数。第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 对无传导电流的区域，有因此，在该区域内可以引入标量磁位m：若以无穷远为的零点，则利用B=0(H+M)，以及B=0，可得m满足方程3.7标量磁位第三章第三章 静态电磁场静态电磁场 与无源区域磁场的边界条件H1t=H2t、B1n=B2n相对应，在两种介质的交界面上，标量磁位满足的边界条件为 对于各向同性均匀非铁磁质，为常数,有故m的方程成为第三章第三章 静态电磁场静态电磁场边界条件则成为 若介质1是铁磁质，介质2是各向同性均匀非铁磁质，则在介质1和介质2中，m的方程分别为泊松方程和拉普拉斯方程，后一边界条件写为