第三章(几何空间)剖析课件

第三章 几 何 空 间 第一节第一节 平面向量及其运算平面向量及其运算 的推广的推广 第二节第二节 空间坐标系空间坐标系 第三节第三节 空间向量的向量积空间向量的向量积 和混合积和混合积 第四节第四节 平面和直线平面和直线 第五节第五节 空间直角坐标变换空间直角坐标变换 第六节第六节 用用Matlab解题解题 笛卡儿笛卡儿笛卡儿笛卡儿 法法法法 Ren DescartesRen Descartes (1596.3-1650.2)(1596.3-1650.2)费马费马费马费马 法法法法 Pierre de FermatPierre de Fermat (1601.8-1665.1)(1601.8-1665.1)伯努利伯努利伯努利伯努利 瑞士瑞士瑞士瑞士 Johann BernoulliJohann Bernoulli(1667.7-1748.1)(1667.7-1748.1)欧拉欧拉欧拉欧拉 瑞士瑞士瑞士瑞士 Leonhard EulerLeonhard Euler(1707.4-1783.9)(1707.4-1783.9)笛卡儿笛卡儿笛卡儿笛卡儿 法法法法 Ren DescartesRen Descartes(1596.3-1650.2)(1596.3-1650.2)费马费马费马费马 法法法法 Pierre de FermatPierre de Fermat (1601.8-1665.1)(1601.8-1665.1)伯努利伯努利伯努利伯努利 瑞士瑞士瑞士瑞士 Johann BernoulliJohann Bernoulli(1667.7-1748.1)(1667.7-1748.1)欧拉欧拉欧拉欧拉 瑞士瑞士瑞士瑞士 Leonhard EulerLeonhard Euler(1707.4-1783.9)(1707.4-1783.9)拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日 法法法法 Joseph-Louis LagrangeJoseph-Louis Lagrange(1736.1-1813.4)(1736.1-1813.4)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 A(起点起点)B(终点终点)AB 向量的向量的AB长度长度(模模):|AB|零向量零向量 :|=0 单位向量单位向量:长度长度=1 两个向量两个向量相等相等:长度相等长度相等,方向一致方向一致 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 一一.空间向量的线性运算空间向量的线性运算 1.加法加法 AB C +=AB+BC=AC(1)三角形法则三角形法则 注注:|+|+|.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 一一.空间向量的线性运算空间向量的线性运算 1.加法加法 (1)三角形法则三角形法则(2)平行四边形法则平行四边形法则 AB C +=AB+BC=AC 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 (3)负向量负向量 注注:=.(4)向量的减法向量的减法 =+().第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 (4)运算性质运算性质 交换律交换律 +=+.结合律结合律(+)+=+(+).+=.+()=.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 例例1.C A B D G E F H AG=AB+BF+FG=AB+AE+AD DE=DA+AE=AD+AE=AE AD 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 2.数乘数乘 向量向量 k 数数 k 向量向量 大小大小:|k|方向方向 k=0或或 =时时:无无 k 0且且 时时:同同 k 0且且 时时:同同 =2,=.1 12 2(1)定义定义 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 1 =;(ab)=a(b);(a+b)=a +b ;a(+)=a +a .(2)运算性质运算性质 注注:(1)=.数乘数乘 负向量负向量 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 3.线性组合线性组合 1,2,s 向量向量 k1,k2,ks 数数 k1 1+k2 2+ks s 向量向量 1,2,s 的一个的一个线性组合线性组合 组合系数组合系数 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 例例2.OLO O A A B B C C D D F F E E I I G G H H O O A A B B C C D D F F I I L L E E=OF+FL=OF+FI 1 1 2 2=OF+OF+FI 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2=OF+OI 1 1 2 2 1 1 2 2 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 例例2.OLOI O O A A B B C C D D F F E E I I G G H H O O A A B B C C D D F F I I L L E E=OF+OI 1 1 2 2 1 1 2 2=(OA+AI+OB+BI)1 1 2 2 OA+AI OB+BI=(OA+OB)1 1 2 2=OD+OE 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 例例2.OL O O A A B B C C D D F F E E I I G G H H O O A A B B C C D D F F I I L L E E=OF+OI 1 1 2 2 1 1 2 2=OD+OE+OF 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 例例2.OL O O A A B B C C D D F F E E I I G G H H O O A A B B C C D D F F J J E E=OD+OE+OF 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 G G OJ=OD+OE+OF 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 例例2.OL O O A A B B C C D D F F E E I I G G H H O O A A B B C C D D F F K K E E=OD+OE+OF 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 OJ=OD+OE+OF 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 OK=OD+OE+OF 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 H H 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 例例2.OJ O O A A B B C C D D F F E E I I G G H H=OK=OL=OD+OE+OF 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 DG,EH,FI交于一点且被交点平分交于一点且被交点平分 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 4.共线共线/共面问题共面问题 O OA A1 1 A A2 2 A As s 1 1 2 2 s s 点点O,A1,A2,As在同一直线上在同一直线上.1,2,s共线共线:点点O,A1,A2,As在同一平面上在同一平面上.1,2,s共面共面:(1)定义定义 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 k1,k2,ks使使 =k1 1+k2 2+ks s 能由能由 1,2,s线性表示线性表示:不全为零不全为零的的k1,k2,ks使使 1,2,s线性相关线性相关:1,2,s,向量向量 k1 1+k2 2+ks s=k1 1+k2 2+ks s=k1=k2=ks=0.1,2,s线性无关线性无关:第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 (2)判定判定 =2,=.1 12 2 定理定理3.1.,则则 与与 共线共线 能由能由 线性表示线性表示 且表示方式是唯一的且表示方式是唯一的.推论推论.,共线共线 ,线性相关线性相关.2 =,2 +=.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 k k1 1 k k2 2 =k1 +k2 定理定理3.2.与与 不共线不共线,则则 与与,共面共面 能由能由,线性表示线性表示 且表示方式是唯一的且表示方式是唯一的.推论推论.,共面共面 ,线性相关线性相关.k1 k2 +1 =第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 例例3.证明证明:A,B,C,D四点共面四点共面 O OA A B B D C aOA+bOB+cOC+dOD=.存在不全为零的实数存在不全为零的实数a,b,c,d 使得使得a+b+c+d=0且且 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 证明证明:()A,B,C,D四点共面四点共面 O OA A B B D C aDA+bDB+cDC=.存在不全为零的实数存在不全为零的实数a,b,c使得使得 a a(DODO+OAOA)+b b(DODO+OBOB)+)+c c(DODO+OCOC)=a aOAOA +b bOBOB +c cOCOC (a a+b b+c c)ODOD =令令d=(a+b+c)即可即可.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 证明证明:()不妨设不妨设a 0.O OA A B B D C aDA+bDB+cDC=a aOAOA +b bOBOB +c cOCOC (a a+b b+c c)ODOD a a(DODO+OAOA)+b b(DODO+OBOB)+)+c c(DODO+OCOC)=d=(a+b+c).a+b+c+d=0aOA+bOB+cOC+dOD=第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 证明证明:()不妨设不妨设a 0.O OA A B B D C aDA+bDB+cDC A,B,C,D四点共面四点共面.=aOA+bOB+cOC+dOD=DA,DB,DC共面共面 d=(a+b+c).a+b+c+d=0第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 二二.空间向量的数量积空间向量的数量积 1.定义定义 ,向量向量 数数 0 0 或或 =|cos 与与 夹角为夹角为 =第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 2.性质性质(1)2=|2 0,2=0 =.(2)=.(3)(a)=a().(4)(+)=+.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 A B P Q l A B P在在l上的上的投影投影 AB在在l上的上的投影向量投影向量 3.投影投影 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 A B l A B 3.投影投影 AB在在 上的上的投影投影为一个实数为一个实数 AB =|A B|A B 与与 同方向时同方向时 0 A B =时时|A B|A B 与与 反方向时反方向时 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 对于任意非零向量对于任意非零向量,(1)若若 与与 的夹角为的夹角为,则则 =|cos .(2)=|cos =|.(3)=0 =0.|=|.(4)与与 共线共线|=|第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.1 3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广 点点B到平面到平面 的距离的距离n A A B B l l A A B B 例例4.d=|A B|=|ABn|3.2 空间坐标系空间坐标系 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 一一.仿射坐标系仿射坐标系 3 3 2 2 1 1O OP PQ QMMOP=OM+MQ+QP=a 1+b 2+c 3 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 OP=a 1+b 2+c 3=a 1+b 2+c 3 (a a)1+(b b)2+(c c)3=1,2,3不共面不共面 a a =b b =c c =0 a=a,b=b,c=c.定理定理3.3.对于仿射坐标系对于仿射坐标系O;1,2,3中的中的 任意向量任意向量,存在唯一的有序数组存在唯一的有序数组(a,b,c)使得使得 =a 1+b 2+c 3.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 定理定理3.3.对于仿射坐标系对于仿射坐标系O;1,2,3中的中的 任意向量任意向量,存在唯一的有序数组存在唯一的有序数组(a,b,c)使得使得 =a 1+b 2+c 3.3 3 2 2 1 1O OP P坐标原点坐标原点 点点P的的向径向径 坐标向量坐标向量或或基基 的的坐标坐标 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 O 1 2 3 右手仿射坐标系右手仿射坐标系 O 2 1 3 左手仿射坐标系左手仿射坐标系 i i j j k k 3 3 2 2 1 1O O第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 坐标轴坐标轴 坐标平面坐标平面 卦限卦限 VI VII I II III IV V VIII y z x O O 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 OP=ai+bj+ck(a,b,c)点点P的的(直角直角)坐标坐标 y z x O P a b c 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 二二.空间向量线性运算的坐标表示空间向量线性运算的坐标表示 +=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),+=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,=a1i+a2 j+a3k,=b1i+b2 j+b3k,k =ka1i+ka2 j+ka3k,=(ka1,ka2,ka3).第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),k +l =k(a1,a2,a3)+l(b1,b2,b3)=(ka1,ka2,ka3)+(lb1,lb2,lb3)=(ka1+lb1,ka2+lb2,ka3+lb3)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 例例5.P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2).x xy yz zP P1 1P P2 2O O P1P2=OP2 OP1=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)=(x2 x1,y2 y1,z2 z1).第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 例例6.P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P1P=PP2(1),求求P(x,y,z).x xy yz zP P1 1P PO O P P2 2 OP OP1=(OP2 OP )OP=OP1+OP21+y=y1+y21+,x=x1+x21+,z=z1+z21+.第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 三三.空间向量数量积的坐标表示空间向量数量积的坐标表示 =(a1i+a2 j+a3k)(b1i+b2 j+b3k)=a1i+a2 j+a3k =b1i+b2 j+b3k=a1i (b1i+b2 j+b3k)+a2 j (b1i+b2 j+b3k)+a3k (b1i+b2 j+b3k)=a1b1+a2b2+a3b3 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 三三.空间向量数量积的坐标表示空间向量数量积的坐标表示 =a1b1 +a2b2+a3b3 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)例例7.=a12+a22+a32|2=|=a12+a22+a32 点点P1(x1,y1,z1)与与P2(x2,y2,z2)之间的距离为之间的距离为|P1P2|=()2+()2+()2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 例例8.设非零向量设非零向量 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)之间的夹角为之间的夹角为,则则 =|cos,cos =|a1b1+a2b2+a3b3=b12+b22+b32 a12+a22+a32 =|cos a1b1+a2b2+a3b3=b12+b22+b32 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 y z x O cos 1,cos 2,cos 3 的的方向余弦方向余弦 1 2 3 1,2,3 的的方向角方向角 kcos 1,kcos 2,kcos 3 的的方向数方向数(k 0)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.2 3.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 =(a1,a2,a3)的方向余弦的方向余弦 cos2 1+cos2 2+cos2 3=1 cos 1=a1 a12+a22+a32 y z x O 1 2 3 cos 2=a2 a12+a22+a32 cos 3=a3 a12+a22+a32 3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 一一.空间向量的向量积空间向量的向量积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 1.物理背景物理背景.2.向量积向量积 的定义的定义.|=|sin.(3)|0时时,的方向的方向:r F M(1)为一个向量为一个向量.(2)或或 =时时,=;,都非零且夹角为都非零且夹角为 时时,符合右手螺旋法则符合右手螺旋法则.3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.向量积向量积的几何意义的几何意义.注注:向量向量 与与 共线共线 =.特别地特别地,=.|=|.|=|sin.例例9.证明证明()2+()2=2 2.例例10.|=3,|=11,且且 =30.求求|.3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 4.向量积向量积的运算性质的运算性质.(1)反对称性反对称性:=.(2)(k)=k()=(k).(3)(+)=+.5.用向量的坐标计算向量的外积用向量的坐标计算向量的外积.i i=j j=k k=.ijki i j j k k i j=k,j k=i,k i=j,j i=k,k j=i,i k=j,3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 =(a2b3 a3b2)i+(a3b1 a1b3)j+(a1b2 a2b1)k.(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)(a1i+a2 j+a3k)(b1i+b2 j+b3k)(a1i+a2 j+a3k)(b1i+b2 j+b3k)=a2 a3 b2 b3,a3 a1 b3 b1,a1 a2 b1 b2=i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3 3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 例例11.A(1,0,2),B(0,1,3),C(2,1,1).A B C D ABC所在平面的所在平面的法向量可取为法向量可取为=(2,2,0).AB=(1,1,1),AC=(1,1,3),AB AC=1 1 1 3,1 1 3 1,1 1 1 1 S ABC=1 1 2 2 S ABDC=1 1 2 2|(2,2,0)|=2.3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 例例11.A(1,0,2),B(0,1,3),C(2,1,1).A B C D AB边上的高边上的高AB=(1,1,1),AC=(1,1,3),|AB AC|AB|h=|(2,2,0)|(1,1,1)|=2 2 3=2 6 3.点点P(1,2,3)到到 ABC所在平面的距离为所在平面的距离为 P AP(AB AC)=|AP(AB AC)|AB AC|(0,2,1)(2,2,0)|(2,2,0)|=2.3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 例例12.V=Sh S=|,h=()=()=|cos =|cos 3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 二二.空间向量的混合积空间向量的混合积 1.,的的混合积混合积:2.几何意义几何意义.()(,)=V=()其中其中,构成一个右手仿射坐标系构成一个右手仿射坐标系 注注:当当,构成一个构成一个左左手仿射坐标系时手仿射坐标系时,3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 ()V=()V=()V=|()|3.3 3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 二二.空间向量的混合积空间向量的混合积 1.,的的混合积混合积:2.几何意义几何意义.()(,)=V=()其中其中,构成一个右手仿射坐标系构成一个右手仿射坐标系 注注:当当,构成一个构成一个左左手仿射坐标系时手仿射坐标系时,()alpha=-3.64,15.01,7.82;alpha=-3.64,15.01,7.82;alpha=-3.64,15.01,7.82;alpha=-3.64,15.01,7.82;beta=0.16,-5.69,13.25;beta=0.16,-5.69,13.25;beta=0.16,-5.69,13.25;beta=0.16,-5.69,13.25;gamma=-8.33,2.16,4.05;gamma=-8.33,2.16,4.05;gamma=-8.33,2.16,4.05;gamma=-8.33,2.16,4.05;a=a=a=a=dot(alpha,betadot(alpha,betadot(alpha,betadot(alpha,beta););););%alpha%alpha%alpha%alpha与与与与betabetabetabeta的数量积的数量积的数量积的数量积 b=b=b=b=cross(alpha,betacross(alpha,betacross(alpha,betacross(alpha,beta););););%向量积向量积向量积向量积 c=c=c=c=dot(b,gamma);dot(b,gamma);dot(b,gamma);dot(b,gamma);%alpha,beta,gamma%alpha,beta,gamma%alpha,beta,gamma%alpha,beta,gamma的混合积的混合积的混合积的混合积 a,b,ca,b,ca,b,ca,b,c%输出最后结果输出最后结果输出最后结果输出最后结果 3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 a=a=17.6257 17.6257 b=b=243.3783 49.4812 18.3100 243.3783 49.4812 18.3100 c=c=-1.8463e+003 -1.8463e+003 a=a=a=a=dot(alpha,betadot(alpha,betadot(alpha,betadot(alpha,beta););););%alpha%alpha%alpha%alpha与与与与betabetabetabeta的数量积的数量积的数量积的数量积 b=b=b=b=cross(alpha,betacross(alpha,betacross(alpha,betacross(alpha,beta););););%向量积向量积向量积向量积 c=c=c=c=dot(b,gamma);dot(b,gamma);dot(b,gamma);dot(b,gamma);%alpha,beta,gamma%alpha,beta,gamma%alpha,beta,gamma%alpha,beta,gamma的混合积的混合积的混合积的混合积 a,b,ca,b,ca,b,ca,b,c%输出最后结果输出最后结果输出最后结果输出最后结果 3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 二二.绘制平面和直线的图形绘制平面和直线的图形 例例25.直线直线L1:x 1 12 2y+5z=L2:x+1=y=z 1的公垂线为的公垂线为L.平面平面 1过过L和和L1,平面平面 2过过L和和L2.在同一个坐标系内绘制平面在同一个坐标系内绘制平面 1,2,以及直线以及直线L1,L2.与与3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 y2=x2+ones(size(x2);y2=x2+ones(size(x2);y2=x2+ones(size(x2);y2=x2+ones(size(x2);z2=x2+2*ones(size(x2);z2=x2+2*ones(size(x2);z2=x2+2*ones(size(x2);z2=x2+2*ones(size(x2);Z1=-(8*X+7*Y+27*ones(size(X)/11;Z1=-(8*X+7*Y+27*ones(size(X)/11;Z1=-(8*X+7*Y+27*ones(size(X)/11;Z1=-(8*X+7*Y+27*ones(size(X)/11;x1=0.5:0.01:3;x1=0.5:0.01:3;x1=0.5:0.01:3;x1=0.5:0.01:3;y1=2*x1-7*ones(size(x1);y1=2*x1-7*ones(size(x1);y1=2*x1-7*ones(size(x1);y1=2*x1-7*ones(size(x1);z1=-2*(x1-ones(size(x1);z1=-2*(x1-ones(size(x1);z1=-2*(x1-ones(size(x1);z1=-2*(x1-ones(size(x1);x2=-6:0.1:2;x2=-6:0.1:2;x2=-6:0.1:2;x2=-6:0.1:2;X,Y=X,Y=X,Y=X,Y=meshgrid(x,ymeshgrid(x,ymeshgrid(x,ymeshgrid(x,y););););x=-6:0.2:3;y=x;x=-6:0.2:3;y=x;x=-6:0.2:3;y=x;x=-6:0.2:3;y=x;Z2=(2*X+5*Y+9*ones(size(X)/7;Z2=(2*X+5*Y+9*ones(size(X)/7;Z2=(2*X+5*Y+9*ones(size(X)/7;Z2=(2*X+5*Y+9*ones(size(X)/7;plot3(x2,y2,z2,r*)plot3(x2,y2,z2,r*)plot3(x2,y2,z2,r*)plot3(x2,y2,z2,r*)surf(X,Y,Z1),hold surf(X,Y,Z1),hold surf(X,Y,Z1),hold surf(X,Y,Z1),hold onononon,plot3(x1,y1,z1,k o),plot3(x1,y1,z1,k o),plot3(x1,y1,z1,k o),plot3(x1,y1,z1,k o),mesh(X,Y,Z2),mesh(X,Y,Z2),mesh(X,Y,Z2),mesh(X,Y,Z2),3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 三三.计算面积计算面积,体积体积,夹角和距离夹角和距离 例例26.已知空间内的四个点已知空间内的四个点:A(1,1,3),B(5,0,2),C(6,2,7),D(0,4,9).(3)点点C到直线到直线AB的距离的距离,(4)点点D到平面到平面ABC的距离的距离.(2)四面体四面体ABCD的体积的体积,(1)求三角形求三角形ABC的面积的面积,3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 V=abs(dot(cross(AB,AC),AD)/6;V=abs(dot(cross(AB,AC),AD)/6;V=abs(dot(cross(AB,AC),AD)/6;V=abs(dot(cross(AB,AC),AD)/6;%体积体积体积体积 d1=2*S/d1=2*S/d1=2*S/d1=2*S/norm(ABnorm(ABnorm(ABnorm(AB););););%点点点点C C C C到直线到直线到直线到直线ABABABAB的距离的距离的距离的距离 A=1,-1,3;B=-5,0,-2;A=1,-1,3;B=-5,0,-2;A=1,-1,3;B=-5,0,-2;A=1,-1,3;B=-5,0,-2;C=6,2,-7;D=0,4,9;C=6,2,-7;D=0,4,9;C=6,2,-7;D=0,4,9;C=6,2,-7;D=0,4,9;AB=B-A;AC=C-A;AD=D-A;AB=B-A;AC=C-A;AD=D-A;AB=B-A;AC=C-A;AD=D-A;AB=B-A;AC=C-A;AD=D-A;S=0.5*S=0.5*S=0.5*S=0.5*norm(cross(AB,ACnorm(cross(AB,ACnorm(cross(AB,ACnorm(cross(AB,AC););););%面积面积面积面积 S,V,d1,d2 S,V,d1,d2 S,V,d1,d2 S,V,d1,d2%输出最后结果输出最后结果输出最后结果输出最后结果 d2=3*V/S;d2=3*V/S;d2=3*V/S;d2=3*V/S;%点点点点D D D D到平面到平面到平面到平面ABCABCABCABC的距离的距离的距离的距离 ansansansans=44.0993 94.6667 11.2012 6.4400 44.0993 94.6667 11.2012 6.4400 44.0993 94.6667 11.2012 6.4400 44.0993 94.6667 11.2012 6.4400 3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 例例27.求例求例22中的直线中的直线L1,L2的夹角和距离的夹角和距离.nnnnnnnn=norm(s1)*norm(s2);=norm(s1)*norm(s2);=norm(s1)*norm(s2);=norm(s1)*norm(s2);a=a=a=a=acos(abs(dot)/nnacos(abs(dot)/nnacos(abs(dot)/nnacos(abs(dot)/nn););););%夹角夹角夹角夹角 P1=1,-5,0;P2=-1,0,1;P1=1,-5,0;P2=-1,0,1;P1=1,-5,0;P2=-1,0,1;P1=1,-5,0;P2=-1,0,1;P1P2=P2-P1;P1P2=P2-P1;P1P2=P2-P1;P1P2=P2-P1;s1=1,2,-2;s2=1,1,1;s1=1,2,-2;s2=1,1,1;s1=1,2,-2;s2=1,1,1;s1=1,2,-2;s2=1,1,1;dot=dot(s1,s2);dot=dot(s1,s2);dot=dot(s1,s2);dot=dot(s1,s2);a,d a,d a,d a,d%输出最后结果输出最后结果输出最后结果输出最后结果 hhjhhjhhjhhj=dot(cross(s1,s2),P1P2)=dot(cross(s1,s2),P1P2)=dot(cross(s1,s2),P1P2)=dot(cross(s1,s2),P1P2)ansansansans=1.3771 4.7068 1.3771 4.7068 1.3771 4.7068 1.3771 4.7068 d=abs(hhj)/norm(cross(s1,s2);d=abs(hhj)/norm(cross(s1,s2);d=abs(hhj)/norm(cross(s1,s2);d=abs(hhj)/norm(cross(s1,s2);%距离距离距离距离 3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 四四.坐标变换坐标变换 例例28.L:x+1 2 1 2 y z 1=点点Q1,Q2,Q3,Q4,Q5分别是由点分别是由点 P(2,1,3)绕直线绕直线L逆时针旋转逆时针旋转 /6,/3,/2,2/3,5/6所得所得.绘制直线绘制直线L以及点以及点P,Qi(i=1,2,5).3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 解解:第一步第一步.构造新的坐标系构造新的坐标系.B=B=B=B=N N N N;w;w;w;w,D=,D=,D=,D=det(Bdet(Bdet(Bdet(B)s=-2,-1,2;s=-2,-1,2;s=-2,-1,2;s=-2,-1,2;%L%L%L%L的方向向量的方向向量的方向向量的方向向量 format format format format ratratratrat%输出分数格式输出分数格式输出分数格式输出分数格式 w=s/norm(s);w=s/norm(s);w=s/norm(s);w=s/norm(s);%把把把把s s s s单位化单位化单位化单位化 N=N=N=N=null(wnull(wnull(wnull(w););););%求与求与求与求与w w w w正交的单位向量正交的单位向量正交的单位向量正交的单位向量 B=B=B=B=-1/3 14/15 2/15-1/3 14/15 2/15-1/3 14/15 2/15-1/3 14/15 2/15 2/3 2/15 11/15 2/3 2/15 11/15 2/3 2/15 11/15 2/3 2/15 11/15-2/3 -1/3 2/3-2/3 -1/3 2/3-2/3 -1/3 2/3-2/3 -1/3 2/3 D=D=D=D=-1-1-1-1 取作取作u 取作取作v w 3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 解解:第二步第二步.求点求点P在在O;u,v,w下的坐标下的坐标.P_newP_newP_newP_new=(P-=(P-=(P-=(P-O_newO_newO_newO_new)*A;)*A;)*A;)*A;%点点点点P P P P的新坐标的新坐标的新坐标的新坐标 u u u u=B B B B(2 2 2 2,:),:),:),:);%取取取取B B B B的第二行为的第二行为的第二行为的第二行为u u u u v v v v=B(=B(=B(=B(1 1 1 1,:);,:);,:);,:);%取取取取B B B B的第的第的第的第一一一一行为行为行为行为v v v v A=u;v;wA=u;v;wA=u;v;wA=u;v;w;%过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵 P P P P=2,-1,32,-1,32,-1,32,-1,3 ;%点点点点P P P P在原坐标系下的坐标在原坐标系下的坐标在原坐标系下的坐标在原坐标系下的坐标 O_newO_newO_newO_new=-1,0,1;=-1,0,1;=-1,0,1;=-1,0,1;%新坐标原点新坐标原点新坐标原点新坐标原点(在在在在L L L L上上上上)P_newP_newP_newP_new=10/3 -5/3 -1/3 10/3 -5/3 -1/3 10/3 -5/3 -1/3 10/3 -5/3 -1/3 3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 解解:第三步第三步.求点求点Qi在原坐标系下的坐标在原坐标系下的坐标.Q=Q;P_new*Ci*A+O_new;Q=Q;P_new*Ci*A+O_new;Q=Q;P_new*Ci*A+O_new;Q=Q;P_new*Ci*A+O_new;C=cos(pi/6),sin(pi/6),0;C=cos(pi/6),sin(pi/6),0;C=cos(pi/6),sin(pi/6),0;C=cos(pi/6),sin(pi/6),0;-sin(pi/6),cos(pi/6),0;0,0,1;-sin(pi/6),cos(pi/6),0;0,0,1;-sin(pi/6),cos(pi/6),0;0,0,1;-sin(pi/6),cos(pi/6),0;0,0,1;%旋转旋转旋转旋转 Q=;Q=;Q=;Q=;%这是一个空矩阵这是一个空矩阵这是一个空矩阵这是一个空矩阵 forforforfor i=1:5 i=1:5 i=1:5 i=1:5%循环循环循环循环 i=i+1;i=i+1;i=i+1;i=i+1;endendendend format format format format ratratratrat,Q;,Q;,Q;,Q;%Q%Q%Q%Q的第的第的第的第i i i i行就是点行就是点行就是点行就是点Q_iQ_iQ_iQ_i的坐标的坐标的坐标的坐标 3.6 3.6 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 解解:第四步第四步.作图作图.hold hold hold hold onononon,y1=-2:0.1:2;y1=-2:0.1:2;y1=-2:0.1:2;y1=-2:0.1:2;%L%L%L%L上的一些点的上的一些点的上的一些点的上的一些点的y y y y坐标坐标坐标坐标 x1=2*y1-ones(size(y1);x1=2*y1-ones(size(y1);x1=2*y1-ones(size(y1);x1=2*y1-ones(size(y1);%对应的对应的对应的对应的x x x x坐标坐标坐标坐标 plot3(x1,y1,z1,plot3(x1,y1,z1,plot3(x1,y1,z1,plot3(x1,y1,z1,k+k+k+k+),),),),%绘制绘制绘制绘制L L L L plot3(2,-1,3,plot3(2,-1,3,plot3(2,-1,3,plot3(2,-1,3,r or or or o),),),),%绘制点绘制点绘制点绘制点P P P P plot3(Q(:,1),Q(:,2),Q(:,3),b*),plot3(Q(:,1),Q(:,2),Q(:,3),b*),plot3(Q(:,1),Q(:,2),Q(:,3),b*),plot3(Q(:,1),Q(:,2),Q(:,3),b*),grid grid grid grid onononon z1=-2*y1+ones(size(y1);z1=-2*y1+ones(size(y1);z1=-2*y1+ones(size(y1);z1=-2*y1+ones(size(y1);%对应的对应的对应的对应的z z z z坐标坐标坐标坐标