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微积分的发展大致经历了微积分的发展大致经历了4 4个阶段：个阶段：（1 1）铺垫：）铺垫：十七世纪，有十七世纪，有4 4种类型的问题亟待解决种类型的问题亟待解决:微积分是微分学和积分学的总称。微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学它是一种数学思想，思想，无限细分无限细分就是微分，就是微分，无限求和无限求和就就是积分。无限就是极限，是积分。无限就是极限，微积分产生的背景微积分产生的背景a.a.（物理）求运动的瞬间变化率，如瞬间速度、加速度（物理）求运动的瞬间变化率，如瞬间速度、加速度等；等；b.b.（几何）求曲线的切线（几何）求曲线的切线c.c.（物理）求不规则物体的重心、引力等（物理）求不规则物体的重心、引力等d.d.（几何）求曲线长度、不规则图形的面积、体积等（几何）求曲线长度、不规则图形的面积、体积等他们的最大功绩是把两个貌似毫不他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题个是求积问题(积分学的中心问题积分学的中心问题)，找到其本质的联系，即微分与积，找到其本质的联系，即微分与积分是互逆的两种运算。分是互逆的两种运算。（2 2）奠基）奠基十七世纪下半叶，英国大科学家十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿（牛顿（NewtonNewton）和德国数学家莱）和德国数学家莱布尼茨布尼茨(Leibniz)(Leibniz)分别在自己的分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。的创立工作。（3 3）应用）应用微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。如：万有引力定律，开普勒行星运动三定律等。其如：万有引力定律，开普勒行星运动三定律等。其后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中有越来越科学各个分支中的发展，并在这些学科中有越来越广泛的应用。广泛的应用。（4 4）完善）完善牛顿和莱布尼茨在无穷和无穷小量这个问题上，其牛顿和莱布尼茨在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊，工作很不完善。说不一，十分含糊，工作很不完善。直到直到1919世纪初，法国科学学院的科学家以柯西世纪初，法国科学学院的科学家以柯西(Caucky)(Caucky)为首，对微积分的理论进行了认真研究，为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯特拉斯(Weierstrass)(Weierstrass)进一步的严格化，使极限进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。微积分理论基础理论成为了微积分的坚定基础。微积分理论基础的严密化，使得微积分跃进和扩展成为现代数学的严密化，使得微积分跃进和扩展成为现代数学的重要领域。的重要领域。导数的来源导数的来源1.1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放如图如图,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在在点点M处的处的切线切线.导数的定义导数的定义定义定义设函数设函数 在点在点 的某个领域内有定的某个领域内有定义义,当自变量当自变量 在在 处取得增量处取得增量 (点点 仍在仍在该领域内该领域内)时时,相应地函数相应地函数 取得增量取得增量若若 与与 之比当之比当时的极限存在时的极限存在,处可导处可导,并称这个极限为函数并称这个极限为函数 在点在点 处处的导数的导数,记为记为则称函数则称函数 在点在点或或导数的定义导数的定义的导数的导数,记为记为或或即即导数定义的其它形式导数定义的其它形式:令令令令2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:注意注意:利用定义求导数与求极限利用定义求导数与求极限1.(1)(2)(3)例例 1求函数求函数 在在 处的导数处的导数按定义求导的基本步骤按定义求导的基本步骤:求函数的增量求函数的增量求两增量的比值求两增量的比值求极限求极限2.(a)利用导数定义求极限利用导数定义求极限:或或(b)利用定义求导数与求极限利用定义求导数与求极限例例 2 试按导数定义求下列各极限试按导数定义求下列各极限(假设各极限均假设各极限均存在存在):其中其中例例3 求函数求函数的的导数导数.例例4 设函数设函数求求及及例例5求函数求函数的的导数导数.例例6求函数求函数的的导数导数.例例7求函数求函数的的导数导数.分段函数的导数分段函数的导数设函数设函数其中其中为可导函数为可导函数.试求试求 的导函数的导函数.(1)(2)(3)当当 时时,当当 时时,最后讨论函数在点最后讨论函数在点 的可导性的可导性.若若 和和 存在存在则则 在点在点 可导可导(否则不可导否则不可导),且且且且例例8 求函数求函数处的处的导数导数.在在例例9 设设为为偶函数偶函数,且且存在存在.证明证明导数的几何意义导数的几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例10求双曲线求双曲线在点在点处的切线的处的切线的斜率斜率,并写出在该点处的并写出在该点处的切线方程和切线方程和法线方程法线方程.例例11 求曲线求曲线在点在点处的切线处的切线方程方程.导数的物理意义导数的物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率变速直线运动变速直线运动:路程路程 对时间对时间 的导数为的导数为的瞬时速度的瞬时速度.交流电路交流电路:电量电量 对时间对时间 的导数为的导数为非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数为的导数为体的线体的线(面面,体体)密度密度.物体运动物体运动电流强度电流强度.物物可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理如果函数如果函数 在点在点 可导可导,则它在点则它在点 处处连续连续.连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,注注:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.01例如例如,例如例如,011/1/例例12 讨论函数讨论函数在在处的连续性与可处的连续性与可导性导性.例例13 求函数求函数处的连处的连在在续性与可导性续性与可导性.例例14 设函数设函数欲使欲使处处连续连续,在在为何为何值值;欲使欲使处处可导可导,在在为何为何值值.xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！
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