第2~3章-习题讲解课件

P60 习题2.19.设 A B C是集合，如果 A B和 BC，A C可能吗？A C常真吗？试举例说明。A C 可能可能 但但 不常真不常真例如：例如：Aa Ba Ca,a A C Aa Ba Ca A C 12.设 A B 且 A B可能吗？Aa Ba ,b ,a 可能可能14.对任意的集合 A B C，确定下列命题是真或假：（1）如果 A B 及 B C，则 A C（3）如果 A B 及 B C，则 A C（1）真真（3）假假 x(xB xC)证：B C AB AC反例：Aa Ba，b C a，bA B ACQ1I312.证明下列恒等式：（1）A (A B)A（4）A (A B)A B _（1）证明：）证明：A B A A (A B)A 得证。（4）证明：）证明：A (A B)(A A)(A B)_ A B或上式A(AB)，再由 A AB 得 A。18.指出下列集合的幂集合:（3）设 Aa，求 A 和（A）的幂集。解：解：（A），a（A），a，,a2.如果P89 习题2.5Aa，b 和 Bc，试确定下列集合：（1）A0,1B*（3）(AB)2解：解：（1）A0,1B a,b 0,1 c a,0,c,a,1,c ,b,0,c,b,1,c （3）(AB)2 a，bc a，bc a,c,b,c a,c,b,c a,c,a,c ,a,c,b,c ,b,c,a,c ,b,c,b,c 3.设 A0，1，构成 (A)A(A)A ，0，1，0,1 0,1 ,0 ,1 ,0,0 ,0,1 ,1,0 ,1,1 ,0,1,0 ,0,1,1 解：解：(A)，0，1，0,13.对下列关系 R，求出关系矩阵MRP97 习题3.1（3）A5，6，7，8，B1，2，3R x,y|x A y B 3 x-y 7 解：解：R 5,1,5,2,6,1,6,2,6,3,7,1,7,2,7,3,8,1,8,2,8,3 MR 56781 2 30111111111115.设 A1，2，3，4 ，R 1,2，2,4，3,3S 1,3，2,4，4,2（1）求出）求出 RS，RS，RS，R解：解：RS 1,2，2,4，3,3，1,3 ，4,2 RS 2,4 RS 1,2，3,3 R 1,1,1,3,1,4,2,1 2,2 2,3,3,1,3,2 ,3,4 ,4,1,4,2,4,3,4,4 AA 1,1,1,2,1,3,1,4,2,1 2,2 2,3,2,4,3,1,3,2 ,3,3 ,3,4 ,4,1,4,2,4,3,4,4 8.写出以下各关系所具有的特性。解：解：(a)反对称、传递传递(d)反对称(b)自反、对称、传递传递(c)反自反、对称(e)反自反、反对称、传递传递(f)反自反、反对称NY10.确定整数集合集合I上上的相等关系、关系、关系、全域关系、空关系是否具有定义3.15中指出的特性。II自反的自反的反自反的反自反的对称的对称的反对称的反对称的传递的传递的YNYYYNNYYYYYYYYYNNNYYNY基数大于基数大于1 NNYNYYYYYYYYYYYYY 13.考察关系原有的特性在各种运算下是否保持。如：两自反关系的并是自反的，即自反性质在并运算下是保持的。RSRSRS 自反的自反的反自反的反自反的对称的对称的反对称的反对称的 传递的传递的NYYYYNNNYNRNNNRS（后两行详见 P104习8 及 P109习4）YNNNNP104 习题3.22.设 R1 和 R2 是 A0，1，2，3上的关系，这里R1=i,j|j=i+1 或 j i/2R2=i,j|i=j+2求出 R1 R2 ,R2 R1,R1 R2 R1,R12,R23解：解：R1=0,0,0,1,1,2,2,3,2,1R1 R2=1,0,2,1 R2R1=2,0,2,1,3,2 R1 R2 R1=1,0,1,1,2,2 R22=R12=0,0,0,1,0,2,1,3,2,2,1,1 R23=R2=2,0,3,1b,d (R2R3)R4 c b,c R2R3 c,d R4 c(b,c R2b,c R3)c,d R4 c(b,c R2c,d R4)(b,c R3c,d R4)c(b,c R2c,d R4)c(b,c R3c,d R4)b,d R2 R4 b,d R3 R4 b,d R2 R4R3 R4即 b,d (R2R3)R4 b,d R2 R4R3 R4 a,c 所以证明：证明：4.证明定理3.2-1(3)(R2R3)R4=R2 R4 R3 R4(R2R3)R4=R2 R4 R3 R4设b,c,d 分别属于B,C,D8.设 R1 和 R2 是 A上的任意关系，证明或否定下列断言：（1）如果）如果R1 和 R2 都是自反的，那么都是自反的，那么R1 R2 是自反的是自反的（1）结论成立）结论成立证明：证明：x A x,x R1 x,x R2 x,x R1 R2*9.设 R1、R2 和 R3 是 A上的二元关系，证明合成运算保持集合的包含关系：10.设 A1,2,5，R=1,2,3,4,2,2 ,S=4,2,2,5,3,1,1,3 试求出 MR S解：解：RS=1,5,3,2,2,5 【建议用矩阵乘法求用矩阵乘法求】MR S=1 2 3 4 500000001001 2 3 4 5000000000011000P109 习题3.34.关系的逆保持原关系的所有特性。按逆和各特性的定义证即可。（c）自反自反闭包闭包*7.找出图3.3-2中每一个关系的自反、对称和传递闭包。（a）自反自反闭包闭包对称对称闭包闭包传递传递闭包闭包（b）传递传递闭包闭包对称对称闭包闭包对称对称闭包闭包传递传递闭包闭包自反自反闭包闭包8.设 R是 A1,2,3,4上的二元关系，其关系矩阵是 MR=1111000010110100 试求出 Mr(R)，Ms(R)，2M R3M R4M R，Mt(R)，Mr(R)=1111010010110101Ms(R)=1111001110111110最好写上公式！解：解：要求用矩要求用矩阵计算！阵计算！11110000111100003M R4M R11110000101101002M R=MR MR=111100001011010011110000111100002M R=MR 11110000101101001111000011110000=1111000011110000=11110000MR=10110100要求计算步骤！=2M R3M R=4M R=3M RMt(R)=MRR2 R3 R4=MR 2M R3M R4M R1111000011110100=2M R11110000MR=101101001111000011110000=9.设是 R1 和 R2 集合 A上的关系且 R1 R2，那么2)s(R1)s(R2)证明：证明：R1 R2 R1 R2s(R1)=R1 R1 R1 R1 R2 R2s(R2)=R2 R2s(R1)s(R2)每步有依据！每步有依据！*10.设 R1 和 R2 是 A上的任意关系，证明下列各式：（2）s(R1 R2)=s(R1 )s(R2)s(R1 R2)=(R1 R2)(R1 R2)=(R1 R2)(R1 R2)=(R1 R1)(R2 R2)=s(R1)s(R2)14.(1)画 t(R)图（5）P119 习题3.41.图3.4-10中给出了偏序集合 A,R 的哈斯图，这里 Aa,b,c,d,e（3）求出）求出 A的最小元素和最大元素，如果不存在，则指出不存在。的最小元素和最大元素，如果不存在，则指出不存在。（4）求出）求出 A的极大元素和极小元素。的极大元素和极小元素。（5）求出）求出 子集子集 b,c,d、c,d,e 和a,b,c的上界和下界，并指出这些子集的 lub和 glb，如果它们存在的话。abdce（3）最小元素：）最小元素：最大元素：最大元素：不存在不存在a（4）极大元素）极大元素 极小元素极小元素ad,e上界：a下界：dlub=aglb=d上界:a、c下界:不存在不存在lub=cglb不存在不存在上界：a下界：dlub=aglb=d b,c,d c,d,e a,b,c 5.图3.4-11中有向图哪些代表偏序集合、拟序集合、线序集合？（a）是偏序、等价关系（b）是偏序、线序（c）是拟序（d）都不是（e）是偏序（f）是偏序（e）abcdabcd（f）abcdadbc6.将上题（e）、（f）两个有向图改成哈斯图哈斯图9.证明下列断言：如果 R是偏序，R 也是偏序（2）证明：R是偏序，R必自反 x A，有 x,x R x,x R x,x R 自反自反R R是偏序，R必反对称 x,y R y,x R y,x R x,y R 反对称反对称R R是偏序，R必传递的R x,y y,z R y,x R z,y R z,x R x,z R 传递传递 R由由P109.4 可知可知10.设R是集合S上的关系，S是S的子集，定义S上的关系R 如下：R R(SS)确定下述每一断言的真假。（3）若 R 是 S 上的拟序，R 也是S上的拟序证明：证明：R是拟序，R必传递的；SS是全关系，也传递 x,y R y,z R x,y R x,y SS y,z R y,z SS x,z R x,z SS x,z R R是拟序，R反自反 x,x R x,x R R反自反反自反 R传递传递 x S S，R是是R 落在落在 S 的子集的子集 S内的部分内的部分 断言断言真真12.（1）（2）证传递时解答中有错，根据R的反对称，而非传递性习题3.4习题3.54.（1）自反对称 可用定义，也可用充要条件5.（3）要求证明！对称 可用定义，也可用充要条件传递：设；合成定义；R传递性；合成定义；结论谢谢