第2节n阶方阵的行列式课件

第二章第二章矩阵理论基础矩阵理论基础2.5 矩阵分块法矩阵分块法2.3 可可逆逆矩阵矩阵2.2 n阶阶(方阵的方阵的)行列式行列式2.1 矩阵的运算矩阵的运算2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形矩阵的秩与矩阵的等价标准形2.6 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则法则12.2 n阶阶(方阵的方阵的)行列式行列式主要内容主要内容:一、行列式的定义一、行列式的定义二、行列式的性质二、行列式的性质三、行列式的展开定理三、行列式的展开定理2上两式相加求得上两式相加求得(设分母不为零设分母不为零)同理可求得同理可求得用消元法求解用消元法求解引例引例:一、行列式的定义一、行列式的定义3定义二阶行列式定义二阶行列式定义二阶行列式定义二阶行列式:则则如何工整简单便于记忆地表示这两个解如何工整简单便于记忆地表示这两个解?4三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式按某种运算规则得到的一个数记为按某种运算规则得到的一个数记为定义定义设由设由9个数排成的个数排成的3行行3列的数表列的数表5说明说明:共共3!=6项项,正负项各占半正负项各占半,每项均为三个元素乘积每项均为三个元素乘积(不同行不同列不同行不同列)例求多项式例求多项式解：解：6问空间解析中的三个向量问空间解析中的三个向量是否共面？是否共面？由高等数学由高等数学,三个向量共面的充要条件是混合积为零。三个向量共面的充要条件是混合积为零。所以它们不共面，即异面。所以它们不共面，即异面。例例7把二阶行列式与三阶行列式加以推广得把二阶行列式与三阶行列式加以推广得应有应有不同列元素的乘积不同列元素的乘积定义定义定义定义1 1 设有设有排成排成作出不同行不同列的作出不同行不同列的并冠以符号并冠以符号称为称为8定义：定义：剩下的元素按原次序排成的剩下的元素按原次序排成的例如：例如：9定义定义2 设方阵设方阵1)2)即方阵的行列式等于第一行元素与其对应的即方阵的行列式等于第一行元素与其对应的代数余子式乘积的和代数余子式乘积的和例如求二阶，三阶行列式例如求二阶，三阶行列式10例例证明对角行列式证明对角行列式（其中主对角线上的元素不全为零（其中主对角线上的元素不全为零而其他元素全为零的行列式）而其他元素全为零的行列式）证明：证明：11证明下三角行列式证明下三角行列式例例证明：证明：12 二二、行列式的性质行列式的性质为什么要研究行列式的性质为什么要研究行列式的性质?性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。说明说明 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。反之亦然。13计算下三角行列式计算下三角行列式注意！注意！例例114例如例如性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号。行列式变号。再如，证明再如，证明15推论推论推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。列式为零。例如例如16性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数同一数k，等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。子可以提到行列式符号的外面。例如例如17性质性质性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零此行列式为零例如例如18推论推论推论推论如果行列式有一行如果行列式有一行（列）为零，则行列式（列）为零，则行列式等于零。等于零。例如例如19性质性质性质性质 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。式的和。例如例如20性质性质 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的各元素乘以同一数然的各元素乘以同一数然后加到另一行后加到另一行(列列)对应的元素上去对应的元素上去,行列式的值不变。行列式的值不变。三角形，然后计算行列式的值。三角形，然后计算行列式的值。只用只用这种变换，把行列式化为这种变换，把行列式化为例例21只用只用只用只用 变换或只用变换或只用变换或只用变换或只用 变换一定能变换一定能变换一定能变换一定能把行列式化为上把行列式化为上把行列式化为上把行列式化为上(下下下下)三角形三角形三角形三角形.行列式的值不变行列式的值不变行列式的值不变行列式的值不变.22则则例例23证明证明2425例例26例例 计算计算n阶行列式阶行列式解：解：2728例例爪形行列式爪形行列式29思考题：思考题：计算下列行列式：计算下列行列式：30 行列式的值等于其任一行行列式的值等于其任一行行列式的值等于其任一行行列式的值等于其任一行(列列列列)的各元素与其对应的各元素与其对应的各元素与其对应的各元素与其对应性质性质的代数余子式乘积之和，即：的代数余子式乘积之和，即：证明：证明：三行列式的展开定理三行列式的展开定理3132定理定理 行列式的值等于其任一行行列式的值等于其任一行行列式的值等于其任一行行列式的值等于其任一行(列列列列)的各元素与其对应的各元素与其对应的各元素与其对应的各元素与其对应的代数余子式乘积之和；的代数余子式乘积之和；行列式的任一行行列式的任一行行列式的任一行行列式的任一行(列列列列)的各元素与另一行（列）相应元素的各元素与另一行（列）相应元素的各元素与另一行（列）相应元素的各元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零的代数余子式乘积之和等于零33例例1计算计算按第按第3行展开行展开34求求例例235例例主对角线以及主对角线主对角线以及主对角线以下元素全为，其它元素全为零，以下元素全为，其它元素全为零，所有元素的代数余子式之和所有元素的代数余子式之和（以前的考试题）（以前的考试题）解：解：同理其它行的元素对应的代数余子式之和也为零同理其它行的元素对应的代数余子式之和也为零所以所有元素对应的代数余子式之为所以所有元素对应的代数余子式之为36范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 例例3从最后一行开始从最后一行开始,每行减去上一行的每行减去上一行的 倍倍.37按最后一列展开再提取每列的公因子按最后一列展开再提取每列的公因子383940(1)按范德蒙行列式的结果求出按范德蒙行列式的结果求出 x3 的系数的系数;(2)按最后一列展开求出按最后一列展开求出 x3 的系数的系数(与所求可能差符号与所求可能差符号)(3)比较二者应相等比较二者应相等.例例求求解：提示解：提示41例例 计算下列计算下列n阶行列式阶行列式解解:按第一列展开按第一列展开4243推论推论:行列式中任一行行列式中任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应的对应元素的代数余子式乘积之和为零元素的代数余子式乘积之和为零,即即:证明：证明：第第i行行第第j行行=044 方阵的行列式方阵的行列式 由由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 A 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律设设 A，B 均为均为 n 阶方阵阶方阵(性质，行列式的乘法定理性质，行列式的乘法定理性质，行列式的乘法定理性质，行列式的乘法定理)45问问问问：对（）举例说明对（）举例说明设设则：则：思考：思考：如果如果为奇数阶的反对称矩阵为奇数阶的反对称矩阵，则，则46设设A是奇数阶方阵，且是奇数阶方阵，且证明证明证证证证例例1647设设求：求：求求解：解：例例1748 伴随矩阵伴随矩阵矩阵的转置矩阵矩阵的转置矩阵由由|A|的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式 所构成所构成称为称为 A 的的伴随矩阵伴随矩阵。思考：思考：且有且有（在下一节将起到很重要的作用）（在下一节将起到很重要的作用）49设设解：解：设设A为阶方阵，为阶方阵，证明：，证明：证明证明:设设例例18例例1950 学习重点学习重点学习重点学习重点：行列式的定义起源于解线性方程组，但解线性方：行列式的定义起源于解线性方程组，但解线性方程组后来被矩阵理论所代替，再也不用行列式来求解线性方程组程组后来被矩阵理论所代替，再也不用行列式来求解线性方程组了。行列式的价值主要体现在理论推导上，其中重要的有三大定了。行列式的价值主要体现在理论推导上，其中重要的有三大定理：理：(1)行列式的展开定理行列式的展开定理;(2)行列式的乘法定理行列式的乘法定理;（性质）（性质）(3)Cramer法则（第六节）法则（第六节）本节的学习重点是掌握行列式的计算。在计算方法上重点掌本节的学习重点是掌握行列式的计算。在计算方法上重点掌握化三角形法和递推法。对行列式的两个等价定义，只需有一个握化三角形法和递推法。对行列式的两个等价定义，只需有一个粗略的了解，对行列式的计算不要过分地追求计算技巧。粗略的了解，对行列式的计算不要过分地追求计算技巧。51作业作业:52思考题思考题:1.A为为10阶方阵阶方阵,则则:2.计算计算:3.已知已知满足满足:求求534.设设则则5.设设则必有则必有 54 发展简史发展简史发展简史发展简史：行列式起源于求解线性方程组。用行列式的方法：行列式起源于求解线性方程组。用行列式的方法解含有两个、三个和四个未知数的联立线性方程，可能是由解含有两个、三个和四个未知数的联立线性方程，可能是由Maclaurin在在1729年开创的，并发表在他的遗作年开创的，并发表在他的遗作代数论著代数论著(1748)中。中。Vandermonder(1772)是第一个对行列式理论作出连是第一个对行列式理论作出连贯的逻辑阐述的人，他给出了一条法则，用二阶子式和它们的余贯的逻辑阐述的人，他给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。子式来展开行列式。Laplace参照参照Cramer和和Bezout的工作，在的工作，在1772年的论文年的论文对积分和世界体系的探讨对积分和世界体系的探讨中，证明了中，证明了Vandermonder的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，现称为现称为Laplace定理定理(行列式展开定理是其特殊情况行列式展开定理是其特殊情况)。行列式这。行列式这个词是个词是Cauchy在在18世纪的著作中首先使用的，把元素排成方阵世纪的著作中首先使用的，把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于他的，而采用两竖线是并采用双重足标的记法也是属于他的，而采用两竖线是Cayley在在1841年引进的。年引进的。55