第2章线性规划的对偶理论课件

管管 理理 运运 筹筹 学学第二章第二章线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论2.12.1对偶规划的构造对偶规划的构造2.22.2对偶定理对偶定理2.32.3灵敏度分析灵敏度分析1管管 理理 运运 筹筹 学学 线性规划问题具有对偶性，即任何一个极大值的线性规划问题都有一个求极小值线性规划问题与之对应，反之依然，如果把其中一个叫做原问题，则另一个叫做它的对偶问题，并称这互相联系的两个问题为一对对偶问题。研究对偶问题之间的联系及其解的性质，就构成了线性规划的对偶理论。自1947年提出对偶理论以来，已经有了相当深入的研究。对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系，由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义，是经济学重要的概念与工具之一。它是线性规划理论的重要成果。2管管 理理 运运 筹筹 学学一、对偶问题的实际背景例2.1 某工厂生产甲，乙两种产品，每件产品的利润所消耗的材料，工时及每天的限额如表2.1所示，试问如何安排生产使每天所得利润最大？甲 乙 限额材料 2 3 24工时 3 2 26利润 4 3设每天是生产甲乙两种产品的数量为x1件和x2件，有若该企业不安排生产，将所有资源出租出售，问如何定价这些资源，即可使其获利不低于安排生产时所获得的利润，又使资源出租具有竞争力？3管管 理理 运运 筹筹 学学分析显然决策者要考虑两个因素：第一，每种资源所收回费用不低于自己生产时所获得利润;第二，定价又不能太高，要使对方容易接受，总之，定价要公平合理。4管管 理理 运运 筹筹 学学解：设w1,w2分别表示这两种资源的收费单价，则用于生产甲、乙两种产品的材料和工时，用来出租，所获得利润不低于自己生产所获利润，即 出租2单位材料和3个工时所获利润不低于生产甲产品所获利润 2w1+3w243w1+2w23同理有 定价满足非负性条件w1,w2 0 其总收入G=24w1+26w25管管 理理 运运 筹筹 学学从工厂的决策者来看，G越大约好，但为了使对方容易接受应使总收入即对方的总支出尽可能少，才比较合理，因为只有这样，厂方不会吃亏，对方也容易接受。于是，这个问题的数学模型可归结为：求决策量w1,w2，使得minG=24w1+26w22w1+3w2 43w1+2w23w1,w2 06管管 理理 运运 筹筹 学学例2.2 假如某种作物，全部生产过程至少需氮肥32公斤，磷肥24公斤，钾肥42公斤已知甲乙丙丁四种复合肥料每公斤的价格以及氮磷钾的含量如表？甲 乙 丙 丁 需要量氮 0.03 0.3 0 0.15 32磷 0.05 0 0.2 0.1 24钾 0.14 0 0 0.07 42价格 0.04 0.15 0.1 0.13问应如何选购这些肥料，能满足需要，又是成本最低？现有一肥料公司生产氮磷钾三种单成分的化肥，要为这三种化肥定价，既要获利最大，又要和生产甲乙丙丁四种复合肥料公司竞争？设xj表示各肥料的用量以这些单成分化肥，组成四中复合肥料含量的肥料时，价格不超过肥料公司的价格、施肥满足作物需要时要求利润最大7管管 理理 运运 筹筹 学学设w1,w2，w3分别表示氮磷钾三种肥料的价格8管管 理理 运运 筹筹 学学我们称后一个线性规划为前一个线性规划的对偶规划，分别用LP和LD来简记这两个线性规划。9管管 理理 运运 筹筹 学学二、对偶规划构造的准则1.对称形式下对偶规划定义2.1 满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极小时，均取“”号；当目标函数求极大时，均取“”号10管管 理理 运运 筹筹 学学对称形式下线性规划的原问题的一般形式为用 (i=1,2,m)表示对偶规划的变量，其对偶规划的一般形式为11管管 理理 运运 筹筹 学学简记为12管管 理理 运运 筹筹 学学用矩阵可表示为其中13管管 理理 运运 筹筹 学学定理2.1（对称性定理）对偶规划的对偶规划是原规划。即LD是LP的对偶规划时，LP是 LD的对偶规划，因而这个关系是对称的14管管 理理 运运 筹筹 学学一般规则（1）（LP）问题求最小化；LD问题求最大化；（2）（LP）问题约束条件，定义一个非负对偶变量，就是说（LP）问题约束条件个数恰好为其（LD）问题变量个数。（3）（LP）问题目标函数的价值系数C，在（LD）问题中为约束条件右端函数。（4）（LP）问题约束条件右端常数，在（LD）问题中为目标函数价值系数。（5）（LP）问题约束条件系数矩阵转置，在（LD）问题中为约束条件系数矩阵。（6）（LP）问题决策变量为大于等于0，在（LD）问题中约束条件符号为“”，且变量个数恰好为（LD）约束条件个数。15管管 理理 运运 筹筹 学学2非对称形式下对偶规划的形式例2.2 写出下列线性规划的对偶规划16管管 理理 运运 筹筹 学学对偶规划为17管管 理理 运运 筹筹 学学对偶规则原问题对偶问题目标函数max目标函数min约 m个约束条件束 条 件 =m个变量 变 0 量 0 无符号限制变 n个变量 量 0 0 无符号限制 n个约束条件 约 束 条 =件目标函数价值系数 约束条件右端常数 约束条件右端常数 目标函数价值系数 系数矩阵 A系数矩阵转置AT18管管 理理 运运 筹筹 学学例2.3写出下列线性规划的对偶规划Minz=2x1-x2+x3-3x4S.t.x1+2x2 +4x4=1 2x2-3x3 -4x42 x1+3x3 3x1,x20,x3,x4无约束19管管 理理 运运 筹筹 学学其对偶规划Maxg=w1+2w2+3w3S.t.w1 +w312w1+2w2 -13w2+w3 =14w1-4w2 =-3w1无约束,w20,x3020管管 理理 运运 筹筹 学学(2)Maxz=5x1+6x2+3x3S.t.x1+2x2+2x3=5-x1+5x2 -x3 24x1+7x2+3x28X1无约束,x20,x3 021管管 理理 运运 筹筹 学学其对偶规划Min=5w1+3w2+8w3S.t.w1 -w2+4w3=52w1+5w2+7 w3 62w1-w2+3w3 3w1无约束,w20,x3022管管 理理 运运 筹筹 学学2.2对偶定理23管管 理理 运运 筹筹 学学一、弱对偶定理定理定理2.2（弱对偶定理）设（弱对偶定理）设x0是是P的可行解，的可行解，w0是是D的可行解，则的可行解，则cx0 w0b证明：因为证明：因为x0是是P的可行解，所以的可行解，所以Ax0 b,x0 0又又w0是是D的可行解，于是的可行解，于是w0Ac,c,w0 0因而因而w0Ax0 w0b,w0Ax0 cx0即即cx0 w0b思考题：思考题：最大化问题目标函数值不大于最小化问题目标函数值？24管管 理理 运运 筹筹 学学P有可行解有可行解D有可行解有可行解案例案例125管管 理理 运运 筹筹 学学推论推论2.1若若x*、w*分别是分别是P 和和D的可行解，且的可行解，且cx*=w*b则则x*、w*分别是分别是P 和和D的最优解。的最优解。推论推论2.2若若P和和D中一个目标函数值无界，则另一个中一个目标函数值无界，则另一个可行域为空。可行域为空。思考题：思考题：其逆是否成立呢其逆是否成立呢？当一个问题无可行解时，另一？当一个问题无可行解时，另一个问题可能具有无界解或无可行解。个问题可能具有无界解或无可行解。推论推论2.3 若若P和和D同时有最优解的充要条件是同时有最优解的充要条件是P和和D都有可行解。都有可行解。26管管 理理 运运 筹筹 学学二、强对偶定理定理定理2.4 一对对偶规划一对对偶规划P和和D中一个有最优解充要中一个有最优解充要条件是另一个有最优解，且他们最优值相等条件是另一个有最优解，且他们最优值相等。证明：设证明：设X是原问题的最优解，对应的基矩是原问题的最优解，对应的基矩 阵阵（最优基）为（最优基）为B,引入松弛变量向量引入松弛变量向量，将（将（LP）化为标准形式）化为标准形式，其中其中x=(x,xs)T(xs为松弛变量，是为松弛变量，是m维列向量维列向量),c=(c,0),0是是m维行向量，维行向量，A=(A,-I),I为为m*m单位矩阵。单位矩阵。27管管 理理 运运 筹筹 学学然后用单存形法求解，因为然后用单存形法求解，因为P有最优解，则一定有最有最优解，则一定有最优基可行解，设此时最优基为优基可行解，设此时最优基为B*,则有则有令CB*(B*)-1A C，最优值为，最优值为CB*(B*)-1b W*是是D的可行解，此时的可行解，此时D的目标函数值为的目标函数值为故故w*是是D的最优解的最优解.同理可证同理可证D有最优解时，有最优解时，P也有最优解，且目标函数值也有最优解，且目标函数值相等。相等。28管管 理理 运运 筹筹 学学三、互补松弛性定理及应用三、互补松弛性定理及应用定理定理2.4（互补松弛定理）已知（互补松弛定理）已知x*、w*分别分别是是P和和D的可行解，他们分别是的可行解，他们分别是P和和D的最优的最优解的充要条件是解的充要条件是w*(A x*-b)=0、(c-w*A)x*=029管管 理理 运运 筹筹 学学30管管 理理 运运 筹筹 学学互补松弛性定理应用互补松弛性定理应用（1）从已知的最优对偶解，求原问题最优解，）从已知的最优对偶解，求原问题最优解，反之亦然。反之亦然。（2）证实原问题可行解是否为最优解。）证实原问题可行解是否为最优解。（3）从不同假设来进行试算，从而研究原始、）从不同假设来进行试算，从而研究原始、对偶问题最优解的一般性质。对偶问题最优解的一般性质。（4）非线性的方面的应用。）非线性的方面的应用。31管管 理理 运运 筹筹 学学例2.4已知线性规划问题32管管 理理 运运 筹筹 学学它的对偶规划是33管管 理理 运运 筹筹 学学用图解法求其对偶问题最优解是w*=（4/5，3/5）。将w*代入约束条件中时，第2、3、4个约束条件成立严格不等式。由互不松弛定理，有原规划最优解中相应变量为0，即x*2=x*3=x*4=0.又因为w*1、w*2不为0，原规划中约束条件为紧，由互不松弛定理有x*1+3x*5=4,2x*1+x*5=3解得,x*1=x*5=1由此得原规划的最优解x*=(1,0,0,0,1)T最优值为5.342.4 灵敏度分析研究的主要问题当这些参数中的一个或几个发生变化，问题的最优解有什么变化？这些参数在一个多大范围内变化时问题的最优解不变？35管管 理理 运运 筹筹 学学第一类当这些参数中的一个或几个发生变化，问题的最优解有什么变化？一、目标函数的灵敏度分析因为目标函数的变化只影响到检验数的改变，我们不需要从头开始，只要在原问题的最后一张单纯形表中，计算出新的检验数，再用单纯形法进行下去直到找到最优解。36管管 理理 运运 筹筹 学学例2.7 某工厂用甲乙两种原料生产A、B、C、D四种产品，每种产品的利润、现有原料数及每种产品消耗原料定额如表。问应怎样组织生产才能使总利润最多？如果产品A的利润增加到15万元，产品D的利润降到15万元，最优解有什么变化？A B C D现有原料数/公斤甲乙每万件产品利润/万元3 2 10 40 0 2 1/29 8 50 1918337管管 理理 运运 筹筹 学学Maxz=9x1+8x2+50 x3+19x4S.t.3x1+2x2+10 x3+4x418 2x3+1/2x4 3 x1,x2,x3,x40Min(-z)=-9x1-8x2-50 x3-19x4S.t.3x1+2x2+10 x3+4x4+x5 =18 2x3+1/2x4 +x 6=3 x1,x2,x3,x40化为标准型解：设x1、x2、x3、x4分别表示四种产品的生产数量，则38管管 理理 运运 筹筹 学学得最优单纯形表-9 -8 -50 -19 0 0cB xB bx1 x2 x3 x4 x5 x6 -19 x4 2-50 x3 12 4/3 0 1 2/3 -10/3-1/2 -1/3 1 0 -1/6 4/3 4 2/3 0 0 13/3 10/3即最优生产方案是生产一万件产品C,2万件产品D，可得利润88万元。39管管 理理 运运 筹筹 学学（2）计算c1、c2改变后的检验数-15 -8 -50 -15 0 0cB xB bx1 x2 x3 x4 x5 x6 -15 x4 2-50 x3 12*4/3 0 1 2/3 -10/3-1/2 -1/3 1 0 -1/6 4/3-10 -14/3 0 0 5/3 50/3-15 x1 1-50 x3 3/21 2/3 0 1/2 1/3 -5/30 0 1 1/4 0 1/20 2 0 5 5 0 当利润变化时，最优解也发生变化，应生产A产品1万件，C产品1.5万件，利润90万元。40管管 理理 运运 筹筹 学学第二类ck(其余不变）在一个多大范围内变化时问题的最优解不变？1、当xk为非基变量时的价值系数的变化所以当xk为非基变量时,ck的变化只影响到检验数41管管 理理 运运 筹筹 学学2、当xk为基变量时，ck的改变影响到所有非基变量检验数设xk在基变量中第i行，42管管 理理 运运 筹筹 学学因此有43管管 理理 运运 筹筹 学学例2.7 某工厂用甲乙两种原料生产A、B、C、D四种产品，每种产品的利润、现有原料数及每种产品消耗原料定额如表。又各产品的利润在什么范围内变化时，最优基不变A B C D现有原料数/公斤甲乙每万件产品利润/万元3 2 10 40 0 2 1/29 8 50 1918344管管 理理 运运 筹筹 学学得最优单纯形表-9 -8 -50 -19 0 0cB xB bx1 x2 x3 x4 x5 x6 -19 x4 2-50 x3 12 4/3 0 1 2/3 -10/3-1/2 -1/3 1 0 -1/6 4/3 4 2/3 0 0 13/3 10/3即最优生产方案是生产一万件产品C,2万件产品D，可得利润88万元。45管管 理理 运运 筹筹 学学讨论cj的变化范围，使最优基不变x1、x2是非基变量，因而有-c1的变化范围是故c1的变化范围是-c2的变化范围是故c2的变化范围是46管管 理理 运运 筹筹 学学x3、x4是基变量先考虑c3,有即-c3的变化范围是-52，-95/2在考虑c4,有即-c4的变化范围是-20，-37/2c4的变化范围是37/2，20-C3的变化范围是95/2,5247管管 理理 运运 筹筹 学学二、约束条件的灵敏度分析考虑两类问题一类是讨论b中有一个或几个量改变时最优解的变化情况；第二类是讨论bk（此时其余bi不变）在什么范围内变化时最优基不变即基变量组成不变48管管 理理 运运 筹筹 学学因为b的改变对检验数无影响，只影响表中约束矩阵的常数项。因而从最后最后单纯形表中找到相应的B-1，计算改变后 b*相应的B-1b*,若均为非负数，它是最优解，否则用对偶单纯形法照相应最优解.一类是讨论b中有一个或几个量改变时最优解的变化情况；49管管 理理 运运 筹筹 学学解(1)在最后一张表中例2.8（1）在例2.7问题中，当材料甲的限量由16公斤增加到24公斤，当材料乙的限量由3公斤增加到6公斤时，最优解有什么变化？50管管 理理 运运 筹筹 学学-9 -8 -50 -19 0 0cB xB bx1 x2 x3 x4 x5 x6 -19 x4 -4-50 x3 42 4/3 0 1 2/3 -10/3-1/2 -1/3 1 0 -1/6 4/3 4 2/3 0 0 13/3 10/3 0 x6 6/5-50 x3 12/5-3/5 -2/5 0-3/10 -1/5 13/10 1/5 1 2/5 1/10 0 6 2 0 1 5 0已得最优解，应生产C类产品2.4万件，利润210万元。51管管 理理 运运 筹筹 学学第二类是讨论bk（此时其余bi不变）在什么范围内变化时最优基不变即基变量组成不变我们先讨论原问题中约束条件均为“”约束，此时最后一张表中相应B-1=(Yn+1,Yn+2,Yn+m)bk的改变量为其中为变动后的值。最后一张表右侧为b=(b1,b2,bm)T,b*=(b1,b*k,bm)T52管管 理理 运运 筹筹 学学53管管 理理 运运 筹筹 学学因此有54管管 理理 运运 筹筹 学学例2.8（2）在例2.7问题中，又材料的限量在什么范围内变化时最优基不变？现在求b的变化范围使最优基不变,根据最优表x5所在列得b1的变化范围【15，24】55管管 理理 运运 筹筹 学学b2的变化范围【9/4，18/5】56管管 理理 运运 筹筹 学学三、添加新变量.时的灵敏度分析1 增加一个新的变量xn+m+1,相应的约束矩阵中列向量为An+m+1,目标函数中系数cn+m+1,此时要求出最优解的变化，只需由最后一张表中B-1求出相应的Yn+m+1=B-1 An+m+1及检验数若最优解不变若用单纯形方法求出最优解即可57管管 理理 运运 筹筹 学学思考题：实际问题中增加新的变量意味着什么呢？实际问题中增加新的变量常常反映为增加一种新产品，实际的问题是求cn+m+1的取值范围，使xn+m+1成为基变量，即此种产品可以投产，只要求出cn+m+1,58管管 理理 运运 筹筹 学学例2.9 例2.7中某工厂考虑引进新产品E.已知生产E产品1万件要消耗材料甲3公斤和材料乙1公斤，当产品E的利润为17万元时，最优解如何变化？又E的利润至少有多少时才能投产？59管管 理理 运运 筹筹 学学解（1）设产品E的产量为x7,相应的有60管管 理理 运运 筹筹 学学得单纯形表-9 -8 -50 -19 0 0 -17cB xB bx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 -19 x4 2-50 x3 12 4/3 0 1 2/3 -10/3 -4/3-1/2 -1/3 1 0 -1/6 4/3 5/6*4 2/3 0 0 13/3 10/3 -2/3-1 x4 18/5-17 x7 6/56/5 4/5 8/5 1 2/5 -6/5 0-3/5 -2/5 6/5 0 -1/5 8/5 118/5 2/5 4/5 0 21/5 22/5 0 新的最优生产计划为D产品3.6万件，E产品1.2万件，利润88.8万元61管管 理理 运运 筹筹 学学（2）因为所以则生产每一万件的利润至少要大于49/3万元时才能考虑投产。62管管 理理 运运 筹筹 学学四、增加一个新的约束条件时的灵敏度分析 只考虑增加一个不等式约束的情况，则相应增加一个松弛变量，此时不管“”或“”约束，都使增加的列为单位向量，将这新的一行一列加到最后一张表中，用初等行变换使新的一行中相应于基变量的系数为0，若此时为负，则原问题最优解不变；否则用对偶单纯形法求新的最优解。63管管 理理 运运 筹筹 学学例2.10 在例2.7中假设某工厂又新增用电不能超过8千瓦的限制，而生产A、B、C、D四种产品各一万件分别需要用电4千瓦、3千瓦、5千瓦、2千瓦。问是否需要改变原来的最优方案？解 此时相当于增加一个约束条件引进松弛变量x7化成标准形64管管 理理 运运 筹筹 学学得单纯形表-9 -8 -50 -19 0 0 0cB xB bx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 -19 x4 2-50 x3 1 0 x7 82 4/3 0 1 2/3 -10/3 0-1/2 -1/3 1 0 -1/6 4/3 14 3 5 2 0 0 1 4 2/3 0 0 13/3 10/3 0-19 x4 2-50 x3 10 x7 -12 4/3 0 1 2/3 -10/3 0-1/2 -1/3 1 0 -1/6 4/3 05/2 2 0 0 1/2 0 1 4 2/3 0 0 13/3 10/3 065管管 理理 运运 筹筹 学学新的最优解是生产C产品4/3万件，D产品2/3万件，利润79.3万件-9 -8 -50 -10 0 0 0cB xB bx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 -19 x4 2/3 -50 x3 4/3 0 x5 216/3 4 0 1 0 -10/3 4/3-4/3 -1 1 0 0 4/3 -1/3-5 4 0 0 1 0 -277/3 18 0 0 0 10/3 26/366管管 理理 运运 筹筹 学学五、影子价格定义：在一对对偶问题（P）和（D）中,若（P)的某个约束条件的右端常数bi,增加一个单位时，所引起的目标函数最优值z*的改变量称为第i个约束条件的影子价格，又称为边际价格.67管管 理理 运运 筹筹 学学问题背景2012年左右钢铁企业萧条，出现了多生产就赔本的状况，那么怎么用运筹学的理论去解释这种现象呢68管管 理理 运运 筹筹 学学注：1 由定义知，影子价格y*的经济意义是在其他条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数值的变化，即对偶变量yi就是第i个约束条件的影子价格.2 当第i种资源的影子价格大于市场价格时，应增加该资源的供应量，可使利润增加；当影子价格小于市场价格时，出现多做多陪的现象，应出售这种资源，既减少该资源的供应量。3 当某种资源的影子价格为0时，原问题中相应的约束为不等式约束，说明该种资源未得到充分用；影子价格大于0时说明该种资源已充分利用。69管管 理理 运运 筹筹 学学思考题：影子价格及其应用研究4 对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案，而对于对偶问题的求解是确定对资源的恰当估计。70管管 理理 运运 筹筹 学学11问题的提出问题的提出例例1.目标函数：Max z=50 x1+100 x2 约束条件：s.t.x1+x2 300 (A)2 x1+x2 400 (B)x2 250 (C)x1 0 (D)x2 0 (E)得到最优解：x1=50，x2 =250 最优目标值 z =27500决策变量均非负；右端项非负。对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过以下变换，将其转化为标准形式:例例1.某工厂在计划期内要安排、两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？线性规划模型：线性规划模型：目标函数：Max z=50 x1+100 x2 约束条件：s.t.x1+x2 300 2 x1+x2 400 x2 250 x1,x2 071管管 理理 运运 筹筹 学学3图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析1.极小化目标函数的问题：设目标函数为 Min f=c1x1+c2x2+cnxn (可以)令 z -f，则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，即 Max z=-c1x1-c2x2-cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们最优解的目标函数值却相差一个符号，即 Min f -Max z+ain xn-s=bi72管管 理理 运运 筹筹 学学3图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析假设产品的利润100元不变，即 c2=100，代到式（*）并整理得 0 c1 100 假设产品的利润 50 元不变，即 c1=50，代到式（*）并整理得 50 c2 +假若产品、的利润均改变，则可直接用式（*）来判断。假设产品、的利润分别为60元、55元，则 -2 -(60/55)-1 那么，最优解为 z=x1+x2 和 z=2 x1+x2 的交点 x1=100，x2=200。73管管 理理 运运 筹筹 学学3图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析 3.2 约束条件中右边系数 bj 的灵敏度分析 当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可行域发生变化，可能引起最优解的变化。考虑例1的情况：假设设备台时增加10个台时，即 b1变化为310，这时可行域扩大，最优解为 x2=250 和 x1+x2=310 的交点 x1=60，x2=250。变化后的总利润-变化前的总利润=增加的利润 (5060+100250)-(50 50+100 250)=500，500/10=50 元 说明在一定范围内每增加（减少）1个台时的设备能力就可增加（减少）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。74管管 理理 运运 筹筹 学学3图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析 假设原料 A 增加10 千克时，即 b2变化为410，这时可行域扩大，但最优解仍为 x2=250 和 x1+x2=300 的交点 x1=50，x2=250。此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0。解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有50千克的剩余，因此增加10千克值增加了库存，而不会增加利润。在一定范围内，当约束条件右边常数增加1个单位时 （1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改善（变好）；（2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函数值受到影响（变坏）；（3）若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数值不变。75