方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式概论课件

第十章第十章 多元函数的导数及其应用多元函数的导数及其应用 10.1 10.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 10.2 10.2 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分 10.3 10.3 多元复合函数与隐函数的偏导数多元复合函数与隐函数的偏导数多元复合函数与隐函数的偏导数多元复合函数与隐函数的偏导数 10.4 10.4 方向导数、梯度及泰勒公式方向导数、梯度及泰勒公式方向导数、梯度及泰勒公式方向导数、梯度及泰勒公式 10.5 10.5 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值与条件极值多元函数的极值与条件极值多元函数的极值与条件极值第十章 多元函数的导数及其应用 10.1 多元函数110.4 方向导数与梯度及泰勒公式方向导数与梯度及泰勒公式 10.4.1 方向导数与梯度方向导数与梯度内容小结与作业内容小结与作业10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用方向导数与梯度的性质及应用10.4.3 黑塞矩阵与泰勒公式黑塞矩阵与泰勒公式10.4 方向导数与梯度及泰勒公式 10.4.1 方向导数2Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件10.4.1 方向导数与梯度方向导数与梯度1.1.方向导数的概念方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.对于二元函数 有在几何上，它们分别表示平面曲线 及在点 处的切线的斜率.10.4.1 方向导数与梯度1.方向导数的概念偏导数反映的3Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元函数 在点 定义定义 若函数在点 处沿方向 u(方向角为存在下列极限:记作 则称为函数在点 P 处沿方向 u 的方向导数方向导数.(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元4Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件方向导数的几何意义方向导数的几何意义表示曲线C 在 点处的切线的斜率.特别特别:当 u 与 x 轴同向 当 u 与 x 轴反向方向导数的几何意义表示曲线C 在 点处的切线的斜率.5Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件那么函数在该点沿任意方向向量 u 的方向导数都存在，设函数 在点 处可微，定理定理10.4.1且有其中 为向量 u 的方向余弦.因函数 在点 处可微，则 证明证明2.方向导数的计算方向导数的计算那么函数在该点沿任意方向向量 u 的方向导数都存在，设函数 6Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件这就证明了方向导数存在，且一般地，当函数 可微时，有且 所以当自变量从点 沿u 方向移动时，这就证明了方向导数存在，且一般地，当函数 7Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件三元函数 在点 沿方向 u(方向角为 )的方向导数定义为 定理定理10.4.1的逆命题不成立的逆命题不成立.f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可但不可微微.三元函数 在点 8Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件方向导数的性质方向导数的性质方向导数的性质9Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例1.求函数 在点 沿方向的方向导数.解：解：又 的方向余弦为故例1.求函数 10Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例2.设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数故例2.设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向11Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件3.梯度向量的定义梯度向量的定义因为新向量新向量G3.梯度向量的定义因为新向量G12Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件同样可定义二元函数在点处的梯度 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.称为函数 f(P)在点 P 处的梯度(gradient),向量记作 grad f 或 f,即nabla 同样可定义二元函数在点处的梯度 说明:函数的方向导数为梯度在13Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例3.求函数 在点 处的梯度以及函数在该点处沿方向 的方向导数.解：解：故又故例3.求函数 14Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件如果采用向量的记号，我们容易给出一般 n 元函数的方向导数与梯度的定义.设 f(x)是 n 元函数(通常我们只考虑二元函数和三元u 是 n 元向量,u0 是 u 对应的单位向量,函数的情况)，则 f(x)在点 x 处沿 u 的方向导数和梯度分别定义为如果采用向量的记号，我们容易给出一般 n 元函数的方向导数与15Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用方向导数与梯度的性质及应用1.函数的最速上升方向与最速下降方向函数的最速上升方向与最速下降方向定义定义10.4.1设 f(x)是 上的连续函数，d 是 n 维非零向量，如果存在，使得对于一切，恒有则称 d 为函数 f 在 x0 处的上升方向上升方向;恒有如果对于则称 d 为函数 f 在 x0 处的下降方向下降方向.10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用1.函数的最速上升16Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件定理定理10.4.2设 f(x)在点 x0 处可微,u 是一个 n 维非零向量，如果个上升方向；的一个下降方向则u 是f(x)在点 x0 处的一如果则 u 是f(x)在点 x0 处定理说明定理说明:方向导数的符号决定函数的升降方向导数的符号决定函数的升降.定理10.4.2设 f(x)在点 x0 处可微,u17Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件结论结论1梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)沿梯度方向,方向导数达到最大值问题：问题：函数值沿什么方向上升最快函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？沿什么方向下降最快？结论1梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度18Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件若函数 在点 处取最大值，则函数 沿任何方向都不可能上升，于是由定理定理10.4.2知特别地另一方面因此即函数在最大值点 处的梯度为零向量；同理可得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.结论结论2函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量 若函数 在点 处取最大值，则函数 19Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件设 在 处取最大（小）值，则即类似地，若三元函数 在 处取最大（小）值，则设 在 20Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例4.设一座山的高度由函数 给出,如果登山者在山坡的点 处，此时登山者往何方向攀登时坡度最陡？解：解：坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即求使高度函数在点 处的方向导数最大的方向 .因为梯度与 的夹角,所以最大即沿梯度方向函数上升最快.又因所以在点 处沿向量 方向攀登时坡度最陡.例4.设一座山的高度由函数 21Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例5求函数在点(2,1)处函数值下降最快的方向定理定理10.4.3设 f(x)是 上的连续函数，d 是 n 维非零向量，如果则d 是f(x)在点 x0 处的一个上升方向；如果则d 是f(x)在点 x0 处的一个下降方向.d 与f(x0)成锐角d 与f(x0)成钝角解：解：所以函数在点 处的最速下降方向为例5求函数在点(2,1)处函数值下降最快的方向定理22Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件2.梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量线方向向量 设 f(x)是 n 元可微函数,等值面2.梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量23Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件对于对于 n=2 的情形的情形:是函数 f(x,y)过点(x0,y0)的等值线在该点处,它与等值线的切线垂直.在点(x0,y0)处的一个法线方向向量.等值线n=2结论结论:与等值面在点x0 处的切平面垂直，所以是等值面S在点x0 处的一个法线方向向量.对于 n=2 的情形:是函数 f(x,y)过点(x024Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件对于对于 n=3 的情形的情形:是函数 f(x,y,z)的等值面在点(x0,y0,z0)处的一个法线方向向量.在该点处,它与等值线的切平面垂直.等值面等值面对于 n=3 的情形:是函数 f(x,y,z)的等25Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件10.4.3 黑赛矩阵与泰勒公式黑赛矩阵与泰勒公式1.黑赛矩阵黑赛矩阵 设 n 元函数 f(x)在点 x 处对于自变量的各分量的二阶连续，偏导数二二阶阶导导数数或或黑黑塞塞矩矩阵阵10.4.3 黑赛矩阵与泰勒公式1.黑赛矩阵 设 n 元26Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例6.解：解：计算函数 的梯度与黑塞矩阵,并求 以及因，则又则所以例6.解：计算函数 27Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例7.解：解：设 皆为 n 维行向量，b 为常数，求 n 维线性函数 在任意点 x 处的梯度和黑塞矩阵.设，于是因所以例7.解：设 皆为 n 维行向量，b 为常数28Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件当 时，二维线性函数写成向量形式是于是当 时，二维线性函数写成向量形式是于是29Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例8.解：解：设 Q 为 n 阶对称矩阵，皆为n 维行向量，c 为常数，求 n 维二次函数 在任意点 处的梯度和黑塞矩阵.设则于是例8.解：设 Q 为 n 阶对称矩阵，皆为n 维30Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件又因所以又因所以31Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件写出二维二次函数的梯度和黑塞矩阵.写出二维二次函数的梯度和黑塞矩阵.32Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件2.泰勒公式泰勒公式若函数 在点 的某一邻域内具有一阶连续偏导数,且 是这邻域内的一点,则有近似公式：如果要使这个函数有更高的精度,先须讨论二元函数的泰勒公式.一元函数的泰勒公式:2.泰勒公式若函数 在点33Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表34Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件定理定理10.4.4的某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数,为此邻域内任 一点,则有其中 称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项.定理10.4.4的某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数35Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件证证:令则 利用多元复合函数求导法则可得:证:令则 利用多元复合函数求导法则可得:36Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件一般地,由 的麦克劳林公式,得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.一般地,由 的麦克劳林公式,得 将前述导数公式代入即得二37Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件说明说明:(1)余项估计式.因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,则有说明:(1)余项估计式.因 f 的各 n+1 阶偏导数连38Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件(2)当 n=0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上(2)当 n=0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式:39Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件例例9.求函数解解:的三阶泰勒公式.因此,例9.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,40Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件其中其中41Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件解：解：例例10 设 f(x,y,z)有连续的偏导数,且 f(0,0,0)=1,时,证明在球体内,当由泰勒公式其中介于 0 与 x,0 与 y,0 与 z 之间.故有解：例10 设 f(x,y,z)有连续的偏导数,且42Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件1.方向导数的概念2.梯度向量的定义内容小结与作业内容小结与作业1.方向导数的概念2.梯度向量的定义内容小结与作业43Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件3.方向导数与梯度向量的关系4黑赛矩阵 3.方向导数与梯度向量的关系4黑赛矩阵 44Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件5.泰勒公式 作业作业P156-1581,3,4,5,7,8,9,11,15 其中5.泰勒公式 作业P156-158其中45Dept.Math.&Sys.Sci.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室应用数学教研室高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学高等数学分级教学A2A2班教学课件班教学课件班教学课件班教学课件备用题备用题 函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研考研)备用题 函数在点处的梯度解:则注意 x,y,z 具有46