第1章-静-力-学(105h)解析课件

（2 2）力的方向力的方向 包含力的方位和指向两方面的涵义。包含力的方位和指向两方面的涵义。（3 3）力的作用点力的作用点 是指物体上承受力的部位。是指物体上承受力的部位。力的三要素力的三要素力的三要素力的三要素（1 1）力力的的大大小小 是是物物体体相相互互作作用用的的强强弱弱程程度度。在在国国际单位制中，力的单位为际单位制中，力的单位为牛顿（牛顿（N）或千牛顿（）或千牛顿（kN）。1kN=103力对物体的作用效果取决于力的三要素：力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的作用位置实际上有一定的范围，力的作用位置实际上有一定的范围，当作用范围与物体相比很小时，可以近当作用范围与物体相比很小时，可以近似地看作是一个点。似地看作是一个点。AF1.1.1 1.1.1 力的概念力的概念1.1 静力学的基本概念AF20kN100力是矢量。可以用一带箭头的线段来表示。力是矢量。可以用一带箭头的线段来表示。力的基本性质1.1 静力学的基本概念 同时作用在物体或物体系统上的一群力同时作用在物体或物体系统上的一群力力系力系。对物体作用效果相同的力系称为对物体作用效果相同的力系称为等效力系。等效力系。力学分析中，在不改变力系对物体作用效果的前提下，力学分析中，在不改变力系对物体作用效果的前提下，用一个简单的力系来代替复杂的力系，就称为用一个简单的力系来代替复杂的力系，就称为力系的合成力系的合成（力系的简化）。（力系的简化）。1.1.2 1.1.2 平衡与刚体的概念平衡与刚体的概念一、刚体的概念一、刚体的概念一、刚体的概念一、刚体的概念 在外力作用下，几何形状、尺寸的变化可忽略不计的在外力作用下，几何形状、尺寸的变化可忽略不计的物体。物体。二、平衡的概念二、平衡的概念二、平衡的概念二、平衡的概念 物体在力系作用下，相对于地球静止或作匀速直物体在力系作用下，相对于地球静止或作匀速直线运动，称为线运动，称为平衡平衡。作用于物体上的力使物体处于平衡状态，则称该作用于物体上的力使物体处于平衡状态，则称该力系为力系为平衡力系平衡力系。1.1 静力学的基本概念公理公理公理公理1 1 1 1 二力平衡公理二力平衡公理二力平衡公理二力平衡公理ABF1F2ABF1F2 作用在同一作用在同一刚体刚体上的两个力，使刚体处于平衡的必要上的两个力，使刚体处于平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一和充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。对柔性体、变形体大小相等，方向相反二力只是直线上。对柔性体、变形体大小相等，方向相反二力只是平衡的必要条件。平衡的必要条件。1.2 力的基本性质说明说明说明说明：对刚体来说，上面的条件是充要的。对刚体来说，上面的条件是充要的。对变形体来说，上面的条件只是必要条件。对变形体来说，上面的条件只是必要条件。F1BABAF1F2F2二力构件二力构件二力构件二力构件：只受两个力平衡的构件。：只受两个力平衡的构件。1.2 力的基本性质在在已已知知力力系系上上加加上上或或减减去去任任意意的的平平衡衡力力系系，并并不不改改变变原原力系对刚体的作用效果。力系对刚体的作用效果。公理公理公理公理2 2 2 2 加减平衡力系公理加减平衡力系公理加减平衡力系公理加减平衡力系公理推论推论推论推论1 1 1 1 力的可传性原理力的可传性原理力的可传性原理力的可传性原理 作作用用在在刚刚体体上上某某点点的的力力，可可以以沿沿着着它它的的作作用用线线移移动动到到刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。BAFBABAF1F2F1F由此可知，作用于刚体上的力是滑移矢量，因此作用作用于刚体上力的于刚体上力的三要素为大小、三要素为大小、方向和作用线。方向和作用线。力的基本质1.2 力的基本性质 作用于物体上同一点作用于物体上同一点0 0的两个力，可以合成为一个合力，合的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点也在该点力的作用点也在该点0 0，合力的大小和方向，由这两个力为边构，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。成的平行四边形的对角线确定。即作用于物体上同一点两个力的合力等于这两个力的矢量和。即作用于物体上同一点两个力的合力等于这两个力的矢量和。公理公理公理公理3 3 3 3 力的平行四边形法则力的平行四边形法则力的平行四边形法则力的平行四边形法则FRF1AF2以以FR表示力表示力F1和力和力F2的合力，则可以表示为的合力，则可以表示为FR=F1+F21.2 力的基本性质*ccj_hly图(a)图(b)图(c)也可以由力的三角形来确定合力的大小和方向，如图也可以由力的三角形来确定合力的大小和方向，如图 (b)(c)(b)(c)。此公理表明了最简单力系的简化规律，是复杂力系简化的基此公理表明了最简单力系的简化规律，是复杂力系简化的基础。础。作用于同一刚体上共面不平行的三个力如平衡时，作用于同一刚体上共面不平行的三个力如平衡时，则这三个力的作用线必汇交于一点则这三个力的作用线必汇交于一点 推论推论推论推论2 2 2 2 三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理思考：思考：物体受汇交于一点的三个力作用而处于平衡，此三物体受汇交于一点的三个力作用而处于平衡，此三力是否一定共面？为什么？力是否一定共面？为什么？F1F3R1F2A=A3F1F2F3A3AA2A11.2 力的基本性质公理公理公理公理4 4 4 4 作用力与反作用力公理作用力与反作用力公理作用力与反作用力公理作用力与反作用力公理WAAWBWAWBFFNFN 两物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向两物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，沿同一直线并分别作用于两个物体上。相反，沿同一直线并分别作用于两个物体上。AB1.2 力的基本性质1.说明下列式子的意义和区别。说明下列式子的意义和区别。（1）F1 F2和和F1 F2；（2）FRF1F2和和FR F1F22.作作用用于于刚刚体体上上大大小小相相等等、方方向向相相同同的的两两个个力力对对刚刚体体的的作用是否等效？作用是否等效？思考题思考题3.物体受汇交于一点的三个力作用而处于平衡，此三力物体受汇交于一点的三个力作用而处于平衡，此三力是否一定共面？为什么？是否一定共面？为什么？1.2 力的基本性质 自由体：自由体：在空间中运动，位移不受限制的物体，如飞机、火箭在空间中运动，位移不受限制的物体，如飞机、火箭等；等；非自由体非自由体：在空间中运动，位移受到限制的物体。如梁、柱、：在空间中运动，位移受到限制的物体。如梁、柱、轴承等。轴承等。1.3.11.3.11.3.11.3.1、约束与约束反力的概念、约束与约束反力的概念、约束与约束反力的概念、约束与约束反力的概念1.3 1.3 工程中常见的约束约束约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束体，简称约束。束体，简称约束。约束反力约束反力：阻碍物体运动的力称为约束反力，简称反力。阻碍物体运动的力称为约束反力，简称反力。约束反力的特点：约束反力的特点：约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向运动趋势的方向相反相反，它的作用点就在约束与被约束的，它的作用点就在约束与被约束的物体的接触点，大小可以通过计算求得。物体的接触点，大小可以通过计算求得。1.3 1.3 工程中常见的约束物体受到的力一般可以分为两类：物体受到的力一般可以分为两类：主动力主动力是使物体运动或使物体有运动趋势的力。是使物体运动或使物体有运动趋势的力。如重力、水压力、土压力、风压力等。如重力、水压力、土压力、风压力等。在工程中通常称主动力为在工程中通常称主动力为荷载荷载。被动力被动力是约束对于物体的约束反力。是约束对于物体的约束反力。约束与约束反力1.3 1.3 工程中常见的约束1.柔性约束2.光滑面约束3.光滑铰链约束4.固定约束1.柔性约束由柔软的绳索、链条、皮带等构成的约束称为柔性约束。柔软体约束本身只能承受拉力。故该类约束力，作用在连接点处，方向沿着柔软体的轴线，而方向沿着绳索背离物体。通常用F F或F FT表示。只能是拉力。约束与约束反力A胶带约束力沿轮缘的切线方向胶带约束力沿轮缘的切线方向背离背离皮带轮，即为拉力。皮带轮，即为拉力。2.光滑面约束如果两个物体接触面之间的摩擦力很小，可忽略不计，两个物体之间构成光滑面约束。这种约束只能限制物体沿着接触点朝着垂直于接触面方向的运动，而不能限制其他方向的运动。因此，光滑接触面约束反力的方向垂直于接触面或接触点的公切线，并通过接触点指向物体，如图所示。约束与约束反力PNNPNANB3 3、光滑铰链约束、光滑铰链约束(1)滚动轴承（固定铰链支座）滚动轴承（固定铰链支座）轴可以在孔内任意转动，也可以沿孔的中轴可以在孔内任意转动，也可以沿孔的中心线移动；但是，轴承阻碍着轴沿径向向外的心线移动；但是，轴承阻碍着轴沿径向向外的位移。位移。当主动力尚未确定时，约束反力的方向预当主动力尚未确定时，约束反力的方向预先不能确定，但是它的作用线必垂直于轴线并先不能确定，但是它的作用线必垂直于轴线并通过轴心，可用两个大小未知的正交分力通过轴心，可用两个大小未知的正交分力FAx、FAy表示。表示。特点：ccj_hlyFyFx滑动轴承（固定铰链支座）滑动轴承（固定铰链支座）*ccj_hly(2)圆柱铰链（中间铰链）圆柱铰链（中间铰链）AAFAXFAY 只限制两物体径向的相对移动，只限制两物体径向的相对移动，而不限制两物体绕铰链中心的相而不限制两物体绕铰链中心的相对转动。对转动。约束反力的方向预先不能确定，约束反力的方向预先不能确定，但是它的作用线必垂直于轴线并但是它的作用线必垂直于轴线并通过铰链中心，可用两个大小未通过铰链中心，可用两个大小未知的正交分力知的正交分力FAx、FAy表示。表示。*ccj_hly3）活动铰链支座）活动铰链支座FFF特点：不能限制物体沿约束表面切线的位移，只能阻碍特点：不能限制物体沿约束表面切线的位移，只能阻碍物体沿接触表面法线。约束反力垂直于支承面，并通过物体沿接触表面法线。约束反力垂直于支承面，并通过铰链中心。通常用铰链中心。通常用FN表示。表示。4.4.4.4.固定端支座固定端支座固定端支座固定端支座把构件和支承物完全连接为一整体，构件在固定端既不把构件和支承物完全连接为一整体，构件在固定端既不能沿任意方向移动，也不能转动的支座称为固定端支座。能沿任意方向移动，也不能转动的支座称为固定端支座。支座特点支座特点：既限制构件的移动，又限制构件的转动。所：既限制构件的移动，又限制构件的转动。所以，限制了杆件的竖向、水平位移，限制了杆件的相对转动。以，限制了杆件的竖向、水平位移，限制了杆件的相对转动。约束反力约束反力：包括水平力、竖向力和一个阻止转动的力偶。：包括水平力、竖向力和一个阻止转动的力偶。约束与约束反力约束的基本类型约束与约束反力练习与思考判断题1、凡在两个力作用下的构件称为二力构件（）2、光滑圆柱形铰链约束的约束反力，一般可用两个相互垂直的分力表示，该两分力一定要沿水平和铅垂方向。（）3、约束力的方向必与该约束所阻碍的物体运动方向相反（）1.3.31.3.3物体的受力分析与受力图物体的受力分析与受力图 物体受力分析包含两个步骤：取脱离体，画受力图。物体受力分析包含两个步骤：取脱离体，画受力图。2 2画受力图：画受力图：在脱离体上画所有主动力，在脱离体在脱离体上画所有主动力，在脱离体上解除约束处按约束性质画出全部约束力上解除约束处按约束性质画出全部约束力 受力图是画出脱离体上所受的全部力，即主动力与约束受力图是画出脱离体上所受的全部力，即主动力与约束力的作用点、作用线及其作用方向。力的作用点、作用线及其作用方向。1 1取脱离体：是把所要研究的物体解除约束，即解取脱离体：是把所要研究的物体解除约束，即解除研究对象与其它部分的联系；除研究对象与其它部分的联系；物体的受力分析FNAFTAO例例1重量为重量为W的圆球，用绳索挂于光滑墙上，如图示，试的圆球，用绳索挂于光滑墙上，如图示，试画出圆球的受力图。画出圆球的受力图。WoBAW解解 （1 1）取圆球为研究对象。）取圆球为研究对象。（2 2）画主动力。）画主动力。（3 3）画约束反力。）画约束反力。球体在三力作用下保持静止，即保球体在三力作用下保持静止，即保持平衡，则三个力必汇交于一点持平衡，则三个力必汇交于一点0 0。物体的受力分析*ccj_hly例例2DBAFAXFAYFDFBOPFDFEPFAFBFD13 受力分析和受力图受力分析和受力图*ccj_hly例例3尖点问题FAFBFDFCFB13 受力分析和受力图受力分析和受力图*ccj_hly例例4A B C CDFAY FAX FC FC FD P FB C A DFAY FAX FD P FB C A DP F13 受力分析和受力图受力分析和受力图画受力图应注意的问题画受力图应注意的问题要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。它是哪一个施力体施加的。除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力，要分清研究对象（受才有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处必有力，力的方向由约束类型而定。接触处必有力，力的方向由约束类型而定。2 2、不要多画力、不要多画力1 1、不要漏画力、不要漏画力*约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错。不要把箭头方向画错。3 3、不要画错力的方向、不要画错力的方向4 4、受力图上不能再带约束、受力图上不能再带约束即受力图一定要画在分离体上。即受力图一定要画在分离体上。一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就成为新研究对象的外力。内力，就成为新研究对象的外力。对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。部或单个物体的受力图上要与之保持一致。5 5、受力图上只画外力，不画内力、受力图上只画外力，不画内力 6 6、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相互协调，不能相互矛盾相互协调，不能相互矛盾7 7、正确判断二力构件、正确判断二力构件*ccj_hly例例5_1画出下列各构件的受力图(外力作用于铰链时应如何考虑)ABCFACBCABCFFCBFBFBFAFAFCACFFCAFCB*ccj_hly例例5_2画出下列各构件的受力图(外力作用于BC时应如何考虑)ABCFACBCABCFFBFAFAFCAFBFFCA例例5_3画出下列各构件的受力图(外力作用于AC时应如何考虑)ABCFACBCABCFFCBFBFBFAFAFFCB*ccj_hly例例例例 6 6 6 6如图所示，梯子的两部分AB和AC在A点铰接，又在D，E两点用水平绳连接。梯子放在光滑水平面上，若其自重不计，但在AB的中点处作用一铅直载荷F。试分别画出梯子的AB，AC部分以及整个系统的受力图。FA AB BC CD DE EH H 1.1.梯子梯子AB AB 部分的受力图。部分的受力图。ABHDFAyFFAxFBA AC CE EF FC C 2.2.梯子梯子AC AC 部分的受力图。部分的受力图。3.3.梯子整体的受力图。梯子整体的受力图。A AB BC CD DE EH HF FF FB BF FC CFA AB BC CD DE EH H1.4平面汇交力系合力与平衡：几何法1.力的三角形法则图1-12力的三角形法则设有两个力作用于某刚体的一点O，则其合力可由三角形法则确定。三角形法则的实质是力的四边形法则的另一种表达方式，如图112所示。平面汇交力系合力与平衡2.力合成a)平行四边形法则 b)力三角形F F2 2F F F FR R R Rd)力多边形F F1 1O OF F5 5O Oc)汇交力系F F3 3F F2 2F F1 1F F4 4O OF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4F F5 5F F F FR R R R几何法（1）力是矢量，矢量模量为力值，靠量尺测量；（2）分力首尾相接，合力是第一力矢尾指向最后 一力矢头。合力矢过汇交点。用平行四边形法则进行用平行四边形法则进行合成合成FR=F1+F2+Fn=FiO OF F2 2F F1 1F FR R平面汇交力系合力与平衡（3）矢量加法满足交换律，故画力多边形时，各分力矢先 后秩序可变；改变力的次序，只影响力多边形的形状，不影响所得合力的大小和方向。用平行四边形法则进行用平行四边形法则进行合成合成FR=F1+F2+Fn=Fi平面汇交力系合力与平衡 必要和充分条件必要和充分条件:=0=0即 合力0时，物体必处于平衡 物体处于平衡，则合力=0合力为零，则力多边形的封闭边变为一个点，即力多边形末尾力矢的终点恰好与第一力矢的起点重合，使使力力多多边形为自封闭边形为自封闭。平平面面汇汇交交力力系系平平衡衡必必要要和和充充分分条条件件是是：该力系的力的多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。3.平面汇交力系的平衡FR=F1+F2+Fn=Fi平面汇交力系合力与平衡 必要和充分条件必要和充分条件:=0=0即 合力0时，物体必处于平衡 物体处于平衡，则合力=0合力为零，则力多边形的封闭边变为一个点，即力多边形末尾力矢的终点恰好与第一力矢的起点重合，使使力力多多边形为自封闭边形为自封闭。平平面面汇汇交交力力系系平平衡衡必必要要和和充充分分条条件件是是：该力系的力的多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。F5F2F1F3F4BCDEAF5F2F1F3F4BCDEA 比较下面两力多边形，看看那个是平衡力系？哪个有合力？哪个力是合力？平面汇交力系合力与平衡 力力F F在坐标轴上的投影向量在坐标轴上的投影向量即为坐标轴方向的分力。即为坐标轴方向的分力。XY1 1 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影F F 力在轴上的投影力在轴上的投影投影投影 F Fx xab当、为锐角时，F FX、F Fy均为正值；当、为钝角时，F FX、F Fy可能为负值。投影数值：投影数值：Fx x=Fcoscos Fy y=Fcoscosb b平面汇交力系合力与平衡：解析法1.5平面汇交力系合力与平衡：解析法力在任一轴上的投影可求，分力并不确定力在任一轴上的投影可求，分力并不确定讨论：力的投影与分量讨论：力的投影与分量(1)力 F在正交坐标轴 x、y上的投影量与沿轴 分解的分力大小相等；(2)(2)力力F F在不正交轴在不正交轴 x x、y y上的上的投影分量投影分量与沿轴与沿轴 分解的分解的分力大小分力大小不相等。不相等。1 1 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影平面汇交力系合力与平衡：解析法y xFOFxyOxFyOFyFxFyFxFyFxyxyF应注意应注意（1）力投影：代数量 力分量(分力)：矢量（2）力投影：无作用点 分 力：有作用点原力点1 1 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影与投影轴同向为“”、反向为“-”平面汇交力系合力与平衡：解析法AF2F1（a）F3F1F2FRF3xABCD（b）合力在某一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的合力在某一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。投影的代数和。证明：以三个力组成的汇交力系为例。设有三个汇交力F1，F2，F3，如图（a）。2.合力投影定理平面汇交力系合力与平衡：解析法合力 F 在 x 轴上投影为：FRx=ad由数学关系知：ad=ab+bc+(-dc)FRx=F1x+F2x+F3xF Rx=F1x+F2x+Fnx=FxF1F2FRF3xABCD（b）F1x=ab,推广到任意多个力F1，F2，Fn组成的平面汇交力系，可得abcd各力在 x 轴上投影为：F2x=bc,F3x=-dcFRy=F1y+F2y+Fny=Fy同 理：平面汇交力系合力与平衡：解析法合力的大小：合力F的方向：根据合力投影定理，得：平面汇交力系合力与平衡：解析法4.平面汇交力系平衡的解析条件由几何法由几何法,平面汇交力系平衡条件为平面汇交力系平衡条件为 =0因：必有：平面汇交力系平衡条件力系中各力在正交轴上的投影的代数和等于零 FRx=Fx=0 FRy=Fy=0两个独立方程两个独立方程求解两个未知量求解两个未知量思考：思考：平平衡衡力力系系各各力力在在任任一一轴轴的的投投影影代代数和是否为零？数和是否为零？平面汇交力系合力与平衡：解析法解析法求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤解析法求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。2.在力系平面内选坐标系。3.将各力向二坐标轴投影，并应用平衡方程 Fx=0，Fy=0 求解。平面汇交力系合力与平衡：解析法A60FB30aaC例1 水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20 kN，方向与梁的轴线成60角，支承情况如图所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力，梁的自重不计。平面汇交力系合力与平衡：解析法A60FB30aaC（1）取梁AB作为研究对象。RA=Fcos 30=17.3 kNRB=Fsin 30=10 kN（2）画出受力图。（3）应用平衡条件画出F，RA 和 RB的闭合力三角形。解：RADBACRB3060FEFRBRA6030HK（4）解得：平面汇交力系合力与平衡：解析法例2 已知 P=2kN。求SCD,RA？解:1）取AB杆为研究对象2）画AB的受力图3）列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；4）解方程平面汇交力系合力与平衡：解析法例3 已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。选碾子为研究对象取分离体画受力图解：当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故:平面汇交力系合力与平衡：解析法由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN,NB=23.1kN所以又由几何关系：平面汇交力系合力与平衡：解析法力矩的表达式OAdBF 1.力对点的矩 力F 的大小乘以该力作用线与某点O 间垂直距离d，并加上适当正负号，称为力F 对O点的矩，记为：MO（F）。简称力矩。MO（F）=FdO 矩心，d 力臂。实例实例 1.6 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算OAdBF力矩的值也可由三角形OAB 面积的2倍表示，即：MO（F)=2OAB面积=力矩的正负号规定 当有逆时针转动的趋向时，力F 对 O点的矩取正值；反之，取负值。MO（F）=Fd平面力对点之矩的概念及计算（2）力F 的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩。（3）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。（1）当力的作用线通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。2.力矩的性质例:图示F=5kN,sin=0.8，试求力F 对A 点的矩。AB2015F平面力对点之矩的概念及计算AB2015F解:法（1）：hCDCD=18.75cos=11.25AC=20-11.25=8.75h=8.75 0.8 =7Mo(F)=hF =7 5=35平面力对点之矩的概念及计算 Mo(FR)=Mo(Fi)合力对作用面内任一点之矩，等于该力在同平面内各个分力对同一点之矩的代数和。证明：3.合力矩定理此定理用于力臂不易求出的情况=XFy-YFx Mo(Fi)=Mo(Fy)+Mo(Fx)Mo(F)=F 0C平面力对点之矩的概念及计算=XFsin-YFcos=F(Xsin-Ycos)=F(0X-0C)=F 0CAB2015F法（2）：FxFyFx=Fcos =5 0.6=3Fy=Fsin =5 0.8=4DMA(Fx)=BD Fx =15 3=45MA(Fy)=AD Fy=20 4=80MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=45+80=35平面力对点之矩的概念及计算工 程 实 例1.7 平面力偶系和力偶矩平面力偶系和力偶矩F1F2d力偶 大小相等的两反向平行力。（F,F）作用效果：引起物体的转动。力和力偶是静力学的二基本要素。1.1.力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶矩 力偶中任何一个力的大小与力偶臂d 的乘积，加上适当的正负号。MM(F,FF,F)=M=Fd=M=Fd力偶臂 力偶中两个力的作用线之间的垂直距离。力偶矩正负规定：若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。平面力偶系和力偶矩2.平面力偶的性质平面力偶系和力偶矩力偶在任意坐标轴上的投影等于零力偶在任意坐标轴上的投影等于零.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变不因矩心的改变而改变.力 偶 不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。性质性质性质性质1 1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。性质性质性质性质2 2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应心的位置无关，因此力偶对刚体的效应心的位置无关，因此力偶对刚体的效应心的位置无关，因此力偶对刚体的效应 用力偶矩度量。用力偶矩度量。用力偶矩度量。用力偶矩度量。平面内力偶的等效定理 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩的代数值相等，旋向相同。力偶特性三：唯一决定平面内力偶效应的特征量是力偶矩的代数值。即在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小或力偶臂的长短，不会改变它对物体的转动效应。平面力偶系和力偶矩FdFd因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。=M=F d=F d证明：AABBF F1 1dF F2 2OMO（F1)MO（F2)=F 1 OA F 2 OB=F 1(OAOB)=F 1(AB)=F 1 d=M力偶特性四：力偶对其作用面上任意点之矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关（力偶使刚体对其作用面内任一点的转动效应是相同的）。平面力偶系和力偶矩=“力对点的矩”与“力偶矩”的区别不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量（即：力偶矩的大小与矩心 的位置无关)。联系：力偶中的两个力对任一点矩之和是常量，恒等于力偶矩。牛顿米（N m）相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。平面力偶系和力偶矩三力偶的矩分别为 设刚体上作用着三力偶（F1、F1）、（F2、F2）、（F3、F3），力偶臂分别为 d1，d2，d3，转向如图，现求其合成结果。d1d2d3M1=F1d1,M2=F2d2,M3=F3d33.3.平面力偶系的合成平面力偶系的合成平面力偶系和力偶矩经等效变换后，力臂同为d时，各力偶中力的大小分别为dABd1d2d3M1=F1d1,M2=F2d2,M3=F3d3平面力偶系和力偶矩假定Fd1+Fd2 Fd3，其合力合力偶的力偶矩为推广到由任意多个力偶组成的平面力偶系,合力偶矩为dABM=Fd=(Fd1+Fd2 Fd3)d=Fd1 d+Fd2 d+(Fd3)d=M1+M2 +M3 M=M1+M3+Mn平面力偶系和力偶矩F=Fd1+Fd2-Fd34.平面力偶系平衡条件在上面讨论中，若Fd1+Fd2=Fd3，则其合力 F=0，从而有推广到由任意个力偶组成的平面力偶系,有 结论：作用在刚体上的平面力偶系的平衡条件是力偶系中各力偶矩的代数和等于零。结论：平面力偶系合成的结果是一个合力偶，它的矩等于原来各分力偶矩的代数和。M=MM=M1 1+M+M3 3+M+Mn nM1+M2 +M3=0M=M1+M3+Mn平面力偶系和力偶矩思考题1刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？F1F3BACDF2F4平面力偶系和力偶矩思考题2PORM从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？FO平面力偶系和力偶矩741.8.1平面一般力系的概念平面一般力系的概念1.8.1力线平移定理力线平移定理1.8.3平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化主矢与主矩主矢与主矩1.8.4平面一般力系的简化结果平面一般力系的简化结果合力矩定理合力矩定理1.8 1.8 平面一般力系平面一般力系平面一般力系平面一般力系75 如果作用在物体上诸力的作用线都分布在同一个平面内，既不汇交于同一点，也不完全平行,这种力系称为平面一般(任意)力系，简称平面力系。1.8.1 1.8.1 平面一般力系的概念平面一般力系的概念平面一般力系平面一般力系76力线平移定理力线平移定理：作用在刚体上的力作用在刚体上的力可以平行移动到刚体内任可以平行移动到刚体内任一一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力对平对平移点之矩。移点之矩。证证力力力系力系ABdABdABd1.8.1力线平移定理力线平移定理平面一般力系平面一般力系77力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力力+力偶力偶力线平移的条件是附加一个力偶力线平移的条件是附加一个力偶m，且，且m与与d有关，有关，m=Fd力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。说明说明：平面一般力系平面一般力系78简化简化平移平移一般力系（任意力系）向一点简化一般力系（任意力系）向一点简化（未知力系）（未知力系）汇交力系汇交力系+力偶系力偶系（已知力系）汇交力系力，R(主矢主矢)，(作用在简化中心)力 偶 系力偶，MO(主矩主矩)，(作用在该平面上)1.8.3 平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化 主矢与主矩主矢与主矩平面一般力系平面一般力系79平面一般力系平面一般力系80（转动效应转动效应）平面一般力系平面一般力系81固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束说明说明认为认为Fi这群力在同一这群力在同一平面内平面内;将将Fi向向A点简化得一点简化得一力和一力偶力和一力偶;RA方向不定可用正交方向不定可用正交分力分力YA,XA表示表示;YA,XA,MA为固定端为固定端约束反力约束反力;YA,XA限制物体平动限制物体平动,MA为限制转动。为限制转动。平面一般力系平面一般力系82简化结果：主矢 ，主矩 MO，下面分别讨论。=0,MO0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚体等效 于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移 动，故这时，主矩与简化中心O无关。=0,=0,MO=0，则力系平衡,下节专门讨论。0,MO=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这 时 ,简化结果就是合 力（这个力系的合力）。(此时与 简化中心有关，换个简化中心，主矩可能就不为零)。1.8.4 平面一般力系的简化结果分析平面一般力系的简化结果分析 合力矩定理合力矩定理平面一般力系平面一般力系83 0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简可以继续简化为一个合力化为一个合力 。合力合力的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力的作用线位置的作用线位置 平面一般力系平面一般力系84平面一般力系平面一般力系85 xlA AB Bq xdxqlxqx.=应用：应用：求合力作用线位置；用分力矩计算合力矩。例：例：求合力作用线位置。解：解：合力Q对A点的力矩：ccAxqlxQM2=分布力对A点的力矩：=loloxqldxxlqxdxq223由合力矩定理：lxqlxqlcc32322=合力矩定理：合力矩定理：合力矩定理：合力矩定理：合力对任意点合力对任意点的矩等于各分力对该点之矩的矩等于各分力对该点之矩的代数和。的代数和。Q Qxcc平面一般力系平面一般力系86 由于 =0 为力平衡 MO=0 为力偶平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢力系的主矢和主矩和主矩MO 都等于零都等于零，即：1.9 1.9 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程87上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。基本式基本式原则原则原则原则：通常将矩心选在两个未知力的交点上，尽量使一个方程只含有一个未知量。平面一般力系平衡条件及平衡方程平面一般力系平衡条件及平衡方程88二力矩式二力矩式条件：条件：x 轴不轴不AB连线连线三力矩式三力矩式条件：条件：A,B,C不在不在同一直线上同一直线上平面一般力系平衡条件及平衡方程平面一般力系平衡条件及平衡方程 问题：在应用平面力系二矩式平衡方程时问题：在应用平面力系二矩式平衡方程时,所选择的矩心所选择的矩心A、B，投影轴，投影轴x为为什么要满足附加条件？什么要满足附加条件？如右图所示，一刚体只受一个力如右图所示，一刚体只受一个力F作用（显然刚体不作用（显然刚体不平衡，二矩式平衡方程不能成立），若所选的矩心平衡，二矩式平衡方程不能成立），若所选的矩心A、B和投影轴和投影轴x，违背附加条件的要求，则二矩式平衡方程也，违背附加条件的要求，则二矩式平衡方程也 成立，因此就出现了错误。所以，成立，因此就出现了错误。所以，在使用二矩式平衡方程时，选择矩心和投影轴时必须满足附加条件在使用二矩式平衡方程时，选择矩心和投影轴时必须满足附加条件 即：即：投影轴不能与矩心投影轴不能与矩心A、B两点的连线相垂直。两点的连线相垂直。平面一般力系平衡条件及平衡方程平面一般力系平衡条件及平衡方程三矩式三矩式:附加条件：矩心附加条件：矩心A、B、C三点不能在一条直线上。三点不能在一条直线上。问题问题：在应用平面力系三矩式平衡方程时，矩心在应用平面力系三矩式平衡方程时，矩心A、B、C三点为什么要满三点为什么要满足附加条件？足附加条件？如果一刚体只受一个力如果一刚体只受一个力F作用（显然刚体不平衡，作用（显然刚体不平衡，三矩式平衡方程不能成立三矩式平衡方程不能成立),若在选择矩心时若在选择矩心时,违背附加违背附加条件的要求，即：条件的要求，即：A、B、C选在一条直线上，如右图选在一条直线上，如右图所示，则三矩式平衡方程也成立，因此就出现了错误。所示，则三矩式平衡方程也成立，因此就出现了错误。所以，在使用三矩式平衡方程时，三矩心的选择必所以，在使用三矩式平衡方程时，三矩心的选择必须满足附加条件，即：三点不能在一条直线上。须满足附加条件，即：三点不能在一条直线上。平面任意力系的平衡方程应用平面一般力系平衡条件及平衡方程平面一般力系平衡条件及平衡方程解题方法与步骤解题方法与步骤 1 1确定研究对象，画其受力图；确定研究对象，画其受力图；注注意意：一一般般应应选选取取有有己己知知力力和和未未知知力力共共同同作作用用的的物物体体为为研研究究对对象象，取取出出分分离体画受力图；离体画受力图；2.2.选取投影坐标轴和矩心，列平衡方程；选取投影坐标轴和矩心，列平衡方程；注意注意 ：1 1）由于坐标轴和矩心的选择是任意的，在选择时应遵）由于坐标轴和矩心的选择是任意的，在选择时应遵循以下循以下 原原则 （1 1）坐标轴应与尽可能多的未知力垂直（或平行）；坐标轴应与尽可能多的未知力垂直（或平行）；（2 2）矩心应选在较多未知力的汇交点处。矩心应选在较多未知力的汇交点处。2 2）列平衡方程时要注意力的投影和力矩的）列平衡方程时要注意力的投影和力矩的“+、-”号。号。3.3.解平衡方程，求得未知量；解平衡方程，求得未知量；4.4.校核。校核。平面一般力系平衡条件及平衡方程平面一般力系平衡条件及平衡方程92 例例1 已知：P,a,求：A、B两点的支座反力.解：选AB梁为研究对象 画受力图平面一般力系平衡条件及平衡方程平面一般力系平衡条件及平衡方程ABPXAYANB93例例2.2.水平外伸梁如下图所示水平外伸梁如下图所示.均布载荷均布载荷q=20kN/m,F=20kN,q=20kN/m,F=20kN,力偶矩力偶矩M=16kNM=16kN m,a=0.8m,m,a=0.8m,求求A A、B B点的约束反力。点的约束反力。平面一般力系平衡条件及平衡方程平面一般力系平衡条件及平衡方程94例例3.横梁横梁AB长为长为2.5m,P=1.2kN,质量不计质量不计,载载荷荷F=7.5kN,a=2m,求杆求杆CB的力和铰链的力和铰链A的约束反力的约束反力.平面一般力系平衡条件及平衡方程平面一般力系平衡条件及平衡方程1.10 1.10 考虑考虑摩擦时的平衡问题摩擦时的平衡问题 摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。本节主要介绍静滑动摩擦及考虑摩擦时物体的平衡问题。1 1.滑动摩擦滑动摩擦 两物体接触表面间产生相对滑动或具有相对滑动趋势时所具有的摩擦。两物体表面间只具有滑动趋势而无相对滑动时的摩擦，称为静滑动摩擦（静摩擦）静滑动摩擦（静摩擦）；接触表面间产生相对滑动时的摩擦，称为动动滑滑动摩擦（动摩擦）动摩擦（动摩擦）。静滑动摩擦静滑动摩擦F FT T很小时，B盘没有滑动而只具有滑动趋势，此时物系将保持平衡。摩擦力F Ff f与主动力F FT T等值。F FT T逐渐增大，F Ff f也随之增加。F Ff f具有约束反力的性质，随主动力的变化而变化。F Ff f增加到某一临界值F Ffmaxfmax时，就不会再增大，如果继续增大F FT T，B盘将开始滑动。因此，静摩擦力随主动力的不同而变化，其大小由平衡方程决定，但介于零与最大值之间，即：静滑动摩擦静滑动摩擦静静摩摩擦擦定定律律：实验证明，最最大大静静摩摩擦擦力力的的方方向向与与物物体体相相对对滑滑动动趋趋势势方方向向相相反反，大大小小与与接触面法向反力接触面法向反力F FN N的大小成正比的大小成正比，即：式中比例常数 称为静摩擦系数，的大小与两物体接触面的材料及表面情况（粗糙度、干湿度、温度等）有关，而与接触面积的大小无关。一般材料的静摩擦系数可在工程手册上查到。常用材料的值见表。动滑动摩擦动滑动摩擦动动摩摩擦擦定定律律:当水平力F FT T超过F Ffmaxfmax时，盘B开始加速滑动，此时盘B所受到的摩擦阻力已由静摩擦力转化为动摩擦力。实验证明，动滑动摩擦力的大小与接触表面间的正压力F FN N成正比，即：式中比例常数 称为动摩擦系数，其大小除了与两接触物体的材料及表面情况有关外，还与两物体的相对滑动速度有关。常用材料的值见表。2 大小：（通常情况下）1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；2.2.摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象 摩擦角摩擦角 FpGFNFfFRFN 正压力Ff 静摩擦力FR 全约束反力 （全反力）全反力与接触面 法线的夹角:全反力与法线间的最大夹角。摩擦系数f：摩擦角的正切值。即：摩擦锥：如果物体与支承面的静摩擦系数在各个方向都相同，则摩擦角范围在空间就形成为一个锥体，称为摩擦锥。自锁：若主动力的合力FQ作用在锥体范围内，则约束面必产生一个与之等值、反向且共线的全反力FR与之平衡。但无论如何增加力FQ，物体总能保持平衡。全反力作用线不会超出摩擦锥的这种现象称为自锁。FQFR自锁条件:斜面自锁条件螺纹自锁条件第第二二节节 摩摩擦擦角角和和自自锁锁现现象象三、斜面和螺纹自锁的条件三、斜面和螺纹自锁的条件摩擦及平衡摩擦及平衡第第二二节节 摩摩擦擦角角和和自自锁锁现现象象四、测量摩擦系数的方法四、测量摩擦系数的方法摩擦及平衡摩擦及平衡3 3 考虑考虑摩擦的平衡问题摩擦的平衡问题 考虑摩擦与不考虑摩擦时构件的平衡问题，求解方法基本相同。不同的是在画受力图时要画出摩擦力Ff，并需要注意摩擦力的方向与滑动摩擦力的方向与滑动趋势方向相反，不能随意假定趋势方向相反，不能随意假定。由于Ff值是一个范围（平衡范围），平衡范围），确定这个范围可采取两种方式：一种是分析平衡时的临界情况，假定摩擦力取最大值，以Ff=Ffmax=fFN作为补充条件，求解平衡范围的极值。另一种是直接采用 ，以不等式进行运算。鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系攀登电线杆时用的套钩如图所示，已知套钩的尺寸b、电线杆直径d、摩擦因数s。试求套钩不致下滑时人的重力W的作用线与电线杆中心线的距离l。第第三三节节 虑虑滑滑动动摩摩擦擦时时物物体体的的平平衡衡问问题题摩擦及平衡摩擦及平衡摩擦及平衡摩擦及平衡db第第三三节节 虑虑滑滑动动摩摩擦擦时时物物体体的的平平衡衡问问题题1.11.4 重心和形心 地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）Pi ，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而此力系的合力称为物体的重力。一一 物体的重心物体的重心重心及计算重心及计算zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio 重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置。重心及计算重心及计算二 重心和形心的坐标公式1.1.重心坐标的一般公式重心坐标的一般公式zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio右图认为是一个空间力系，则P=Pi合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理同理有重心及计算重心及计算为确定 zC ，将各力绕y轴转90，得2.2.均质物体的重心坐标公式均质物体的重心坐标公式即物体容重g 是常量，则zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio重心及计算重心及计算上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio重心及计算重心及计算3.均质等厚薄板的重心和平面图形的形心 对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。设板厚为d，则有V=Ad，Vi =Aid则上式也即为求平面图形形心的公式。重心及计算重心及计算三 确定重心和形心位置的具体方法(1)积分法；(2)组合法；(3)悬挂法；(4)称重法。具体方法：重心及计算重心及计算1.1.积分法积分法 对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio重心及计算重心及计算若为平面图形，则求图示半圆形的形心位置。C2R.O例 1重心及计算重心及计算解：建立如图所示坐标系，则xC=0现求 yC。则例 1b(y)ydyC2R.Oxy重心及计算重心及计算代入公式有例 1C2R.Oxy重心及计算重心及计算2.2.组合法组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。下面通过例子来说明。角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。y15020 x20200O例 2重心及计算重心及计算 解：取Oxy坐标系如图所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为：A1=（200-20）20=3600 mm2 x1=10 mmy1=110 mmA2=15020=3000 mm2 x2=75 mmy2=10 mm例 2y15020 x20200O12重心及计算重心及计算由组合法，得到xC=A1+A2 A1 x1+A2 x2=39.5 mmyC=A1+A2 A1 y1+A2 y2=64.5 mm另一种解法：负面积法将截面看成是从200mm150mm的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而A1=200150=30000 mm2例 215020 x20200Oy12y15020 x20200O12重心及计算重心及计算x1=75 mm,y1=100 mmA2=-180130=-23400 mm2故xC=3000075-234008530000-23400=39.5 mmyC=30000100-2340011030000-23400=64.5 mm两种方法的结果相同。x2=85 mm,y2=110 mm例 215020 x20200Oy12重心及计算重心及计算求：其重心坐标已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.则用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可.例 3求：其重心坐标.由由对称性，有解：用负面积法，为三部分组成.已知：等厚均质偏心块的得例 43.3.悬挂法悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为什么？ABCAB.重心及计算重心及计算 4.称重法 对较笨重、形体较为复杂的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。图示机床重 2500 N，现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此，在B处放一垫子，在A处放一秤。当机床水平放置时，A处秤上读数为1750N，当=20 时秤上的读数为1500 N。试算出机床重心的坐标。思考题思考题yx2.4 mCBA重心及计算重心及计算