第13讲-Chapter5-1梁弯曲时的位移(挠曲线方程及其积分)课件

第五章第五章 梁弯曲时的位移（梁弯曲时的位移（1）Chapter 5 Displacements of Bending Beam第十三讲第十三讲15-1 梁的位移梁的位移 挠度和转角挠度和转角5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分内内 容容2这章中我们要解决的问题有：这章中我们要解决的问题有：1.梁的变形程度该如何描述；梁的变形程度该如何描述；2.描述梁的变形程度的力学量该如何确定；描述梁的变形程度的力学量该如何确定；前面我们处理了梁弯曲的强度问题前面我们处理了梁弯曲的强度问题下一步？下一步？刚度问题刚度问题3梁的变形分析在工程实际中非常重要梁的变形分析在工程实际中非常重要!4点击播放视频点击播放视频5点击播放视频点击播放视频6工程上的梁变形问题不容忽视工程上的梁变形问题不容忽视产生不安全感产生不安全感影响使用影响使用引发破坏引发破坏Atugan Bridge(Mindanao,Philippine)下垂下垂36cm梁变形过大：梁变形过大：7梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移简支梁桥简支梁桥桥梁板的试验桥梁板的试验8利用梁的弯曲变形做成各种传感器利用梁的弯曲变形做成各种传感器引伸计引伸计测力环测力环95-1 梁的位移梁的位移 挠度和转角挠度和转角一、基本概念一、基本概念梁的变形描述：梁的变形描述：P度量等直梁弯曲变形程度的是度量等直梁弯曲变形程度的是AC1B曲线的曲率。曲线的曲率。但是，曲线的曲率一般很难度量。但是，曲线的曲率一般很难度量。用什么量来度用什么量来度量比较合适？量比较合适？10 变形后的梁轴线变形后的梁轴线 挠度：挠度：w 变形后梁截面：仍为平面变形后梁截面：仍为平面 梁截面转角：梁截面转角：PC1变形前梁截面：平面变形前梁截面：平面xyCw考察梁的变形考察梁的变形挠曲线挠曲线11 在工程实际中，梁的变形程度还要受到在工程实际中，梁的变形程度还要受到支座约束支座约束的影响。的影响。注意到梁横截面的位移量注意到梁横截面的位移量w和转角和转角 不但与曲率有关，而不但与曲率有关，而且且还与梁的还与梁的支座约束有关支座约束有关。PC1xyCw 因此，通常用梁的这两个位移量因此，通常用梁的这两个位移量（w，）来反映来反映梁的变梁的变形情况。形情况。12横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移，横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移，用用w表示。表示。与坐标与坐标y同向为正，反之为负同向为正，反之为负横截面绕其中性轴转动的角度，横截面绕其中性轴转动的角度，用用 表示。表示。顺时针转动为正，顺时针转动为正，反之为负反之为负 PC1xyCw几个概念（一）几个概念（一）1.挠度：挠度：2.转角：转角：13 PC1xyCw几个概念（二）几个概念（二）3.挠曲线：挠曲线：其方程为其方程为 w=w(x)应当指出，梁的轴线弯曲成曲线后，各横截面形心应当指出，梁的轴线弯曲成曲线后，各横截面形心沿沿x轴方向是有位移的。轴方向是有位移的。但在小变形情况下，梁的挠度远小于跨长，轴线是但在小变形情况下，梁的挠度远小于跨长，轴线是一条一条平坦平坦的光滑曲线，横截面形心沿的光滑曲线，横截面形心沿x轴方向的线轴方向的线位移与挠度相比属于高阶小量，可略去不计。位移与挠度相比属于高阶小量，可略去不计。14转角与挠曲线的关系：转角与挠曲线的关系：小变形小变形 PC1xyCw 155-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、梁的挠曲线近似微分方程式一、梁的挠曲线近似微分方程式曲线曲线 的曲率为的曲率为16曲率公式的推导曲率公式的推导1718小变形小变形梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程与与1相比很小相比很小 工程中常用的梁，其跨长工程中常用的梁，其跨长l往往大于横截面高度往往大于横截面高度h的的10倍，倍，剪力对梁的位移影响很小，剪力对梁的位移影响很小，可略去不计可略去不计。19wxM0wxM0考察弯矩与二阶导数间的关系考察弯矩与二阶导数间的关系故故 式中应取负号式中应取负号弯矩与二阶导数的符号总是相反弯矩与二阶导数的符号总是相反20梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程理解近似的含义：理解近似的含义：1.略去了剪力的影响；略去了剪力的影响；2.略去了略去了w的影响；的影响；（利用了纯弯曲变形公式）（利用了纯弯曲变形公式）（利用了挠曲线的平坦特性）（利用了挠曲线的平坦特性）21二、用积分法求梁的变形二、用积分法求梁的变形式中积分常数式中积分常数C1、C2由由边界条件边界条件确定确定积分积分积分积分有时还需利用有时还需利用连续条件。连续条件。22例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布试求图示简支梁在均布载荷载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max和和wmax。23解：解：由边界条件：由边界条件：得挠曲线方程得挠曲线方程得转角方程得转角方程建立如图坐标系建立如图坐标系24梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：转角转角 A为正为正：说明：说明A端的横端的横截面沿顺时针方向转动；截面沿顺时针方向转动；wmax为正为正：说明梁的中点向：说明梁的中点向下移动。下移动。25例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max和和wmax。26解：解：由边界条件：由边界条件：得转角方程和挠曲线方程得转角方程和挠曲线方程建立如图坐标系建立如图坐标系27梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：28例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在。试求图示简支梁在集中力集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max和和 wmax。29解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：由对称条件：由对称条件：得：得：30AC段段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：31例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集。试求图示悬臂梁在集中力中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max和和wmax。32解：解：建立如图坐标系建立如图坐标系AC段：段：CB段：段：待定常数待定常数4个个边界条件边界条件2个个连续条件连续条件2个个33边界条件：边界条件：连续条件：连续条件：34梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：直线方程直线方程CB段均相同段均相同35例：已知梁的抗弯刚度为例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定转角方程、挠曲线方程，并确定 max和和wmax。36解：解：由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁ACD边界条件边界条件2个：个：分两段处理分两段处理待定常数待定常数4个个连续条件连续条件2个：个：37作业作业 Page 181:5-5;5-6;5-8;5-9下次课讲按叠加原理计算梁的挠度和转角下次课讲按叠加原理计算梁的挠度和转角38