数学分析第三章--函数极限课件

1 函数极限概念函数极限概念第第 三章三章 函数极限函数极限 1 函数极限概念第 三章 函数极限1一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 2数学分析第三章-函数极限课件3数学分析第三章-函数极限课件4数学分析第三章-函数极限课件5定义定义设 为定义在上的函数，为定数。若对任给的,存在正数,使得当时有 则称函数当时以为极限。记作.定义设 为定义在上的函数，为定数。若对任给的,存在正数6几点注记而不仅仅是某些表示比大的所有实数,(1)正整数n。的邻域描述：当时，(3)(2)的几何意义：对中心线，以为宽的带形区域;，就有以为的右方，曲线全部落在这个带形区域内。在直线几点注记而不仅仅是某些表示比大的所有实数,(1)正整数7数学分析第三章-函数极限课件82.另两种情形另两种情形:2.另两种情形:93.几何解几何解释:3.几何解释:10例例1例111证证例例2证例212证证左半部分成立，只考察右半部分左半部分成立，只考察右半部分x 的范围，的范围，则有：，则有：分析分析证左半部分成立，只考察右半部分x 的范围，13二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限14数学分析第三章-函数极限课件15时函数极限的函数极限的定定义 1定定义设函数 在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对，当时，有则称函数当（或称为时的极限），记作:时以为极限趋于时函数极限的定义 1定义设函数 在点的某个16数学分析第三章-函数极限课件172.几何解几何解释:注意：注意：2.几何解释:注意：18例例3例319证证例例4证例420证证例5 证明证例5 证明21.例例6.例622证证证23几点注释1 定义中的 相当于数列极限中的 ，它与 有关，但不是唯一确定。2 定义中只考虑在 空心邻域内有定义的情形，一般不考虑函数在 有无定义。3 以上的定义可以用邻域的形式简单给出。几点注释1 定义中的 相当于数列极限中的 24三三.单侧极限极限:例如例如,三.单侧极限:例如,25数学分析第三章-函数极限课件26左极限左极限 右极限右极限左极限 右极限27例例6例628证证左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例7 讨论函数在处的单侧极限。证左右极限存在但不相等,例7 讨论函数在处的单侧极限。29数学分析第三章-函数极限课件30作业P47 1(3)(4);3;4;6(3);8作业P47 1(3)(4);3;4;6(3);831 函数极限的性质函数极限的性质教学目的教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一 性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。32六种极限 六种极限 33一一 函数极限的性质函数极限的性质 2.局部局部有界性有界性1.唯一性唯一性一 函数极限的性质 2.局部有界性1.唯一性34推论推论3.局部局部保号性保号性；推论3.局部保号性；354.局部保不等性局部保不等性定理定理3.54.局部保不等性定理3.536本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极限的方法。5.逼逼敛性性定理定理3.5本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极376、极限运算法则、极限运算法则 6、极限运算法则 38二、求极限方法举例二、求极限方法举例 例例5 求求二、求极限方法举例 例5 求39数学分析第三章-函数极限课件40例例3 求例3 求41解解(消去零因子法消去零因子法).例例4 证明证明解(消去零因子法).例4 证明42数学分析第三章-函数极限课件43数学分析第三章-函数极限课件44解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,解左右极限存在且相等,45作业P51 1(3)(5)(8),2(2),5,7 作业P51 1(3)(5)(8),2(2),5,7 46 函数极限存在的条件函数极限存在的条件教学目的教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，其实质以及证明的基本思路。函数极限存在的条件教学目的：理解并运用海涅定理与柯西47定理定理3.8注：注：本定理有如下几点注释：本定理有如下几点注释：1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。本定理通常用来证明函数极限的不存在性。一、归结原则一、归结原则(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系(海涅定理海涅定理)1 海涅海涅(Heine)定理定理定理3.8注：本定理有如下几点注释：一、归结原则(函数极限48证明证明:(必要性必要性)证明:(必要性)49数学分析第三章-函数极限课件50例如例如,例如,51注注 这个定理把函数 的极限归结为数列 的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”。由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质。注 这个定理把函数 的极限归结为数列 的极限问题来讨论，所52不存在注注从Heine定理可以得到一个说明的方法，即(1)“若可找到一个数列，使得不存在；”或(2)“找到两个都以为极限的数列，使都存在但不相等，则不存在。，不存在注从Heine定理可以得到一个说明的方法，即(1)53例例1例154二者不相等二者不相等,证证二者不相等,证552其它类型极限的归结原则其它类型极限的归结原则(单调有界准则单调有界准则)：以上以上4种极限有相互对应的单调有界准则种极限有相互对应的单调有界准则。2其它类型极限的归结原则(单调有界准则)：以上4种极限有相互56数学分析第三章-函数极限课件57注注：定理.10可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若（）在上递增有下界，则存在，且；（）在有上界，则存在，且 上递减注：定理.10可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若（58二二 Cauchy收敛准则收敛准则：设函数设函数 在在 内有定义。内有定义。存在存在的充要条件为：的充要条件为：1收敛函数的函数值在收敛函数的函数值在 几乎几乎“挤挤”在了一起。在了一起。2通常用通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在收敛准则证明函数的极限不存在。1 定理定理3.11 二 Cauchy收敛准则：设函数 在 59数学分析第三章-函数极限课件60数学分析第三章-函数极限课件61注注：按照Cauchy准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对任意，存在使得.注：按照Cauchy准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对62数学分析第三章-函数极限课件63作业 P55 1,3(1),4综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明 极限不存在的很方便的工具。作业 P55 1,3(1),4综上所述：Heine定理和64 两个重要极限两个重要极限教学目的教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。教学要求教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。两个重要极限教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。65一一一66数学分析第三章-函数极限课件67例例1 1 例1 68解解解69数学分析第三章-函数极限课件70数学分析第三章-函数极限课件71数学分析第三章-函数极限课件72数学分析第三章-函数极限课件73例例4例474例例5 5解解例5解75解解解76数学分析第三章-函数极限课件77三、小结三、小结 1.两个准两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准逼准则;单调有界准有界准则.三、小结 1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界78作业P58 1(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(1)作业P58 1(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(79 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量教学目的教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌 握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。无穷小量和无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的80一、无穷小量一、无穷小量 一、无穷小量 81例如例如,注注5:无无穷小是小是变量量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;例如,注5:无穷小是变量,不能与很小的数混淆;822.无无穷小与函数极限的关系小与函数极限的关系:2.无穷小与函数极限的关系:83意义意义1.将一般极限将一般极限问题转化化为特殊极限特殊极限问题(无无穷小小);3.无无穷小的运算性小的运算性质:(1)两个两个(或有限个或有限个)无穷小量（无穷小量（相同类型的）相同类型的）之和、之和、差、积仍为无穷小量。差、积仍为无穷小量。意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷84注意注意无无穷多个无多个无穷小的代数和未必是无小的代数和未必是无穷小小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.85(2)有界量与无穷小的乘积是无穷小有界量与无穷小的乘积是无穷小.(2)有界量与无穷小的乘积是无穷小.86证证证87结论结论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小乘积是无穷小.结论结论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.结论结论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无都是无穷小小结论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的结论2 常数88二、无穷小量阶的比较二、无穷小量阶的比较 例如例如,极限不同极限不同,反映了反映了趋向于零的向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.不可比不可比.二、无穷小量阶的比较 例如,极限不同,反映了趋向于零的“89定义定义:定义:90数学分析第三章-函数极限课件91数学分析第三章-函数极限课件92例例1 1 例1 93例例2 2解解例2解94解解解95常用等价无穷小常用等价无穷小:常用等价无穷小:96数学分析第三章-函数极限课件97(4)(4)等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理(4)等价无穷小替换定理98例例3 3 例3 99解解不能不能滥用等价无用等价无穷小代小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意例例4 4 解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.100解解解解错错解解错101三、无穷大三、无穷大 绝对值无限增大的无限增大的变量称量称为无无穷大大.1非正常极限三、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大.1非正常极限102数学分析第三章-函数极限课件1032无穷大量的定义 定义定义对于自变量的某种趋向（或所有以（包括数列），都称为无穷大量。），为非正常极限的函数1.无无穷大是大是变量量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;2.无无穷大是一种特殊的无界大是一种特殊的无界变量量,但是无但是无界界变量未必是无量未必是无穷大大.注意注意2无穷大量的定义 定义对于自变量的某种趋向（或所有以（104不是无不是无穷大大无界，无界，不是无穷大无界，105数学分析第三章-函数极限课件106数学分析第三章-函数极限课件107证证证108数学分析第三章-函数极限课件1093、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系 意义意义 关于无关于无穷大的大的讨论,都可都可归结为关于无关于无穷小的小的讨论.3、无穷小与无穷大的关系 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为110证证证111数学分析第三章-函数极限课件112四、曲线的渐近线四、曲线的渐近线1曲线的渐近线定义定义定义若曲线上的动点 沿着曲线无限地远离 原点时，点 与某直线的距离趋于零，则称直线为曲线的渐近线。四、曲线的渐近线1曲线的渐近线定义定义若曲线上的动点113数学分析第三章-函数极限课件1142.曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程?假设曲线有斜渐近线，曲线上到渐近线的距离为（）斜渐近线动点依渐近线定义，当时（类似），即有，或2.曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程?假设曲线有115又由又由116由上面的讨论知，若曲线有斜渐近线，则常数与反之，若由和求得与，则可知（），从而为曲线的渐近线。可相继由和式求出；由上面的讨论知，若曲线有斜渐近线，则常数与反之，若由和求117（）垂直渐近线若函数满足），则按渐近线定义可知有垂直于x轴的渐近线，称为垂直渐近线。（）垂直渐近线若函数满足），则按渐近线定义可知有垂直于x轴118数学分析第三章-函数极限课件119数学分析第三章-函数极限课件120五、小结五、小结 几点注意几点注意:无无穷小与无小与无穷大是相大是相对于于过程而言的程而言的.（1）无无穷小（小（大）是大）是变量量,不能与很小（大）的数混淆，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无零是唯一的无穷小的数；小的数；（2 2）无无穷多个无多个无穷小的代数和（乘小的代数和（乘积）未必是无）未必是无穷小小.（3）无界无界变量未必是无量未必是无穷大大.作作业 P66 1(3)(4),2(2),4(3),5(4),6(1)五、小结 几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）121