积分变换第7讲课件

积积分分变换变换第第7讲讲1精选课件拉氏逆变换2精选课件前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象函数F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F(s)求它的象原函数f(t).本节就来解决这个问题.由拉氏变换的概念可知,函数f(t)的拉氏变换,实际上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏变换.3精选课件因此,按傅氏积分公式,在f(t)的连续点就有等式两边同乘以ebt,则4精选课件右端的积分称为拉氏反演积分,它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷.而积分路线中的实部b则有一些随意,但必须满足的条件就是e-btf(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛.计算复变函数的积分通常比较困难,但是可以用留数方法计算.5精选课件定理 若s1,s2,.,sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取b使这些奇点全在Re(s)b的范围内),且当s时,F(s)0,则有6精选课件什么叫一个复变函数f(s)的奇点?那就是此函数没有定义的点,或者说是取值无穷大的点.例如函数在0,2,-3处有三个奇点,可记为s1=0,s2=2,s3=-37精选课件假设s0是f(s)的一个奇点,则f(s)总可以在s0处展开为罗朗级数,形式为:其中-1次方项(s-s0)-1的系数c-1就称为f(s)在s0点处的留数,记作Resf(s),s0=c-1或8精选课件围绕着f(s)的奇点s0的附近绕一圈环的积分就等于其中C是只围绕s0转一圈的任意闭合曲线.9精选课件如果函数f(s)有s1,s2,.,sn共n个奇点,闭合曲线C包围了这n个奇点,则实轴虚轴s1s2s310精选课件定理的证明 作下图,闭曲线C=L+CR,CR在Re(s)0时,有13精选课件最常见的情况,是函数F(s)是有理函数,即其中A(s)和B(s)是不可约的多项式,B(s)的次数是n,A(s)的次数小于B(s)的次数,这时F(s)满足定理所要求的条件.14精选课件如果一元n次方程B(s)=0只有单根,这些单根称作B(s)的一阶零点,也就是15精选课件16精选课件17精选课件18精选课件如方程B(s)=0有一个二重根s1,称s1为B(s)的二阶零点,也是F(s)est的二阶极点,这时F(s)est在s=s1处可展开为罗朗级数,其形式为:19精选课件20精选课件21精选课件还可以用部分分式和查表的办法来求解拉氏反变换.根据拉氏变换的性质以及22精选课件23精选课件最后得24精选课件卷积25精选课件1.卷积的概念 在第一章讨论过傅氏变换的卷积的性质.两个函数的卷积是指如果f1(t)与f2(t)都满足条件:当t0时,f1(t)=f2(t)=0,则上式可以写成26精选课件今后如不特别声明,都假定这些函数在t0时恒等于零,它们的卷积都按(2.20)式计算tOf1(t)f2(t)tOf1(t)f2(t-t)t27精选课件按(2.20)计算的卷积亦有|f1(t)*f2(t)|f1(t)|*|f2(t)|,它也满足交换律:f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)同样,它还满足结合律与对加法的交换律,即 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)28精选课件29精选课件例1 求t*sin t30精选课件卷积定理假定f1(t),f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件,且L f1(t)=F1(s),L f2(t)=F2(s),则 f1(t)*f2(t)的拉氏变换一定存在,且31精选课件t=ttOt32精选课件由于二重积分绝对可积,可以交换积分次序令t-t=u,则33精选课件不难推证,若fk(t)(k=1,2,.,n)满足拉氏变换存在定理中的条件,且L fk(t)=Fk(s)(k=1,2,.,n)则有 L f1(t)*f2(t)*.*fn(t)=F1(s)F2(s).Fn(s)34精选课件35精选课件36精选课件37精选课件38精选课件39精选课件40精选课件感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！