现代大地控制测量-课件-

现代大地控制测量现代大地控制测量*大学测量系大学测量系2009年年9月月第一讲第一讲 绪绪 论论1.1 大地测量学的定义、分类和任务大地测量学的定义、分类和任务定义：定义：大地测量学是为人类活动提供空间信息的科学，着重研究地球的几何特征（形状和大小）和基本物理特性（重力场）及其变化。分类：分类：几何大地测量、物理大地测量几何大地测量：经典大地测量、空间大地测量物理大地测量：地面重力、航空重力、卫星重力大地测量学的任务大地测量学的任务经济建设中的任务：经济建设中的任务：统一全国坐标框架，建立国家和精密城市控制网，精确测定控制点的坐标，为经济建设服务。地学研究中的任务：地学研究中的任务：1.建立与维持高精度的坐标框架和区域性与全球的三维大地网，长期监测网点随时间的变化；2.监测和分析各种地球动力学现象；3.测定地球形状和外部重力场的精细结构及其随时间的变化。1.2 空间大地测量技术空间大地测量技术一、原理一、原理观测量：观测量：站星矢量、卫地距离、相邻时刻的卫地距离差、卫地距离变化率PS协议地固坐标系与协议惯性系的关系协议地固坐标系与协议惯性系的关系 协议地固坐标系与协议惯性系之间的坐标转换需要加岁差,章动,地球自转角和极移改正.岁差：A slow gyration of Earths axis around the pole of the ecliptic,caused mainly by the gravitational pull of the sun,moon,and other planets on Earths equatorial bulge.章动：A small periodic motion of the celestial pole of Earth with respect to the pole of the ecliptic.极移：地球自转轴相对于地球的晃动空间大地测量的观测方法空间大地测量的观测方法1、卫星摄影法2、卫星多普勒3、卫星激光测距4、甚长基线干涉测量5、卫星测高6、全球定位系统（GPS）卫星激光测距卫星激光测距 测定激光由地面站发射经卫星反射到地面站接收的时间间隔,计算观测时刻地面到卫星的距离.目前的距离测量精度已经达到厘米级.Lageos卫星的人卫激光观测资料对目前低阶重力场的确定起到重要作用.人卫激光仪装有激光发射棱镜的卫星甚长基线干涉测量甚长基线干涉测量观测对象：观测对象：河外类星体观测仪器：观测仪器：射电望远镜观测量：观测量：射电源到同步观测的射电望远镜的时间差解算量：解算量：同步观测的射电望远镜之间的坐标差等射电源电磁波 射电望远镜射电望远镜卫星测高卫星测高H海面椭球面卫星测高原理卫星测高原理全球定位系统（全球定位系统（GPS）1989年发射工作卫星1994年部署完24颗卫星系统由三大部分组成：1、GPS卫星2、地面控制部分3、用户部分GPS接收机接收机1.3 地球形状表述的数学模型和物理模型地球形状表述的数学模型和物理模型1.3.1 大地水准面大地水准面大地水准面：大地水准面：通过平均海水面的重力等位面。What we call in the geometric sense the surface of the earth is nothing else but that surface which intersects the direction of gravity at right angles and from which the surface of the worlds ocean is a part.C.Gauss 1828We shall call the previously defined mathematical surface of the Earth,of which the ocean surface is a part,geoidal surface of the Earth or the geoid.J.Listing 1873大地水准面大地水准面 椭球面大地水准面大地水准面 差距1.与重力线垂直，是重力等位面2.通过平均海水面全球大地水准面图全球大地水准面图 1.3.2 参考椭球面参考椭球面定义：定义：与局部大地水准面吻合的旋转椭球面。参数：参数：长半径 a，扁率 起始子午面椭球的定位与定向：椭球的定位与定向：确定参考椭球与局部大地水准面的相对关系。我国的参考椭球我国的参考椭球1、1954北京坐标系北京坐标系 椭球参数：椭球参数：克拉索夫斯基椭球，长半径 a=6378245米，扁率 =1/298.3 定位：定位：从前苏联远东控制网引入。2、1980西安坐标系西安坐标系椭球参数：椭球参数：IAG1967椭球，长半径 a=6378137米，扁率 =1/298.257 定位：定位：由我国的天文大地网数据。1.3.3 平均地球椭球面平均地球椭球面定义：定义：与全球大地水准面吻合的旋转椭球面。1、正常椭球：、正常椭球：其椭球面上的正常重力位与大地水 准面上的重力位相同。参数：a，GM，若采用1980大地参考系统（GRS80)，则有：椭球面上的正常重力为：大地高H处的正常重力为：2、平均地球椭球、平均地球椭球平均地球椭球：平均地球椭球：与全球大地水准面吻合，即使全球范围内的大地水准面差距最小。1.平均椭球是正常椭球，重力位与大地水准面重力位相同2.中心与地球重心重合，质量等于地球质量3.短轴与地球自转轴重合3、平均海水面与大地水准面、平均海水面与大地水准面 平均海水面与大地水准面之间相差稳态海面地形习习 题题1、大地测量的主要研究对象是什么？2、近代大地测量主要有哪些新的观测手段？3、平均椭球体与参考椭球体的区别？4、平均椭球的几何参数与物理参数是什么？第二章第二章 地球坐标系和地球椭球地球坐标系和地球椭球2.1 概概 述述大地测量采用的坐标系：大地测量采用的坐标系：天球坐标系、地球坐标系地球坐标系：地球坐标系：固定在地球上与地球一起自转和公转的 坐标系地球坐标系分类：地球坐标系分类：参心坐标系、地心坐标系定义坐标系的要素：定义坐标系的要素：原点位置与坐标轴指向；若采用大地 坐标还需要椭球元素。2.2 地球椭球面的数学计算和有关计算地球椭球面的数学计算和有关计算2.2.1 地球椭球的几何、物理元素地球椭球的几何、物理元素椭球方程：扁率：第一偏心率：第二偏心率：XYZO2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续地球椭球的几何、物理元素（续1）几个关系式：几个关系式：1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续地球椭球的几何、物理元素（续2）1980年大地坐标系采用第16届 IAGIUGG 椭球，其椭球元素为：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质旋转椭球面的参数表示及数学性质1、经线和纬线的曲线方程、经线和纬线的曲线方程在XOZ坐标面上的起始经线方程：OXYZM1M0MLLrARSM0饶Z轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：经度为L的经线方程：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续1）OXYZM1M0MLLrARS纬圈方程：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续2）2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的Frenet标标架架POQMPRTNA如图为过M点的子午面。子午线的主法线MP位于子午面内，且垂直于子午线切线T；R为过M点的平行圈切线，显然R垂直于M点的子午面，因此R垂直于MP。所以，MP垂直于椭球面在M点的切平面，因此它是椭球面的法线。Frenet标架：标架：曲线上任意一点处的三个相互正交的单位向量构成是三维直角坐标系。一般取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续3）3、旋转椭球面及经纬线的参数方程、旋转椭球面及经纬线的参数方程1).以大地经度以大地经度L及归化纬度及归化纬度u为参数的方程为参数的方程uaXZOMM在XOZ子午面内，有在三维空间坐标系中：(2).以大地经纬度以大地经纬度L、B为参数的方程为参数的方程XZK0B90+BOTM 0切线M0T的斜率的导数式：由椭圆方程求导得：代入第一式得：12.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续4）2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续5）将 代入椭圆方程，化简后得：1引入辅助符号：则有：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续6）在三维空间坐标系中，椭球面上点的三维坐标的经纬度表示为：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续7）(3).以大地经度以大地经度L及球心纬度为参数的方程及球心纬度为参数的方程XZOM 0 球心纬度，向径，则对于XOZ平面上的椭圆有：在椭圆上，向径由球心纬度唯一确定，将上式代入椭圆方程，得：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续8）对于XOZ平面上的椭圆有：在三维空间坐标系中，椭球面上点的经度、球心纬度表示为：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续9）不难得出，u,B,的关系为：因此有：由球心纬度公式，得：2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续10）4、旋转椭球面的几何性质、旋转椭球面的几何性质 a).对称性 b).有界性 c).正则性：曲面上每点都对应于唯一确定的非零法向量。其单位法向量可表示为：d).不可展性2.2.3 法截线曲率及曲率半径法截线曲率及曲率半径 1、空间曲线的曲率几曲率半径、空间曲线的曲率几曲率半径 若以曲线的弧长s为参数，曲线上的点位用向量r(s)表示。则曲线的曲率为：若以t参数，则曲线的曲率可表示为：2、椭球面法截线的曲率、椭球面法截线的曲率(1).子午线曲率半径子午线曲率半径 不失一般性，以起始子午线为例推导。若以归化纬度u为子午线方程的参数，则有：2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续1）2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续2）则有：同理，若以大地纬度为参数，得：子午曲率半径M，就是曲率是倒数，即：2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续3）(2).卯酉线曲率半径卯酉线曲率半径定义：定义：与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯 酉线。根据微分几何中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率kn与平行圈曲率kr的关系为：平行圈半径为子午面XOZ 平面内的X坐标，即：则有，上述两式得卯酉曲率半径N为：2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续 4）(3).任意方向法截线的曲率半径任意方向法截线的曲率半径 根据微分几何中的Euler公式，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：因此，任意方向的曲率半径为：当A为0，/2，3/2时，取得极值。2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续 5）(4).平均曲率半径平均曲率半径 定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。代入上式，得：2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续法截线曲率及曲率半径（续 6）不难得到：N R M引入辅助量：存在下列关系：2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算椭球面上第一基本形式及弧长面积计算1.椭球面的第一基本形式椭球面的第一基本形式椭球面上点的向量：椭球面上的微分弧长：其中：对于椭球面：2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续1）2、子午线弧长、子午线弧长子午线微分弧长：积分得：用二项式展开，并逐项积分得：常数 A、B、C、D、E、F、G的计算公式见教材2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续2）对于小于400km的弧长，可采用以下简化式。其中：根据：求出导数，代入上式并化简，得：对于小于40km的弧长，可进一步简化为：2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续3）已知B1和弧长S12求B2称为反算，可采用叠代法计算。初值：叠代格式：其中：要求：2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续4）3、平行圈的半径与弧长、平行圈的半径与弧长相同经差的平行圈弧长在赤道最长，越靠近两极越小。2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续5）4、利用经纬格网计算椭球面的面积、利用经纬格网计算椭球面的面积LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续6）上式利用二项式展开并积分，得：取 L2-L1=2，B2=/2，B1 =0 算得半球面积，乘2可以估算全球面积约为5.1亿平方公里习习 题题1、导出三种纬度、u与B的关系。2、导出子午曲率半径M与卯酉曲率半径N的计算公式。3、M、N、R的关系如何？在什么条件下三者相同？4、某点到赤道的子午弧长 ,求该点的纬度。a=6378245,=1/298.35、已知某点的纬度 ,求该点自赤道起的子午弧长。a=6378245,=1/298.32.2.5 大地线大地线1、大地线的定义与性质、大地线的定义与性质法截弧：法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。相对法截弧：相对法截弧：A到B的法截弧与B到A的法截弧。由相对法截弧构成的椭球面三角形不是闭合图形。2.2.5 大地线（续大地线（续1）大地线的定义：大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。大地线的性质：大地线的性质：1、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面；2、曲面上连接任何两点的最短直线必为 大地线。3、大地线的测地曲率等于0曲线的测地曲率：曲线的测地曲率：曲线的曲率在曲面切平面上的投影。大地线的曲率：大地线的挠率2.2.5 大地线（续大地线（续2）2、大地坐标系中大地线的微分方程、大地坐标系中大地线的微分方程(1).大地线的二阶微分方程大地线的二阶微分方程以u,v 为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为：下标为相应的偏导数。2.2.5 大地线（续大地线（续3）对于椭球面，有：代入前面公式，得：则旋转椭球面上大地线的微分方程为：2.2.5 大地线（续大地线（续4）(2).克莱劳定理克莱劳定理直角坐标系中的椭球面方程：椭球面法向量为：以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：两者指向一致，即：2.2.5 大地线（续大地线（续5）由上式的前两个方程得：将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系：1代入 式，整理得：122.2.5 大地线（续大地线（续6）将关系：即：大地线上各点的平行圈半径与该点的大地线方位角正弦的乘积是常数。代入上式，即得克莱劳定理：2.2.5 大地线（续大地线（续7）(3).大地线的一阶微分关系式大地线的一阶微分关系式由克莱劳定理，微分得：2.2.5 大地线（续大地线（续8）又如图所示：代入上式，得：三个微分关系式可整理为：32.2.5 大地线（续大地线（续9）3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程 大地线始点坐标P0(B0,L0)，大地线上任何点的位置向量都可以展开成S,A的级数形式：Frenet标架的坐标轴定义：x指向大地线的切向t，y指向大地线的主法向n，向内为正，z指向大地线的副法向b，构成左手系。xyz42.2.5 大地线（续大地线（续10）显然有：根据曲线论中的Frenet公式：由以上两式可求出各阶导数：2.2.5 大地线（续大地线（续11）将上式代入大地线展开式 ，得Frenet标架下的三维坐标：45顾及公式：2.2.5 大地线（续大地线（续12）和：求导得：2.2.5 大地线（续大地线（续13）代入Frenet标架下的三维坐标公式 ，得：52.2.5 大地线（续大地线（续14）将坐标系饶 y逆时针旋转A，得x”、y”、z”坐标系，则有：xyzzx 以P0点为原点的地平坐标系(站心坐标系)x、y、z，与x”、y”、z”坐标系的关系为：xyzzxy2.2.5 大地线（续大地线（续15）最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，称为Weingarten级数。62.2.5 大地线（续大地线（续16）法截弧为平面曲线，其挠率为0，同理可推得地平坐标系中的计算式为：2.2.5 大地线（续大地线（续17）4、基于大地线的椭球面曲线坐标系、基于大地线的椭球面曲线坐标系(1).大地线极坐标系大地线极坐标系大地圆：大地圆：到极点具有相同大地线长 度的点所构成的轨迹。由大地线长度和大地方位角可描述曲面点的位置 。如图所示：对照第一基本形式，得：由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：2.2.5 大地线（续大地线（续18）大地线的归化长度 m 的计算公式：由 式求出偏导数代入得：62.2.5 大地线（续大地线（续19）(2).测地坐标系测地坐标系 以过P0点的经线及其平行线为v曲线，过P0点与经线正交的一族大地线为u曲线，构成的坐标格网称为测地坐标系测地坐标系测地坐标在v曲线方向用Sx，u曲线方向用Sy,即：2.2.5 大地线（续大地线（续19）n 称为测地平行线的归化长度因子。由 式求出对A偏导数，并顾及A=90，得：62.2.5 大地线（续大地线（续20）根据球面角超的定义，在球面直角三角形 中，球面角超为：根据球面三角形的Legendre定理：77将 式代入上式，得：2.2.5 大地线（续大地线（续21）代入测地平行线的归化长度因子公式，得：精确到二次项时的归化长度因子计算公式为：则与子午弧长相应的测地平行线的弧长为：习习 题题1.纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？2.推导大地线的三个微分式。3.试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地大地线是否等距？4.简述weingarten级数的推导步骤。2.3 椭球面上大地坐标的计算椭球面上大地坐标的计算2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面水平方向、边长观测值归算到椭球面1、水平方向观测值归算到参考椭球面的改正、水平方向观测值归算到参考椭球面的改正 包括三项改正，称为三差改正。(1).垂线偏差改正垂线偏差改正(2).标高差改正标高差改正用椭球半径的近似值代入得：2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面水平方向、边长观测值归算到椭球面(3).法截弧方向归算到大地线方向的改正法截弧方向归算到大地线方向的改正 该项改正很小，100公里约0.03“，只有一等控制网才估计此项改正。2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面水平方向、边长观测值归算到椭球面2、空间边长归算至参考椭球面的改正、空间边长归算至参考椭球面的改正 测线端点的大地高为：椭球面上弦长 d 的计算公式省略H/R的二次项，得：2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面水平方向、边长观测值归算到椭球面椭球面上的弧长为：2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面水平方向、边长观测值归算到椭球面3.工程控制网中的地面观测元素的归算工程控制网中的地面观测元素的归算 以平均高程面作投影面，范围小，可以用球代替椭球；球半径采用高斯平均曲率半径。计算公式为：不难证明：椭球半径的误差对边长归算结果影响很小，而高差误差对边长归算比较敏感。2.3.2 椭球面上三角形解算椭球面上三角形解算1、球面角超、球面角超三块面积之和为：代入球面角超定义式，得：2.3.2 椭球面上三角形解算椭球面上三角形解算按球面三角公式：当边长小于40公里时，第二项影响小于0.0004“，可略去2.3.2 椭球面上三角形解算椭球面上三角形解算2、解算球面三角形的勒让德定理、解算球面三角形的勒让德定理勒让德定理：勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去三分之一的球面角超，而边长保持不变。ABCabc2.3.3 大地主题解算大地主题解算大地主题解算分类：大地主题解算分类：正算：正算：已知(B1,L1)，A12，S12，计算(B2,L2)，A21反算：反算：已知(B1,L1)，(B2,L2)，计算A12，S12，A21短距离中距离长距离解算方法：级数展开：Legendre级数 Schreiber公式 Gauss平均引数公式2.3.3 大地主题解算大地主题解算1、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式由大地线的微分公式，得其一阶导数为：2.3.3 大地主题解算大地主题解算二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：同理可求出四阶以上的导数和L、A的高阶导数，代入展开式即可。2.3.3 大地主题解算大地主题解算2、高斯平均引数公式、高斯平均引数公式若取大地线中点展开，得：两式相减，得：类似地，有：12.3.3 大地主题解算大地主题解算两式相加，得：类似地，有：其中：将 展开成级数，得：22.3.3 大地主题解算大地主题解算由大地线的微分公式：求导，得：取：代入 式，得 的计算公式。并取2代入 式，求出各阶导数后整理得：12.3.3 大地主题解算大地主题解算同理可得：以上3式具有4次方精度，可用于解算200公里下的大地主题。32.3.3 大地主题解算大地主题解算因计算Bm,Lm要用到B2,L2，因此需要叠代计算。其初值为：叠代计算公式为：直到 为止。最后计算纬度、经度和方位角：2.3.3 大地主题解算大地主题解算3、高斯平均引数反算公式、高斯平均引数反算公式由正算公式，反解得：右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似：2.3.3 大地主题解算大地主题解算代入上式第二项，得：由此可求得平均方位角和大地线长度如下：2.3.3 大地主题解算大地主题解算由正算公式的第三式，计算a：最后得起终点的大地方位角为：2.3.3 大地主题解算大地主题解算4、测地坐标系与大地坐标系间的坐标转换、测地坐标系与大地坐标系间的坐标转换(1).由（由（Sx,Sy）求解（求解（B,L）由前面子午弧长反算公式求解B1。由（B1,L0）和方位角A=90，Sx可计算（B，L）(2).由由（B,L）求解求解（Sx,Sy）先计算(B,L)到(B,L0)距离S，按球面三角公式求解Sy和B到B1的距离，加上B0到B的距离即为Sx.2.3.4 大地主题微分公式大地主题微分公式1、大地主题正解微分公式、大地主题正解微分公式 终点的经纬度（B2,L2）和大地线方位角A21，与起点的经纬度（B1,L1）和大地线方位角A12，以及大地线长度S的微分关系。2.3.4 大地主题微分公式大地主题微分公式2、大地主题反解微分公式、大地主题反解微分公式 起点大地线方位角A12和大地线方位角A21，以及大地线长度S与起点和终点的经纬度（B1,L1）和（B2,L2）的微分关系。习习 题题1、地面观测方向归算到椭球面上需要加哪几项改正？2、地面观测距离归算到椭球面上二步改正的几何意义？3、P1与P2与为控制点，已知：计算归算到椭球面上的长度4、已知利用Gauss平均引数公式正反算。2.4 空间大地直角坐标系及其转换模型空间大地直角坐标系及其转换模型2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系1、X、Y、Z与与B、L、H间间的关系的关系 空间坐标系的定义：空间坐标系的定义：Z/自转轴，X位于赤道面，指格林尼治天文台，Y指东，构成右手系。大地坐标系的定义：大地坐标系的定义：B为过坐标点椭球面的法线与赤道面交角、L为过坐标点的子午线与起始子午线的夹角，H为点沿法线到椭球面的距离。大地高与正高、正常高之间的关系：大地高与正高、正常高之间的关系：2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系如图所示：12.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系2、由、由X、Y、Z计算计算B、L、H的迭代解法的迭代解法计算L：迭代计算B：迭代初值为：最后计算H：2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系3、X、Y、Z与与B、L、H间的微分关系间的微分关系由前面 式微分得；1其中：2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系顾及A是正交阵，J是对角阵，得：2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系4、B、L、H与椭球元素与椭球元素a,e2 之间的微分关系之间的微分关系若顾及椭球元素的变化，则前面的微分公式变为：其中：2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系由上式可得：若空间坐标系的原点和坐标轴指向保持不变，即椭球的定位与定向不变，则：2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系上式简化成大地坐标与椭球间的微分关系：2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换 两个右手旋转坐标系之间的旋转角，取逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，旋转矩阵为正交阵，可表示为：2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换方法一：方法一：将将X、Y、Z转转换换到到X、Y、Z 坐坐标标系系：先绕Z将X旋转到XOY平面与XOY平面的交线X”，再绕X”轴将Z旋转到Z轴，最后再绕Z轴，将X”旋 转 到X轴 方 向。由于三坐标轴的正交关系，经最后一次旋转的Y”必 位 于Y 轴 上。2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换坐标变换公式为：旋转矩阵：是正交矩阵。2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换若、分别表示X与X和Y与Y之间的夹角，则有：若表示Z与Z之间的夹角，则有：2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换方法二：方法二：将将X、Y、Z转转换换到到X、Y、Z 坐坐标标系系：先绕X将Y旋转到YOZ平面与YOZ平面的交线Y”，再绕Y”轴将Z”旋转到Z轴，最后再绕Z轴，将X”旋 转 到X轴 方 向。由于三坐标轴的正交关系，经最后一次旋转的Y”必 位 于Y 轴 上。2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换坐标变换公式为：其中，旋转矩阵：是正交矩阵。2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换 若、分别表示X与X、Y与Y和Z与Z之间的夹角，则有：2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换当旋转角是小角度时，可略去其二次项，取：旋转矩阵简化为：坐标转换模型简化为：2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换旋转矩阵是正交阵，满足条件：若：则根据正交条件，得：2.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换空间直角坐标系之间的旋转变换 因此，旋转矩阵中只有5个独立未知数。在进行坐标转换时，可以直接以旋转矩阵中的9个元素为未知数，加上6个约束条件直接解算。求得旋转矩阵元素后，进行坐标转换，不必解算旋转角。这样可避免大旋转角时，线性化过程的复杂形式。习习 题题1、若采用克拉索夫斯基椭球，已知大地坐标：计算三维空间坐标，并反算检核。2、在上题中，大地经纬度和大地高分别变化了 用微分公式计算三维空间坐标的变化量。3、在球近似下，给出球心经纬度和高程与三维空间坐标的微分关系式。4、若要求相对误差小于10-7，则当旋转角超过多少时，不能采用略去二次项的线性近似。2.4 空间大地直角坐标系及其转换模型空间大地直角坐标系及其转换模型2.4.3 站心地平坐标系及其应用站心地平坐标系及其应用1、站心地平直角坐标系与空间大地直角坐标系的转换关系、站心地平直角坐标系与空间大地直角坐标系的转换关系定义：定义：站心点的法线为z轴，在地平面上以子午线方向为x轴，y与x、z轴正交，指向东为正。xzy 将站心坐标轴 xyz 变换成与空间坐标系的指向一致，需要如下几步：(1).z 坐标轴反向；(2).绕y轴900+B；(3).绕z轴旋转-L。2.4.3 站心地平坐标系及其应用站心地平坐标系及其应用 将站心系坐标轴变换到与三维空间直角坐标轴指向一致时的旋转矩阵为：xzy顾及，站心系原点在空间坐标系中的坐标为：2.4.3 站心地平坐标系及其应用站心地平坐标系及其应用则，站心系坐标到空间直角坐标系的变换公式为：2.4.3 站心地平坐标系及其应用站心地平坐标系及其应用由上式得，空间直角坐标系到站心系的变换公式为：2.4.3 站心地平坐标系及其应用站心地平坐标系及其应用2、站心极坐标系与站心地平直角坐标系的关系、站心极坐标系与站心地平直角坐标系的关系定义：定义：由站心系原点到点的空间距离、方位角和天顶距为坐标变量确定三维点位，称为站心极坐标系。由上式，得：2.4.3 站心地平坐标系及其应用站心地平坐标系及其应用也可以用以下公式计算：公式中的天顶距和方位角都归算到以法线为基准。测量时以垂线为基准的，需要作垂线偏差改正。改正公式下面将讲到。2.4.3 站心地平坐标系及其应用站心地平坐标系及其应用3、空间直角坐标系与站心地平直角坐标系的旋转矢量、空间直角坐标系与站心地平直角坐标系的旋转矢量之间的关系之间的关系 若x、y和z为空间坐标系的旋转矢量，x、y和z为站心坐标系的旋转矢量。顾及旋转矢量是平 移 不 变 量，旋 转 关 系 与 坐 标 矢 量 相 同。2.4.3 站心地平坐标系及其应用站心地平坐标系及其应用4、站心地平直角坐标系的应用、站心地平直角坐标系的应用(1).计算基线向量的大地方位角计算基线向量的大地方位角其中，B0,L0为基线始端的纬度和经度。(2).绕站心系坐标轴的旋转向量有特殊意义绕站心系坐标轴的旋转向量有特殊意义z 相当于平面控制网间的旋转角。2.4.3 站心地平坐标系及其应用站心地平坐标系及其应用(4).计算卫星的高度角和方位角计算卫星的高度角和方位角 卫星Q的方位角和高度角可用其站心坐标xQ、yQ计算。2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型两个空间大地直角坐标系间的转换模型1、Bursa-Wolf 模型模型 转换参数包括三个平移参数、三个旋转参数与一个尺度参数。R为前面所述的旋转矩阵。当旋转角为小角度时，上式可简化为：2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型两个空间大地直角坐标系间的转换模型 略去尺度参数和旋转参数的乘积项，上式可进一步简化为：上式第二式常用于转换参数未知时，利用同名点在两个坐标系中的坐标计算转换参数。2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型两个空间大地直角坐标系间的转换模型 上式应用于Pj，并与上式相减，得Pi与Pj两点坐标差的坐标变换模型如下：2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型两个空间大地直角坐标系间的转换模型2、Molodensky 模型模型 如果旋转与尺度是相对于参考点PK，即以参考点PK作变换中心。则有Molodensky 模型。旋转角为小角度时，上式可简化为：2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型两个空间大地直角坐标系间的转换模型上式同样可以简化为求解转换参数的形式如下：其中，相应于Molodensky模型的坐标差的转换模型与Bursa-Wolf模型相同。2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型两个空间大地直角坐标系间的转换模型3、范士转换模型、范士转换模型 若旋转角是围绕参考点的站心地平坐标系的坐标轴，即为范士转换模型。将三维空间坐标系的旋转角与站心系旋转角的关系代入Molodensky模型，即得范士转换模型如下：2.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型两个空间大地直角坐标系间的转换模型4、卫星网与地面网之间的转换、卫星网与地面网之间的转换 卫星网精度高，地面网平面坐标与高程点不重合。2.4.5 大地坐标的微分公式大地坐标的微分公式根据大地坐标与三维空间直角坐标间的微分公式：大地直角坐标的变动是由于原点平移、坐标轴旋转和尺度变化引起。即：代入上式，得大地坐标微分公式。2.4.5 大地坐标的微分公式大地坐标的微分公式大地坐标微分公式的矩阵形式可表示为：习习 题题1、给出站心坐标系的定义。2、经过哪几步旋转和平移变换，可将站心系坐标变换到三维空间直角坐标系中。3、导出两点的大地方位角、距离和天顶距与站心坐标的关系。4、三维空间坐标变换有哪几种模型？各种模型间的差异在哪里？5、范士变换模型的旋转参数有什么意义？2.5 参心坐标系和参考椭球参心坐标系和参考椭球2.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程1、天文经度、天文纬度和天文方位角、天文经度、天文纬度和天文方位角天文经度：天文经度：包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角；天文纬度：天文纬度：测站垂线的与赤道面的夹角；天文方位角：天文方位角：包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角；天文天顶距：天文天顶距：测站垂线与观测方向的夹角2.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程 因地极移动，观测的天文经纬度、方位角需要归算到地极原点，称为极移改正，其公式如下：观测值在地面取得，归算到椭球面上时，天文纬度和方位角需要作如下改正：2.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程2、垂线偏差和大地水准面差距、垂线偏差和大地水准面差距大地水准面参考椭球面数值积分，得：2.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程3、垂线偏差公式和、垂线偏差公式和Laplace方位角方位角 如图所示：xyz为大地站心坐标系，x1 y1 z1为天文站心坐标系。两者的关系为：12.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程 天文和大地坐标系分别与原点在站心，坐标轴与三维空间直角坐标系指向相同的坐标系的关系如下：2.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程由上面第一式代入第二式，略去高次项，整理得：上式与 式相比较，得：12.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程并得出Laplace方程：顾及天文站心系（x1，y1，z1）与大地站心系（x，y，z）的关系：和天顶距、方位角和站心坐标的关系：2.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程将第二式代入第一式，得：将展开式：2.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程代入上式，并略去二次以上的项，得：由第三式，得：由第一式或第二式，顾及上式，并略去高次项得：2.5.1 垂线偏差与垂线偏差与Laplace方程方程 如果椭球短轴不平行与地轴，大地起始子午面不平行大地起始子午面，则还要考虑三个旋转角的影响，此时，大地经纬度和方位角与天文经纬度和方位角的关系可推广为：2.5.2 参考椭球的定位和定向参考椭球的定位和定向1、椭球定位和定向的意义和条件、椭球定位和定向的意义和条件椭球定位：椭球定位：确定椭球中心的位置，即三个平移量椭球定向：椭球定向：确定椭球坐标轴的指向，即三个旋转量参考椭球定位、定向应满足的条件：参考椭球定位、定向应满足的条件：（1）椭球短轴与指定历元的地球自转轴平行；（2）大地起始子午面与天文起始子午面平行；（3）在一定区域内椭球面与大地水准面最为密合。相应的数学表达式为：2.5.2 参考椭球的定位和定向参考椭球的定位和定向2、椭球定位和定向的方法、椭球定位和定向的方法在大地原点Pk存在关系：上式隐含了三个旋转角为0。2.5.2 参考椭球的定位和定向参考椭球的定位和定向（1）、单点定位）、单点定位 大地测量工作刚开始，没有充分资料确定垂线偏差和大地水准面差距，假设在大地原点处，k=k=Nk=0。则有：表示：单点定位时大地原点的法线与垂线一致，大地高等于正常高2.5.2 参考椭球的定位和定向参考椭球的定位和定向（2）、多点定位）、多点定位 根据以前的天文大地测量成果，来对椭球进行定位、定向和计算椭球元素。由前面的大地坐标微分公式，2.5.2 参考椭球的定位和定向参考椭球的定位和定向顾及：展开大地坐标微分公式，略去旋转参数项，取最后一式代入上式，得：根据条件：求解定位参数。2.5.2 参考椭球的定位和定向参考椭球的定位和定向也可以根据垂线偏差关系：将大地坐标微分公式，略去旋转参数项，展开后的前二式代入上式。根据条件：求解椭球的定位参数。2.5.3 参心坐标系的建立参心坐标系的建立 参考椭球定位后，采用天文大地测量方法，进行三角测量、导线测量、空间大地测量（GPS、SLR、SALT、VLBI）、精密水准测量、重力测量等手段，建立参心坐标系，求得覆盖全区域的大地控制测量数成果。2.6 协议地球参考系协议地球参考系(CTRS)和平均地球椭球和平均地球椭球2.6.1 协议协议地球参考系协议协议地球参考系(CTRS)的定义和建立的定义和建立定义：定义：坐标轴指向BIH 1984.0系统，坐标轴定向使地 壳各方向的运动之和为0。建立：建立：由各板块的SLR、VLBI站以及部分IGS站确定。2.6.2 当今技术条件下的平均椭球当今技术条件下的平均椭球 利用低轨卫星观测数据求定平均椭球的四个参数，并对平均椭球进行定位和定向。习习 题题1、天文方位角归算到参考椭球上要加哪些改正？写出其改正公式。2、若某测站的垂线偏差为=7.02,=-4.38,测得某方向的天顶距为854856.3,已知该方向的方位角为1354325.6。求：改正后的天顶距。3、参考椭球定位满足什么条件？有哪两种方法？第三章第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系高斯投影及高斯平面直角坐标系3.1 地图投影概述地图投影概述3.1.1 地图投影的意义与实现地图投影的意义与实现寻找椭球面上大地经纬度B,L，与平面坐标的关系 若投影面与原面的曲率半径不同，则必然会产生投影变形，不同的控制投影变形的方法，对应于不同的投影。3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述1、投影长度比、等量纬度及其表示式、投影长度比、等量纬度及其表示式长度比：长度比：投影后长度与椭球面上长度之比。投影平面上微分长度：椭球面上微分长度：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度，计算公式为 引入等量纬度后，使相同的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同。3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述引入等量纬度后，投影公式为：求微分，得：其中：l=L-L03.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述根据微分几何，其第一基本形式为：其中：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述则，长度比公式为：将 代入上式，得：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述当A=0或180，得经线方向长度比：当A=90或270，得纬线方向长度比：要使长度比与方向无关，只要：F=0,E=G，则长度比可表示为：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述长度比与1之差，称为长度变形，即：vm0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述2、主方向和变形椭圆、主方向和变形椭圆主方向：主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍然正交，则这两个方向为主方向。性质：性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。对照第一基本形式，得：且：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述代入长度比公式，得：即：解得：由三角公式得：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述由此得，极值长度比为：将三角展开式代入得：因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述不难得出下列关系：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述 若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：椭球面上投影面上3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述3、方向变形与角度变形、方向变形与角度变形某方向（以主方向起始）投影后为1，则有：由三角公式，得：显然，当 +1=90或 270 时，方向变形最大3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：顾及：解得最大变形方向为：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：显然，当 +1=90、+1=270 或 +1=270、+1=90 时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：3.1.2 地图投影变形及其表述地图投影变形及其表述4、面积比与面积变形、面积比与面积变形 椭球面上单位圆面积为，投影后的面积为ab，则面积变形为：3.1.3 地图投影的分类地图投影的分类1、按投影变形的性质分类、按投影变形的性质分类 (1).等面积投影等面积投影 a b=1 (2).等角投影等角投影 a=b (3).等距离投影等距离投影 某一方向的长度比为1。3.1.3 地图投影的分类地图投影的分类2、按采用的投影面和投影方式分类、按采用的投影面和投影方式分类(1).方位投影方位投影 投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定条件将椭球面上的物投影到平面上。3.1.3 地图投影的分类地图投影的分类(2).正轴或斜、横轴圆柱投影正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影：正轴圆柱投影：切圆柱投影、割圆柱投影 切圆柱投影：切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成 一组平行直线，经线投影成与纬线正交 的另一组平行直线。割圆柱投影：割圆柱投影：投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线 投影成一组平行直线，经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。3.1.3 地图投影的分类地图投影的分类横轴圆柱投影：横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。斜轴圆柱投影：斜轴圆柱投影：常用于小比例尺投影，将地球视为圆球，投影圆柱体斜切于圆球进行投影。(3).圆锥投影：圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上 物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平 面。根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥 投影、斜圆锥投影。3.1.3 地图投影的分类地图投影的分类习习 题题1.给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。2.投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。3.变形主方向有什么性质？4.最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？5.地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？3.2 正形投影与高斯正形投影与高斯-克吕格投影克吕格投影3.2.1 正形投影的概念和投影方程正形投影的概念和投影方程 长度比与方位角无关的投影称为正形投影，必须满足条件E=G,F=0，即：由第二式解得：13.2.1 正形投影的概念和投影方程正形投影的概念和投影方程代入第一式，得：考虑到导数的方向，开根得：再代入 式，得：1233.2.1 正形投影的概念和投影方程正形投影的概念和投影方程2 ，式称为Kauchi-Rimann方程，满足该方程的函数可写成复变函数关系：3其反函数也是复变函数，可以写成：3.2.2 高斯高斯-克吕格投影的条件和性质克吕格投影的条件和性质高斯高斯-克吕格投影的条件：克吕格投影的条件：1.是正形投影 2.中央子午线不变形3.2.2 高斯高斯-克吕格投影的条件和性质克吕格投影的条件和性质高斯投影的性质：高斯投影的性质：1.投影后角度不变 2.长度比与点位有关，与方向无关 3.离中央子午线越远变形越大 为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用3度带或6度带分带，城市或工程控制网坐标采用任意带分带。3.2.2 高斯高斯-克吕格投影的条件和性质克吕格投影的条件和性质3.2.2 高斯高斯-克吕格投影的条件和性质克吕格投影的条件和性质 理论上中央子午线的投影是 x 轴，赤道的投影是 y 轴，其交点是坐标原点。x 坐标是点至赤道的距离；y 坐标是点至中央子午线的距离，有正有负。为了避免 y 坐标出现负值，其名义坐标加上 500 公里。为了区分不同投影带中的点，在点的Y坐标值上加带号N 所以点的横坐标通用表示的值为 y=N1000000+500000+y3.3 高斯投影坐标正算和反算公式高斯投影坐标正算和反算公式3.2.1 高斯投影正算公式高斯投影正算公式赤 道 考虑到，正形投影的导数与方向无关，将投影点坐标在H点展开，得：3.3.1 高斯投影正算公式高斯投影正算公式 因此，高斯投影级数展开式可表示为：其各阶导数为：3.3.1 高斯投影正算公式高斯投影正算公式 将导数代入展开式，虚实分开后，得到高斯投影正算公式如下：3.3.1 高斯投影正算公式高斯投影正算公式为便于编程计算，可将正算公式改写成如下形式：3.3.2 高斯投影反算公式高斯投影反算公式 取点 Xf=x，相应的点称为底点，用子午弧长反算公式求得该点的纬度 Bf 和相应的等量纬度qf。在底点进行正形投影的级数展开，得：3.3.2 高斯投影反算公式高斯投影反算公式相应的各阶导数为：3.3.2 高斯投影反算公式高斯投影反算公式代入级数展开式，虚实分开得：43.3.2 高斯投影反算公式高斯投影反算公式将大地纬度展开成等量纬度的级数式其中：53.3.2 高斯投影反算公式高斯投影反算公式由 式，得：4代入 式，得：53.3.2 高斯投影反算公式高斯投影反算公式将各系数代入上式，得纬度 B 的反算公式：3.3.2 高斯投影反算公式高斯投影反算公式为便于编程计算，可将反算公式改写成如下形式：3.3.2 高斯投影反算公式高斯投影反算公式 利用高斯投影的正反算公式，可以进行不同投影带坐标的换带计算。其计算步骤如下：1.根据高斯投影坐标 x,y，反算得纬度B和经度差l；2.由中央子午线的经度L0,求得经度 L=L0+l；3.根据换带后新的中央子午线经度L0，计算相应的经差：4.由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x，y。习习 题题1.高斯投影的条件是什么？2.简述高斯投影投影正算公式的推导；3.已知某点的坐标：B=290405.3373 L=1211033.2012 计算：1).该点的3 带和6 带带号；2).该点的3 带高斯投影坐标并反 算检核；3.4 平面子午线收敛角和长度比平面子午线收敛角和长度比3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平面子午线收敛角的计算公式平行圈子午线沿平行圈纬度不变，求微分得：3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平面子午线收敛角的计算公式对高斯投影公式求偏导数，得：3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平面子午线收敛角的计算公式代入上式，得：将 展开成 tg 的级数，得：3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平面子午线收敛角的计算公式 由此可见，是经差的奇函数，在 x 轴为对称轴，东侧为正，西侧为负。子午线收敛角在赤道为0，在两极等于经差 l，其余点上均小于经差 l。3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平面子午线收敛角的计算公式子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式。平行圈L=常数L+dl=常数P点沿y轴变化微分长度到P点，子午线收敛角可表示为：沿y坐标的微分，得：3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平面子午线收敛角的计算公式代入子午线收敛角公式，得：由高斯投影反算公式求出偏导数，得：3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平面子午线收敛角的计算公式代入上式子午线收敛角计算公式，得：将 展开成 tg 的级数，得：3.4.2 长度比计算公式长度比计算公式由高斯投影长度比的定义式，得：将前面的偏导数代入上式，得：开方根得用大地坐标表示的长度比公式如下：3.4.2 长度比计算公式长度比计算公式 为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式，反解高斯投影的 y 坐标正算公式，得：对上式求平方和四次方，得：3.4.2 长度比计算公式长度比计算公式代入用大地坐标表示的长度比公式，得：顾及：代入上式，得：可见，长度比是y坐标的偶函数，且只与y坐标有关。3.5 高斯投影距离与方向改化以及坐标方位角高斯投影