圆锥曲线的最值问题常见类型及解法课件

高考地位高考地位:最值问题是高考的热点，而圆锥曲线最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题在选择题或填空题中进行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心。中也往往将其设计为试题考查的核心。高考地位高考地位:最最值问题值问题是高考的是高考的热热点，而点，而圆锥圆锥曲曲线线的最的最值问题值问题类型一类型一:两条线段最值问题两条线段最值问题 利用圆锥曲线的定义求解利用圆锥曲线的定义求解 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。关键：用好圆锥曲线的定义关键：用好圆锥曲线的定义类类型一型一:两条两条线线段最段最值问题值问题 利用利用圆锥圆锥曲曲线线的定的定义义求求例例1 1、已知点、已知点F F是双曲线是双曲线 的左焦点，定点的左焦点，定点 A A（1 1，4 4），），P P是双曲线右支上动点，则是双曲线右支上动点，则的最小值为的最小值为 .思维导图：思维导图：根据双曲线的定义，建立点根据双曲线的定义，建立点A A、P P与两焦点之间的关系与两焦点之间的关系两点之间线段最短两点之间线段最短F FA AP Py yx x例例1、已知点、已知点F是双曲是双曲线线 的左焦点，定点思的左焦点，定点思例例1 1、已知点、已知点F F是双曲线是双曲线 的左焦点，定点的左焦点，定点 A A（1 1，4 4），），P P是双曲线右支上动点，则是双曲线右支上动点，则的最小值为的最小值为 .解析：设双曲线右焦点为解析：设双曲线右焦点为F F/F FA AP Py yx x例例1、已知点、已知点F是双曲是双曲线线 的左焦点，定点解的左焦点，定点解例例2：如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值定点之间的距离为定值|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10-|MF|+|MA|=10+(|MA|-|MF|)10+|AF|因此，当因此，当|AF|最大时，最大时，|MA|+|MF|是最大值。是最大值。具体解题过程如下：具体解题过程如下：已知椭圆已知椭圆 的右焦点的右焦点F，且有定点，且有定点A（1，1），），又点又点M是椭圆上一动点。问是椭圆上一动点。问|MA|+|MF|是否有最值，是否有最值，若有，求出最值并指出点若有，求出最值并指出点M的坐标的坐标分析：分析：例例2：如如图图，由，由椭圆椭圆的定的定义义：椭圆椭圆上的点到两个定点之上的点到两个定点之间间的距离的距离为为则则F的坐标为的坐标为(4,0)解：解：设椭圆的左焦点为设椭圆的左焦点为F由椭圆的定义得：由椭圆的定义得：|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10-|MF|+|MA|连连AF，延长交椭圆于，延长交椭圆于M则则|MA|-|MF|AF|当且仅当当且仅当M,A,F三点共线时，等号成立。三点共线时，等号成立。|MA|-|MF|的最大值为的最大值为|AF|，这时，这时M与与M 重合重合|AF|=|MF|+|MA|的最大值为的最大值为要使要使|MF|+|MA|最大，最大，即要使即要使|MA|-|MF|最大，最大，问题：本题解题到此结束了吗？问题：本题解题到此结束了吗？最小值为最小值为 则则F的坐的坐标为标为(4,0)解：解：设椭圆设椭圆的左焦点的左焦点为为F由由椭圆椭圆的定的定变式训练：变式训练：已知已知P P点为抛物线点为抛物线 上的点，那么上的点，那么P P点到点点到点Q Q（2 2，-1-1）的距离与）的距离与P P点到抛物线焦点点到抛物线焦点的距离之和的最小值为的距离之和的最小值为 _ _ _，此时，此时P P点坐标点坐标为为 _ _.Q Q Q Qx xy y变变式式训练训练：已知已知P点点为为抛物抛物线线 上的点，上的点，类型二：类型二：圆锥曲线上点到某条直线的距离圆锥曲线上点到某条直线的距离圆锥曲线上点到某条直线的距离圆锥曲线上点到某条直线的距离 的最值的最值的最值的最值切切 线线 法法 当所求的最值是圆锥曲线上点到某条当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。上去的最值时的点。类类型二：型二：圆锥圆锥曲曲线线上点到某条直上点到某条直线线的距离的距离 例例1：在圆在圆x2+y2=4上求一点上求一点P，使它到直线，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。的距离最短。略解：略解：圆心到直线圆心到直线L的距离的距离d1=所以圆上的点到直线的最短距离为所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r思考：思考：例例1是否还有其他解题方法？是否还有其他解题方法？问题：直线问题：直线L L的方程改为的方程改为 3x-2y-6=03x-2y-6=0，其结果又如何？其结果又如何？例例1：在：在圆圆x2+y2=4上求一点上求一点P，使它到直，使它到直线线L：3x-2y圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离另解：另解：设平行于直线设平行于直线L且与圆相切的直线方程：且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0直线与圆相切直线与圆相切=36 m2-52(m2-16)=0 m=m2=52，代入圆代入圆x2+y2=4整理得：整理得：圆圆上的点到直上的点到直线线的最短距离即的最短距离即为为两平行直两平行直线间线间的距离另解：的距离另解：设设平行平行例例2 2、求椭圆、求椭圆 上的点到直线上的点到直线 的距的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.思维导图：思维导图：求与求与 平行的椭圆平行的椭圆的切线的切线切线与直线切线与直线 的距离为的距离为最值，切点就是所求的点最值，切点就是所求的点.x xy yo o例例2、求、求椭圆椭圆 上的点到直上的点到直线线 例例2 2、求椭圆、求椭圆 上的点到直线上的点到直线 的距的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.解：设椭圆与解：设椭圆与 平行的切线方程为平行的切线方程为 例例2、求、求椭圆椭圆 上的点到直上的点到直线线 变式训练：变式训练：动点动点P P在抛物线在抛物线 上，则点上，则点P P到直线到直线 的距离最小时，的距离最小时，P P点的坐点的坐标为标为_._.变变式式训练训练：动动点点P在抛物在抛物线线 上，上，则则点点例例3 求点求点 到椭圆到椭圆 上点的最大距离，上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。并求出此时椭圆上的点的坐标。本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标，然后根据两点间的距离公式借点的坐标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值，并求出点的助于二次函数求出此最大值，并求出点的坐标。坐标。分析：分析：类型三：类型三：圆锥曲线上点到圆锥曲线上点到圆锥曲线上点到圆锥曲线上点到x x x x轴（轴（轴（轴（Y Y Y Y轴）上某轴）上某轴）上某轴）上某 定点的距离的最值定点的距离的最值定点的距离的最值定点的距离的最值例例3 求点求点 到到椭圆椭圆 此时，此时，所以所以 的最大值为的最大值为即此时即此时Q的坐标为：的坐标为：设点设点 Q(x,y)为椭圆为椭圆 上的任意一点，上的任意一点，则则又因为又因为x2=4-4y2 所以所以（1y1）解：解：例例3 求点求点 到椭圆到椭圆 上点的最大距离，上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。并求出此时椭圆上的点的坐标。此此时时，所以，所以 的最大的最大值为值为即此即此时时Q的坐的坐标为标为：设设思考题：思考题：思考思考题题：变式训练：变式训练：已知双曲线已知双曲线C C：，P P为为C C上任一点，点上任一点，点A A（3 3，0 0），则），则|PA|PA|的最小的最小值为值为_._.变变式式训练训练：已知双曲已知双曲线线C：，P例例1 1：已知抛物线已知抛物线y y2 2=4x=4x，以抛物线上两点，以抛物线上两点A(4,4)A(4,4)、B(1,-2)B(1,-2)的连线为底边的的连线为底边的ABPABP，其顶点，其顶点P P在抛物线的弧在抛物线的弧ABAB上运动，求：上运动，求：ABPABP的最大面的最大面积及此时点积及此时点P P的坐标。的坐标。动点在弧动点在弧AB上运动，可以设出点上运动，可以设出点P的坐标，只要求的坐标，只要求出点出点P到线段到线段AB所在直线所在直线AB的最大距离即为点的最大距离即为点P到线段到线段AB的最大距离，也就求出了的最大距离，也就求出了ABP的最大面积。的最大面积。要使要使ABP的面积最大，只要点的面积最大，只要点P到直线到直线AB的距离的距离d最大。最大。设点设点P()解：由已知：解：由已知：|AB|=2x-y-4=0直线直线AB：*解题过程如下：解题过程如下：*分析：分析：类类类类型型型型四四四四例例1：已知抛物已知抛物线线y2=4x，以抛物，以抛物线线上两点上两点A(4,4)、Bd=由已知由已知：2y4dmax=此时，此时，y=1,x=d =点的坐标为点的坐标为(，1)Smax=d=由已知：由已知：2y4 dmax=此此时时，y=1,x=我们可以连接我们可以连接AB，作平行，作平行AB的直线的直线L与抛物线相切，与抛物线相切，求出直线求出直线L的方程，即可求出直线的方程，即可求出直线L与与AB间的距离，从而间的距离，从而求出求出ABP面积的最大值和点面积的最大值和点P的坐标。的坐标。分析：分析：y2-2y+2m=0设直线设直线L与抛物线与抛物线 y2=4x相切，相切，直线直线AB：2x-y-4=0直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+m=0（*）=4-8m=0,m=此时，此时，y=1,x=直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+=0两直线间的距离两直线间的距离 d=另解：另解：把（把（*）代入抛物线的方程得）代入抛物线的方程得其他过程同上。其他过程同上。我我们们可以可以连连接接AB，作平行，作平行AB的直的直线线L与抛物与抛物线线回顾反思与能力提升：回顾反思与能力提升：1 1、此法用了哪种数学思想方法？、此法用了哪种数学思想方法？2 2、有没有别的办法？、有没有别的办法？3 3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大 值，何时取最小值值，何时取最小值.回回顾顾反思与能力提升：反思与能力提升：1、此法用了哪种数学思想方法？、此法用了哪种数学思想方法？类型五类型五:基本不等式法基本不等式法 先将所求最值的量用变量表示出来，再利先将所求最值的量用变量表示出来，再利用基本不等式求这个表达式的最值用基本不等式求这个表达式的最值.这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法为广泛的一种方法.类类型五型五:基本不等式法基本不等式法例例4 4、设椭圆中心在坐标原点、设椭圆中心在坐标原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它）是它的两个顶点，直线的两个顶点，直线 与椭圆交于与椭圆交于E E、F F两点，两点，求四边形求四边形AEBFAEBF面积的最大值面积的最大值.A AF FE EB Bx xy y思维导图：思维导图：用用k k表示四边形的面积表示四边形的面积根据基本不等式求最值根据基本不等式求最值 例例4、设椭圆设椭圆中心在坐中心在坐标标原点原点A（2，0）、）、B（0，1）是它的两）是它的两例例4 4、设椭圆中心在坐标原点、设椭圆中心在坐标原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它）是它的两个顶点，直线的两个顶点，直线 与椭圆交于与椭圆交于E E、F F两点，两点，求四边形求四边形AEBFAEBF面积的最大值面积的最大值.解析：依题意设得椭圆标准方程为解析：依题意设得椭圆标准方程为 直线直线ABAB、EFEF的方程分别为的方程分别为 设设例例4、设椭圆设椭圆中心在坐中心在坐标标原点原点A（2，0）、）、B（0，1）是它的两）是它的两根据点到直线距离公式及上式，点根据点到直线距离公式及上式，点E E、F F到到ABAB的距离分别为的距离分别为四边形四边形AFBEAFBE的面积为的面积为根据点到直根据点到直线线距离公式及上式，点距离公式及上式，点E、F到到AB的距离分的距离分别为别为 四四边边圆锥圆锥曲曲线线的最的最值问题值问题常常见类见类型及解法型及解法课课件件变式训练：变式训练：已知椭圆已知椭圆 的左右焦点的左右焦点分别为分别为F F1 1、F F2 2，过，过F F1 1的直线交椭圆于的直线交椭圆于B B、D D两点，过两点，过F F2 2的直线交椭圆于的直线交椭圆于A A、C C两点，且两点，且ACACBDBD，求四边形，求四边形ABCDABCD面积的最小值面积的最小值.变变式式训练训练：已知已知椭圆椭圆 的左右的左右方法四方法四:函函 数数 法法 把所求最值的目标表示为关于某个变量的把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法值最为普遍的方法.关键：建立函数关系式关键：建立函数关系式方法四方法四:函函 数数 法关法关键键：建立函数关系式：建立函数关系式例例5 5、点、点A A、B B分别是椭圆分别是椭圆 的长轴的左右端的长轴的左右端点，点，F F为右焦点，为右焦点，P P在椭圆上，位于在椭圆上，位于x x轴的上方，且轴的上方，且PAPFPAPF若若M M为椭圆长轴为椭圆长轴ABAB上一点，上一点，M M到直线到直线APAP的距离等于的距离等于|MB|.|MB|.求求椭圆上点到点椭圆上点到点M M的距离的最小值的距离的最小值.x xy yA AB BF FM MP P思维导图：思维导图：把所求距离表示为椭圆把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数上点的横坐标的函数求这个函数的最小值求这个函数的最小值 例例5、点、点A、B分分别别是是椭圆椭圆 的的长轴长轴的左右的左右解析：由已知可得点解析：由已知可得点A(-6A(-6，0)0)、F(4,0),F(4,0),设点设点P(x,y)P(x,y)，则，则由由(1)(1)、(2)(2)及及y0y0得得APAP的方程为的方程为解析：由已知可得点解析：由已知可得点A(-6，0)、F(4,0),设设点点P(x,设设M(mM(m，0)0)，则点，则点M M到直线到直线APAP的距离的距离设椭圆上点（设椭圆上点（x x0 0,y,y0 0）到）到M M距离为距离为d d则则设设M(m，0)，则则点点M到直到直线线AP的距离的距离设椭圆设椭圆上点（上点（x0,y0作业作业:小结小结:圆锥曲线的最值问题解决方法较多，圆锥曲线的最值问题解决方法较多，常见的有五种常见的有五种.有些题目可以用多种方法有些题目可以用多种方法解决，遇到此类题目时，要选取适当地解决，遇到此类题目时，要选取适当地方法。方法。作作业业:小小结结:圆锥圆锥曲曲线线的最的最值问题值问题解决方法解决方法较较多，常多，常见见的的圆锥圆锥曲曲线线的最的最值问题值问题常常见类见类型及解法型及解法课课件件