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第三章第三章 热传导方程的分离变量法热传导方程的分离变量法1引引 言言 上一章对弦振动方程为代表的双曲上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究型方程进行了研究,它的研究包括从方程它的研究包括从方程的导出到应用行波法和分离变量法的导出到应用行波法和分离变量法.本章本章我们对抛物型方程以热传导方程为代表我们对抛物型方程以热传导方程为代表进行研究进行研究。2数理方程的基本步骤数理方程的基本步骤:建坐标系建坐标系 选物理量选物理量 找物理规律找物理规律 写表达式写表达式物理模型物理模型数学模型数学模型定量化定量化3一、一、热传导方程的导出热传导方程的导出 截面积为截面积为A的均匀细杆的均匀细杆,侧面绝热侧面绝热,沿沿杆长方向有温差杆长方向有温差,求热量的流动求热量的流动.1.物理模型物理模型3.1 热传导方程热传导方程42.相关链接相关链接 相关概念和定律相关概念和定律 热传导热传导:由于温度分布不均匀产生由于温度分布不均匀产生的热传递现象的热传递现象.设设热量：热量：面积：面积：体积：体积：时间：时间：密度：密度：温度：温度：5 比热比热:单位物质温度升高一度单位物质温度升高一度 热流密度热流密度:单位时间流过单位面积单位时间流过单位面积的热量的热量(Fourier实验定律实验定律):导热率导热率 所需热量所需热量.6热源强度热源强度:单位时间单位时间,单位体积放出单位体积放出的热量的热量(源密度源密度).7用到的物理学规律用到的物理学规律 Fourier实验定律实验定律(热传导定律热传导定律):当物当物体内存在体内存在 温度差时温度差时,会产生热量的流动会产生热量的流动.热流热流强度强度(热流密度热流密度)与温度的下降成正比与温度的下降成正比.即即 8:热导系数热导系数(热导率热导率),不同物质不同物质 不同不同,对均匀杆对均匀杆 是常数是常数.负号表示负号表示温度下降的方向温度下降的方向.9分量形式：分量形式：，一维问题：一维问题：(对同一种物质对同一种物质)温差越大温差越大,热能流动热能流动越大越大.相同温度下相同温度下,不同的物质热能流不同的物质热能流动不同动不同.10 热量守恒热量守恒(质量质量)定律定律:物体内部温物体内部温度升高所吸收的热量度升高所吸收的热量(浓度增加所需要浓度增加所需要的质量的质量),等于流入物体内部的净热量等于流入物体内部的净热量(质质量量)与物体内部的热源所产生的热量与物体内部的热源所产生的热量(质质量量)之和之和.113.分析分析研究的问题研究的问题:热流流动是由温差造成热流流动是由温差造成,为温度为温度.已知已知:,常数常数.是一维问题是一维问题.方法方法:与弦振动方程所用方法相同与弦振动方程所用方法相同设设124.研究建立方程研究建立方程 时间热量情况时间热量情况取取 轴与细杆重合轴与细杆重合,表示在表示在 点点 时刻的温度时刻的温度.考虑任一考虑任一 段在段在 流入流入 面面:13热源产生热源产生:设有热源其密度为设有热源其密度为 杆内热杆内热 源在源在 段产生的热量为段产生的热量为 流出流出 面面:14 段温度要升高段温度要升高 所吸收所吸收的热量的热量 ,故故15 根据能量守恒定律根据能量守恒定律流入流入 段总热量与段总热量与 段中热源产生段中热源产生的热量的热量:即即 16化简化简:两边同除以两边同除以 当当,则则17一维热传导方程为一维热传导方程为:,.二维热传导方程为二维热传导方程为:其中其中:18三维热传导方程为三维热传导方程为:19扩散方程物理模型扩散方程物理模型 一充满清水的玻璃管一充满清水的玻璃管.如果一端滴如果一端滴一滴红墨水一滴红墨水,则红墨水的分子就要向则红墨水的分子就要向另一端扩散另一端扩散.渗透半导体之间的锑扩渗透半导体之间的锑扩散散,硼扩散硼扩散,磷扩散磷扩散.20二、二、定解条件定解条件物体上初始时刻的温度分布物体上初始时刻的温度分布边界上温度，热交换情形边界上温度，热交换情形定解问题定解问题21初始条件初始条件 以细杆的热导方程为例以细杆的热导方程为例 边界条件提法有三种边界条件提法有三种22 第一类边界条件第一类边界条件:直接给出物理量在直接给出物理量在边界上的数值边界上的数值(边界上各点的温度边界上各点的温度).23或或 第二类边界条件第二类边界条件:研究物理量在边研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值界外法线方向上方向导数的数值.24物理意义物理意义:把细杆端点把细杆端点 处处,既无热量流出去既无热量流出去,又又处的截面处的截面用一种定点绝热的物质包裹起来用一种定点绝热的物质包裹起来,使得使得在端点在端点无热量流进来无热量流进来.已知通过细杆端点的热量已知通过细杆端点的热量,特殊特殊如如 绝热条件。绝热条件。情形情形25 第三类边界条件第三类边界条件:物理量与外法向物理量与外法向导数的线性组合导数的线性组合.已知杆端已知杆端 与某种介质接触与某种介质接触,它们它们之间按热传导中的之间按热传导中的牛顿实验定律牛顿实验定律进行热进行热交换交换,相应的边界条件为相应的边界条件为：:热导系数热导系数:热交换系数热交换系数26介质通过边界按照介质通过边界按照冷却定律冷却定律散热散热:单位时间通过单位面积表面和外界交单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介质表面温度换的热量与介质表面温度和外界温和外界温之差成正比之差成正比.度度27设比例系数为设比例系数为,则则 如在如在 处处,283.2 混合问题的分离变量解混合问题的分离变量解29一、定解问题：有界杆的热传导现象一、定解问题：有界杆的热传导现象其中其中 为已知函数为已知函数.30第一步：分离变量第一步：分离变量.设热导方程具有如下分离设热导方程具有如下分离变量解变量解(特解特解)31.将其代入泛定方程有将其代入泛定方程有 其中其中 是常数是常数.于是有于是有32、由边界条件有由边界条件有当当,则则 当当,则则 即本征值问题即本征值问题33上章已经证明只有当上章已经证明只有当.时时,该本征值问题有非零解该本征值问题有非零解.第二步：求解本征值问题第二步：求解本征值问题34.由由，即特征值是即特征值是，35.本征函数是本征函数是 36第三步第三步:求特解求特解,并叠加出一般解并叠加出一般解又由又由,得得 37两边积分得：两边积分得：其中其中 是积分常数是积分常数.于是于是故一般解为：故一般解为：38第四步：确定叠加系数第四步：确定叠加系数由初始条件由初始条件 有有 两端同乘以两端同乘以,逐次积分有逐次积分有394041分析解答：分析解答：由初始温度由初始温度 引起的温度引起的温度引起的温度分布的叠加引起的温度分布的叠加.可看作是由各个瞬热源可看作是由各个瞬热源分布分布423.3 初值问题的付氏解法初值问题的付氏解法43将将 等在等在 上展成上展成Fourier级数级数,再再无限扩大无限扩大.上节求解混合问题时上节求解混合问题时,空间坐标空间坐标 区间为区间为.如考虑无界杆的热传导如考虑无界杆的热传导,如何？如何？变动变动让区间让区间引引 言言44 结结 果：果：在一定条件下在一定条件下,Fourier级数级数变成一个积分形式变成一个积分形式,称为称为Fourier积分积分.45一、一、Fourier积分积分设设 定义在定义在 内内,且在任一且在任一上分段光滑上分段光滑,则则 有限区间有限区间展开成展开成Fourier级数级数可可.46其中其中:4748现设现设 在在 上这时可积上这时可积,即即 则当则当 时时,49证证:,则上式写成则上式写成,50可以证明：可以证明：及及 的连续点处的连续点处,的付氏的付氏积分收敛于它在该点处的函数值。积分收敛于它在该点处的函数值。称为称为 的的Fourier积分积分.其中其中,它是关于它是关于的偶函数的偶函数.51Fourier积分还可写为积分还可写为其中其中 52二、热导方程的二、热导方程的Cauchy问题问题定解问题定解问题其中其中 为已知函数为已知函数.分析分析:已知一无限长细杆在初始已知一无限长细杆在初始时刻的温度分布时刻的温度分布,求其以后的温度分布求其以后的温度分布.53解解:(分离变量法求分离变量法求)令令 则则为常数为常数.有有 时时,将随将随 的增加而增加的增加而增加,所以不合理所以不合理.54,设设,则则 当当 时时,55，为积分常数为积分常数,必须必须 因为因为,会无界，会无界，所以所以 56 当当 时时,与与,无关无关,而恒等于而恒等于.57，取所有实数取所有实数,解的叠加只能积分解的叠加只能积分.而而 由由Fourier积分有积分有:58而而 5960分析解答分析解答解的物理意义解的物理意义:由初始温度由初始温度 引起引起 热源引起的温度分布的叠加热源引起的温度分布的叠加.的温度分布的温度分布可看作由各个瞬间点可看作由各个瞬间点61的一个小单元的一个小单元 ，函数，函数 在该在该区区间内为常数间内为常数 ，而区间外恒为，而区间外恒为0.说明说明:取取 在单位横截面积细杆上取在单位横截面积细杆上取 点附近点附近物理上物理上:在初始时刻在初始时刻,这个表示吸取了热量这个表示吸取了热量 62使这一段温度为使这一段温度为 杆上的分布由杆上的分布由,此后温度在细此后温度在细给出给出.63取上式为取上式为:64,将分布在整个一小段上的热量将分布在整个一小段上的热量 看作在极限情形只作用在看作在极限情形只作用在点点,则在则在 有瞬时点热源有瞬时点热源,强度为强度为 的热源的热源,在细杆上得到的温度分布为在细杆上得到的温度分布为:,这样这样65由积分中值定理由积分中值定理:其中其中:,66则则67故故 所代表的温度分布是当初始时刻所代表的温度分布是当初始时刻,细杆在细杆在处受到强度为处受到强度为:的瞬时点热源的作用而产生的的瞬时点热源的作用而产生的.68对原问题的解释：对原问题的解释：为在初始时刻使细杆在为在初始时刻使细杆在 处有温度处有温度,则在此近邻一小单位则在此近邻一小单位 上需吸收的热量为上需吸收的热量为69或在或在 点有温度为点有温度为 的瞬时的瞬时点热源所产生温度的叠加：点热源所产生温度的叠加：70在细杆的所有点上在细杆的所有点上,初始温度初始温度 的的总作用总作用,就就是由这些个别单位的作用的叠加。是由这些个别单位的作用的叠加。由初始温度由初始温度 引起的的温度分布引起的的温度分布 可看作由各个瞬时点热源所引起可看作由各个瞬时点热源所引起的温度分布的叠加的温度分布的叠加.71对任何时刻对任何时刻 沿整个沿整个 轴轴 对对 积分有积分有72初始时刻初始时刻 处温度为处温度为 的瞬时点的瞬时点热源热源,热量沿杆分布的总和始终不变热量沿杆分布的总和始终不变,细细杆上热量的总和不随时间变化杆上热量的总和不随时间变化.73
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