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第 7 章 几何光学基础 第 7 章 几何光学基础 7.1 几何光学的基本定律几何光学的基本定律 7.2 单个折射球面的光路计算单个折射球面的光路计算7.3 单个折射球面的近轴区成像单个折射球面的近轴区成像7.4 球面反射镜成像球面反射镜成像 7.5 共轴球面光学系统共轴球面光学系统 7.6 薄透镜成像薄透镜成像 7.7 平面的折射成像平面的折射成像 7.8 平面镜和棱镜系统平面镜和棱镜系统 例题例题 第 7 章 几何光学基础 7.1几何光学的基本定律几何光学的基本定律7.1.1波面、波面、光线和光束光线和光束发射光能的物体称为光源。实际光源都有一定的大小，光源的大小影响着光源辐射光场的分布。如果光源的大小与其辐射光能的作用距离相比可略去不计时，该光源称为点光源。点光源是为了简化光波传播问题的研究而引入的一个物理模型，它被抽象为一个几何点。第 7 章 几何光学基础 光源发出的光波是一种电磁波，可以采用描述电磁波的基本参数描述光波，譬如频率、波长和相位等。实际光源发射的光波包含多种频率的成分，称为复色光。通常为了简化光波传播问题的研究，主要研究单一频率的光波，即单色光(或简谐电磁波)。对于由同一光源发出的单色波，在同一时刻由相位相同的各点所形成的曲面称为该光波的波面。波面可以是平面、球面或其它曲面，单色点光源的波面为球面。光波沿波面的法线方向前进，将该方向定义为光波的方向，通常用波矢量描述，它与波面垂直。光波的传播过程实际上是光能量的传播过程，光能量在空间的传播可以用能流密度矢量描述。在几何光学中，光学元件结构尺寸比波长大的多，光波传播时，衍射效应和矢量特性可以忽略不计，通常采用一种简化的方法表征光能量的传播。为了了解这种处理方法，我们首先看一个简单的例子。第 7 章 几何光学基础 考虑图7-1所示的水作稳定流动的水管，水流在水管内任一点的流速确定，可以将水管看做是由许多的细小的细水管即流管构成。如果流管上各点沿轴线的切线方向和水流速度方向相同，则每个流管的水只会在该管内流动，不会流到管外，这时可以将水在水管中的流动看做水在许多细小流管中的流动。第 7 章 几何光学基础 图7-1水作稳定流动的水管第 7 章 几何光学基础 类似地，光在空间传播时，如果系统的结构尺寸比波长大得多，传播过程中光的衍射可以忽略，则可以在空间定义许多细小的管道，称为光管，光管上任一点沿轴线的切线方向与光波在该点的能流密度矢量方向相同，这时光在空间的传播可以看做光沿许多细小的光管传播。相对系统的结构尺寸，如果光管非常细，则可以用一条曲线表示，该曲线就是几何光学的光线。光线是几何光学中为了简化光能量在空间的传播方向而引入的一个模型，光线被抽象为既无直径又无体积的几何线，它的切线方向实际上表示了光波能量的传播方向。第 7 章 几何光学基础 在各向同性介质中，能流密度矢量和波矢量方向相同,光线方向即代表了能量的流动方向，也表示光波传播的波矢量方向。光源发出的光场在空间任一点的光线和相应的波面垂直，光波波面法线就是几何光学中的光线。同一波面的光线束称为光束。如果光束中光线能够直接相交一点或各光线的反向延长线能够相交于一点，这样的光束称为同心光束。球面波对应于会聚或发散的同心光束，平面波对应于平行光束，有时和同一波面对应的光束沿两个相互垂直的方向分别会聚成位于不同位置的两条线段，称为像散光束，如图7-2所示。第 7 章 几何光学基础 图7-2几种光束第 7 章 几何光学基础 几何光学中的传播规律和成像原理，是用光线的传播途径加以直观表示的，光线的这种传播途径称为光路。实际上，一个点光源发出的光线为数条，不可能对每一条光线都求出其光路。几何光学的做法是从光束中取出一个适当的截面，求出其上的几条光线的光路，这种截面通常称为光束截面。第 7 章 几何光学基础 7.1.2基本定律基本定律几何光学理论是以实验定律为基础的理论。为了研究光在介质和光学系统中的传播路径，历史上，人们从不同角度描述光的传播路径，形成了多个基本定律。这些定律主要有光的直线传播定律、光的独立传播定律、光的折射定律和反射定律、费马原理和马吕斯定律。1.光的直线传播定律光的直线传播定律在各向同性的均匀介质中，光沿着直线传播，这就是光的直线传播定律。这是一种常见的普遍规律。光波在均匀介质中传播时，如果遇到的障碍物大小或通过孔径的大小比波长大得多，衍射可以忽略，就可以基于光的直线传播定律分析光波的传播。例如，利用光的直线传播定律可以很好地解释影子的形成、日蚀、月蚀等现象。第 7 章 几何光学基础 2.光的独立传播定律光的独立传播定律从不同光源发出的光线，以不同的方向通过介质某点时，各光线彼此互不影响，好像其它光线不存在似地独立传播，这就是光的独立传播定律。利用这条定律，可以使我们对光线传播规律的研究大为简化，因为当研究某一条光线的传播时，可不考虑其它光线的影响。第 7 章 几何光学基础 3.光的折射定律和反射定律光的折射定律和反射定律1)折射定律和反射定律光波在传播过程中遇到两种不同介质构成的界面时，在界面上将部分反射，部分折射，如图7-3所示。反射光线和折射光线的传播方向可以由光的反射和折射定律确定。光的反射和折射定律最早是由实验得到的，正如1.2节的讨论，也可以基于光的电磁理论进行严格的推导。它实质上反映了入射光波、反射光波和折射光波的波矢量在界面上的切向分量连续。第 7 章 几何光学基础 在图7-3中，光滑界面两侧介质的折射率分别为n和n，入射光线在界面上的入射点为O,虚线为过O点的界面的法线，将入射光线与该法线所确定的平面称为入射面，则反射光线和折射光线均在入射面内。入射光线、折射光线和反射光线的方向可以利用其与法线的夹角表征，夹角依次为I、I和I。进一步规定由光线沿锐角转向法线，如果顺时针转动，光线和法线的夹角为正，反之，光线和法线的夹角为负。按照这样的规定，图中的入射角I和折射角I为正，反射角I为负，图中表示的是角度的大小，所以反射角的大小表示为I。这时折射定律可以表示为n sinI=nsinI (7.1-1)反射定律可以表示为I=I (7.1-2)第 7 章 几何光学基础 图7-3反射和折射定律第 7 章 几何光学基础 如果在(7.1-1)式中，令n=n，则得I=I，此即反射定律的形式。这表明，反射定律可以看做是折射定律的特殊情况，凡是基于折射定律推导得到的光线经过界面折射有关的公式，只要令n=n，I=I，便可得到光线经过界面反射时有关的公式。正是因为这样，可以用统一的方法和公式研究光线在折射光学系统和包含有反射光学元件的光学系统中的传播。从折射定律和反射定律的数学表达式(7.1-1)和(7.1-2)可以看出，两个等式两边完全等价，这说明在图7-3中，当光线沿折射光线的反方向入射到界面经过折射后，折射光线沿原来入射光线的反方向出射；或光线沿反射光线反方向入射到界面经过反射后，反射光线也沿原来入射光线的反方向出射，这就是所谓“光路的可逆性”。第 7 章 几何光学基础 光的反射和折射定律是在平面波入射到无限大的几何平面的界面上，基于电磁波在介质界面上的边值关系严格推导出来的。实际上，当界面的大小和曲率半径比入射光波的波长大的多时，反射和折射定律在界面的局部也近似成立。实际几何光学元件表面的大小和曲率半径都是宏观尺寸，我们将光波分隔为许多细小的光管，每个光管的极限光线在界面上传播时，光的反射和折射定律是成立的。正因为此，光的反射和折射定律是借助光线研究光通过几何光学元件构成的光学系统传播的一个基本定律。第 7 章 几何光学基础 2)矢量形式光线沿着一条光路传播时，碰到界面的法线方向可能沿空间任意方向，这时，为确定光线经过界面反射或折射后出射光线的传播方向，可以由光的反射和折射定律的矢量形式直接求解。现在定义三个矢量A、A和A，它们的方向依次沿入射光线、折射光线和反射光线的传播方向，它们的大小分别为各光线所在空间的折射率。假如入射光波在真空中的波矢量大小为k0，入射光线、折射光线和反射光线代表的光电磁波的波矢量依次为ki、kt和kr，则(7.1-3)第 7 章 几何光学基础 根据电磁场的边值关系及图1-19，ki、kt和kr在界面上的切向分量相等，相应的A、A和A在界面上的切向分量也相等，如图7-4所示。定义界面上入射点处的法向单位矢量为N0，它由入射介质指向折射介质，显然有AA平行N0，AA平行N0，它们的关系可以表示为AA=tN0,AA=rN0 (7.1-4)上式中t和r分别称为折射和反射偏向常数。在上面两式等号两边同时点乘N0，并且考虑到N0A=n cosI,N0A=ncosI,N0A=n cosI (7.1-5)可以得到 第 7 章 几何光学基础 图7-4反射和折射定律矢量关系第 7 章 几何光学基础(7.1-6a)(7.1-6b)从而反射光线和折射光线矢量可以由入射光线矢量表示为(7.1-7a)(7.1-7b)第 7 章 几何光学基础 3)全反射现象正如第1章的讨论，当光由光密介质进入光疏介质时，在两种介质的光滑界面上会出现所谓的全反射现象。当入射角大于由两种介质折射率所决定的临界角(7.1-8)时，光线将完全被界面反射。第 7 章 几何光学基础 在实际的光学应用中，对于反射光线的几何光学元件总是希望有高的反射率，为此在几何光学元件表面一般都镀有金属膜或增反介质膜。但是金属膜层对光有吸收作用，增反介质膜的反射率与光波的波长有关，很难保证在一个比较宽的光谱范围内都具有高的反射率。相比之下，利用光在界面发生全反射来代替金属膜反射，可以减少光能的反射损失，且具有很宽的光谱范围。所以全反射在光学仪器中有广泛的应用，例如在光学系统中，经常利用全反射棱镜代替平面反射镜。第 7 章 几何光学基础 4.费马原理费马原理费马原理是由费马(Pierr Fermat)在1661年提出来的。这个原理从光程的角度来描述光线传播的路径，是一个极值定律。它不仅可以确定光线在均匀介质中的传播路径，也可以确定光线在非均匀介质中的传播路径。如图7-5所示，如果光线在折射率为n(r)的介质中由A点传播到B点，则在任一时刻，经过A和B的两个波阵面间的相位差不仅与光线从A到B的几何路径有关，还与沿光路介质的折射率分布有关。第 7 章 几何光学基础 图7-5光在介质中的传播路径第 7 章 几何光学基础 通常将光线从A到B的几何路径与沿光路介质的折射率的乘积定义为光线从A到B的光程。如果介质均匀，从A到B的光路几何路程为S，则从A到B的光程L为L=nS(7.1-9)如果介质不均匀，则可以将光路分隔为任意小的线元ds，这时从A到B的光程L可以表示为积分形式：(7.1-10)进一步，由于线元ds上的光程可以表示为n dsc ds/v=c dt，因而从A到B的光程L可表示为L=ct(7.1-11)第 7 章 几何光学基础 即光线在介质中从A到B的光程等于光在介质中从A到B的传播时间与光速的乘积。由于在一个线元上相位的变化量为djk dsk0n ds，因而A和B两点的相位差为k0L，即光线上两点的相位差等于这两点间的光程乘以真空中波矢量的大小。显然，从A到B的可能光路有无数条，每条路径都对应着一个光程值，到底光线沿哪一条路径由A传播到B呢？费马原理指出，光线从A点到B点，是沿着光程为极值的那条路径传播的，即实际光路所对应的光程，或者是所有光程可能值中的极小值，或者是所有光程可能值中的极大值，或者是某一稳定值。若把任意一条几何上可能的路径记为l，则与l对应的光程L(l)可表示为下面的方程：第 7 章 几何光学基础(7.1-12)对于不同的路径l，光程L(l)可能取不同的值。如果广义地把路径l看做是自变量，则光程L(l)是l的泛函。泛函的极值可以由变分表示为(7.1-13)这就是费马原理的数学表达式。利用费马原理可以直接导出光的直线传播定律。这是因为两点间的路径以直线的长度为最短，故在均匀介质中直线所对应的光程为最小光程。第 7 章 几何光学基础 当光通过两种不同介质的分界面时，利用费马原理也可导出光的反射定律和折射定律。下面由费马原理推导光的折射定律。如图7-6所示，过A点的光线经过由折射率为n和n的两种介质的界面折射后通过B点。由费马原理推导光的折射定律的问题，实际上就是证明在从A到B的所有可能的路径中，光实际传播的路径为光程取极值的路径，而这时在界面上的入射光线和折射光线满足折射定律。下面，首先证明满足光程极值的路径中，入射光线、折射光线和法线共面。第 7 章 几何光学基础 图7-6光线经界面的折射的传播路径第 7 章 几何光学基础 由于在界面两侧介质均匀，因此在界面两侧光线为直线。假若A和B在介质界面上的垂直投影点为A和B，入射光线在界面上的入射点为O，它位于AB直线外，将其与A和B连接就构成了一条可能的光路。过O作垂直于AB的垂线，与AB相交于O，则在直角三角形AOO和BOO中，有AOAO,OBOB，所以AO+OB0，r20r10r10r2=r10r10r1r2第 7 章 几何光学基础 在透镜成像中，如果透镜的厚度对于成像的位置和质量影响较小，可以忽略，则透镜称为薄透镜，否则称为厚透镜。透镜根据对光束具有发散作用还是会聚作用，可以分为正透镜和负透镜。正透镜对光束具有会聚作用，负透镜对光束具有发散作用。对于由玻璃构成的薄透镜放在空气中，如果中间比边缘厚就是正透镜，如果中间比边缘薄就是负透镜。双凸薄透镜、平凸薄透镜和正弯月薄透镜为正透镜，双凹薄透镜、平凹薄透镜和负弯月薄透镜为负透镜。第 7 章 几何光学基础 7.6.2薄透镜成像薄透镜成像薄透镜可以看做是两个空间间隔近似为零的折射球面系统，它在近轴区可以成完善像。现在推导它的成像公式。假如薄透镜两个球面的曲率半径为r1和r2，构成透镜的材料折射率为n0，透镜所在空间的介质折射率为n。薄透镜中前后两个顶点重合，称为薄透镜的光心，以它作为光轴上的参考点，透镜前任一物相对光心的轴向线度表示为l，称为物距，该物经过透镜第一个球面折射成像的像距表示为l1，经过第二个折射球面成像时，物距为l2，成像后像相对透镜光心的线度表示为l，称为透镜的像距。根据折射球面成像公式可以得到 第 7 章 几何光学基础 由于l1l2，将上面两式相加可以得到(7.6-1)上式的右边仅和透镜的结构参数有关，是成像的重要参数，表征了薄透镜的光学特性，称为薄透镜的光焦度，它等于两个折射球面光焦度之和，即第 7 章 几何光学基础(7.6-2)当光轴上物点位于无穷远时，像点的位置即为薄透镜像方焦点，它相对光心的线度称为薄透镜的像方焦距，表示为f。在成像公式(7.6-1)中，令l，可得(7.6-3)与光轴上无穷远处的像点共轭的物点称为薄透镜的物方焦点，它相对光心的线度称为薄透镜的物方焦距，表示为f。在薄透镜成像公式中，令l，可得(7.6-4)第 7 章 几何光学基础 可见，薄透镜物方焦距和像方焦距的大小相等，正负号相反，即两个焦点对称地分居光心两侧。对于正透镜，像方焦距大于零；对于负透镜，像方焦距小于零。图7-23给出了正薄透镜和负薄透镜的表示及焦点的相对位置关系。第 7 章 几何光学基础 图7-23薄透镜表示及焦点分布第 7 章 几何光学基础 薄透镜的物像关系可以用焦距表示为(7.6-5)它是光学系统高斯成像公式在物方和像方折射率相等时的特殊形式。同样，如果物方和像方分别以物方焦点和像方焦点作为参考点，可以得到薄透镜成像的牛顿公式，它的形式和折射球面的牛顿成像公式形式相同。薄透镜成像的三种放大率都可以分别看做是两个折射球面相应放大率的乘积，根据折射球面的放大率公式，再考虑l1l2，可以得到 第 7 章 几何光学基础(7.6-6)第 7 章 几何光学基础 7.6.3薄透镜物像的几个特殊位置关系薄透镜物像的几个特殊位置关系薄透镜有四组特殊的物像共轭点，如表7-2所示。熟悉这些特殊情况，有助于我们分析和设计光学系统。第 7 章 几何光学基础 物距像距bagl=0l=0111l=1.5fl=3f241/2l=2fl=2f111l=3fl=1.5f1/21/42表表7-2薄透镜几组共轭点及其放大率薄透镜几组共轭点及其放大率 第 7 章 几何光学基础 7.7平面的折射成像平面的折射成像7.7.1平面折射光路计算公式平面折射光路计算公式如图7-24所示，平面界面两侧介质的折射率分别为n和n，一光线AO入射后发生折射，由图可见 第 7 章 几何光学基础 图7-24平面折射第 7 章 几何光学基础(7.7-1)折射平面可以看做是曲率半径为无穷大的球面，上述公式也可以由折射球面的光路计算公式在曲率半径为无穷大的条件下得到。由上面的关系式可以求得像方孔径角和像方截距为 第 7 章 几何光学基础(7.7-2)该式即为平面折射光路计算的基本公式。可见，对于折射平面来说，像方截距L是物方孔径角U的函数，也就是说，光轴上由同一物点发出的具有不同U的光线，经过平面折射之后，并不能都相交于一点，即不能成完善像。第 7 章 几何光学基础 7.7.2折射平面近轴区成像折射平面近轴区成像如果在折射平面中，将入射光线限制在近轴区，则由(7.7-2)式可得像方截距为(7.7-3)可见，近轴光经过平面折射，可以成完善像，像面相对于物面移动了(7.7-4)根据折射球面的放大率公式，同时考虑到(7.7-3)式，可以得到折射平面近轴区成像的放大率为第 7 章 几何光学基础(7.7-5)即对任一物面的物成一个正立等高的像。第 7 章 几何光学基础 7.7.3折射平行平板的光路计算折射平行平板的光路计算折射平板可以看做是由两个折射平面构成的光学系统，图7-25给出了一个厚度为d的平行平板，设它处于空气中，即两边的折射率都等于1，构成平行平板的介质的折射率为n。从轴上点A发出的物方孔径角为U1的光线射向平行平板，经第一面折射后，折射光线的反向延长线与光轴交于点A1，随后光线经过第二个平面折射，出射光线的延长线与光轴交于点A2。光线在第一个折射面和第二个折射面上的入射角和折射角分别为I1、I1和I2、I2，按折射定律有 第 7 章 几何光学基础 图 7-25 平行平板的折射 第 7 章 几何光学基础 因两个折射面平行，有I2=I1，I2=I1，故U1=U2，可见出射光线EB和入射光线AD相互平行，即光线经平行平板折射后方向不变。光线在经过两个平面两次折射时，其物方和像方的截距依次为L1、L1、L2和L2，由折射平面光路计算公式(7.7-2)有 由转面公式有 可以得到第 7 章 几何光学基础(7.7-6)A2相对于A1沿光轴移动量为L=L2L1+d，令UU1，可得(7.7-7)上式就是折射平行平板像方截距的计算公式。它表明，像方截距和U值有关，即物点A发出的同心光束，经过平行平板折射后，不再是同心光束，所以折射平行平板成像是不完善的。同时可以看出，厚度越大，轴向位移越大，成像不完善程度也越大。第 7 章 几何光学基础 7.7.4折射平行平板的成像折射平行平板的成像将经过平行平板的光线全部限制在近轴区，(7.7-7)式变为(7.7-8)上式表明，近轴光线的轴向位移只与平行平板厚度d及折射率n有关，而与入射光线的物方孔径角无关。因此物点以近轴光经平行平板成像是完善的。由于出射光线和入射光线相互平行，因而平行平板的角放大率为1。按照放大率之间的关系，可以得到平行平板的放大率为=1 (7.7-9)即平行平板的三个放大率均为1，所以物体经过平行平板在近轴区成像后，仅仅将物沿光轴平移一段距离，并不改变物的大小和空间方向。第 7 章 几何光学基础 7.8平面镜和棱镜系统平面镜和棱镜系统光学系统中，除了广泛应用共轴球面光学系统外，还广泛使用平面镜和棱镜系统。它们在光学系统中的主要作用是缩小仪器的体积，减轻仪器的重量，改变光路方向，变倒像为正像等。下面简要讨论平面镜、棱镜系统的成像特征。7.8.1平面镜成像平面镜成像平面镜是反射面为平面的反射成像光学元件。从几何结构上看，它是曲率半径为无穷大的球面反射镜。第 7 章 几何光学基础 如图7-26(a)所示，PP为一个平面镜，现考虑由实物点发出的同心光束，经过该平面镜反射后光束的传播。首先考虑一条由A点发出的垂直于平面镜的特殊入射光线AP的光路，根据反射定律，光线将沿原路返回。再考虑另外任意一条入射光线AO的光路，反射光线沿OB方向出射。这两条光路出射光线的反向延长线相交于A点，A和A关于平面镜对称，A的位置与入射光线AO的方向无关。可见，由A点发出的同心光束，经过平面镜反射后，是一个以A点为顶点的同心光束，也就是说，平面镜对物点A成完善像。由于A为任一物点，因而平面镜对整个物空间均成完善像。第 7 章 几何光学基础 图7-26单个平面镜成像第 7 章 几何光学基础 如果射向平面反射镜的是一束会聚的同心光束，即物点是一个虚物点，则如图7-26(b)所示，当光束经平面镜反射后成一实像点。不管物和像是虚还是实，相对于平面反射镜来说，物和像始终是对称的。由其对称性，可以得到平面镜成像的放大率为=1,=1,=1 (7.8-1)如果在物空间建立一个右手坐标系Oxyz，其像的大小与物相同，但却是左手坐标系Oxyz，如图7-27所示，这种物像不一致的像，叫做“镜像”或“非一致像”。如果物体为右手坐标系，而像也为右手坐标系，这样的像称为“一致像”。容易想到，物体经奇数个平面镜成像，镜像，而经偶数个平面镜成像，为一致像。第 7 章 几何光学基础 图7-27单个平面镜成镜像第 7 章 几何光学基础 平面镜还有一个性质，即当保持入射光线的方向不变，而使平面镜转动一个角，则反射光线将转动2角。如图7-28所示，AO为入射光线，NO为平面镜转动前入射点的法线，AO为平面镜转动前的反射光线。当平面镜绕入射点O顺时针转动角时，其入射点法线也旋转角，同时入射角增大了角，所以旋转后出射光线相对于原来出射光线沿平面镜的旋转方向旋转了2角。在光点式灵敏电流计，红外系统的光机扫描元件中，都应用了平面反射镜的这个特性。第 7 章 几何光学基础 图7-28平面镜转动对光线的影响第 7 章 几何光学基础 综上所述，单个平面镜的成像特性如下：平面镜对物空间均成完善像；物和像关于平面镜对称，成非一致像；实物成虚像，虚物成实像；平面镜的转动对光线的转角有放大作用。由于平面镜对物空间均成完善像，平面反射镜在光学仪器中常用来改变光路方向，如图7-29所示。第 7 章 几何光学基础 图7-29平面镜改变光路方向第 7 章 几何光学基础 7.8.2双平面镜系统成像双平面镜系统成像将两个半平面反射镜组合在一起，使得两个反射面构成一个二面角，就构成了双平面镜系统。构成双平面镜的两个半平面镜的公共边线称为双平面镜的棱，和棱线垂直的平面称为主截面。由于单个平面镜对物能够成完善像，因而双平面镜对物也成完善像。物体发出的光线经过双平面镜会多次反射，所以可以成多个像。如图7-30所示，主截面内一个物点A，它发出的部分光线首先经过半平面镜RP反射，形成一个虚像A1；形成该虚像的光线如果能够传播到第二个半平面镜QP上，则会经过QP反射成像而形成A2；形成A2的光线如果能够传播到半平面镜RP上又会形成新的虚像；如此循环，两个半平面镜反复成像会形成多个像点。第 7 章 几何光学基础 图7-30双平面镜成像第 7 章 几何光学基础 当然，物点A发出的部分光线有可能首先经过半平面镜QP反射，形成虚像B1形成B1的光线又会经过半平面镜RP反射成像，成像新的虚像B2；如此循环，两个平面镜反复成像会形成另外一组像点。物点经过双平面镜形成两组像，每组像的数目是有限的，并不会在两个平面镜间无限地循环成无穷多个像。当任一组像在成像过程中，经任一半平面镜成像正好落在双平面镜背后的阴影区时，成像将结束。如图7-31所示，假如在成像过程中，QP所成的像落在了图中由波浪线表示的阴影区的C点，则形成像C的光线只能位于图中斜线表示的扇形区域，而这些光线不会被半平面镜RP反射，所以不会再被RP反射成像。双平面镜对物点成像的数目和两个双平面镜的夹角有关，一般夹角越小，成像数目越多。第 7 章 几何光学基础 图7-31双平面镜阴影区成像第 7 章 几何光学基础 双平面镜也可以改变光的传播方向。现在采取反射定律的矢量形式，分析空间任一光线经过双平面镜的两个半平面镜连续各一次反射后的传播方向。如图7-32所示，双平面镜放在空气中，建立直角坐标系，使双平面镜的主截面为xOy平面，z轴沿棱线方向，首先反射光线的平面镜位于y0平面，第二个反射镜面和第一个反射的夹角为，规定在光线传播的区域，从第二个反射镜面旋转到第一个反射镜面，顺时针为正，逆时针为负，图中为正。假如入射光线矢量与z轴的夹角为，在xOy平面的投影和Ox轴的夹角为j，入射光线矢量为A0=i sincosj+j sin sinj+k cos光线在双平面镜连续两次反射，两次反射面的法线为 第 7 章 几何光学基础 图7-32空间光线经双平面镜反射第 7 章 几何光学基础 入射光线在连续两次反射后的出射光线分别为A1和A2，由反射定律的矢量形式有 将A0、和 的表示式代入，可得 A2=I sincos(j+2)+j sinsin(j+2)+k cos (7.8-2)可以看出，反射后光线与双平面镜棱的夹角没变，而在主截面内的投影与x轴的夹角增大了2。由于出射光线的传播方向仅仅与双平面镜的夹角和入射光的传播方向有关，因而入射到同一反射面的平行光线，连续两次反射后仍为平行光。第 7 章 几何光学基础 现在考虑两种特殊情况，一种是光线位于主截面内，另外一种是光线经过直双平面镜的反射。当入射光线位于主截面内时，即(7.8-1)式中=90，出射光线也在主截面内，出射光线相对于入射光线旋转了2。这一点利用几何关系也可以很容易证明。如图7-33所示，由几何关系可以证明，这时出射光线与入射光线的夹角2。夹角为直角的双平面镜称为直双平面镜。将=90带入(7.8-2)式可以得到，光线经过直双平面镜两次反射后出射光线方向为A2=i sincosjj sin sinj+k cos (7.8-3)由该式可见，反射前后，光线与双平面镜棱线的夹角不变，但在主截面上的投影反向。所以从光线的传播方向来看，直双平面镜相当于一个平面镜，如图7-34所示。第 7 章 几何光学基础 图7-33主截面内光线经双平面镜反射第 7 章 几何光学基础 图7-34直双平面镜和平面镜对光线的反射及反射成像第 7 章 几何光学基础 与平面镜成像不同，在直双平面镜中，光线经过两次反射成一致像，而平面镜成非一致像。在分析物像方向关系时，方便的做法是在物空间建立三维坐标系，分析其在像空间的像。如图7-34(a)所示，在反射前，沿着图示入射光线的方向取作为z轴，而取y轴与直双平面镜的棱线垂直，建立右手坐标系。经过反射后，在像空间，沿出射光线的方向作为z轴，由于y轴与直双平面镜的棱线垂直，因而在像空间的像y轴仍然与直双平面镜的棱垂直，但是相对y轴反向。由于成一致像，因而按照右手系可以确定x轴。作为对比，在图7-34(b)中给出了平面镜成像的成像关系。当存在平面镜的光学系统成非一致像时，在不想改变成像光束的传播方向时，可以将一个镜面用直双平面镜代替，从而得到一个一致的像。这在后面的棱镜系统中得到了广泛应用。第 7 章 几何光学基础 7.8.3反射棱镜反射棱镜由两个半平面镜可以构成一个双面镜，同样，双面镜的两个反射面可以由一块玻璃上的两个内反射面构成，如图7-35所示。在同一块玻璃上，将一个或多个反射平面代替反射镜面，就构成了反射棱镜。光线在反射棱镜内反射时要求有高的反射率，可以设计棱镜结构使反射面上的入射角大于全反射临界角；如果不能够使入射角大于全反射的临界角，则该反射面需要镀全反射膜。反射棱镜一般有两个折射面和若干个反射面，统称为工作面。在两个折射面上，一般光线都垂直入射。两个工作面的交线称为棱，垂直于棱的截面称为主截面。第 7 章 几何光学基础 图7-35反射棱镜第 7 章 几何光学基础 1.简单棱镜简单棱镜简单棱镜中，工作面和主截面垂直，它的几何结构相当于一个直棱柱，工作面为棱柱的侧面。依据反射面个数的多少有一次反射棱镜、二次反射棱镜、三次反射棱镜等。一次反射棱镜如图7-36中的一次等腰直角棱镜，它对光线的作用和成像相当于平面镜。二次反射棱镜中，光线在棱镜内经过了两次反射，它对光线的作用和成像相当于双平面镜，如图7-37中的半五角棱镜、直角棱镜、五角棱镜、二次等腰直角棱镜、斜方棱镜。第 7 章 几何光学基础 图7-36一次等腰直角棱镜第 7 章 几何光学基础 图7-37二次反射棱镜第 7 章 几何光学基础 三次反射棱镜指光线在棱镜内经过三次反射，如图7-38中的施密特棱镜。反射棱镜在成像系统中，可以根据平面镜成完善像的性质展开，一般展开为平行平板。展开的方法就是逐次将各反射面以后的光路对反射面作镜像。图7-39给出了一次等腰直角棱镜(图(a)和五角棱镜(图(b)的展开过程图。第 7 章 几何光学基础 图7-38施密特棱镜第 7 章 几何光学基础 图7-39棱镜展开第 7 章 几何光学基础 2.屋脊棱镜屋脊棱镜由直双平面镜的讨论可知，光线经平面镜的反射可以用直双平面镜代替，光的传播方向不变，但是光线经过直双面镜反射时，光实际反射两次，成了两次镜像。所以在棱镜系统中如果有奇数个反射面，则物体成镜像。为了获得和物相似的像，在不宜增加反射面的情况下，可以用两个互相垂直的反射面代替其中的一个反射面，这两个互相垂直的反射面叫做屋脊面，带有屋脊面的棱镜叫做屋脊棱镜。屋脊棱镜中，棱镜的棱线和构成屋脊面的直双平面镜的棱线垂直。图7-40给出了一次等腰直角棱镜及由其构成的屋脊等腰直角棱镜。因一般画棱镜时主要画出主截面，故为了区分屋脊棱镜，在屋脊棱镜的主截面表示中，在屋脊面上加一条线。如图7-40的右上角处，分别给出了一次等腰直角棱镜及其屋脊棱镜的主截面表示。第 7 章 几何光学基础 图7-40等腰直角棱镜第 7 章 几何光学基础 7.8.4反射棱镜的成像反射棱镜的成像反射棱镜的作用是改变光学系统光轴的方向和像的方向。光轴方向的改变可按照反射定律确定，这里主要研究确定反射棱镜成像方向的方法。棱镜系统可以分解为由单个简单棱镜和屋脊棱镜构成的系统。如果各简单棱镜的主截面平行，称棱镜系统有单一主截面。等腰直角棱镜构成的屋脊棱镜系统就是一个简单的单一主截面棱镜系统。首先分析它的成像方向。第 7 章 几何光学基础 如图7-41(a)所示，在棱镜的物空间按照右手关系建立直角坐标系Oxyz，选择棱镜物空间的光轴方向作为Oz轴，沿棱镜棱线的方向作为Oy轴，按照右手关系确定Ox轴。沿Oz轴的光线经过棱镜系统反射和折射得到出射光线，即为棱镜像空间的光轴，作为像空间直角坐标系的Oz轴。对于等腰直角棱镜，由于各个工作面和Oy轴方向平行，物空间直角坐标系的Oy轴在像空间成的像Oy轴和Oy轴平行且同方向。由于光线经过一次反射成像，因而成非一致像，像空间坐标系为左手坐标系，从而可以确定Ox轴的方向。而对于等腰直角屋脊棱镜，物空间建立坐标系的方法和图7-41(a)相同，如图7-41(b)所示，由于存在屋脊面，Oy轴正好位于屋脊面的直双平面镜的主截面内，因而物空间直角坐标系的Oy轴在像空间成的像Oy轴和Oy轴平行但反向。由于光线在等腰直角屋脊棱镜内经过了两次反射，成一致像，因此Oxyz坐标系在棱镜的像空间成的像也为右手系，从而可以确定Ox轴的方向。第 7 章 几何光学基础 图7-41棱镜成像方向确定第 7 章 几何光学基础 下面举例说明上述规律的应用。如图7-42(a)所示的棱镜系统，由于系统中无屋脊面，故Oy与Oy同向；Oz为光轴的出射方向；由于沿光轴的光线的反射次数为七次，所以Oxyz为左手系，从而可以确定Ox与Ox反向。如图7-42(b)所示的有一对屋脊面的棱镜系统，因有一对屋脊面，故Oy与Oy反向；Oz为光轴出射方向；由于沿光轴的光线的反射次数为八次，所以Oxyz为右手系，从而可以确定Ox与Ox反向。第 7 章 几何光学基础 图7-42棱镜成像方向举例第 7 章 几何光学基础 当棱镜系统可以看做是由多个单一主截面棱镜系统的组合时，可将上面的判断方法逐次应用到各个单一主截面棱镜系统中。譬如，对于如图7-43所示由两个主截面互相垂直的等腰直角棱镜构成的棱镜系统，将上述成像方向分析方法分别用到两个棱镜上。第 7 章 几何光学基础 图7-43主截面互相垂直的棱镜系统第 7 章 几何光学基础 7.8.5折射棱镜折射棱镜折射棱镜如图7-44所示，两个工作面(折射面)不同轴，其交线称为折射棱，两工作面的夹角称为棱镜的顶角。设棱镜位于空气中，其材料的折射率为n，顶角为，入射角为i1，折射光两式相加有由折射定律有 第 7 章 几何光学基础 图7-44折射棱镜第 7 章 几何光学基础 将上两式相减并进行变换，可得从而有(7.8-4)对于给定的棱镜，和n为定值，因而由上式可知，偏向角只与i1有关。可以证明，当i1=i2或i1=i2时，其偏向角最小。上式可写为 第 7 章 几何光学基础(7.8-5)或 式中，m为最小偏向角。此式常被用来求玻璃的折射率n。为此需将被测玻璃作成棱镜，顶角取60左右，然后用测角仪测出角的精确值。当测得最小偏向角后，即可用上式求得被测棱镜的折射率。第 7 章 几何光学基础 当折射棱镜两折射面间的夹角很小时，这种折射棱镜称为光楔。因为角很小，光楔可近似地认为是平行平板，则有i1i2，i2i1，代入(7.8-4)式得 注意到当很小时，也很小，所以上式中的正弦值可以用弧度值代替，解出，得 第 7 章 几何光学基础 当i1和i1也很小时，上式可写为=(n1)(7.8-7)此式表明，当光线垂直或近于垂直射入光楔时，其所产生的偏向角仅取决于光楔的折射率n和两折射面间夹角。第 7 章 几何光学基础 在光学仪器中，常把两块相同的光楔组合在一起相对转动，用来产生不同的偏向角。如图7-45所示，两个光楔中间有一空气间隔，使相邻工作面平行，并可以绕水平轴转动。当两个光楔以相同角速度反向旋转时，如果两个光楔的主截面平行，如图7-45(a)所示，将产生最大的总偏向角；随后当两个光楔相对转动了180，如图7-45(b)所示，两个主截面仍然平行，但是楔角方向相反，这相当于一个平行平板，偏向角等于零。当两个光楔相对转动了360时，如图7-45(c)所示，产生和图7-45(a)情况相反的最大偏向角。第 7 章 几何光学基础 图7-45光楔第 7 章 几何光学基础 当两主截面不平行，即两光楔相对转动了任意角度j时，光线的偏转可以看做两个运动的合成，如图7-46所示，则组合光楔的总偏向角为 这种双光楔可以把光线的小偏向角转换成为两个光楔的相对转角。因此在光学仪器中常用它来补偿或测量光线的小角度偏差。另外，当两个光楔以不同角速度(1,2)、不同方向旋转时，可以产生玫瑰式、螺旋式、线条式、圆式以及其它形式的扫描花样，如图7-47所示，因此是一种灵活的扫描器，可以实现某些红外系统中的物面扫描。第 7 章 几何光学基础 图7-46双光楔运动合成第 7 章 几何光学基础 图7-47旋转光楔的扫描图形第 7 章 几何光学基础 例例 题题 例例7-1一根被空气包围着的玻璃棒，折射率为1.516 3，其左端研磨成一个半径为20 mm的凸的半球，如在距半球顶点左侧60 mm处放置一点光源，其像位于何处(设从点光源发出的边缘光线与光轴夹角的正弦sin U=0.025)?解：解：按(7.2-1a)式得 第 7 章 几何光学基础 由(7.2-1b)式得 由(7.2-1c)式得 由(7.2-1d)式得 即边缘光线的像方截距为163.888 mm，如图7-48所示。第 7 章 几何光学基础 图 7-48 例 7-1 用图 第 7 章 几何光学基础 利用(7.2-6)式对上述结果进行验证：光路计算一般取六位数，允许第六位数差5。第 7 章 几何光学基础 例例72在上例中，若光组结构参量不变，即r=200 mm,n=1,n=1.5163，且L仍为60 mm，则由点光源发出的一同心光束。当取U为1、2、3三条光线进行计算时，折射后的结果如何?解解：在光学设计中，为了计算和分析方便，常将计算结果按步骤列成一表格。本例所要计算的三条光线的计算过程和结果列于表 7-3。第 7 章 几何光学基础 表表7-3折射球面光路列表计算折射球面光路列表计算 n1.0n1.5163r20U123Lr-602060206020LrsinUr800.017452420800.034899520800.052336020sinInn0.06980961.01.51630.1395981.01.51630.2093441.01.5163第 7 章 几何光学基础 sinIrsinU0.0460394200.006357320.0920649200.01295290.138062200.0200382+Lrr144.82920142.15320137.79920L164.849162.153157.799+-UII14.003052.6388028.024585.28241312.08397.93572U0.364250.742171.14818第 7 章 几何光学基础 例例7-3已知空气中一个由折射率为1.5163的介质构成的透镜的结构参数如下(单位是毫米)：r1=10，r2=50，d1=5。高度y1=10 mm的物体位于透镜前l1=100 mm处，求像的位置和大小。解：解：本题可用折射球面的物像公式(7.3-1)进行逐面计算。根据题意n1=n2=1.0，n1=n2=1.5163首先计算第一面的成像：利用公式 代入数据 第 7 章 几何光学基础 求得 接着计算第二面的成像，由转面公式有利用公式 第 7 章 几何光学基础 代入数据，求得整个透镜的垂轴放大率为=12，像的大小为 第 7 章 几何光学基础 例例7-4一凹球面反射镜，半径r=12 cm，当物距分别为2、4、9和24 cm时，求像的位置和垂轴放大率。解解：由(7.4-3)式和(7.4-5)式，可求出 由计算结果可以看出，当实物处于球面反射镜焦点和顶点之间时，成正立、放大的虚像；当实物处于焦点和球心之间时，成倒立、放大的实像；当实物处于球心以外时，成倒立、缩小的实像。第 7 章 几何光学基础 例例7-5有一正薄透镜对某一物体成实像时，垂轴放大率0.5；若将物体向透镜移近100 mm时，则所得的实像与物大小相同，求透镜的焦距。解法一：解法一：采用高斯成像公式求解。设物体移动前物距和像距分别为l和l，由薄透镜成像的垂轴放大率和题意有=l/l=0.5，所以l=2l由薄透镜成像的高斯公式(1)结合上式可得第 7 章 几何光学基础 l=3f当薄透镜移动后，垂轴放大率1，同理结合薄透镜成像公式可得这时成像的物距为l=2f由于薄透镜第二次成像前物向右移动了100 mm，即ll=100 mm，结合(1)式，可得f=100 mm 第 7 章 几何光学基础 解法二：解法二：采用牛顿成像公式求解。根据垂轴放大率公式=f/x=f/x，在薄透镜移动前1=0.5，所以焦物距x1=2f 在薄透镜移动后，2=1，所以这时的焦物距为x2=f 由于薄透镜第二次成像前物向右移动了100 mm，即x2x1=100 mm，所以f=100 mm 第 7 章 几何光学基础 例例7-6由两个焦距依次为f150 mm，f2150 mm的薄透镜组成光学系统，对一实物成一放大4倍的实像，并且第一个透镜的垂轴放大率12。(1)试求两透镜的间隔；(2)试求物面和像面的位置；(3)保持物面位置不变，移动第一透镜至何处时，仍能在原像面位置得到物体的清晰像?这时的垂轴放大率变为多大?解：解：(1)根据题意，整个系统对实物成放大4倍的实像，因此，系统的放大率4，因为=12，12，所以22。第 7 章 几何光学基础 根据薄透镜垂轴放大率公式1=x1/f 1=f1/x1，可以得到x1=25 mm，x1=100 mm同理可得x2=75 mm，x2=300 mm由公式l=x+f，l=x+f,可得l1=75 mm，l1=150 mml2=75 mm，l2=150 mm由于第一个透镜所成的像即是第二个透镜的物,如图7-49所示，所以两个薄透镜的间隔d为d=l1l2=75 mm 第 7 章 几何光学基础 图7-49例7-6用图第 7 章 几何光学基础(2)根据上面的计算结果可知物面位于第一个薄透镜前75 mm处，像面位于第二个薄透镜后150 mm处。(3)由于像面位置不变，第二个薄透镜的位置没有变化，因而当第一个透镜位置变化后，物体经过第一个薄透镜成像后像面的位置不变。假如第一个薄透镜移动的距离为x，规定向右移动为正，向左移动为负，则移动后第一个薄透镜成像的物距和像距为x1=x1x，x1=x1x两者满足薄透镜成像的牛顿公式，即x1x1=f1f1，带入数值可得x=0(舍去)，x=75 mm第 7 章 几何光学基础 即第一个薄透镜应该向右移动75 mm。透镜移动后对于第一个透镜x1=100，根据放大率公式=f/x，可得 所以这时整个系统的放大率为
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