大学数学竞赛ppt课件

安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和大学数学竞赛大学数学竞赛ppt课件课件安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和大学数学竞赛大学数学竞赛ppt课件课件安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和 第四届：第四届：2012年年四川成都电子科技大学四川成都电子科技大学 第五届：第五届：2013年年安徽合肥中国科技大学安徽合肥中国科技大学 第六届：第六届：2014年年湖北武汉华中科技大学湖北武汉华中科技大学中国大学生数学竞赛中国大学生数学竞赛 第四届：第四届：2012年年四川成都电子科四川成都电子科安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和数学竞赛讲座数学竞赛讲座体操能使你身体健康体操能使你身体健康,数学能使你思想正确而敏捷数学能使你思想正确而敏捷,有有了它了它,你们才能爬上科学的大山你们才能爬上科学的大山._华罗庚华罗庚_解题是一种本领解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获的收获,就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法解题方法,无论是从别人那里学来或听来的无论是从别人那里学来或听来的,只要经过只要经过你自己的体验你自己的体验,它对你来讲可以成为一种楷模它对你来讲可以成为一种楷模,当你在当你在碰见别的类似的问题时碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。它就是可供你仿照的模型。_乔冶乔冶.波利亚波利亚_数学竞赛讲座体操能使你身体健康数学竞赛讲座体操能使你身体健康,数学能使你思想正确而敏捷数学能使你思想正确而敏捷,有有安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和(一）函数一）函数 利用已知条件，求函数的表达式利用已知条件，求函数的表达式第一讲：第一讲：函数、极限和连续函数、极限和连续(一）函数一）函数 利用已知条件，求函数的表达式利用已知条件，求函数的表达式第一讲：第一讲：函数、函数、安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例1（04040404年江苏省竞赛题年江苏省竞赛题年江苏省竞赛题年江苏省竞赛题）简答简答因奇函数，则当因奇函数，则当 时，时，因周期函数，则当因周期函数，则当 时，时，例例1（04年江苏省竞赛题）简答因奇函数，则当年江苏省竞赛题）简答因奇函数，则当 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和设函数函数在在上有定上有定义，在区，在区间上，上，若，若对任意的任意的都都满足足，（1）写出写出在在表达式；表达式；在在 处，是否可是否可导？（2）判断判断上的上的练习题（94949494年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题）简答简答设函数在上有定义，在区间上，若对任意的都满足，（设函数在上有定义，在区间上，若对任意的都满足，（1）写出在）写出在安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例2（91919191年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题）设设 是可导的函数，对于任意实数是可导的函数，对于任意实数，有，有，且 ，求求的表达式。的表达式。求满足方程求满足方程的的表达式，其中表达式，其中，为任意实数，且已知为任意实数，且已知。简答简答课下练习课下练习（2010年年X校竞赛校竞赛）例例2（91年北京市竞赛题）设年北京市竞赛题）设 是可导的函数，对于任意是可导的函数，对于任意安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例3设设，求求，。，简答简答例例3设，求，。，简答设，求，。，简答安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和 函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及单调性单调性判断函数在内有界：常利用在内连续，且，存在，则有界。有界性有界性例例4A A函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及单调性判断函数在函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及单调性判断函数在安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和奇偶性奇偶性单调性单调性周期性周期性奇偶性单调性周期性奇偶性单调性周期性安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和(二）极限二）极限 补充重要的结论补充重要的结论例例5（0606考研考研）提示提示(二）极限二）极限 补充重要的结论例补充重要的结论例5（06考研）提示考研）提示安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和 求极限的几种重要方法求极限的几种重要方法1 1、利用四则运算法则、利用四则运算法则例例6（9898北京市竞赛题，北京市竞赛题，1010天津市竞赛题天津市竞赛题）提示提示练习练习（9393南京大学竞赛题南京大学竞赛题）提示提示思考思考题（98江江苏省省竞赛题）答案答案 1例例7（00北京市北京市竞赛题）求极限的几种重要方法求极限的几种重要方法1、利用四则运算法则例、利用四则运算法则例6（98北京市竞北京市竞安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和2、利用两个重要极限公式、利用两个重要极限公式例例例例8 8例例9（0202考研考研）设常数设常数，则，则_简答简答简答简答2、利用两个重要极限公式例、利用两个重要极限公式例8例例9（02考研）考研）安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例10 （0909年全国竞赛题）年全国竞赛题），其中是给定的正整数。简答简答思考思考题（95南京大学南京大学竞赛题）答案答案 e2例例10 （09年全国竞赛题），其中是给定的正整数。简答思考年全国竞赛题），其中是给定的正整数。简答思考安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和3、利用等价无穷小代换简化计算、利用等价无穷小代换简化计算例例例例1111简答简答常用的等价无穷小常用的等价无穷小注意：作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小代换注意：作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小代换3、利用等价无穷小代换简化计算例、利用等价无穷小代换简化计算例11简答常用的等价无穷小注意简答常用的等价无穷小注意安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例1212 （国外高校国外高校竞赛题）简答简答 （04年考研年考研题）例例1313简答简答例例12（国外高校竞赛题）简答（国外高校竞赛题）简答（04年考研题）例年考研题）例13简答简答安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和4、利用洛必达法则、利用洛必达法则（2）等价无穷小代换等价无穷小代换（3）求极限的式子中，含有极限存在且不为求极限的式子中，含有极限存在且不为0的因式，应用的因式，应用极限的四则运算法则，应及时将它的极限拿到极限符号外极限的四则运算法则，应及时将它的极限拿到极限符号外（1 1）先考虑对求极限的式子进行代数或三角变形，再考虑先考虑对求极限的式子进行代数或三角变形，再考虑结合（结合（2）和）和（3）应用洛必达法则时，常需要与下列方法相结合，以简化计算应用洛必达法则时，常需要与下列方法相结合，以简化计算思考思考题答案答案 e24、利用洛必达法则（、利用洛必达法则（2）等价无穷小代换（）等价无穷小代换（3）求极限的式子中，）求极限的式子中，安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例15（0808考研考研）求极限求极限例例14(9797考研考研)求极限求极限简答简答简答简答例例15（08考研）求极限例考研）求极限例14(97考研考研)求极限简答简答求极限简答简答安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和5、利用夹逼准则、利用夹逼准则例例16：设设 为正数，求为正数，求思考思考题：1.设设 则则 (08(08考研）考研）答案：答案：1 1简答简答5、利用夹逼准则例、利用夹逼准则例16：设：设 为正数，求思考题：为正数，求思考题：1.设设 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和6、利用单调有界准则、利用单调有界准则例例18：（：（0606年考研题年考研题）设数列设数列 满足满足（1）证明：）证明：存在，并求该极限；存在，并求该极限；（2）计算）计算（1 1）用归纳法证明单调下降且有下界）用归纳法证明单调下降且有下界（2 2）用重要极限和洛必达法则）用重要极限和洛必达法则提示提示证明极限存在并求极限明极限存在并求极限，.例例17:6、利用单调有界准则例、利用单调有界准则例18：（：（06年考研题）设数列年考研题）设数列 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例20（04天津市竞赛）天津市竞赛）练习：（：（1010天津市天津市试题）设，证明：明：存在并求其存在并求其值。例例19（00北京市竞赛题）北京市竞赛题）例例20（04天津市竞赛）练习：（天津市竞赛）练习：（10天津市试题）设，证明：天津市试题）设，证明：安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和 练习题：练习题：（8888北京市竞赛题北京市竞赛题）设求证存在，并求其值7、利用极限的定义求极限、利用极限的定义求极限 例例21：（0808江苏省竞赛题江苏省竞赛题）设求证存在，并求其值 练习题：练习题：（88北京市竞赛题）设求证存在，并求其值北京市竞赛题）设求证存在，并求其值7、利用、利用安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和8、利用泰勒公式、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）（复习公式及展到哪一项的确定）练习：思考题：（思考题：（国外高校竞赛题国外高校竞赛题）特点：特点：用洛必达法则较复杂时，或者根本不可能用用洛必达法则较复杂时，或者根本不可能用关键：关键：展开到含展开到含xn项，或者不相互抵消的那一项止项，或者不相互抵消的那一项止要熟记常用的展开式要熟记常用的展开式例例23：例例22(10年天津市)8、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）练习：思考题：、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）练习：思考题：安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和9、利用中值定理、利用中值定理例例24：练习题：练习题：思考题：思考题：例例25：答案答案 2答案答案 ln29、利用中值定理例、利用中值定理例24：练习题：思考题：例：练习题：思考题：例25：答案：答案 2安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和10、利用导数的定义、利用导数的定义 例例27（9696南京大学竞赛题南京大学竞赛题）例例26：11、利用连续的定义、利用连续的定义练习题练习题 设设在点在点处连续，且处连续，且，求，求。答案答案 210、利用导数的定义、利用导数的定义 例例27（96南京大学竞赛题）例南京大学竞赛题）例26：安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和12、利用定积分的定义、利用定积分的定义（略讲）（略讲）例例28：求求练习：练习：求求例例29：求求练习：练习：求求 （09天津市竞赛）天津市竞赛）12、利用定积分的定义（略讲）例、利用定积分的定义（略讲）例28：求练习：求例：求练习：求例29：求练：求练安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和14、利用函数极限与数列极限的关系求极限、利用函数极限与数列极限的关系求极限练习题：练习题：（9999年北京市竞赛年北京市竞赛）例例31：求求15、利用左、右极限、利用左、右极限练习题练习题例例32 (08江苏省竞赛题江苏省竞赛题)13、利用定积分性质和积分中值定理、利用定积分性质和积分中值定理（略讲）（略讲）例例30：（：（9393北京市竞赛北京市竞赛）14、利用函数极限与数列极限的关系求极限练习题：（、利用函数极限与数列极限的关系求极限练习题：（99年北京年北京安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和练习题练习题（0000北京市竞赛北京市竞赛）_16、要注意变量代换的应用、要注意变量代换的应用17、利用级数收敛的必要条件（、利用级数收敛的必要条件（11章）（略）章）（略）无穷小阶的比较无穷小阶的比较例例33：（：（0101考研考研）设当设当时，时，是比是比高阶无穷小，而高阶无穷小，而是比是比高阶的无穷小，则正整数高阶的无穷小，则正整数等于（等于（）练习题（练习题（00北京市竞赛）北京市竞赛）_16、要注意变量代换、要注意变量代换安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例34（0808江苏省竞赛题江苏省竞赛题）思考题（思考题（0303天津市竞赛题天津市竞赛题）D D例例34（08江苏省竞赛题）思考题（江苏省竞赛题）思考题（03天津市竞赛题）天津市竞赛题）D安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和已知极限，来确定未知的东西已知极限，来确定未知的东西例例35：（：（0808考研考研）已知已知连续，且连续，且，则，则_例例36：（：（0606考研考研）试确定试确定值，使得值，使得其中其中是当是当时，比时，比高阶的无穷小。高阶的无穷小。例例37：（：（0101考研考研）已知已知在在内可导，且内可导，且，求，求的值。的值。答案答案 2答案答案 1/2设,若 则a,b的值.（11天津）天津）-2,-4已知极限，来确定未知的东西例已知极限，来确定未知的东西例35：（：（08考研）连续，且，则考研）连续，且，则安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例38：（：（9494考研考研），其中，其中，则必有（，则必有（）例例39：设设在在的某邻域内二阶可导，且的某邻域内二阶可导，且求求，及及D D设设是连续函数，且是连续函数，且，则，则.1111天津市竞赛题天津市竞赛题思考题：思考题：例例38：（：（94考研），其中，则必有（考研），其中，则必有（）例）例39：设在：设在安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和(三）连续三）连续 判定函数在一点的连续性判定函数在一点的连续性练习：（练习：（03考研）考研）设函数设函数问：问：a为何值时，为何值时，在在 处连续，处连续，a为何值时，为何值时，是是 的可去间断点。的可去间断点。例例40：设设 连续，求连续，求a,b.(三）连续三）连续 判定函数在一点的连续性练习：（判定函数在一点的连续性练习：（03考研）设函数考研）设函数安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例43例例43安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和令令，有，有，得，得或或当当a=-1时，时，即，即f(x)在在x=0处连续处连续.，因而，因而x=0是是f(x)的可去间断点的可去间断点 当当a=-2时，时，令，有令，有，得或当，得或当a=-1时，即时，即f(x)在在x=0处连续处连续.，因，因安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和 函数的间断点及其类型函数的间断点及其类型（找的方法及类型的判别）（找的方法及类型的判别）第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在,称称若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡,称称若其中有一个为若其中有一个为为为可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点.为为跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点.为为无穷间断点无穷间断点无穷间断点无穷间断点.为为振荡间断点振荡间断点振荡间断点振荡间断点.函数的间断点及其类型（找的方法及类型的判别）第一类间断点函数的间断点及其类型（找的方法及类型的判别）第一类间断点:安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例41例例41安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和练习：（练习：（0707考研考研）函数函数 在在 上上第一类间断点是第一类间断点是x=()(A)0 (B)1 (C)(D)关于闭区间上连续函数的性质的证明题关于闭区间上连续函数的性质的证明题（放到中值定理部分）（放到中值定理部分）例例42：（：（0101考研考研）求极限求极限 ，记此极，记此极限为限为 ，求函数，求函数 的间断点并指出其类型。的间断点并指出其类型。练习：（练习：（07考研）函数考研）函数 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和一元函数微分学一元函数微分学高数竞赛选修课之高数竞赛选修课之一元函数微分学高数竞赛选修课之一元函数微分学高数竞赛选修课之安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和极限导数与微分连续与间断极限极限导数与微分导数与微分连续与间断主要内容：连续与间断主要内容：安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和7.泰勒公式（麦克劳林公式）：泰勒公式（麦克劳林公式）：求极限的方法求极限的方法7.泰勒公式（麦克劳林公式）：求极限的方法泰勒公式（麦克劳林公式）：求极限的方法安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和8.定积分定义：定积分定义：9.单调有界定理：单调有界定理：10.其他：级数收敛的必要条件，通分，有理化，倒代换其他：级数收敛的必要条件，通分，有理化，倒代换求极限的方法求极限的方法8.定积分定义：定积分定义：9.单调有界定理：单调有界定理：10.其他：级数收敛其他：级数收敛安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和连续与间断连续与间断连续：连续：一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间上连续函数的性质：闭区间上连续函数的性质：有界性有界性最值性最值性介值性介值性零点定理零点定理连续与间断连续：一切初等函数在其定义区间内都是连续的连续与间断连续：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间闭区间55安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和间断点：不连续点间断点：不连续点第一类间断点第一类间断点可去间断点：可去间断点：跳跃间断点：跳跃间断点：第二类间断点第二类间断点间断点类型：间断点类型：连续与间断连续与间断间断点：不连续点第一类间断点可去间断点：跳跃间断点：第二类间间断点：不连续点第一类间断点可去间断点：跳跃间断点：第二类间安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和导数与微分导数与微分 导数：导数：微分：微分：函数的性质关系：函数的性质关系：（一阶微分具有形式不变性）（一阶微分具有形式不变性）导数的几何意义：切线斜率导数的几何意义：切线斜率可微可微可导可导连续连续极限存在极限存在导数与微分导数与微分 导数：微分：函数的性质关系：（一阶微导数：微分：函数的性质关系：（一阶微安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和导数的计算导数的计算1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式2.导数的四则运算法则导数的四则运算法则3.复合函数的导数复合函数的导数4.隐函数的导数隐函数的导数5.参数方程所确定函数的导数参数方程所确定函数的导数6.反函数的导数反函数的导数7.高阶导数高阶导数导数的计算导数的计算1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式2.导数的四则运算法导数的四则运算法安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和微分中值定理微分中值定理罗尔中值定理：罗尔中值定理：拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：柯西中值定理：微分中值定理罗尔中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：微分中值定理罗尔中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和导数的应用导数的应用1.讨论函数的单调性讨论函数的单调性3.求函数的极值点和极值求函数的极值点和极值2.讨论函数图形的凹凸性，求拐点和渐近线讨论函数图形的凹凸性，求拐点和渐近线4.求函数的最值，解决简单应用问题求函数的最值，解决简单应用问题5.求曲线在一点的曲率和曲率半径求曲线在一点的曲率和曲率半径导数的应用导数的应用1.讨论函数的单调性讨论函数的单调性3.求函数的极值点和极值求函数的极值点和极值2安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题题题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强691.4 综合习题讲解综合习题讲解 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强691.4 综合习综合习安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强70一、一、填空题填空题 解解 可得可得所以所以 a=2.湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强70一、一、填空题填空题 解解 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强71解解 所以所以 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强71解解 所以所以 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强72所以所以 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强72所以所以 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强73解解 ff(x)=1.解解 原式原式湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强73解解 ff(x)安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强74解解 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强74解解 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强75所以所以 k1=1990,即即 k=1991;解解 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强75所以所以 k1=19安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强76二、二、计算题计算题 1.求下列极限求下列极限 解解湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强76二、二、计算题计算题 1.安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强77湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强77安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强78湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强78安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强792.求下列极限求下列极限 按照等价无穷小代换按照等价无穷小代换 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强792.求下列极限求下列极限 按按安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强80解解 方法方法1：湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强80解解 方法方法1：安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强81湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强81安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强82方法方法2：Taylor展开展开湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强82方法方法2：Taylo安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强83湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强83安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强84(3)解解湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强84(3)解解安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强85(4)解解湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强85(4)解解安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强86所以所以解解又因为又因为(5)湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强86所以解又因为所以解又因为(5)安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强87三、证明题三、证明题 例例1 设设f(x)在在a,b上连续上连续,且且f(a)b,试证在试证在(a,b)内至少存在一个内至少存在一个,使使f()=.证证 假设假设F(x)=f(x)x,F(a)=f(a)a 0则则于是由介值定理在于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个内至少存在一个,使使f()=.湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强87三、证明题三、证明题 例例1 设设安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强88例例2 设设f(x),g(x)在在a,b上连续上连续,且且f(a)g(b),试证在试证在(a,b)内至少存在一个内至少存在一个,使使f()=g().证证 假设假设F(x)=f(x)g(x),则则F(a)=f(a)g(a)0于是由介值定理在于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个内至少存在一个,使使f()=g().湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强88例例2 设设f(x),安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强89例例3 证明方程证明方程x53x2=0在在(1,2)内至少有一个实根内至少有一个实根.证证 令令F(x)=x53x2,则则F(1)=4 0所以在所以在(1,2)内至少有一个内至少有一个,满足满足F()=0.湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强89例例3 证明方程证明方程x5安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强90所以存在所以存在(a x1 xn b)，使得使得证证 令令所以所以 例例4 设设f(x)在在a,b上连续上连续,且且a x1 x2 xn b,ci(i=1,2,3,n)为任意正数为任意正数,则在则在(a,b)内至少存在一内至少存在一个个,使使湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强90所以存在所以存在(a 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强91解解 因为因为且且所以所以得得a=1.极限化极限化为 得得b=4.因此，因此，a=1，b=4.四、历年部分竞赛真题、考研真题选讲四、历年部分竞赛真题、考研真题选讲 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强91解解 因为且所以得因为且所以得安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强922、极限极限 分析分析 本题属基本题型，本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.解解 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强922、极限、极限 分析分析 本本安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强933、分析分析 本题为未定式极限的求解，本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可利用等价无穷小代换即可.解解 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强933、分析分析 本题为本题为安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强944、解解 因为因为 而而sinx+cosx有界，故有界，故 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强944、解、解 因为因为 而而s安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强95.5、求极限求极限解解 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强95.5、求极限解求极限解 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强966 极限极限分析分析 重要极限的应用重要极限的应用解解 因为因为 所以原式所以原式=湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强966 极限分析极限分析 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强977.计算算 解解 先求先求 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强977.计算计算 解解 先先安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强98证证 因为因为 而而 湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强98证证 因为因为 而而 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强99分下列情况讨论数列的单调性，分下列情况讨论数列的单调性，可得到数列单调有界：可得到数列单调有界：求极限求极限：得得A=4(A=3舍去舍去).湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强99分下列情况讨论数列的分下列情况讨论数列的安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强1009.计算算分析分析 重要极限的应用重要极限的应用解解 因为因为 所以原式所以原式=2011年决赛试题年决赛试题湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强1009.计算分析计算分析 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和湘潭大学数学与计算科学学院 王文强10110.计算算分析分析 定积分的定义定积分的定义解解 2011年决赛试题年决赛试题湘潭大学数学与计算科学学院湘潭大学数学与计算科学学院 王文强王文强10110.计算分析计算分析 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和祝祝 大大 家家 竞竞 赛赛 成成 功！功！