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本章主要内容：本章主要内容：研究晶体中原子的运动方程，得到晶格振动的色散关系研究晶体中原子的运动方程，得到晶格振动的色散关系 （振动谱）（振动谱）研究晶格振动的能量研究晶格振动的能量 晶格振动谱的实验测定原理和方法晶格振动谱的实验测定原理和方法 讨论晶体的热学性质讨论晶体的热学性质-热容量热容量本章主要内容：研究晶体中原子的运动方程，得到晶格振动的色1模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围B-K条件条件波矢波矢q取值取值模型运动方程 试探解色散关系波矢q范围B-K条件波矢q取2一维单原子链的振动一维单原子链的振动 声学支声学支:频率较低 =0，1，2等整数 在第一布里渊区，q取值在区间(只能取N个值-模数模数)一维单原子链的振动 声学支:频率较低 =0，1，23一维双原子链的振动一维双原子链的振动 =0，1，2等整数 在第一布里渊区，q取值在区间(只能取N个值)一维双原子链的振动 =0，1，2等整数 在第一布里4n设晶体有设晶体有N个原胞个原胞,每个原胞有每个原胞有p个原子个原子,晶体的维数是晶体的维数是mn晶体中格波的支数晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数 mp，m支声支声学波，学波，m(p-1)支光学波支光学波n晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，n格波振动模数格波振动模数=晶体的自由度数晶体的自由度数 mNp三维晶格的振动模三维晶格的振动模 设晶体有N个原胞,每个原胞有p个原子,晶体的维数是m三维晶5一一维谐振子系振子系统的量子力学能的量子力学能级就是：就是：体系的总能量：体系的总能量：频率为频率为 的格波的能量等于相同频率一维谐振子的能量的格波的能量等于相同频率一维谐振子的能量由由N个原子组成的个原子组成的三维晶体的振动三维晶体的振动等价于等价于3 3N个谐振子的振动，谐振子的振个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动频率，每个动频率就是晶格振动频率，每个 对应特定波矢对应特定波矢 （量子化的）（量子化的）晶格振动能量晶格振动能量 声子声子 一维谐振子系统的量子力学能级就是：体系的总能量：频率为 6关于声子的讨论：关于声子的讨论：2.声子不是真实的粒子，称为声子不是真实的粒子，称为“准粒子准粒子”，它反映的是晶格，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离原子集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。晶体后就没有意义了。1.晶格振动的波和声子正是固体中原子振动的波粒二象性晶格振动的波和声子正是固体中原子振动的波粒二象性 的两个表示。的两个表示。3.声子声子是晶格振动的能量量子，模的角频率为是晶格振动的能量量子，模的角频率为 的声子能量的声子能量为为 ，波矢为，波矢为 的声子的声子“准动量准动量”(或称晶体动量或称晶体动量)为为 。4.4.晶格振动状态（温度）不同，一定振动模式（晶格振动状态（温度）不同，一定振动模式（）对）对应的声子数不同，其变化相应于声子的产生和湮灭。应的声子数不同，其变化相应于声子的产生和湮灭。关于声子的讨论：2.声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它7 6.当电子当电子(或光子或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以与晶格振动相互作用时，交换能量以 为单位，若电子从晶格获得为单位，若电子从晶格获得 能量，称为吸收一个声子，若能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格电子给晶格 能量，称为发射一个声子。能量，称为发射一个声子。5.5.温度趋于零的时候温度趋于零的时候,没有热激发，各格波都处于基态，没有热激发，各格波都处于基态，声声子数趋于零，但是根据上述公式，振动能量也不是零（子数趋于零，但是根据上述公式，振动能量也不是零（有有基态能（零点能）基态能（零点能）.体现了测不准原理。体现了测不准原理。6.当电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以87.由于由于 相同的各声子之间不可区分且自旋为零，且对每相同的各声子之间不可区分且自旋为零，且对每个声子能级个声子能级 ，声子的占据数没有限制，所以，声子的占据数没有限制，所以声子是玻色型声子是玻色型的准粒子的准粒子(即玻色子即玻色子(boson)，同光子一样，同光子一样)，遵循玻色统计。，遵循玻色统计。8.8.晶格振动能量晶格振动能量7.由于 相同的各声子之间不可区分9声子谱的实验测定声子谱的实验测定 晶格振动晶格振动 -色散关系，也称为色散关系，也称为晶格振动谱晶格振动谱。中子与晶体中声中子与晶体中声子的相互作用子的相互作用中子与晶体中子与晶体的相互作用的相互作用中子吸收或发射声子中子吸收或发射声子非弹性散射非弹性散射声子谱的实验测定 晶格振动 -色散关10 可见光范围，波矢为可见光范围，波矢为10105 5cmcm-1-1的量级，故相互作用的声子的量级，故相互作用的声子的波矢也在的波矢也在10105 5cmcm-1-1的量级，只是布里渊区中心附近很小一部的量级，只是布里渊区中心附近很小一部分区域内分区域内(布里渊区尺度为布里渊区尺度为10108 8cmcm-1-1)的声子，即长波声子。的声子，即长波声子。(1)(1)布里渊散射布里渊散射(Brillouin scattering)(Brillouin scattering)：光子与长声学波声子作用，吸收或放出声子的过程；光子与长声学波声子作用，吸收或放出声子的过程；(2)(2)拉曼散射拉曼散射(Raman scattering)(Raman scattering)：光子与长光学波声子作用，吸收或放出声子的过程光子与长光学波声子作用，吸收或放出声子的过程.可见光的非弹性散射可见光的非弹性散射（用于研究凝聚态物质微观运动性质及物质成分）（用于研究凝聚态物质微观运动性质及物质成分）可见光范围，波矢为105cm-1的量级，故相互作用的11晶格比热晶格比热 晶体热容的实验规律晶体热容的实验规律 (1)(1)在高温时在高温时，晶体的热容为晶体的热容为 3NkB(N为晶体中原子的为晶体中原子的 个数个数,k kB B 为玻尔兹曼常量为玻尔兹曼常量)；晶格热容晶格热容 晶体热容的经典理论晶体热容的经典理论(杜隆杜隆-珀蒂定律珀蒂定律)低温时经典理论不再适用。(2)(2)在低温时，绝缘体热容按在低温时，绝缘体热容按 T3 3 趋于零；趋于零；导体热容按导体热容按A AT+BT T3 3 趋于零趋于零。晶格比热 晶体热容的实验规律 (1)在高温时，晶体的12晶体热容的量子理论晶体热容的量子理论 晶体由晶体由N N个原子组成，每个原子有个原子组成，每个原子有3 3个自由度，共有个自由度，共有3N3N个个分立的振动频率，晶体内能：分立的振动频率，晶体内能：晶体热容的量子理论 晶体由N个原子组成，每个原子有3个自由度13爱因斯坦模型爱因斯坦模型 假设：假设：（1 1）晶格中原子振动是相互独立的简谐振动；）晶格中原子振动是相互独立的简谐振动；（2 2）所有原子都以相同的频率振动，即）所有原子都以相同的频率振动，即 v 温度很低时温度很低时（按指数规律），但趋近于（按指数规律），但趋近于0 0的速度要比实际快的速度要比实际快v 温度比较高时温度比较高时 ，与，与杜隆杜隆-珀替珀替定律一致。定律一致。爱因斯坦模型 假设：（1）晶格中原子振动是相互独立的简谐振14德拜模型（德拜模型（DebyeDebye）基本观点：基本观点：(1)(1)晶体晶体视为连续介介质，格波，格波视为弹性波性波；（2 2）晶格振）晶格振动频率在率在0 0到极大到极大值D D（德拜（德拜频率）率）间分布。分布。（1 1）高温下：）高温下：与杜隆与杜隆-珀蒂定律一致珀蒂定律一致 （2 2）低温下低温下 德拜模型（Debye）基本观点：晶体视为连续介质，格波视15
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