结构弹性稳定计算课件

3 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算 目目 录录3 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.13.1两类稳定问题概述两类稳定问题概述 3.23.2稳定问题的分析方法稳定问题的分析方法静力法静力法 3.33.3稳定问题的分析方法稳定问题的分析方法能量法能量法 3.4 3.4 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响3.5 3.5 组合压杆的稳定组合压杆的稳定 3.6 3.6 窄条梁的稳定窄条梁的稳定 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算 目目 录录3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.13 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.13.1两类稳定问题概述两类稳定问题概述 从稳定性角度来考察，平衡状态有三种不同的情况：从稳定性角度来考察，平衡状态有三种不同的情况：稳定平衡状态稳定平衡状态 不稳定平衡状态不稳定平衡状态 中性平衡状态中性平衡状态 结构稳定计算理论：小挠度理论（通常采用），优点：方法简结构稳定计算理论：小挠度理论（通常采用），优点：方法简 单，结论基本正确。单，结论基本正确。大挠度理论，特点：结论精确，方法复杂。大挠度理论，特点：结论精确，方法复杂。随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称为失稳。为失稳。结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳。下面以结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳。下面以压杆为例加以说明。压杆为例加以说明。3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.1两类稳定问题概述两类稳定问题概述 从稳从稳23 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.1.13.1.1分支点失稳分支点失稳 简支压杆的完善体系或理想体系简支压杆的完善体系或理想体系(图图3-1(a)3-1(a)：杆件轴线是理想的直线（没有：杆件轴线是理想的直线（没有初曲率），荷载初曲率），荷载P P是理想的中心受压荷载（没有偏心）。是理想的中心受压荷载（没有偏心）。在分支点在分支点B B处，原始平衡路径处，原始平衡路径与新平衡路径与新平衡路径同时并存，出现平衡形式的同时并存，出现平衡形式的二重性，原始平衡路径二重性，原始平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡，出现稳定性的转变。具由稳定平衡转变为不稳定平衡，出现稳定性的转变。具有这种特征的失稳形式称为分支点失稳形式。分支点对应的荷载称为临界荷载，有这种特征的失稳形式称为分支点失稳形式。分支点对应的荷载称为临界荷载，对应的平衡状态称为临界状态。分支点失稳又称为第一类失稳。对应的平衡状态称为临界状态。分支点失稳又称为第一类失稳。图图31 分支点失稳分支点失稳（a）理想的中心受压杆；）理想的中心受压杆；（b）P曲线曲线 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.1.1分支点失稳分支点失稳 简支压简支压33 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算其他结构可能出现的分支点失稳现象其他结构可能出现的分支点失稳现象 图图32 分支点失稳分支点失稳（a）受结点荷载的刚架；（）受结点荷载的刚架；（b）受水压力的圆拱；（）受水压力的圆拱；（c）窄条梁）窄条梁 3 结构弹性的稳定计算其他结构可能出现的分支点失稳现象结构弹性的稳定计算其他结构可能出现的分支点失稳现象 图图43 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.1.23.1.2极值点失稳极值点失稳 在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。这种失稳形式称为极在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。这种失稳形式称为极值点失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象，而值点失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象，而P-P-曲线具有极值点。极值点曲线具有极值点。极值点相应的荷载极大值称为临界荷载。极值点失稳又称为第二类失稳。相应的荷载极大值称为临界荷载。极值点失稳又称为第二类失稳。图图3 33 3 极值点失稳极值点失稳（a a）有初弯曲的压杆；（）有初弯曲的压杆；（b b）偏心荷载压杆；（）偏心荷载压杆；（c c）P P曲线曲线 压杆的非完善体系压杆的非完善体系(图图3-3(a)3-3(a)、(b)(b)：具有初曲率和承受偏心荷载的压杆。：具有初曲率和承受偏心荷载的压杆。3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.1.2极值点失稳极值点失稳 在极值在极值53 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算稳定问题与强度问题的区别说明稳定问题与强度问题的区别说明 强强度度问问题题是是指指结结构构在在稳稳定定平平衡衡状状态态下下它它的的最最大大应应力力不不超超过过材材料料的的允允许许应应力力，其其重重点点是是在在内内力力的的计计算算上上。对对大大多多数数结结构构，通通常常其其应应力力都都处处于于弹弹性性范范围围内内而而且且变变形形很很小小。因因此此，认认为为荷荷载载与与变变形形之之间间呈呈线线性性关关系系，并并按按结结构构未未变变形形前前的的几几何何形形状状和和位位置置来来进进行行计计算算，叠叠加加原原理理适适用用，通通常常称称此此种种计计算算为为线线性性分分析析或或一一阶阶分分析析。对对于于应应力力虽虽处处于于弹弹性性范范围围但但变变形形较较大大的的结结构构（如如悬悬索索），因因变变形形对对计计算算的的影影响响不不能能忽忽略略，应应按按结结构构变变形形后后的的几几何何形形状状和和位位置置来来进进行行计计算算，此此时时，荷荷载载与与变变形形之之间间已已为非线性关系，叠加原理不再适用，这种计算称为几何非线性分析或二阶分析。为非线性关系，叠加原理不再适用，这种计算称为几何非线性分析或二阶分析。稳定问题稳定问题的着眼点不是放在计算最大应力，而是研究荷载与结构内部抵抗力的着眼点不是放在计算最大应力，而是研究荷载与结构内部抵抗力之间的平衡上，看这种平衡是否处于稳定状态，即要找出变形开始急剧增长的临之间的平衡上，看这种平衡是否处于稳定状态，即要找出变形开始急剧增长的临界点，并找出与临界状态相应的最小荷载（临界荷载）。由于它的计算要在结构界点，并找出与临界状态相应的最小荷载（临界荷载）。由于它的计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行，其方法也属于几何非线性范畴，叠加原理不再变形后的几何形状和位置上进行，其方法也属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用，故其计算也属二阶分析。适用，故其计算也属二阶分析。本章只讨论完善体系分支点失稳，并根据小挠度理论求临界问题荷载。确定本章只讨论完善体系分支点失稳，并根据小挠度理论求临界问题荷载。确定临界荷载的方法很多，其中最基本和最重要的是静力法和能量法。临界荷载的方法很多，其中最基本和最重要的是静力法和能量法。3 结构弹性的稳定计算稳定问题与强度问题的区别说明结构弹性的稳定计算稳定问题与强度问题的区别说明 63 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.23.2稳定问题的分析方法稳定问题的分析方法静力法静力法 根据临界状态的静力特征而提出的确定临界荷载的方法，称为根据临界状态的静力特征而提出的确定临界荷载的方法，称为静力法。静力法。静力法的要点：静力法的要点：是在原始平衡路径是在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定二者交叉，确定二者交叉的分支点，由此求出临界荷载。的分支点，由此求出临界荷载。3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.2稳定问题的分析方法稳定问题的分析方法静力法静力法 73 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.2.13.2.1静力法确定有限自由度体系的临界荷载静力法确定有限自由度体系的临界荷载 图图3-43-4（a a）中，）中，ABAB为刚性压杆，底端为刚性压杆，底端A A为弹性支承，其转动刚度系数为为弹性支承，其转动刚度系数为k k。图图3 34 4 单自由度失稳单自由度失稳（a a）原始平衡形式；（）原始平衡形式；（b b）平衡的新形式）平衡的新形式 杆杆ABAB处于竖直位置时的平衡形式（图处于竖直位置时的平衡形式（图3-43-4（a a）是其原始平衡形式。）是其原始平衡形式。3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的静力法确定有限自由度体系的83 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.2.13.2.1静力法确定有限自由度体系的临界荷载（续）静力法确定有限自由度体系的临界荷载（续）现在寻找杆件处于倾斜位置时新的平衡形式现在寻找杆件处于倾斜位置时新的平衡形式(图图3-4(b)3-4(b)。根据小挠度理论，其平衡方程为根据小挠度理论，其平衡方程为 (3-1)(3-1)由于弹性支座的反力矩由于弹性支座的反力矩MA Akk，所以，所以 (3-2)(3-2)式式(3-2)(3-2)是以位移是以位移为未知量的齐次方程。齐次方程有两类解：即零解和非为未知量的齐次方程。齐次方程有两类解：即零解和非零解。零解零解。零解(0)0)对应于原始平衡形式，即平衡路径对应于原始平衡形式，即平衡路径；非零解；非零解(0)(0)是新的是新的平衡形式。为了得到非零解，齐次方程平衡形式。为了得到非零解，齐次方程(3-2)(3-2)的系数应为零，即的系数应为零，即 (3-3)(3-3)式式(3-3)(3-3)称为特征方程。由特征方程得知，第二平衡路径称为特征方程。由特征方程得知，第二平衡路径为水平直线。由为水平直线。由两条路径的交点得到分支点，分支点相应的荷载即为临界荷载，因此两条路径的交点得到分支点，分支点相应的荷载即为临界荷载，因此 (3-4)(3-4)3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的静力法确定有限自由度体系的93 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算例例3-13-1 图图3-5(a)3-5(a)所示是一个具有两个变形自由度的体系，其中所示是一个具有两个变形自由度的体系，其中ABAB、BCBC、CDCD各杆为刚各杆为刚性杆，在铰结点性杆，在铰结点B B和和C C处为弹性支承，其刚度系数都为处为弹性支承，其刚度系数都为k k。试求其临界荷载。试求其临界荷载P Pcrcr。图图3 35 5 两个自由度的体系两个自由度的体系（a a）原始平衡形式；（）原始平衡形式；（b b）平衡的新形式）平衡的新形式3 结构弹性的稳定计算例结构弹性的稳定计算例3-1 图图3-5(a)所示所示103 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算例例3-1(3-1(续续1)1)解解：设设体体系系由由原原始始平平衡衡状状态态(图图3-5(a)3-5(a)的的水水平平位位置置)转转到到任任意意变变形形的的新新状状态态(图图3-5(b)3-5(b)，设，设B B点和点和C C点的竖向位移分别为点的竖向位移分别为y y1 1和和y y2 2，相应的支座反力分别为，相应的支座反力分别为 同时，同时，A A点和点和D D点的支座反力为点的支座反力为 变形状态的平衡条件为变形状态的平衡条件为 即即 (a)(a)这是关于这是关于y y1 1和和y y2 2的齐次方程。的齐次方程。3 结构弹性的稳定计算例结构弹性的稳定计算例3-1(续续1)解：解：113 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算例例3-1(3-1(续续2)2)如果系数行列式不等于零，即如果系数行列式不等于零，即 则零解则零解(即即y y1 1和和y y2 2全为零全为零)是齐次方程是齐次方程(a)(a)的唯一解。也就是说，原始平衡形式的唯一解。也就是说，原始平衡形式是体系唯一的平衡形式。是体系唯一的平衡形式。如果系数行列式等于零，即如果系数行列式等于零，即 则除零解外，齐次方程则除零解外，齐次方程(a)(a)还有非零解。也就是说，除原始平衡形式外，体还有非零解。也就是说，除原始平衡形式外，体系还有新的平衡形式。这样，平衡形式即具有二重性，这就是体系处于临界状态系还有新的平衡形式。这样，平衡形式即具有二重性，这就是体系处于临界状态的静力特征。方程的静力特征。方程(b)(b)就是稳定问题的特征方程。展开式就是稳定问题的特征方程。展开式(b)(b)，得，得 由此解得两个特征值：由此解得两个特征值：(b)(b)3 结构弹性的稳定计算例结构弹性的稳定计算例3-1(续续2)如果系数行列如果系数行列123 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算例例3-1(3-1(续续3)3)其中最小的特征值叫做临界荷载，即其中最小的特征值叫做临界荷载，即 图图3 36 6 例例3-13-1的失稳形态的失稳形态（a a）第一失稳形态；（）第一失稳形态；（b b）第二失稳形态）第二失稳形态 将特征值代回式将特征值代回式(a)(a)，可求得，可求得y y1 1和和y y2 2的比值。这时位移的比值。这时位移y y1 1、y y2 2组成的向量称为组成的向量称为特征向量。如将特征向量。如将P Pk kl/3/3代回式代回式(a)(a)，则得，则得y y1 1y y2 2，相应的变形曲线如图，相应的变形曲线如图3-6(a)3-6(a)所示。如将所示。如将P Pk kl代回式代回式(a)(a)，则得，则得y y1 1y y2 2，相应的变形曲线如图，相应的变形曲线如图3-6(b)3-6(b)所示。所示。3 结构弹性的稳定计算例结构弹性的稳定计算例3-1(续续3)其中最小的特其中最小的特133 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.33.3稳定问题的分析方法稳定问题的分析方法能量法能量法 能量法确定体系临界荷载的基本原理能量法确定体系临界荷载的基本原理 用能量法求临界荷载，仍是以结构失稳时平衡的二重性为依据，应用以能量用能量法求临界荷载，仍是以结构失稳时平衡的二重性为依据，应用以能量形式表示的平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其中最小者即形式表示的平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其中最小者即为临界荷载。为临界荷载。用能量形式表示的平衡条件就是势能驻值原理：用能量形式表示的平衡条件就是势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移足平衡条件的位移(因而就是真实的位移因而就是真实的位移)使结构的势能使结构的势能为驻值，也就是结构势为驻值，也就是结构势能的一阶变分等于零，即能的一阶变分等于零，即 这里，结构的势能这里，结构的势能等于结构的应变能等于结构的应变能U与外力势能与外力势能Up之和：之和：仍以图仍以图3-43-4所示单自由度体系为例说明。体系的势能所示单自由度体系为例说明。体系的势能为弹簧应变能为弹簧应变能U与荷与荷载载P的势能的势能Up之和。弹簧应变能为之和。弹簧应变能为 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算3.3稳定问题的分析方法稳定问题的分析方法能量法能量法 143 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续能量法确定体系临界荷载的基本原理（续1 1）荷载势能为荷载势能为 这里这里为为B B点的竖向位移点的竖向位移(见图见图3-4(b)3-4(b)体系的势能为体系的势能为 (3-7)(3-7)因此因此 应用势能驻值条件应用势能驻值条件 ，得，得 (3-8)(3-8)上式与静力法中的式上式与静力法中的式(3-2)(3-2)是等价的。由此可见，能量法与静力法都导出同是等价的。由此可见，能量法与静力法都导出同样的方程。换句话说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。样的方程。换句话说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。能量法余下的计算步骤即与静力法完全相同，即根据位移能量法余下的计算步骤即与静力法完全相同，即根据位移有非零解的条件有非零解的条件导出特征方导出特征方(3-9)(3-9)从而求出临界荷载从而求出临界荷载 3 结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续153 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续能量法确定体系临界荷载的基本原理（续2 2）归结起来，在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：归结起来，在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。能量法就是根据上述能量特征求临界荷载。势能为驻值，且位移有非零解。能量法就是根据上述能量特征求临界荷载。下下面面对对势势能能作作进进一一步步的的讨讨论论。由由式式(3-7)(3-7)看看出出，势势能能是是位位移移的的二二次次式式，其关系曲线是抛物线。其关系曲线是抛物线。如如果果Pk/Pk/Pk/l ，则则关关系系曲曲线线如如图图3-10(c)3-10(c)所所示示。当当位位移移为为任任意意非非零零值值时时，势势能能恒恒为为负负值值。当当体体系系处处于于原原始始平平衡衡状状态态时时，势势能能为为极极大大，因因而而原原始始平平衡衡状状态态是是不稳定平衡状态。不稳定平衡状态。如果如果P Pk/k/l ，则关系曲线如图，则关系曲线如图3-10(b)3-10(b)所示。当位移所示。当位移为任意值时，势能恒为任意值时，势能恒为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态，这时的荷载称作临界荷载。这个结为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态，这时的荷载称作临界荷载。这个结果与静力法所得的相同。果与静力法所得的相同。3 结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续163 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续能量法确定体系临界荷载的基本原理（续3 3）因此，临界状态的能量特征还可表述为：因此，临界状态的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。则由正定过渡到负定。图图3 310 10 势能势能与位移与位移的关系曲线的关系曲线(a)PP(a)PP(c)PPcrcr 3 结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续173 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算例例3-4 用能量法重做例用能量法重做例3-13-1，即图，即图3-53-5所示两个变形自由度的体系。所示两个变形自由度的体系。现在讨论临界荷载的能量特征。现在讨论临界荷载的能量特征。在图在图3-5(b)3-5(b)中，中，D D点的水平位移为点的水平位移为 解：解：弹性支座的应变能为弹性支座的应变能为 荷载势能为荷载势能为 体系的势能为体系的势能为 应用势能驻值条件：应用势能驻值条件：3 结构弹性的稳定计算例结构弹性的稳定计算例3-4 用能量法重做例用能量法重做例3-183 3 结构弹性的稳定计算结构弹性的稳定计算例例3-4(3-4(续续1)1)得得 (a)(a)上式就是例上式就是例3-13-1用静力法导出的式用静力法导出的式(a)(a)。也就是说，势能驻值条件等价于用位。也就是说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。移表示的平衡方程。能能量量法法以以后后的的计计算算步步骤骤与与静静力力法法完完全全相相同同。势势能能驻驻值值条条件件(a)(a)的的解解包包括括全全零零解解和和非非零零解解。求求非非零零解解时时，先先建建立立特特征征方方程程，然然后后求求解解，得得出出两两个个特特征征荷荷载载值值P Pl l和和P P2 2，其中最小的特征值即为临界荷载，其中最小的特征值即为临界荷载P Pcrcr，过程和结果见例，过程和结果见例3-13-1的后一半。的后一半。归结起来，能量法求多自由度体系临界荷载归结起来，能量法求多自由度体系临界荷载P Pcrcr的步骤如下：的步骤如下：写出势能表达式，建立势能驻值条件写出势能表达式，建立势能驻值条件;应用位移有非零解的条件，得出特征方程应用位移有非零解的条件，得出特征方程;求出荷载的特征值求出荷载的特征值P Pi i(i(i1 1、2 2、n);n);在在P Pi i中选取最小值，即得到临界荷载中选取最小值，即得到临界荷载P Pcrcr。3 结构弹性的稳定计算例结构弹性的稳定计算例3-4(续续1)得得 19