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第三章第三章 空间力系空间力系 哈尔滨工业大学（威海）土木工程系哈尔滨工业大学（威海）土木工程系主讲教师主讲教师主讲教师主讲教师:刁鹏飞刁鹏飞刁鹏飞刁鹏飞Theoretical Mechanics第三章第三章第三章第三章 空间力系空间力系空间力系空间力系本章我们将要学习的内容本章我们将要学习的内容空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系平衡问题空间力系平衡问题空间力系平衡问题空间力系平衡问题重心重心重心重心第三章第三章第三章第三章 空间力系空间力系空间力系空间力系PART A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 1.1.空间力的投影与分解空间力的投影与分解空间力的投影与分解空间力的投影与分解 力的分解力的分解单位矢量 i,j,kPart A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 1.1.空间力的投影与分解空间力的投影与分解空间力的投影与分解空间力的投影与分解 直接投影法直接投影法Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 1.1.空间力的投影与分解空间力的投影与分解空间力的投影与分解空间力的投影与分解 间接投影法（二次投影法）间接投影法（二次投影法）Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 1.1.空间力的投影与分解空间力的投影与分解空间力的投影与分解空间力的投影与分解若已知空间力的各投影量的大小Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 例题例题例题例题 1 1 力F 作用在正六面的对角线上，如图所示，若正六面体的边长为 a.计算力 F 在 x,y,z轴上的投影.Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 解解解解-方法方法方法方法 11Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 解解解解-方法方法方法方法 22Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 2 2 力对点的矩力对点的矩力对点的矩力对点的矩矩心 在三维坐标系中，将力对点的矩用矢量来表示:若矢径为 r 力对点的矩-定位矢量Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 2 2 力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩 分力 Fxy 使门绕 z 轴旋转 使用 表示力 F 对 z 轴的矩 代数量Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 2 2 力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 2 2 力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩 F2 与z轴相交:Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 2 2 力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理任意一个力系的合力对于任意一点（任意的轴）的矩等于力任意一个力系的合力对于任意一点（任意的轴）的矩等于力系中各力对同一点（或轴）的力矩的矢量和系中各力对同一点（或轴）的力矩的矢量和(或代数和或代数和).).Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 2 2 力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 3 3 力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 3 3 力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系力对某点的力矩矢在通过该点的力对某点的力矩矢在通过该点的任意轴上的投影，等于此力对该任意轴上的投影，等于此力对该轴之矩。轴之矩。Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 例题例题例题例题 2 2AB=a BC=b CD=c DO=d计算力 F 对轴 x,y,z的矩Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 解解解解 Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 4.4.力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢对于空间力偶，除了考虑其大小和转向，还必须考虑其作用平面，因此，通过矢量的方式来表示空间力偶可以通过右手定则来决定力偶矩矢的矢量方向.力偶矩矢是一个自由矢量.转向转向转向转向力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 4.4.力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢空间等效力偶作用在同一刚体的两个平行平面内的两个力偶，若它们的力偶矩作用在同一刚体的两个平行平面内的两个力偶，若它们的力偶矩的大小相等且力偶的转向相同，则两力偶等效。的大小相等且力偶的转向相同，则两力偶等效。Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念空间力系的基本概念 4.4.力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果取决于三个要素 力偶矩的大小；力偶矩的大小；力偶的转向力偶的转向；力偶作用面的方位力偶作用面的方位。第三章第三章第三章第三章 空间力系空间力系空间力系空间力系PART B 空间力系的简化空间力系的简化Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 1.1.空间力的平移空间力的平移空间力的平移空间力的平移附加力偶矩矢dPart B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 2.2.空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化点 O：空间中任意选择任意选择的简化中心将 F1 平移到点O,将空间中的其他力平移到点O:Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 2.2.空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化主矢主矢 FR主矩主矩 MO主矢与简化中心的选择无关主矢与简化中心的选择无关,主矩与简化中心有关。简化中心选择不同，主矩与简化中心有关。简化中心选择不同，各力对简化中心的力矩也不相同。各力对简化中心的力矩也不相同。Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 2.2.空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 2.2.空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 3.3.简化结果分析简化结果分析简化结果分析简化结果分析Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 3.3.简化结果分析简化结果分析简化结果分析简化结果分析力螺旋力螺旋Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 3.3.简化结果分析简化结果分析简化结果分析简化结果分析力螺旋力螺旋Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 例题例题例题例题 3 3如图所示，正六面体的边长等于100mm,F1=F2=F3=F4=F5=F=100N,将该力系向A点简化，并分析简化结果。Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 解解解解 F1=F2=F3=F4=F5=F=100NPart B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 解解解解 F1=F2=F3=F4=F5=F=100NPart B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 解解解解 F1=F2=F3=F4=F5=F=100N以点 A 为简化中心 Part B 空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化空间力系的简化 解解解解 F1=F2=F3=F4=F5=F=100N简化结果是一个力螺旋 Chapter 3 Chapter 3 空间力系空间力系空间力系空间力系PART C 空间力系的平衡空间力系的平衡Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 1.1.空间一般力系的平衡空间一般力系的平衡空间一般力系的平衡空间一般力系的平衡平衡的充分必要条件平衡的充分必要条件:平衡方程平衡方程 :可以使用少于三个力方程，多可以使用少于三个力方程，多于三个矩方程来形成其他形式于三个矩方程来形成其他形式的平衡方程组。的平衡方程组。注意注意:矩方程的轴是可以任意矩方程的轴是可以任意选取的。选取的。Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 1.1.空间特殊力系的平衡空间特殊力系的平衡空间特殊力系的平衡空间特殊力系的平衡空间汇交力系空间汇交力系:注意注意x 轴不能通过简化中心轴不能通过简化中心或或Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 1.1.空间特殊力系的平衡空间特殊力系的平衡空间特殊力系的平衡空间特殊力系的平衡空间平行力系空间平行力系空间力偶系空间力偶系 2.2.空间约束类型空间约束类型空间约束类型空间约束类型Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 2.2.空间约束类型空间约束类型空间约束类型空间约束类型Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 2.2.空间约束类型空间约束类型空间约束类型空间约束类型Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 2.2.空间约束类型空间约束类型空间约束类型空间约束类型Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 2.2.空间约束类型空间约束类型空间约束类型空间约束类型Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 2.2.空间约束类型空间约束类型空间约束类型空间约束类型Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 例题例题例题例题 4 4长 l 的三根杆铰接与 A,B,C三点.OA=OB=OC=a,一个竖直力 F 作用与 D点,计算杆 BD 的内力.a=400 mml=500 mmPart C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 解解解解 设一个竖直平面 OBDE 与平面 oxy 相交于OE,BD与z轴夹角为 q,Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 解解解解 将FBD 分解为 FBDxy 和 FBDz，如图所示选择选择 ACAC 建立平衡矩方程建立平衡矩方程Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 Solution Solution计算 DE,EH 以及角度 q 的值Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 解解解解 Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 从例题从例题从例题从例题4 4中我们可以了解到什么中我们可以了解到什么中我们可以了解到什么中我们可以了解到什么?1.在空间汇交力系中同样可以使用矩平衡方程，而且矩方在空间汇交力系中同样可以使用矩平衡方程，而且矩方程的轴是可以任意选择的。程的轴是可以任意选择的。2.如果力系的简图绘制不清楚，很容易在解题过程中造成如果力系的简图绘制不清楚，很容易在解题过程中造成误解。误解。Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 例题例题例题例题 5 5如图所示，水平力Q 作用与曲轴相连的轮上的E点，若曲轴在F,Q力作用下平衡，计算 Q 的大小以及轴承A和B处的约束反力。其中F=200NPart C 空间力系的平衡空间力系的平衡 解解解解 将 F 平移到平面 Oyz,MF=F400=80000Nmm 将 Q 平移到平面 Qxy,MQ=Q100=100QNmmPart C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 解解解解 将各个力向两个垂直平将各个力向两个垂直平面上进行投影，如下图所面上进行投影，如下图所示示:Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 解解解解 将各个力(约束力)投影到平面 OzyPart C 空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡空间力系的平衡 解解解解 将各个力(约束力)投影到平面 Oxy已知已知A（1，0，1），），B（0，1，2）（）（长度度单位位为米），米），F=kN。则力力F对x轴的矩的矩为 ，对y轴的矩的矩为 ，对z轴的矩的矩为 。已知已知A（1，0，1），），B（0，1，2）（）（长度度单位位为米），米），F=kN。则力力F对x轴的矩的矩为 -1KN m ，对y轴的矩的矩为-2KN m ，对z轴的矩的矩为 1KN m 。例例1 已知：AB=3m,AE=AF=4m,Q=20kN;求：绳BE、BF的拉力和杆AB的内力由C点：解：分别研究C点和B点作受力图由B点：由B点：例例2 曲杆ABCD,ABC=BCD=900,AB=a,BC=b,CD=c,m2,m3 求：支座反力及m1=?解解：例例3 已知：AB杆,AD,CB为绳,A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600,且AD水平，AC铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、B的反力。解：解：思路：要巧选投影轴和取思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未矩轴，使一个方程解出一个未知数。知数。Chapter 3 Chapter 3 空间力系空间力系空间力系空间力系PART D 重心重心Part D 重心重心重心重心 1.1.基本概念基本概念基本概念基本概念 我们一般所说的重力，是作用在物体上的重力分布的合我们一般所说的重力，是作用在物体上的重力分布的合力。而重力在刚体上的作用点即为力。而重力在刚体上的作用点即为重心重心。因此，重心的。因此，重心的位置是由作用在刚体上的重力分布情况来决定的。位置是由作用在刚体上的重力分布情况来决定的。在动力学中，质心是一个非常重要的概念在动力学中，质心是一个非常重要的概念,在很多情况在很多情况下，我们发现重心和质心是重合的。只有在重力场分布下，我们发现重心和质心是重合的。只有在重力场分布不均匀的情况下，两者的位置不相同。因此在工程中重不均匀的情况下，两者的位置不相同。因此在工程中重心和质心往往指的是相同的点。心和质心往往指的是相同的点。.Part D 重心重心重心重心 2.2.重心重心重心重心Part D 重心重心重心重心 2.2.重心重心重心重心C 的坐标可以通过计算分布力对坐标轴的力矩等于重力 W 对相应轴的力矩的方法来确定.Part D 重心重心重心重心 2.2.重心重心重心重心对于均质物体，重力密度是常数，因此对于均质物体，重力密度是常数，因此对于均质物体而言，其重心的位置与形心对于均质物体而言，其重心的位置与形心的位置重合。的位置重合。对于一些常见几何形状的形心，教材对于一些常见几何形状的形心，教材100页表页表3-2列出了坐标位置。列出了坐标位置。Part D 重心重心重心重心 2.2.重心重心重心重心组合体组合体若一个均质物体的形状由几个简单图形组成，我们可以通过以若一个均质物体的形状由几个简单图形组成，我们可以通过以下公式找到该物体的形心（重心）下公式找到该物体的形心（重心）:同样，质心的位置也可以通过下面公式得到：同样，质心的位置也可以通过下面公式得到：Part D 重心重心 例题例题例题例题 6 6如图所示，计算均质组合体的重如图所示，计算均质组合体的重心位置的坐标。心位置的坐标。Part D 重心重心重心重心 解解解解 将组合体分为两个简单图形，如将组合体分为两个简单图形，如图所示图所示Part D 重心重心重心重心 解解解解 从上面得到的结果：从上面得到的结果：解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段下面用积分法求物体的重心实例求物体的重心实例：例例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。O解解：求：该组合体的重心？已知：Part D 重心重心重心重心例题例题例题例题 7 7如图所示，确定均质物体的重心如图所示，确定均质物体的重心坐标位置。坐标位置。Part D 重心重心重心重心 解解解解 这个物体可以分解成为三这个物体可以分解成为三个简单形状，其中形状个简单形状，其中形状 I 和和II是正面积而是正面积而 III是负面是负面积积,如图所示如图所示Part D 重心重心重心重心 解解解解 课后作业课后作业课后作业课后作业第三章第三章第三章第三章 空间力系空间力系空间力系空间力系3-13-1、5 5、1010本章完本章完本章完本章完第三章第三章第三章第三章 空间力系空间力系空间力系空间力系一、结构中，C处铰接，各杆自重不计。已知：qc=600N/m，M=3000Nm。试求：（1）支座A及光滑面B的反力；（2）绳EG的拉力。二、已知a=8m，b=6m，F1=300KN，F2=400KN，各杆自重不计，求 杆件GF，AB，BD，CE，CD的內力。
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