理论力学部分习题课件

例例1 1：曲曲柄柄OA=r，以以匀匀角角速速绕绕定定点点转转动动。此此曲曲柄柄接接连连杆杆AB。使使滑滑块块B沿沿直直线线OX运运动动，求求连连杆杆C点点的的轨轨道道方方程及速度。设程及速度。设AC=CB=，AOB=ABO=.OACBaaxy2例例2 2：细细杆杆OLOL绕绕O O点点以以匀匀角角速速转转动动，并并推推动动小小环环C C在在固固定定的的钢钢丝丝ABAB上上滑滑动动，图图中中的的d d为为一一已已知知常常数数，试试求求小小环环的的速度及加速度的量值。速度及加速度的量值。BCAdOLx例例3：一一质量量为m的的质点点自自光光滑滑圆滚线的的尖尖端端无无初初速速地地下下滑滑。试证在在任任何何一一点点的的压力力为 ，式式中中为水水平平线和和质点点运运动方向的方向的夹角。已知角。已知圆滚线方程方程为：补充补充：在上题中，若圆滚线不是光滑 的，且质点自尖端自由下滑，到达最低点时停止运动，证摩擦系数：例例4：质点作平面运动，其速率保持常数，试证其速度矢量与加速度矢量正交。平面极坐标假定一飞机从A处向东飞到B处，而后又向西飞回原处，飞机相对空气的速度为，而空气相对地面的速度则为v0，A与B之间的距离为l，飞机相对于空气的速度 保持不变。(a)假定v00，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为(b)假定空气速度为向东(或向西)，试证来回飞行的总时间为(c)假定空气速度为向北(或向南)，试证来回飞行的总时间为例5：例例6：将将质量量为m的的质点点竖直直抛抛上上于于有有阻阻力力的的媒媒质中中。设阻阻力力与与速速度度平平方方成成正正比比，。如如上上掷时的的速速度度为 ，试证此此质点点又落至投又落至投掷点的速度点的速度为例例7:根据汤川核力理论，中子与质子间的引力具有如下形式的势能试求：中子与质子间的引力表达式；求质量为m的粒子作半径为a的圆运动的动量矩J及能量E。例例8：质量为m的物体为一锤所击。设锤所加之力，是均匀增减的。当在冲击时间的一半时，力增至极大值P，以后又均匀减小至零。求物体在时刻的速率速率以及压力所作的总功功。P0t 例例9 9：重为 W 的小球，不受摩擦而沿半长轴为 a、半短轴为 b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。AB例例10.在可绕固定水平轴转动的滑轮上悬一轻绳，绳的下端到滑轮轴的竖直距离分别为l及l。两个质量分别为m及m的人抓着绳子的两端同时开始向上爬，且同时到达滑轮。假定滑轮的质量可略去不计，且所有阻力均不考虑，试求二人上爬所需的时间T。例例11求均匀扇形薄片的求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径心，此扇形的半径为 ，所，所对的的圆心心角角为 。并。并证半半圆片的片的质心离心离圆心的距离心的距离为 。例例12自半径为a的球体，用一与球心相距b的平面，切出一个球形帽，求此球形帽的质心。例例13：质量量为 ，半半径径为 的的光光滑滑半半球球，其其底底面面放放在在光光滑滑的的水水平平面面上上。有有一一质量量为 的的质点点沿沿此此半半球球面面滑滑下下。设质点点的的初初位位置置与与球球心心的的联线和和竖直直向向上上的的直直线间所所成成的的角角为 ，并并且且起起始始时此此系系统是是静静止止的的，求求此此质点点滑滑到到它它与与球球心心的的联线和和竖直直向向上直上直线间所成之角所成之角为 时 之之值。37例例14：长为 的的均均匀匀细链条条伸伸直直地地平平放放在在水水平平光光滑滑桌桌面面上上，其其方方向向与与桌桌面面边缘垂垂直直。此此时链条条的的一一半半从从桌桌上上下下垂垂。起起始始时，整整个个链条条是是静静止止的的，求求此此链条条末末端端滑滑到到桌桌子子的的边缘时，链条条的的速速度度 。例例15：雨点的运：雨点的运动雨点在自由下落雨点在自由下落过程中，程中，单位位时间凝凝结在它上面的水汽在它上面的水汽质量量为 ，不，不计空气阻力，求雨点在空气阻力，求雨点在t t秒后的速度及下落的距秒后的速度及下落的距离。离。设雨点开始落下雨点开始落下时的的质量量为M M。关键是u=0例例16雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。正比，求雨滴速度与时间的关系。例例17：一一条条柔柔软、无无弹性性、质量量均均匀匀的的绳索索，自自高高处竖直直地地下下坠至至地地板板上上。如如绳的的长度度等等于于 ，每每单位位长度度的的质量量等等于于 。求求当当绳索索剩剩在在空空中中的的长度度等等于于 时，绳索索的的速速度度及及它它对地地板板的的压力。力。设开始开始时绳索的速度索的速度为零，它的下端离地面高度零，它的下端离地面高度为 。例例18：总质量为M0的火箭，发射时单位时间内消耗的燃料与M0正比，即(为比例常数)，并以相对速度v喷射。已知火箭本身的质量为M，求证只有当时，火箭才能上升；证明能达到的最大速度为能达到的最大高度为例例19.在半径为R的匀质圆板上钻一个半径为R/2的圆孔，求钻孔圆板的质心解：补上被钻掉的小圆板，整个大圆板可看作由小圆板mA和月牙板mB组成。由对称性分析可知：大圆板的 质心在o点，小圆板的质心在A点，要求的月牙板的质心在x轴上的某一点，设为B据据质心心计算公式：算公式：AB omBmAx例例20.求半径为a的匀质半球的质心 解：建立图示坐标系o-xyz，对称性分析，质心必在 z 轴上，即 xc=0,yc=0，在坐标 z 处，取高为 dz 的薄圆盘状质元xyzorazdz据据计算算质心的心的积分公式：分公式：例例26-126-1均匀均匀圆环：质量量m半径半径RRO解：解：dm例例2626-2-2、均匀、均匀圆盘:质量量m、半径、半径R解：取半径解：取半径为r宽为d dr的薄的薄圆环,Rdrr例例2727、匀、匀质中空中空圆柱：内半径柱：内半径R1 1 、外半径、外半径R2 2 、质量量m例例28 28 质量量为m 半径半径为R的匀的匀质薄球壳薄球壳绕过中心中心轴的的转动惯量量在球面取一在球面取一圆环带，半径，半径常见匀质刚体的转动惯量刚体名称 刚 体 图 形 转轴位置 转动惯量细 杆杆m,l过中心且与中心且与杆垂直杆垂直细圆环m,R过中心与中心与端面垂直端面垂直圆 盘m,R过中心与中心与端面垂直端面垂直空心空心圆盘m,R1R2过中心与中心与端面垂直端面垂直实心球体心球体m,R任一直径任一直径薄球壳薄球壳m,R任一直径任一直径平动运动规律和定轴转动规律的对比平动运动规律和定轴转动规律的对比质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量m,力力F转动惯量转动惯量I,力矩力矩M力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能势能势能质心势能质心势能例例29：一一段段半半径径为 的的均均质圆弧弧，绕过弧弧线中中心心并并与与弧弧面面垂垂直直的的轴线摆动，求作微振，求作微振动时的周期。的周期。例例30：一一轮的的半半径径为 ，以以匀匀速速 无无滑滑动地地沿沿一一直直线滚动。求求轮缘上上任任一一点点的的速速度度及及加加速速度度及及最最高高点点及及最最低低点点的的速速度度各各等等于于多多少少？哪一点是哪一点是转动瞬心？瞬心？例例32：高高为为 h ，顶顶角角为为 2a 的的圆圆锥锥，在在一一平平面面上上滚滚动动而而不不滑滑落落。如如已已知知此此锥锥以以匀匀角角速速度度 绕绕轴轴 转转动动，试试求求圆圆锥锥底底面面上上A 点的点的转动转动加速度加速度 a1和向和向轴轴加速度加速度 a2的量的量值值。转动加速度转动加速度向轴加速度向轴加速度应用虚功原理解题的主要步骤是：应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要看是否满足虚功原理所要求的条件；求的条件；(2)正确判断系统的自由度正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；分析并图示系统受到的主动力；(4)选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标的选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标的函数函数；(5)求主动力的虚功并令其为零，由此求出平衡条件。求主动力的虚功并令其为零，由此求出平衡条件。虚功原理主要用于求解：虚功原理主要用于求解：(1)(1)系统的静平衡位置；系统的静平衡位置；(2)(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系关系.A AB BP PQ QabO O问题：一杠杆在二力P、Q的作用下平衡平衡条件：设杠杆绕O点转过一个虚角度A、B 两点有相应的虚位移所以主动力P、Q的虚功之和为：因此：力系的平衡条件可以这样来表述主动力在约束容许的虚位移中的虚功之和为零力系平衡虚功原理的应用虚功原理的应用 例例 如图所示如图所示,匀质杆匀质杆OA,质量为质量为m1,长为长为l1,能在能在竖直平面内绕固定的光滑铰链竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动转动,此杆的此杆的 A端端用光滑铰链与另一根质量为用光滑铰链与另一根质量为m2,长为长为l2的匀质杆的匀质杆 AB相连相连.在在 B端有一水平作用力端有一水平作用力 .求处于静平衡时求处于静平衡时,两杆与铅垂线的夹角两杆与铅垂线的夹角1和和 2.Al1Bl2Oxy1、判断约束类型、判断约束类型2、判断自由度、判断自由度3、分析受力、分析受力(主动力主动力)ABOxy5、转化成广义坐标、转化成广义坐标4、由虚功原理、由虚功原理代入虚功原理代入虚功原理代入得代入得可求出系统处于静平衡时可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程所满足的方程:所以所以 例例33：相相同同的的两两个个均均质质光光滑滑球球悬悬在在结结于于定定点点 的的两两根根绳绳上上，此此两两球球同时又支持一个等重的均质球，求同时又支持一个等重的均质球，求 角、角、角之间的关系。角之间的关系。D例例34.半半径径为为 的的光光滑滑半半球球形形碗碗，固固定定在在水水平平面面上上。一一均均质质棒棒斜斜靠靠在在碗碗缘缘，一一端端在在碗碗内内，一一端端在在碗碗外外，在在碗碗内内的的长长度度为为 ，试试证证棒棒的全长为的全长为方法一：方法一：例例3535：长为长为2 2 的均的均质质棒，一端抵在光滑棒，一端抵在光滑墙墙上，而棒身上，而棒身则则如如图图示斜靠在与示斜靠在与墙墙相距相距为为d(d cos)d(d cos)的光滑棱角上。的光滑棱角上。求棒在平衡求棒在平衡时时与水平面所成的角与水平面所成的角 。方法一：方法一：