理论力学第三章刚体力学课件

理论力学理论力学 电子科技大学物理电子学院电子科技大学物理电子学院 付传技付传技 Email:第三章第三章第三章第三章 刚体力学刚体力学刚体力学刚体力学 刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程后，着重研究平面平行运动和定点运动。后，着重研究平面平行运动和定点运动。3.2 角速度矢量角速度矢量3.1 刚体运动的分析刚体运动的分析 第三章第三章 刚体力学刚体力学 3.3 欧勒角欧勒角3.4 刚体运动方程与平衡方程刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量转动惯量 3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动刚体的平动与绕固定轴的转动 3.7 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的运动刚体绕固定点的运动 3.9 重刚体绕固定点转动的解重刚体绕固定点转动的解 3.10 拉莫尔进动拉莫尔进动 3.1 刚体运动的分析刚体运动的分析 1.1.1.1.描写刚体位置的独立变量描写刚体位置的独立变量描写刚体位置的独立变量描写刚体位置的独立变量质点质点3个变量个变量质点组质点组3n个变量个变量A确定刚体在空间的位置，需要几个变量？确定刚体在空间的位置，需要几个变量？CB6个个变量可以确定刚体位置变量可以确定刚体位置2.2.刚体运动的分类刚体运动的分类平动的独立变量为三个平动的独立变量为三个平动的独立变量为三个平动的独立变量为三个1）平动）平动定轴转动的独立变量只有一个定轴转动的独立变量只有一个定轴转动的独立变量只有一个定轴转动的独立变量只有一个2）定轴转动）定轴转动世界最大的摩天轮世界最大的摩天轮“伦敦眼伦敦眼”平面平行运动的独立变量有三个平面平行运动的独立变量有三个平面平行运动的独立变量有三个平面平行运动的独立变量有三个3）平面平行运动）平面平行运动 定点转动的独立变量有三个，其中两个定点转动的独立变量有三个，其中两个定点转动的独立变量有三个，其中两个定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转动的角度。动的角度。动的角度。动的角度。4）定点转动）定点转动Euler定理定理 定点运动刚体的任何位移都可以通过定点运动刚体的任何位移都可以通过绕过该定点某轴的一次转动来实现。绕过该定点某轴的一次转动来实现。5）一般运动）一般运动(Chasles定理定理)刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上绕该点的一个转动，即绕该点的一个转动，即刚体的一般运动基点的平动绕基点的转动刚体的一般运动基点的平动绕基点的转动刚体一般运动的独立变量有六个刚体一般运动的独立变量有六个刚体一般运动的独立变量有六个刚体一般运动的独立变量有六个有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律3.2 角速度矢量角速度矢量1.1.有限转动与无限小转动有限转动与无限小转动有限转动与无限小转动有限转动与无限小转动无限小转动是矢量，无限小转动是矢量，它满足矢量加法交换律它满足矢量加法交换律证明证明位移矢量位移矢量平面平面若若是是矢量它应当满足矢量加法交换律矢量它应当满足矢量加法交换律2）转动）转动 后：后：1）转动前：）转动前：3）再转动）再转动 后：后：不计二阶微量，则有不计二阶微量，则有交换转动次序，则有交换转动次序，则有已知对线位移，有已知对线位移，有即即可得可得2.2.角速度矢量角速度矢量角速度的绝对性（即角速度与基点的选取无关）角速度的绝对性（即角速度与基点的选取无关）正交变换正交变换 对于作定点运动的刚体，如何描述其对于作定点运动的刚体，如何描述其转轴的取向？一种可行的方法是，以定点转轴的取向？一种可行的方法是，以定点O为原点，建立两个坐标系：一个固定在为原点，建立两个坐标系：一个固定在地球上，称为空间坐标系或静止坐标系，地球上，称为空间坐标系或静止坐标系，另一个固定在刚体上，称为本体坐标系，另一个固定在刚体上，称为本体坐标系，也叫随体坐标系或体轴坐标系。后者可以也叫随体坐标系或体轴坐标系。后者可以看作扩展的刚体。本体坐标系相对于空间看作扩展的刚体。本体坐标系相对于空间坐标系的取向就代表了刚体在空间中的取坐标系的取向就代表了刚体在空间中的取向。向。3.3 3.3 欧勒角欧勒角转动矩阵的性质：转动矩阵的性质：张量张量求证求证C C为一张量为一张量讨论阶数讨论阶数N N取几种特定值的张量取几种特定值的张量 用用9 9个方向余弦描述刚体的定点转动引入了冗个方向余弦描述刚体的定点转动引入了冗余的参数，实际上只需要用余的参数，实际上只需要用3 3个独立的参数就个独立的参数就可以确定它在任何一个时刻的位形。在文献中可以确定它在任何一个时刻的位形。在文献中可以找到多种对这组参量的描述，但最有用的可以找到多种对这组参量的描述，但最有用的是是欧勒角。现在，我们来引入这些角度，并用欧勒角。现在，我们来引入这些角度，并用欧勒角。现在，我们来引入这些角度，并用欧勒角。现在，我们来引入这些角度，并用它们来表示变换矩阵。它们来表示变换矩阵。它们来表示变换矩阵。它们来表示变换矩阵。1.1.欧勒角欧勒角节线节线ON进动进动角角自转自转角角章动章动角角Z轴位置由轴位置由，角决定角决定 将将3 3个矩阵按照从右到左的顺序相乘，便得到从空间系个矩阵按照从右到左的顺序相乘，便得到从空间系 到本体系的变换矩阵到本体系的变换矩阵2.2.欧勒运动学方程欧勒运动学方程1.1.力系的简化力系的简化3.4 刚体运动方程与平衡方程刚体运动方程与平衡方程力的作用线不能随意移动力的作用线不能随意移动力的可传性原理力的可传性原理共点力系的简化共点力系的简化 平行四边形法则平行四边形法则共面非平行力系的简化共面非平行力系的简化 力的可传性原理力的可传性原理+平行四边形法则平行四边形法则平行力系的简化平行力系的简化 合力的量值和方向由代数和确定合力的量值和方向由代数和确定 合力的作用线用力矩关系确定合力的作用线用力矩关系确定 （合力对垂直于诸力的某轴的力矩与诸（合力对垂直于诸力的某轴的力矩与诸 分力对同一轴线力矩的代数和相等）分力对同一轴线力矩的代数和相等）力偶矩力偶矩空间力系的简化空间力系的简化空间力系可简化为对某一空间力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩简化中心的主矢和主矩既不既不平行又不汇交的力平行又不汇交的力2.2.2.2.刚体运动微分方程刚体运动微分方程刚体运动微分方程刚体运动微分方程质心的运动方程质心的运动方程质心的运动方程质心的运动方程对质心的角动量定理对质心的角动量定理对质心的角动量定理对质心的角动量定理思路思路 将作用在刚体上的力简化为过质心的力将作用在刚体上的力简化为过质心的力 及对质心的力矩及对质心的力矩。6个个方程正好确定刚体的方程正好确定刚体的6个独立变量个独立变量动能定理可作为辅助方程动能定理可作为辅助方程3.3.3.3.刚体平衡方程刚体平衡方程刚体平衡方程刚体平衡方程对共面力对共面力系，有系，有例例 p171，如图，求如图，求A处的摩擦系数。处的摩擦系数。解解 是共面力系的平衡问题是共面力系的平衡问题 解出解出1.1.刚体的动量矩刚体的动量矩3.5 转动惯量转动惯量刚体对刚体对O点的动量矩点的动量矩令令有有2.2.刚体的转动动能刚体的转动动能3.3.转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量令令回转半径回转半径平行轴定理平行轴定理4.4.惯量张量和惯量椭球惯量张量和惯量椭球对质量连续分布的刚体，转动惯量对质量连续分布的刚体，转动惯量轴轴转转动动惯惯量量惯惯量量积积注意注意 刚体绕不同轴转动，转动惯量不同刚体绕不同轴转动，转动惯量不同至转动瞬轴至转动瞬轴的垂直距离的垂直距离是否有简单的计算公式？是否有简单的计算公式？因为因为由由可得可得上式也可用惯量张量表出上式也可用惯量张量表出 一般说来，惯量张量矩阵的每个元素一般说来，惯量张量矩阵的每个元素都是时间的函数，且与坐标系的选择有都是时间的函数，且与坐标系的选择有关，但在本体坐标系中这些矩阵元不随关，但在本体坐标系中这些矩阵元不随时间变化。时间变化。惯量椭球方程惯量椭球方程在在转动轴上取线段转动轴上取线段Q点的坐标点的坐标利用利用得到得到 在各种本体坐标系中，有一类特别重在各种本体坐标系中，有一类特别重要，就是主轴坐标系。惯量张量矩阵在要，就是主轴坐标系。惯量张量矩阵在主轴坐标系中简单地取对角形式。主轴坐标系中简单地取对角形式。5.5.惯量主轴及其求法惯量主轴及其求法 这种使惯量张量矩阵取对角形式的坐这种使惯量张量矩阵取对角形式的坐标系称为主轴坐标系，它的标系称为主轴坐标系，它的3 3个互相垂直个互相垂直的坐标轴称为惯量主轴。对角元称为主的坐标轴称为惯量主轴。对角元称为主转动惯量。由初始坐标系到主轴坐标系转动惯量。由初始坐标系到主轴坐标系的正交变换称为主轴变换。的正交变换称为主轴变换。一般坐标系下的惯量椭球一般坐标系下的惯量椭球若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，得到主轴坐标系下的惯量椭球得到主轴坐标系下的惯量椭球动能和角动量简化为动能和角动量简化为一般坐标系下的惯量椭球一般坐标系下的惯量椭球主轴坐标系下的惯量椭球主轴坐标系下的惯量椭球惯量主轴的求法惯量主轴的求法 从数学方面看，就是解析几何里求二次曲面主轴的方法，从数学方面看，就是解析几何里求二次曲面主轴的方法，或者线性代数里求本征值的方法。或者线性代数里求本征值的方法。在力学里，对于具有对称性的均匀刚体，可利用对称性在力学里，对于具有对称性的均匀刚体，可利用对称性方便地求出。方便地求出。x轴对称轴对称(x为主轴为主轴)x轴对称轴对称 xy面对称面对称 xy面对称面对称(z为主轴为主轴)例例 均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。p182解解 （A）直接用定积分直接用定积分解解 （B）用用(3.5.15)计算计算解解 （C）取惯量主轴为坐标轴取惯量主轴为坐标轴3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动刚体的平动与绕固定轴的转动 1.刚体平动刚体平动2.定轴转动定轴转动 定定轴轴转动时只有一个变量，转动时只有一个变量，用用角位移角位移就可以确定刚体位置。就可以确定刚体位置。定轴转动动力学方程定轴转动动力学方程转动方程转动方程机械能守恒机械能守恒例例 复摆复摆解解 运动微分方程运动微分方程由由转动方程转动方程周期周期讨论讨论等值单摆长等值单摆长若以若以O为悬点为悬点振动周期振动周期3.3.定轴转动轴上的附加力定轴转动轴上的附加力 刚体作定轴转动，可看作是刚体作定轴转动，可看作是AB两点不动的约束运动，去掉两点不动的约束运动，去掉约束代之以约束反力，就可以约束代之以约束反力，就可以动量定理和动量矩定理求运动动量定理和动量矩定理求运动和约束反力。和约束反力。为为平衡方程，可求平衡方程，可求静约束反力静约束反力。为为运动方程，可求运动方程，可求动约束反力动约束反力。要使要使刚体转动时轴上没有附加压力，要有刚体转动时轴上没有附加压力，要有 该方程组有解的条件是该方程组有解的条件是xc,yc,Iyz和和Izx同时为零，同时为零，即重心在转动轴（惯量主轴）上。即重心在转动轴（惯量主轴）上。例例 2 涡轮可以看作是一个均质圆盘由于安装不善，涡涡轮可以看作是一个均质圆盘由于安装不善，涡轮转动轴与盘面法线成交角轮转动轴与盘面法线成交角1o巳知涡轮圆盘质量为巳知涡轮圆盘质量为20千千克，半径克，半径r=0.2米，重心米，重心O在转轴上，在转轴上，O至两轴承至两轴承A与与B的距离的距离各为各为a=b0.5米设轴以米设轴以12000转分的角速度匀速转动时，转分的角速度匀速转动时，试求轴承上某一时刻的最大压力。试求轴承上某一时刻的最大压力。解解 因因是是几何对称轴，而重心几何对称轴，而重心O在转轴上，故在转轴上，故以以O为参考点为参考点解出解出代入数据得附加压力代入数据得附加压力静压力为静压力为静约束反力静约束反力动约束反力动约束反力平面平行运动平面平行运动 刚体中的任一点始终在平行于某固定平面刚体中的任一点始终在平行于某固定平面 的平面内运动。的平面内运动。3.7 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动1.1.平面平行运动运动学平面平行运动运动学平面平行运动平面平行运动=基点平动基点平动+绕基点的转动绕基点的转动加速度表达式加速度表达式P点对点对O点的点的绝对加速度绝对加速度A点相对点相对O点加速度点加速度P点的相对点的相对A点加速度点加速度在固定参考在固定参考系的表示系的表示 刚体角速度不为零时刚体角速度不为零时，在任一时刻恒有一点的速度在任一时刻恒有一点的速度为零，称为为零，称为转动瞬心转动瞬心。2.转动瞬心转动瞬心对对实验室坐标系实验室坐标系对对固着刚体坐标系固着刚体坐标系 利用转动瞬心利用转动瞬心C与刚体上与刚体上任一点连线与其速度方向垂直，任一点连线与其速度方向垂直，可以用几何法求瞬心可以用几何法求瞬心ABC转动瞬心的求法转动瞬心的求法 转动瞬心转动瞬心C在固定平面在固定平面xy上的轨迹称为上的轨迹称为空间极迹空间极迹，而在薄片上（动平面）的轨而在薄片上（动平面）的轨迹称为迹称为本体极迹本体极迹。刚体的运动是本体极迹刚体的运动是本体极迹在空间极迹上的无滑滚动。在空间极迹上的无滑滚动。例如车轮在轨道上的滚例如车轮在轨道上的滚动。动。例例1 试用转动瞬心法求椭圆规尺试用转动瞬心法求椭圆规尺M点点的速度、加速度，并求的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹的方程式。本体极迹和空间极迹的方程式。转动瞬心转动瞬心空间空间极迹极迹本体本体极迹极迹解解 3.3.平面平行运动动力学平面平行运动动力学 平面平行一般分解为平面平行一般分解为绕过质心绕过质心C点的轴的转动点的轴的转动和质心和质心C的平动。的平动。若外力只有保守力作若外力只有保守力作功，功，刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒质心平质心平动动能动动能绕质心轴绕质心轴转动动能转动动能质心质心运动运动方程方程绕过质心轴的转动方程绕过质心轴的转动方程例例2 无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。COmgNfOyxC解解 （A）机械能守恒定律机械能守恒定律动能动能势能势能机械能机械能求微求微商，得商，得实心圆柱体实心圆柱体空心圆柱体空心圆柱体不能求约束反力不能求约束反力质心质心C点的平动方程：点的平动方程：绕质心绕质心C点的转动方程：点的转动方程：联立方程可求得：联立方程可求得：COmgNfOyxC解解 （B）运动定理运动定理刚体定点转动的例子刚体定点转动的例子3.8 刚体绕固定点的运动刚体绕固定点的运动 陀螺陀螺常平架常平架1.1.刚体定点转动运动学刚体定点转动运动学 定点转动的独立变量有三个，其中两个定点转动的独立变量有三个，其中两个定点转动的独立变量有三个，其中两个定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转动的角度。动的角度。动的角度。动的角度。定点转动时，转动轴的方向随定点转动时，转动轴的方向随时间变化，转动瞬轴在空间描绘的时间变化，转动瞬轴在空间描绘的锥面称锥面称空间极面空间极面，在刚体内描绘的，在刚体内描绘的锥面称锥面称本体极面本体极面。定点转动时，一个角速度矢量定点转动时，一个角速度矢量（有三个分量）就足以描述刚体运动。（有三个分量）就足以描述刚体运动。转动加转动加转动加转动加速度速度速度速度向轴加向轴加向轴加向轴加速度速度速度速度速度速度加速度加速度解：解：解：解：这个是一般运动问题这个是一般运动问题 例例 B当飞机在空中以定值速度当飞机在空中以定值速度V沿半径为沿半径为R的水平圆形的水平圆形轨道轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心与中心A的联线和沿垂线成的联线和沿垂线成角角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度时，点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度AB l，螺，螺旋桨自身旋转的角速度为旋桨自身旋转的角速度为1。因此，因此，B点的速度为：点的速度为：B B点的加速度为：点的加速度为：点的加速度为：点的加速度为：2.2.刚体定点转动动力学方程刚体定点转动动力学方程基本方程基本方程将坐标系固着于刚体，则将坐标系固着于刚体，则但但为什么？为什么？取取惯量主轴为坐标轴，有惯量主轴为坐标轴，有欧勒动力学方程欧勒动力学方程欧勒运动学方程欧勒运动学方程机械能守恒机械能守恒