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基本要求基本要求1 1、理解理解函数连续性的概念函数连续性的概念 （含左连续与右连续）（含左连续与右连续）2、会判别会判别函数间断点的类型函数间断点的类型3、了解了解连续函数的性质和初等函数的连续性连续函数的性质和初等函数的连续性4、理解理解闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）并会应用并会应用1.5.1函数的连续性概念函数的连续性概念一、一、函数在一点连续的概念函数在一点连续的概念1.增量的概念增量的概念 注意增量注意增量 设变量设变量u 从它的一个初值从它的一个初值变到终值变到终值,叫做变量叫做变量u 的的增量增量，记作记作,即即可以是正的，也可以是负的。可以是正的，也可以是负的。(3)的的连续点连续点.2.2.函数函数处连续的定义处连续的定义在点在点定义定义1 设函数设函数满足条件：满足条件：(1)的某邻域内有定义的某邻域内有定义;在点在点(2)在点在点处极限处极限存在存在;则称函数则称函数称为函数称为函数在点在点处连续处连续,定义定义2 的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，在点在点设设若对若对则称函数则称函数称为函数称为函数在点在点处连续处连续,的的连续点连续点.若当自变量的增量若当自变量的增量 趋于零时趋于零时,对对应的函数的增量应的函数的增量 也趋于零也趋于零,即即 则称函数则称函数在点在点处连续。处连续。定义定义3的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，在点在点设设图图解解又又 ，得，得例例1 确定常数确定常数,使使在在处连续处连续.由题设由题设处连续处连续,即即在在二、函数在一点左连续及右连续的概念二、函数在一点左连续及右连续的概念若若 则称函数则称函数在点在点处处右连续右连续；若若则称函数则称函数在点在点处处左连续左连续。函数函数处既处既左连续左连续又又右连续右连续.即即处处连续连续的的充要条件充要条件是它在点是它在点在点在点解解例例2选择选择 的值的值,使使在在处连续处连续.从而当从而当时时,有有处连续处连续.即当即当时时,在在三、函数在区间上连续的概念三、函数在区间上连续的概念注意注意函数的连续性是一点一点地定义的函数的连续性是一点一点地定义的,即函数即函数的连续性是一个的连续性是一个局部局部的概念的概念.若函数若函数在开区间在开区间内内每一点都连续每一点都连续，则称则称在开区间在开区间内连续内连续;如果如果在开区间在开区间内连续内连续，在，在左端点左端点处右连续，处右连续，在右端点在右端点处左连续，则称处左连续，则称 上连续上连续.在闭区间在闭区间又又从而得从而得 内连续。内连续。例例3证明函数证明函数内连续。内连续。在开区间在开区间证证 给给函数的增量为函数的增量为，相应地，相应地一个增量一个增量由定义由定义3知函数知函数处连续。处连续。在点在点由于点由于点函数函数的任意性，故的任意性，故在开区间在开区间1.5.2 间断点及其分类间断点及其分类的的间断点间断点.1.间断点概念间断点概念处出现下述三种情形之一：处出现下述三种情形之一：即即在在的的间断点间断点.称称为为如果函数如果函数的某去心邻域内有定的某去心邻域内有定在点在点为为义义,但点但点的连续点的连续点,那么我那么我 们们称称不是不是通常把间断点分为以下两种类型：通常把间断点分为以下两种类型：2.间断点分类间断点分类的的第二类间断点。第二类间断点。为函数为函数则称点则称点至少有一个不存在，至少有一个不存在，（2）若）若与与注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.（1 1）若）若与与称为称为都存在，则点都存在，则点进一步：进一步：第一类间断点第一类间断点。点点若若称为称为“可去可去”间断点间断点；若若点点称为称为“跳跃跳跃”间断点间断点；又又的第二类间断点。的第二类间断点。例例4 讨论讨论函数函数在在处的连续性处的连续性,若为间断点若为间断点,指出其类型指出其类型.所以点所以点处无定义处无定义,解解在在是函数是函数的间断点。的间断点。故点故点为函数为函数例例5 讨论函数讨论函数 解解 因为因为 但但存在，存在，若为间断点若为间断点,指出其类型指出其类型.在在处的连续性处的连续性,不存在，所以不存在，所以点点为函数为函数的间断点。又的间断点。又故故为为第一类（跳跃第一类（跳跃）间断点。）间断点。例例6 讨论讨论解解且为可去间断点且为可去间断点.则则在在处的连续性处的连续性.又又为函数为函数存在存在的第一类间断点的第一类间断点.现改变函数在现改变函数在处的定义处的定义,令令在在处连续处连续.例例7 讨论下列函数在指定间断点处的类型讨论下列函数在指定间断点处的类型:解解（1）为为第二类第二类间断点间断点,称为称为无穷间断点无穷间断点.的的无穷间断点无穷间断点.（1）在在处；处；（2）在在处。处。一般地一般地,若若,则称则称为函数为函数有有，且且的的第二类间断点第二类间断点.现分别取现分别取（2）在在处。处。由由1.3定理定理6知知故故为为不存在不存在,知，随着知，随着，函数值在，函数值在11与与1之间作无休止之间作无休止的的振荡而无确定的极限，这种间断点称为振荡间断点振荡而无确定的极限，这种间断点称为振荡间断点.由由三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx1.5.3 连连续续函函数数的的运运算算及及其其初初等等函函数数的连续性的连续性一、连续函数的四则运算一、连续函数的四则运算 由函数在某点连续的定义和极限的四则运算由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则法则,可得下列定理可得下列定理:则则定理定理1 设函数设函数处连续，处连续，与与在点在点在在处连续。处连续。二、复合函数的连续性二、复合函数的连续性且且又又定理定理2 设设,构成复合函数构成复合函数在在处连续处连续,则有则有证证处连续处连续,在在成立成立.当当时时,有有从而当从而当 时，有时，有成立，即成立，即必必于是对于这一于是对于这一 使当使当时，有时，有又又即连续函数的复合函数仍是连续函数即连续函数的复合函数仍是连续函数.只需将定理只需将定理2中的条件中的条件即即，便得到定理，便得到定理 3。换为换为定理定理3 设函数设函数处连续处连续,且且在点在点又函数又函数则复合函数则复合函数在点在点处连续，处连续，在点在点处也连续。处也连续。例例8 求求解解 由由 复合函数复合函数的连续性得的连续性得 则其反函数则其反函数三、反函数的连续性三、反函数的连续性 定理定理4 单调连续函数的反函数在相应区间内单调连续函数的反函数在相应区间内仍是单调连续函数仍是单调连续函数.连续连续函数。函数。单调递减单调递减函数有类似结果。函数有类似结果。即即若若是是上的上的单调递增单调递增的的连续连续函数函数,上的上的单调递增单调递增的的是是上是上是连续连续的的,且为且为 由函数连续性的定义可以证明由函数连续性的定义可以证明,指数函数指数函数单调的单调的,值域为值域为 由定理由定理4得得,对数函数对数函数 上单调递增的连续函数上单调递增的连续函数.同样，由定理同样，由定理2 2得得反三角函数反三角函数 在它们的定义域内是在它们的定义域内是连续连续的。的。例如例如,因为因为上单调递增的连续上单调递增的连续是是函数，由定理函数，由定理4 4得反正弦函数得反正弦函数是是在在内内单调且连续单调且连续.在在 由此我们已经得到基本初等函数在其定义区间由此我们已经得到基本初等函数在其定义区间内都是连续的。内都是连续的。四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性下面证明幂函数下面证明幂函数 内连续。内连续。可以证明幂函数在其定义域内是连续的。可以证明幂函数在其定义域内是连续的。设设于是幂函数于是幂函数则则 因此由定理因此由定理3知它在知它在内连续。内连续。对不同的对不同的可看作是由可看作是由复合而成的。复合而成的。再再由由初初等等函函数数的的定定义义及及定定理理1、定定理理3可可得得:一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.即即若若的定义区间内的点，则的定义区间内的点，则是是初等函数初等函数五、利用连续性求函数的极限五、利用连续性求函数的极限例例 9 求求解解 由对数函数的连续性及定理由对数函数的连续性及定理2得得:例例10 选择选择 a 的值的值,使下面函数处处连续使下面函数处处连续:又又所以，要使所以，要使解解 当当连续；当连续；当时时,时时,在在处处,连续连续;在在处连续处连续,综上所得综上所得,当当处处连续处处连续.时时,例例11 计算计算解解 由对数函数和三角函数的连续性知由对数函数和三角函数的连续性知 在点在点所以有所以有处连续处连续,1.5.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理与有界性定理一、最大值和最小值定理与有界性定理定义定义 设函数设函数如果存在如果存在定义在区间定义在区间 上上,使得对于使得对于都有都有则称则称为函数为函数在区间在区间I I上的上的最小值最小值(最大值最大值)。定理定理5 若函数若函数上连续，则上连续，则在闭区间在闭区间上一定有最大值和最小值。上一定有最大值和最小值。在在使得使得即对于即对于,必必上的连续函数上的连续函数的的最大值点最大值点和和最小值点最小值点。分别称为函数分别称为函数定理定理6 闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数在该区间上一定有有界在该区间上一定有有界.由定理由定理5 可得：可得：考察下列考察下列3个函数：个函数：没有最大值与最小值没有最大值与最小值.在开区间在开区间上上连续连续,(a)注意注意 1.1.如果定理如果定理5 5中的条件不满足中的条件不满足,结论就不一结论就不一定成立定成立.2.定理中定理中5的条件是充分的。的条件是充分的。没有没有最大值和最小值最大值和最小值.在在闭区间闭区间上有上有间断间断点点01-1(b)有最大值和最小值有最大值和最小值.01-1-11(c)在在闭区间闭区间上有上有间断间断点点二、零点存在定理与介值定理二、零点存在定理与介值定理则至少存在一点则至少存在一点 几何上几何上表示：表示：与与轴至少有一个交点轴至少有一个交点.如果连续曲线弧如果连续曲线弧不同侧，不同侧，那么这段曲线弧那么这段曲线弧定理定理7(零点定理零点定理)若函数若函数在在上连续，且上连续，且，使得，使得位于位于的两个端点的两个端点 轴的轴的 几何上几何上表示：表示：连续变连续变化的变量从一个值变到化的变量从一个值变到另一个值的过程中，一另一个值的过程中，一定要经过一切中间值而决定要经过一切中间值而决不会漏掉任何一个。不会漏掉任何一个。C0定理定理8（介值定理介值定理）设函数）设函数在在上连续，上连续，为为且且之间的任意一个数，之间的任意一个数，与与少存在一点少存在一点 ,使得使得则至则至与与异号异号.C0证令证令 则则上连续上连续,且且 在在由零点定理由零点定理(定理定理7)7),使得使得 又又从而得从而得,推论推论 闭区间上的连续函数一定可以取得其最闭区间上的连续函数一定可以取得其最大值大值M M与最小值与最小值m m之间的一切值。之间的一切值。证证 设设在在或或即得推论。即得推论。上应用介值定理，上应用介值定理，令令，则有，则有，又，又例例12 设函数设函数上连续上连续,且且在在证明证明上有界上有界.在在证证 由由当当可知可知,对对时时,恒有恒有,于是于是函数函数使使上连续上连续,由定理由定理6知知,在在综上所述综上所述,取取 得得即即上有界上有界.在在例例13 证明三次方程证明三次方程 证证 令令 在区间在区间内各有一个实根内各有一个实根.上连续上连续,内连续内连续,从而在闭区间从而在闭区间 函数函数在在又又由零点定理由零点定理,必存在必存在 使使存在存在使使存在存在使使之中。之中。即方程即方程的三个实根分别落在区间的三个实根分别落在区间作业作业P61-p62(连续连续)1.2.3.5.P62 （间断）（间断）4.(1)(4)(5);6.P62 （闭区间连续性质）（闭区间连续性质）8.9.10;11.（求极限）（求极限）(1)(4)作业讲评及练习（作业讲评及练习（1）P28 5.证明极限证明极限 存在，并求之。存在，并求之。P42 7.求求夹逼准则夹逼准则单调有界准则单调有界准则1.求极限求极限 解：原式解：原式=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)提示提示2.a3 b3=(a b)(a2+ab+b2)解原式解原式=1=0 P411.(4)求极限求极限 3.解解 原式原式=ee=e P428.(10)求极限求极限 4.解解 原式原式=x(ln(x+1)lnx)x ln x+1 x =ln e =1 P42 5.(3)讨论讨论5.讨论函数讨论函数在点在点 x=0 和和 x=1 处的连续性处的连续性。跳跃间断点跳跃间断点 作业讲评作业讲评2P51 2.指出关于指出关于x阶数阶数 (3)P52 7.P62 11.谢谢你的阅读v知识就是财富v丰富你的人生
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