湖南大学高数期末复习课件

湖南大学高数期末复习湖南大学高数期末复习例例2：设直线：设直线 L 和平面和平面 的方程分别为的方程分别为则必有（则必有（）解：解：C6例例3：求过直线：求过直线解：设过直线解：设过直线 L 的平面束方程为的平面束方程为且与平面且与平面夹角为夹角为的平面方程。的平面方程。7（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线、线在某点处的切线、Lagrange 乘数法求最值、方向导数乘数法求最值、方向导数（1）多元函数在某点的极限、导数多元函数在某点的极限、导数要点：要点：I：求二元函数在某点的极限：求二元函数在某点的极限8（1）多元函数在某点的极限、导数多元函数在某点的极限、导数要点：要点：I：求二元函数在某点的极限：求二元函数在某点的极限（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线、线在某点处的切线、Lagrange 乘数法求最值、方向导数乘数法求最值、方向导数9（1）多元函数在某点的极限、导数多元函数在某点的极限、导数要点：要点：I：求二元函数在某点的极限：求二元函数在某点的极限（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线、线在某点处的切线、Lagrange 乘数法求最值、方向导数乘数法求最值、方向导数10（1）多元函数在某点的极限、导数多元函数在某点的极限、导数要点：要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数：用定义求二元函数在某点的偏导数（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；（二）多元函数的定义域、在某点的极限、导数；多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲、多元函数的微分、曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线、线在某点处的切线、Lagrange 乘数法求最值、方向导数乘数法求最值、方向导数11典型例题典型例题例例1：设：设求求解：解：12典型例题典型例题例例2：设：设求求解：解：13典型例题典型例题例例3：设：设求求解：解：14（2）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分合偏导）、多元函数的微分要点：要点：I：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；II：隐函数的二阶（混合）偏导数的计算；：隐函数的二阶（混合）偏导数的计算；例例1：设：设答案：答案：III：多元函数全微分的计算；：多元函数全微分的计算；15（2）多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混多元函数的二阶导数、隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分合偏导）、多元函数的微分要点：要点：I：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；II：隐函数的二阶（混合）偏导数的计算；：隐函数的二阶（混合）偏导数的计算；例例2：设：设答案：答案：III：隐函数的二阶（混合）偏导数的计算；：隐函数的二阶（混合）偏导数的计算；16例例3：设：设是由方程是由方程解：两边取全微分解：两边取全微分所确定的二元函数，求所确定的二元函数，求整理并解得整理并解得17例例3：设：设是由方程是由方程解：两边取全微分解：两边取全微分所确定的二元函数，求所确定的二元函数，求整理并解得整理并解得18（3）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线要点：要点：I：曲面在某点处的切平面曲面在某点处的切平面（1）设曲面方程为）设曲面方程为第一步：计算第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程第三步：分别写出切平面和法线的方程19（2）设曲面方程为）设曲面方程为第一步：取第一步：取第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程线的方程20要点要点II：空间曲线的切线与法平面：空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程第一步：确定点第一步：确定点第二步：计算第二步：计算第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法平面的方程平面的方程21（2）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程（3）设空间曲线）设空间曲线 的方程的方程22例例1：曲线：曲线在点在点（A）xoy 面；（面；（B）yoz 面；（面；（C）zox 面；面；的切线一定平行于（的切线一定平行于（）。）。（D）平面）平面解：取解：取C23例例2：求曲面：求曲面上同时垂直于平面上同时垂直于平面与平面与平面解：取解：取的切平面方程。的切平面方程。设切点为设切点为24拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 1 的所有可能的极值点。的所有可能的极值点。问题问题 1：求函数求函数 z=f(x,y)在约束条件在约束条件 (x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。中往往可根据问题本身的性质来判断。（4）Lagrange 乘数法求最值。乘数法求最值。25例例1：在椭球面在椭球面上，求距离平面上，求距离平面的最近点和最远点。的最近点和最远点。解：设解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为则该点到平面的距离为问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。由于由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题问题 1 转化为下面的等价问题转化为下面的等价问题26问题问题2：在条件在条件下，求函数下，求函数的最大最小值。的最大最小值。问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数（2）联解方程组）联解方程组27（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数（2）联解方程组）联解方程组求得两个驻点：求得两个驻点：对应的距离为对应的距离为28例例1：在椭球面在椭球面上，求距离平面上，求距离平面的最近点和最远点。的最近点和最远点。解：解：问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。求得两个驻点：求得两个驻点：对应的距离为对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以离和最远距离均存在。所以最近距离为最近距离为最远距离为最远距离为29例例2：当当时，求时，求在球面在球面上的最大值，并证明对任意的上的最大值，并证明对任意的成立不等式成立不等式答案：答案：306、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。斯宾诺莎斯宾诺莎7、自知之明是最难得的知识。、自知之明是最难得的知识。西班牙西班牙8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。塞内加塞内加9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。赫尔普斯赫尔普斯10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。笛卡儿笛卡儿 Thank you拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗