现代控制工程五课件

首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5可控性和可观测性的概念可控性和可观测性的概念5线性定常系统的可控性线性定常系统的可控性5线性定常系统的可观测性线性定常系统的可观测性5可控性可控性,可观测性与传递函数矩阵的关系可观测性与传递函数矩阵的关系返回返回5连续系统离散化后的可控性与可观测性连续系统离散化后的可控性与可观测性1首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.1 可控性和可观测性的概念可控性和可观测性的概念 可观性 如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限点的输出测量完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。第五章 线性系统的可控性和可观测性线性系统的可控性和可观测性 可控性如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限点的控制输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。2首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。，系统输出量故系统是可观测的。显见受的控制，但与无关，故系统不可控。是受影响的，能间接获得但的信息，3首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 但与无关，故系统不可观测。图中的、均受的控制，故系统可控，4首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 故系统是可控可观测的。、均受u的控制，图中的 只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构、参数复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。、中均能观测到且在5首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.2 线性定常系统的可控性线性定常系统的可控性 可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与状态方程有关，与输出方程无关。5.2.1离散系统的可控性(1)单输入离散系统 为导出系统可控性的条件，设单输入系统状态方程为 定义 其解为因此的取值也可以是任意的。由于 和 取值都可以是任意的，6首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 称为可控性矩阵。记(4-1)则(4-2)7首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 n个方程中有n个未知数此为充要条件。当rank Sn时，系统不可控，式(4-1)是一个非齐次线性方程组，或称为可控性判据。转移至任意 的控制。表示不存在能使任意当 不受约束时，有时状态转移过程还可能少于n个采样周期。上述过程不仅导出了单输入离散系统可控性条件，而且(4-1)还给出了求取控制指令的具体方法。从以上推导看出，状态可控性取决于和 ，可控系统的状态转移过程至多以n个采样周期便可以完成，8首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.2.2多输入离散系统 设系统状态方程为 可控性矩阵为多输入线性定常散离系统状态可控的充分必要条件是 或9首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 (1)S的行数总小于列数，在列写S时，若能知道S的秩为n,便不必把S的其余列都计算和列写出来。计算一次n阶行列式便可确定可控性。多输入线性定常离散系统转移过程一般可少于n个采样周期。技巧：（2）利用10首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-30 设单输入线性定常散离系统状态方程为试判断可控性；若初始状态，确定使的控制序列,；研究使的可能性。解解 由题意知 故该系统可控。,11首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 可按式（8-90）求出u(0),u(1),u(2)。为了避免矩阵求逆，下面用递推法来求。令k=0，1，2，可得状态序列令，即解下列方程组12首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 其系数矩阵即可控性矩阵S1，它的非奇异性可给出如下的解若令，即解下列方程组 两个秩不等，方程组无解，意为不能在第二个采样周期内使给定初态转移至原点。若该两个秩相等时，便意味着可用两步完成状态转移。容易看出其系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 的秩为3，13首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-31 输入线性定常离散系统的状态方程为 试判断可控性，设初始状态为，研究使的可能性。解：解：由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故该系统可控，由一定能求得控制使系统从任意初态在三步内转移到原点。14首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 给出设初始状态为由于可求得，在一步内使该初态转移到原点。当初始状态为时，亦然，只是但本例不能对任意初态，使之在一步内转移到原点。15首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.2.3 连续系统的可控性（1）单输入系统设状态方程为 定义 终态解为显然，的取值也是任意的。，如果存在无约束的分段连转移至任意终态，则称该系统是状态完全可控的，简称是可控的。，能使系统从任意初态定义：在有限时间间隔内 续控制函数于是有 利用凯莱-哈密顿定理的推论 有 16首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 令 则有 记 其状态可控的充分必要条件是（2）多输入系统记可控性矩阵其状态可控的充要条件为 或 17首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-32 试用可控性判据判断图8-20所示桥式电路的可控性。电路的状态方程如下：解解 选取状态变量：图8-20 电桥电路18首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 反之当，即电桥处于平衡状态时，显然，不能控制 。当时，系统可控；系统不可控可控性矩阵为 19首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-33 试用可控性判断图8-21并联网络的可控性。解解 网络的微分方程为 式中，,状态方程为 20首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 于是当时，系统可控。系统不可控；即不能同时控制住两个状态。，有，当,u只能使实际上，设初始状态而不能将与分别转移到不同的数值，21首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例8-34 判断下列状态方程的可控性 解解 显见S4矩阵的第二、三行元素绝对值相同，系统不可控。22首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 其可控性矩阵S3的行列式为 由此可知：A阵对角化且有相异元素时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断系统可控。系统总是不可控的。时，则不能这样判断，这时若（3）A为对角阵或约当阵时的可控性判据 设二阶系数A、b矩阵为 又设二阶系数A、b矩阵为 23首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 其可控性矩阵S的行列式为 由此可知：当A阵约当化且相同特征值分布在一个约当块时，只需根据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行，即可判断系统可控，与输入矩阵中的其它行是否为零行是无关的。以上判断方法可推广到A阵对角化、约当化的n阶系统。设系统状态方程为24首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 A为对角阵时的可控性判据可表为：A为对角阵且元素各异时，输入矩阵不存在全零行。当A为对角阵且含有相同元素时，上述判据不适用，应根据可控性矩阵的秩来判断。设系统状态方程为25首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 当A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块时，以上判据不适用，也应根据可控性矩阵的秩来判断。A阵约当化时的可控性判据可表为：输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不存在全零行（与约当块其它行所对应的行允许是全零行）；输入矩阵中与相异特征值所对应的行不存在全零行。例如26首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例8-35 下列系统是可控。2)3)1)27首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例8-36 下列系统不可控1)2)3)28首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 （4）可控标准型问题其可控性矩阵为与该状态方程对应的可控性矩阵S是一个右下三角阵，且其主对角线元素均为1，系统一定是可控的，这就是式(4-3)称为可控标准型的由来。(4-3)29首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.3 线性定常系统的可观测性线性定常系统的可观测性5.3.1离散系统的状态可观测性可假设输入为0，其解为 将写成展开式因为是讨论可观性，定义：已知输入向量序列及输出向量序列，能唯一确定任意初始状态向量则称系统是完全可观测的。，30首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 其向量-矩阵形式为 令 为线性定常离散系统可观测性矩阵。可观测的充分必要条件为 31首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例8-37 判断下列线性定常离散系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释。其输出矩阵取了两种情况。解解 计算可观测性矩阵V1故系统可观测。在第k步便可由输出确定状态变量 .由于由输出方程可见（1）32首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 故在第（k+2）步便可确定该系统为三阶系统，可观测意味着至多以三步便能由y（k），y（k+1），y（k+2）的输出测量值来确定三个状态变量。故在第（k+1）步便可确定。由于（2）故系统不可观测。33首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 由输出方程 可看出三步的输出测量值中始终不含 ，故 是不可观测状态变量。只要有一个状态变量不可观测，称系统不完全可观测，简称不可观测。，则称系统是 连续系统的状态可观测性：已知输入及有限时间间隔，能唯一确定初始状态内测量到的输出完全可观测的，简称系统可观测。34首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.3.2连续系统的可观测性定义 对于多输入系统状态可观测的充分必要条件是 或 均称为可观测性矩阵。已知输入u(t)及有限时间间隔 内测量到的输出y(t)，能惟一确定初状态x(t0),则称系统完全可观测.35首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.3.3 A为对角阵或约当阵时的可观测性判据（1）单输入对角二阶系统 可观测矩阵的行列式为 判据：A阵对角化且有相异特征值时，只需根据输出矩阵中没有全零列即可判断系统可观测。，系统总是不可时，则不能这样判断，这时若观测的。36首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.3.3 A为对角阵或约当阵时的可观测性判据 （2）单输入约当二阶系统则 有时A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块内时，判据：输出矩阵中与约当块最前一列所对应的列不是全零列。例如，以上判断方法不适用。37首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 以下 推广到A阵对角化、约当化的n阶系统。设系统动态方程为（令u=0）式中为系统相异特征值，状态变量间解耦，输出解为38首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 A为对角阵时可观测判据：可表为：A为对角阵且元素各异时，输出矩阵不存在全零列。当A为对角阵但含有相同元素时，上述判据不适用，应根据可观测矩阵的秩来判断。设系统动态方程为 为二重特征值且构成一个约当块，为相异特征值。动态方程解为39首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不存在全零列（与约当块其它列所对应的列允许是全零列）；输出矩阵中与相异特征值所对应的列不存在全零列。故A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块内时，可观测判据：对于相同特征值分布在两个或更多个约当块内的情况，以上判据不适用，仍应用可观测矩阵来判断。40首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-38 下列系统可观测，试自行说明。1）2）41首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-39 下列系统不可观测，试自行说明。（1）（2）5.3.4 可观测标准型问题 动态方程中的A、c矩阵具有下列形式42首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 其可观测性矩阵这就是形如（8125）所示的A、C矩阵称为可观测标准型名称的由来。一个可观测系统，当A、C阵不具有可观测标准型时，也可选择适当的变换化为可观测标准型。V2是一个右下三角阵，系统一定可观测，43首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 利用A阵对角化的可控、可观测性判据可知：5.4 可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系 5.4.1 SISO系统 时，通过线性变换定将A对角化当A阵具有相异特征值由于时，当不可控；当时，不可观测。试看传递函数所具有的相应特点。44首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 其中乃是输入至状态向量之间的传递矩阵。这可由状态方程两端取拉氏变换（令初始条件为零）来导出。当 时，不可控，矩阵一定会出现零、极点对消现象，则如45首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 是初始状态至输出向量之间的传递矩阵。对消现象，如 当 时，不可观测，则也一定会出现零、极点46首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 有以上分析可知：单输入-单输出系统可控可观测的充要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）；以上判据仅适用于单输入单输出系统，对多输入多输出系统一般不适用。系统可观测的充要条件是不存在零极点对消。不存在零极点对消，或系统可控的充要条件是47首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-40 已知下列动态方程，试研究其可控性、可观测性与传递函数的关系。2)3)1)解 三个系统的传递函数均为存在零、极点对消。，48首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 （1）A、b为可控标准型 故可控不可观测。例例8-41 设二阶系统结构图如图所示，试用状态空间及传递函数描述判断系统的可控性与可观测性，并说明传递函数描述的不完全性。x1uyx2解解 由结构图列写系统传递函数（2）A、c为可观测标准型，故可观测不可控。为不可控不可观测的状态变量。（3）由A阵对角化时的可控可观测判据可知，系统不可控不可观测，49首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 再写成向量-矩阵形式的动态方程 由状态可控性矩阵S及可观测性矩阵V有 故不可控。故不可观测。由传递矩阵 50首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 两式均出现零极点对消，系统不可控、不可观测。本系统原是不稳定系统，含一个右特征值 ,但如果用对消后的传递函数来描述系统时，会误认为系统稳定。5.4.2 MIMO 系统系统特征多项式为二阶系统的特征多项式是二次多项式,对消结果是二阶系统降为一阶。多输入-多输出系统传递函数矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不可控或不可观测的，需要利用传递函数矩阵中的行或列的线性相关性来判断。51首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.5 连续系统离散化后的可控性与可观测性连续系统离散化后的可控性与可观测性 其状态转移矩阵为 它是可控标准型，故一定可控。一个可控的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性；一个可观测的连续系统，离散化后并也不一定能保持其可观测性。下面举例说明，设连续系统动态方程为:52首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.5 连续系统离散化后的可控性与可观测性连续系统离散化后的可控性与可观测性 其离散化状态方程为 离散化系统的可控性矩阵为当采样周期 时，可控性矩阵为零阵，系统不可控。53首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 故离散化系统的采样周期选择不当时，便不能保持原连续系统的可控性。当连续系统状态方程不可控时，不管采样周期T如何选择，离散化系统一定是不可控的。读者可自行证明：离散后的系统不可观测。54