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白银十中白银十中 李再义李再义一一.数学思想方法的三个层次数学思想方法的三个层次:数学思想数学思想数学思想数学思想和方法和方法和方法和方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法逻辑逻辑逻辑逻辑思维思维思维思维方法方法方法方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、待定系数法、判别待定系数法、判别待定系数法、判别待定系数法、判别式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等 分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、归纳法、反证法等归纳法、反证法等归纳法、反证法等归纳法、反证法等函数和方程思想、函数和方程思想、函数和方程思想、函数和方程思想、分分分分类讨论思想类讨论思想类讨论思想类讨论思想、数形结、数形结、数形结、数形结合思想、化归思想等合思想、化归思想等合思想、化归思想等合思想、化归思想等 根据研究对象的本质属性的差异，将根据研究对象的本质属性的差异，将所研究的问题分为不同种类的思想叫做分所研究的问题分为不同种类的思想叫做分类思想将事物进行分类，然后对划分的类思想将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论类讨论 分类讨论思想分类讨论思想分类讨论的几个主要类型分类讨论的几个主要类型1 1.概念型概念型：问题所涉及到的数学概念是分问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的类进行定义的.如如|a|的定义分的定义分a0、a0、a2时分时分a0、a0和和a0三种情况讨论三种情况讨论.例如：例如：（06南通）已知南通）已知Aa 2，Ba 2a5，Ca 25a19，其中，其中a2求证：求证：BA0，并指出，并指出A与与B的大小关系；的大小关系；指出指出A与与C哪个大？说明理由哪个大？说明理由解解:(1)BA（a1）2+2 0 BA （2）CA（a7）(a3)a2，a70 当当2a3时，时，AC 当当a3时，时，AC 当当a3时，时，AC4.某些不确定的某些不确定的数量数量、不确定的图形的、不确定的图形的形形状或位置状或位置、不确定的、不确定的结论结论等，都要通过等，都要通过分分类讨论类讨论，保证其完整性，使之具有确定性，保证其完整性，使之具有确定性.例如：例如：1.在在RtABC中中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外则这个三角形的外接圆直径是（接圆直径是（）A 5 B 10 C 5或或4 D 10或或8【简解简解】本题对谁是斜边进行讨论，选本题对谁是斜边进行讨论，选D；2.已知关于已知关于x x的方程的方程(k21)x22(k1)x10有实数根，求有实数根，求k k的取值范围的取值范围【简解简解】本题分方程是一元二次方程和一元一次本题分方程是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论，答案方程两种情况讨论，答案:k1；3.菱形有一内角为菱形有一内角为120,有一条对角线为有一条对角线为6cm,则此菱则此菱形的边长为形的边长为 cm.【简解简解】本题分本题分6cm是较短的对角线和是较短的对角线和6cm是较长是较长的对角线两种情况，的对角线两种情况，4.五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是是4，唯一众数是，唯一众数是5，则这五个正整数的和为，则这五个正整数的和为 .【简解简解】本题分五个数分别为本题分五个数分别为1、2、4、5、5；1、3、4、5、5；2、3、4、5、5三种情况，三种情况，5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，则，则这个等腰三角形的顶角这个等腰三角形的顶角 【简解简解】本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高在三角形形外两种情况，答案在三角形形外两种情况，答案 45和和135；ABCDCBACBAo0D6.若若O O为为ABCABC的外心，且的外心，且 ,则则【简解简解】本题分三角形的外心在三角形形内和形外本题分三角形的外心在三角形形内和形外两种情况，答案两种情况，答案 30和和150.如图，如图，P是是RtABC的斜边的斜边BC上异于上异于B，C的一点，过的一点，过P点作直线截点作直线截ABC，截得的三角形与截得的三角形与ABC相似，相似，满足这样条件的直线共有（满足这样条件的直线共有（）条。条。A1 B 2 C3 D4CACPB如图，如图，平面直角坐标系中平面直角坐标系中,点为点为C(3,0)点点B为为(0,4),点点P是是BC的中点，过的中点，过P点点作直线截作直线截ABC，截得的截得的三角形与三角形与ABC相似，写相似，写出截得的三角形未确定顶出截得的三角形未确定顶点的坐标点的坐标.ABCP(1.5,0)或或(0,2)或或在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.（1）点）点T（t，0）是）是x轴上轴上的一个动点。当的一个动点。当t取何值时，取何值时，TOP是等腰三角形？是等腰三角形？xy0.P情况一情况一:OP=OT情况二情况二:PO=PT情况三情况三:TO=TPT3(-4,0)在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.xy0.PA（1）点）点T（t，0）是）是x轴上轴上的一个动点。当的一个动点。当t取何值时，取何值时，TOP是等腰三角形？是等腰三角形？(2)过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标系中的一点。以点为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行为顶点的四边形为平行四边形四边形,请写出点请写出点T的坐标的坐标?(2)过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标系中的一点。以点为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行为顶点的四边形为平行四边形四边形,请写出点请写出点T的坐标的坐标?在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.xy0.PA(3)过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标轴上的一点。以为坐标轴上的一点。以P、O、T 为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOP相似相似,请写出点请写出点T的坐标的坐标?半径为半径为R的两个等圆外切，则半径为的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的且和这两个圆都相切的圆有几个？圆有几个？在一在一张长为9 9厘米，厘米，宽为8 8厘米的矩形厘米的矩形纸板上，剪下一个腰板上，剪下一个腰长为5 5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个点与矩形的一个顶点点A A重合，其余两个重合，其余两个顶点在矩形的点在矩形的边上），上），请你画出剪下的等你画出剪下的等腰三角形的示意腰三角形的示意图？A解：分三种情况解：分三种情况计算：算：当当AE=AF=5AE=AF=5厘米厘米时（图一）一）当当AE=EF=5AE=EF=5厘米厘米时（图2 2）当当AE=EF=5AE=EF=5厘米厘米时（图3 3）分分类类思思想想是是我我们们数数学学中中一一种种非非常常重重要要,也也是是很很常常见见的的思思想想,在在中中考考中中，命命题题者者经经常常利利用用分分类类讨讨论论题题来来加加大大试试卷卷的的区区分分度度.解解答答分分类类讨讨论论问问题题时时，我我们们的的基基本本方方法法和和步步骤骤是是：1 1、要要确确定定讨讨论论对对象象以以及及所所讨讨论论对对象象的的全全体体的的范范围围；2 2、标标准准统统一一、不不漏漏不不重重、分分类类互互斥斥（没没有有重重复复）；3 3、对对所所分分类类逐逐步步进进行行讨讨论论，分分级级进进行行，获获取取阶阶段段性结果性结果；4 4、进行归纳小结，综合得出结论进行归纳小结，综合得出结论.课后小结课后小结作业v请同学们课后根据今天所学内容每种类型找一题进行练习.并相互分享
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