状态重构与状态观测器设计课件

10.3 状态重构与状态观状态重构与状态观测器设计测器设计概概 述述q状态反馈状态反馈相对于输出反馈的优越性是显而易见的。系统的任相对于输出反馈的优越性是显而易见的。系统的任意极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪等，都有赖于引意极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪等，都有赖于引入适当的状态反馈才能够实现。入适当的状态反馈才能够实现。q状态可控的线性定常系统状态可控的线性定常系统可通过可通过线性状态反馈线性状态反馈来进行任意极来进行任意极点配置点配置，以使闭环系统具有所期望的极点及性能品质指标。，以使闭环系统具有所期望的极点及性能品质指标。但是，由于但是，由于 1)描述内部运动特性的状态变量有时并不是描述内部运动特性的状态变量有时并不是能直接测量的，能直接测量的，2)而且有时并没有实际物理量与之直接而且有时并没有实际物理量与之直接相对应而为一种抽象的数学变量。相对应而为一种抽象的数学变量。这些情况下，用状态变量作为反馈变量来构成状态反馈这些情况下，用状态变量作为反馈变量来构成状态反馈系统系统带来了具体工程实现上的困难带来了具体工程实现上的困难。q为此，提出了为此，提出了状态变量的重构或观测估计状态变量的重构或观测估计问题问题?Reconstruction,observation,estimationq所谓的所谓的状态变量的重构或观测估计状态变量的重构或观测估计问题，即设法另外构造一问题，即设法另外构造一个物理上可实现的动态系统个物理上可实现的动态系统,它以原系统的输入和输出作为它的它以原系统的输入和输出作为它的输入输入而它的状态变量的值能而它的状态变量的值能渐近逼近渐近逼近原系统的状态变量原系统的状态变量的值或者其某种线性组合的值或者其某种线性组合则这种渐近逼近的则这种渐近逼近的状态变量的值状态变量的值即为原系统的状态即为原系统的状态变量的估计值变量的估计值并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量来反馈量来构成状态反馈律构成状态反馈律q这种这种重构或估计重构或估计系统状态变量的装置称为系统状态变量的装置称为状态观测器（状态观测器（state observer），它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统，它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统,也可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。也可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型知的信息（输入量及输出量），通过一个模型(或系统、或系统、或软件或软件)来对状态变量进行估计。来对状态变量进行估计。状态观测器状态观测器是指在是指在不考虑噪声干扰不考虑噪声干扰下，状态值的观测或下，状态值的观测或估计问题，即所有测量值都准确无差且原系统内外部无估计问题，即所有测量值都准确无差且原系统内外部无噪声干扰。噪声干扰。对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可用用卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波理论来分析讨论理论来分析讨论(最优估计最优估计)。q本节主要讨论状态观测器理论。本节主要讨论状态观测器理论。重点掌握重点掌握:状态观测器的结构、误差分析、设计方法状态观测器的结构、误差分析、设计方法带状态观测器的状态反馈闭环系统的分析带状态观测器的状态反馈闭环系统的分析10.3.1 全维状态观测器及其设计全维状态观测器及其设计 Full-dimensional state observerq下面分别介绍下面分别介绍开环状态观测器开环状态观测器渐近状态观测器渐近状态观测器1.开环状态观测器开环状态观测器 Open-loop state observerq设线性定常连续系统的状态空间模型为设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即即 其中系统矩阵其中系统矩阵A、输入矩阵输入矩阵B和输出矩阵和输出矩阵C都已知。都已知。这里的这里的问题问题是：是：若状态变量若状态变量 x(t)不能完全直接测量到不能完全直接测量到,如何构造一个如何构造一个系统系统随时随时估计该状态变量估计该状态变量 x(t)？对此问题一个对此问题一个直观想法直观想法是：是：利用仿真技术来构造一个和被控系统利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学有同样动力学性质性质（即有同样的系数矩阵（即有同样的系数矩阵A,B和和C）的如下系统，）的如下系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值（即重构被控系统的状态变量）（即重构被控系统的状态变量）:其中其中 为被控系统状态变量为被控系统状态变量 x(t)的估计值。的估计值。q该状态估计系统称为该状态估计系统称为开环状态观测器开环状态观测器，简记为，简记为图图3-1 开环状态观测器的结构图开环状态观测器的结构图其结构如下图所示。其结构如下图所示。q比较系统比较系统(A,B,C)和和 的状态变量，有的状态变量，有 则状态估计误差则状态估计误差 的解为的解为q显然显然,当当 时时,则有则有 ,即估计值与真实值完全相等。即估计值与真实值完全相等。但是，一般情况下是很难做到这一点的。这是因为但是，一般情况下是很难做到这一点的。这是因为:2.若矩阵若矩阵 A 的某特征值位于的某特征值位于 s 平面的虚轴或右半开平平面的虚轴或右半开平面上面上(实部实部 Re s 0),则矩阵指数函数则矩阵指数函数 eAt 中包含不随中包含不随时间时间 t 趋于无穷而趋于零的元素。趋于无穷而趋于零的元素。1.有些被控系统难以得到初始状态变量有些被控系统难以得到初始状态变量 x(0),即不能保即不能保证证 ;v此时若此时若 或出现对被控系统状态或出现对被控系统状态x(t)或或状态观测器状态状态观测器状态 的扰动的扰动,则将导致状态估计则将导致状态估计误差误差 将不趋于零而为趋于无穷或产生将不趋于零而为趋于无穷或产生等幅振荡。等幅振荡。所以所以,由于上述状态观测器不能保证其估计误差收敛到由于上述状态观测器不能保证其估计误差收敛到零零,易受噪声和干扰影响易受噪声和干扰影响,其应用范围受到较大的限制。其应用范围受到较大的限制。q仔细分析可以发现，这个观测器只利用了被控系统输入信息仔细分析可以发现，这个观测器只利用了被控系统输入信息 u(t)，而未利用输出信息，而未利用输出信息 y(t)，其其相当于处于开环状态，未利相当于处于开环状态，未利用输出用输出y(t)的观测误差或对状态观测值进行校正。的观测误差或对状态观测值进行校正。即即,由观测器得到的由观测器得到的 只是只是 x(t)的一种开环估计值。的一种开环估计值。为了和下面讨论的状态观测器区分开来为了和下面讨论的状态观测器区分开来,通常把该观测通常把该观测器称为器称为开环状态观测器开环状态观测器。2.渐近状态观测器渐近状态观测器 Asymptotic state observerq前面讨论的开环状态观测器没有利用被控系统的可直接测量前面讨论的开环状态观测器没有利用被控系统的可直接测量得到的输出变量来对状态估计值进行修正，估计效果不佳得到的输出变量来对状态估计值进行修正，估计效果不佳可以预见，如果利用输出变量对状态估计值进行修正，可以预见，如果利用输出变量对状态估计值进行修正，即进行即进行反馈校正反馈校正，则状态估计效果将有本质性的改善。，则状态估计效果将有本质性的改善。下面将讨论该类状态观测器系统的特性及设计方法。下面将讨论该类状态观测器系统的特性及设计方法。其估计误差其估计误差 将会因为矩阵将会因为矩阵A 具有在具有在 s 平面平面右半闭平面的特征值，导致不趋于零而趋于无穷或右半闭平面的特征值，导致不趋于零而趋于无穷或产生等幅振荡。产生等幅振荡。q如果对任意矩阵如果对任意矩阵 A 的情况都能设计出相应的状态观测器的情况都能设计出相应的状态观测器,对对于任意的被控系统的初始状态都能满足下列条件于任意的被控系统的初始状态都能满足下列条件:即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态,则称该状态估计器为则称该状态估计器为渐近状态观测器渐近状态观测器。q根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想，和状根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想，和状态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件，可得如下的态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件，可得如下的状态观测器状态观测器:其中其中G 称为称为状态观测器的反馈矩阵状态观测器的反馈矩阵。于是重构状态方程为于是重构状态方程为该状态估计器称为该状态估计器称为全维状态观测器全维状态观测器,简称为简称为状态观测器状态观测器,其结构如下图所示。其结构如下图所示。图图3-2 渐近状态观测器的结构图渐近状态观测器的结构图q 定理定理3-1 （观测器的存在条件观测器的存在条件）线性定常系统）线性定常系统 (A,B,C)具有形如具有形如(3-1)的状态观测器的充分必要条的状态观测器的充分必要条件是系统的件是系统的不可观部分（或不可观模态）是渐近稳定不可观部分（或不可观模态）是渐近稳定的的。q 证证明明：充充分分性性。因因为为(A,B,C)不不可可观观时时，按按可可观观性性进进行行结结构分解，故这里不妨假定构分解，故这里不妨假定(A,B,C)已具有如下形式：已具有如下形式：定理定理10-2（P255）其中其中(A11,C1)可观测，可观测，A22的特征值具负实部。现构造如下的的特征值具负实部。现构造如下的动态系统动态系统 根据前面的分析：根据前面的分析：因为因为于是定理的充分性得证。定理的必要性证明略去。于是定理的充分性得证。定理的必要性证明略去。证毕。证毕。可控，适当选择可控，适当选择 ，可使，可使的特征值，亦即的特征值，亦即的特征值均具负实部；而的特征值均具负实部；而A22是系统的不可观部分，由可检测是系统的不可观部分，由可检测的假定，的假定，A22的特征值具有负实部，故系统的特征值具有负实部，故系统渐近稳定渐近稳定，即，即q先定义如下先定义如下状态估计误差状态估计误差:其中其中 A GC 称为状态观测器的称为状态观测器的系统矩阵系统矩阵。则有则有根据上述误差方程，被控系统根据上述误差方程，被控系统(A,B,C)的渐近状态观的渐近状态观测器，也可简记为测器，也可简记为 。q下面分析状态估计误差是否能趋于零。下面分析状态估计误差是否能趋于零。q显然，上述状态估计误差方程的解为显然，上述状态估计误差方程的解为q当状态观测器的系统矩阵当状态观测器的系统矩阵 A-GC 的所有特征值位于的所有特征值位于 s 平面的平面的左半开平面左半开平面,即具有负实部即具有负实部,因此，状态观测器的设计问题因此，状态观测器的设计问题归结为归结为求反馈矩阵求反馈矩阵G，使使A-GC 的所有特征值具有负实部的所有特征值具有负实部及所期望的衰减速度及所期望的衰减速度即即状态观测器的极点是否可任意配置问题状态观测器的极点是否可任意配置问题。对此有如下定理。对此有如下定理。则无论则无论 等于等于x(0)否否,状态估计误差状态估计误差 将随时间将随时间t趋于无穷而衰减至零趋于无穷而衰减至零,观测器为渐近稳定的。观测器为渐近稳定的。q定理定理 渐近状态观测器的渐近状态观测器的极点可以任意配置极点可以任意配置,即通过矩阵即通过矩阵G任意配置任意配置A-GC的特征值的充要条件为的特征值的充要条件为矩阵对矩阵对(A,C)可观可观。q证明证明 证明过程的思路为：证明过程的思路为：A-GC的极点可的极点可由由G任意配置任意配置两者极点相等两者极点相等AT-CTGT的极点的极点可由可由GT任意配置任意配置经状态反馈经状态反馈GT系统系统(AT,CT)的极的极点可由点可由GT任意配置任意配置对偶性原理对偶性原理(A,C)状态可观状态可观需证明需证明的结论的结论?系统系统(AT,CT)状态可控状态可控极点配置的充要条件极点配置的充要条件定理定理10-3（P255）证明过程为：证明过程为：由于由于A-GC 的特征值与的特征值与 AT-CTGT 的特征值完全相同，则的特征值完全相同，则A-GC 的特征值可由的特征值可由 G 任意配置等价于任意配置等价于AT-CTGT 的特征的特征值可由值可由 GT 任意配置，即任意配置，即等价于系统等价于系统 (AT,CT)可通过状态反馈阵可通过状态反馈阵 GT 进行任进行任意极点配置。意极点配置。而而 (AT,CT)的极点可任意配置的充分必要条件为矩阵的极点可任意配置的充分必要条件为矩阵对对(AT,CT)可控，由对偶性原理知，即矩阵对可控，由对偶性原理知，即矩阵对(A,C)可可观。观。因此因此,A-GC 的特征值可任意配置的充要条件为矩阵对的特征值可任意配置的充要条件为矩阵对(A,C)可观。可观。可见，只要被控系统状态可观，则一定存在可任意极点可见，只要被控系统状态可观，则一定存在可任意极点配置的渐近状态观测器。配置的渐近状态观测器。q与状态反馈的极点配置问题类似，对状态观测器的极点配置与状态反馈的极点配置问题类似，对状态观测器的极点配置问题，对期望的极点的选择应注意下列问题问题，对期望的极点的选择应注意下列问题:1.对于对于n阶系统，可以而且必须给出阶系统，可以而且必须给出 n 个期望的极点。个期望的极点。2.期望极点必须是实数或成对出现的共轭复数。期望极点必须是实数或成对出现的共轭复数。3.为使基于状态观测器的状态反馈闭环控制系统有更好的为使基于状态观测器的状态反馈闭环控制系统有更好的暂态过渡过程，状态观测部分应比原被控系统和闭环系暂态过渡过程，状态观测部分应比原被控系统和闭环系统的控制部分有更快的时间常数统的控制部分有更快的时间常数(衰减更快衰减更快),即即状态观测部分的极点比其它部分的极点应当更远状态观测部分的极点比其它部分的极点应当更远离虚轴离虚轴。q由上述分析过程，类似于状态反馈的极点配置技术，有如下由上述分析过程，类似于状态反馈的极点配置技术，有如下状态观测器的设计方法。状态观测器的设计方法。q方法一方法一方法一的思想方法一的思想:利用利用对偶性原理对偶性原理，将状态观测器设计，将状态观测器设计转化为状态反转化为状态反馈极点配置馈极点配置，然后利用状态反馈极点配置技术求状，然后利用状态反馈极点配置技术求状态观测器的反馈阵态观测器的反馈阵G。其具体方法是，将可观矩阵其具体方法是，将可观矩阵(A,C)转换成对偶的可控矩转换成对偶的可控矩阵对阵对(AT,CT)，再利用极点配置求状态反馈阵，再利用极点配置求状态反馈阵 GT，使得，使得 AT-CTGT 的极点配置在指定的期望位置上。的极点配置在指定的期望位置上。相应地，相应地，G 即为被控系统即为被控系统 (A,B,C)的状态观测器的状态观测器(A-GC,B,C)的反馈矩阵。的反馈矩阵。计算过程可图解如下计算过程可图解如下:可观性矩阵对可观性矩阵对(A,C)可控性矩阵对可控性矩阵对(AT,CT)由状态反馈极点由状态反馈极点配置技术计算配置技术计算GT配置配置AT-CTGT的极点的极点由反馈矩阵由反馈矩阵G配置状态配置状态观测器的观测器的A-GC的极点的极点由对偶原理计算由对偶原理计算由对偶原理计算由对偶原理计算q方法二方法二方法二的思想方法二的思想:先通过非奇异线性变换先通过非奇异线性变换 ,将状态完全可观的将状态完全可观的被控系统被控系统(A,C)变换成变换成可观标准型可观标准型 ,即有即有 其中其中 ai*和和 ai(i=1,2,n)分别为期望的状态观测器分别为期望的状态观测器的极点所决定的特征多项式的系数和原被控系统的的极点所决定的特征多项式的系数和原被控系统的特征多项式的系数。特征多项式的系数。对可观标准型对可观标准型 进行极点配置，求得相应的可观进行极点配置，求得相应的可观标准型的观测器的反馈阵标准型的观测器的反馈阵 如下如下 因此因此,原系统原系统(A,B,C)的相应状态观测器的反馈阵的相应状态观测器的反馈阵G为为q例例3-1 设线性定常系统的状态空间模型为（设线性定常系统的状态空间模型为（P265 习题习题10-5-5）q解解：方法一方法一：1.先利用先利用对偶性方法对偶性方法，求得原系统的如下，求得原系统的如下对偶系统对偶系统:试设计一状态观测器，使其极点配置为试设计一状态观测器，使其极点配置为-3,-4,-5。2.将上述可控状态空间模型化为将上述可控状态空间模型化为可控标准型可控标准型的变换矩阵为的变换矩阵为其中其中3.求对偶系统的状态反馈阵。求对偶系统的状态反馈阵。由于被控系统的特征多项式和期望极点的特征多项由于被控系统的特征多项式和期望极点的特征多项式分别为式分别为f(s)=|sI-A|=s3-3s+2f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60则对偶系统的状态反馈阵则对偶系统的状态反馈阵K为为即所求状态观测器的反馈阵即所求状态观测器的反馈阵G=KT=20 25 12T则相应状态观测器为则相应状态观测器为(2)方法二方法二。1.先将原系统化成先将原系统化成可观标准型可观标准型，相应的变换矩阵，相应的变换矩阵T 为为 其中其中2.因此可观标准型的状态观测器的反馈矩阵为因此可观标准型的状态观测器的反馈矩阵为则原被控系统的状态观测器的反馈矩阵则原被控系统的状态观测器的反馈矩阵G为为可见，用方法二求得的可见，用方法二求得的 G 矩阵与方法一完全相同。矩阵与方法一完全相同。例例：设设被控被控对对象象传递传递函数函数为为试设计全维状态观测器试设计全维状态观测器，将极点配置在将极点配置在-10，-10.解解：被控对象的传递函数为被控对象的传递函数为可直接写出系统的可直接写出系统的可控标准形可控标准形其中其中显然，系统可控且可观。显然，系统可控且可观。观测器特征多项式为观测器特征多项式为期望的特征多项式为期望的特征多项式为令上述两特征方程同次项系数相等，可得令上述两特征方程同次项系数相等，可得 即即10.3.2 带状态观测器的闭环控制系统带状态观测器的闭环控制系统Close-loop control systems with state observerq状态观测器解决了状态变量不能直接测量的系统的状态估计状态观测器解决了状态变量不能直接测量的系统的状态估计问题，它为问题，它为利用状态反馈实现系统闭环控制利用状态反馈实现系统闭环控制奠定了基础。奠定了基础。但状态观测器对状态反馈闭环系统的稳定性和其它性能但状态观测器对状态反馈闭环系统的稳定性和其它性能品质指标的影响如何，则是一个需要细致分析的问题。品质指标的影响如何，则是一个需要细致分析的问题。本节主要研究利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统本节主要研究利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统的特性的特性,以及它和直接采用状态变量为反馈量时的异同。以及它和直接采用状态变量为反馈量时的异同。下面首先导出带状态观测器的状态反馈闭环控制系统的下面首先导出带状态观测器的状态反馈闭环控制系统的状态空间模型，并以此来进行该闭环系统的特性分析。状态空间模型，并以此来进行该闭环系统的特性分析。q设系统设系统(A,B,C)可控可观，则该系统可通过状态反馈进行极可控可观，则该系统可通过状态反馈进行极点配置，以及能建立全维状态观测器并对其进行极点配置。点配置，以及能建立全维状态观测器并对其进行极点配置。若系统若系统(A,B,C)的状态变量不能直接测量，则可由状态的状态变量不能直接测量，则可由状态观测器提供的状态变量的估计值来构成状态反馈律。观测器提供的状态变量的估计值来构成状态反馈律。即对线性定常连续系统即对线性定常连续系统其全维状态观测器为其全维状态观测器为设基于状态观测值设基于状态观测值 的状态反馈律为的状态反馈律为q带全维状态观测器的状态反馈闭环系统的结构图。带全维状态观测器的状态反馈闭环系统的结构图。图图3-3 带状态观测器的状态反馈闭环控制系统结构图带状态观测器的状态反馈闭环控制系统结构图q下面分析上述带状态观测器的状态反馈闭环系统的观测误差：下面分析上述带状态观测器的状态反馈闭环系统的观测误差：首先，定义状态观测误差为首先，定义状态观测误差为另外，闭环控制系统的状态方程又可记为另外，闭环控制系统的状态方程又可记为代入被控系统代入被控系统和状态观测器和状态观测器的输出方程的输出方程增加增加/减去减去-BKx项项 则有则有因此，带全维状态观测器的状态反馈闭环控制系统的因此，带全维状态观测器的状态反馈闭环控制系统的状态空间模型为状态空间模型为q上述带全维状态观测器的闭环控制系统的特性上述带全维状态观测器的闭环控制系统的特性:1.分离特性分离特性 Separation Property(Principle)由闭环系统状态空间模型的状态方程可知，由闭环系统状态空间模型的状态方程可知，整个闭环系整个闭环系统的特征值由矩阵块统的特征值由矩阵块 A-BK 的特征值和矩阵块的特征值和矩阵块 A-GC 的的特征值所组成特征值所组成,即由状态反馈部分的特征值和状态观测器部分的特即由状态反馈部分的特征值和状态观测器部分的特征值所组成。征值所组成。这两部分的特征值可单独设计这两部分的特征值可单独设计(配置配置)，互不影响，这种，互不影响，这种特性称为状态反馈控制与状态观测器的特性称为状态反馈控制与状态观测器的分离特性分离特性(原理原理)。一般在工程上，为了保证有较好的控制精度、快速性和一般在工程上，为了保证有较好的控制精度、快速性和超调量等动态指标，状态观测器部分超调量等动态指标，状态观测器部分A-GC 的特征值的的特征值的实部应远小于状态反馈部分实部应远小于状态反馈部分 A-BK 的特征值的实部，即的特征值的实部，即更远离虚轴。更远离虚轴。2.传递函数的不变性传递函数的不变性由闭环系统状态空间模型，可得带观测器的闭环系统由闭环系统状态空间模型，可得带观测器的闭环系统的传递函数阵如下的传递函数阵如下:因此，带观测器的闭环系统的传递函数阵完全等于直接因此，带观测器的闭环系统的传递函数阵完全等于直接采用状态变量作反馈量的闭环系统的传递函数阵采用状态变量作反馈量的闭环系统的传递函数阵即即状态观测器不改变闭环系统的传递函数阵状态观测器不改变闭环系统的传递函数阵,也就也就是是不改变闭环系统的外部输入输出特性不改变闭环系统的外部输入输出特性。3.状态观测误差不可控状态观测误差不可控由闭环控制系统状态方程可知，状态观测误差由闭环控制系统状态方程可知，状态观测误差 是不可是不可控的，即不能由外部输入去影响它，即与控的，即不能由外部输入去影响它，即与K无关。无关。只要矩阵只要矩阵A-GC的特征值具有负实部，则不管输入信号的特征值具有负实部，则不管输入信号如何，如何，一定按一定按A-GC所确定的衰减速度衰减至所确定的衰减速度衰减至零。零。习题习题-1（掌握）（掌握）:给定线性定常系统给定线性定常系统 其状态不能直接测得，指定期望的闭环极点为其状态不能直接测得，指定期望的闭环极点为-1+j，-1-j，观测器的特征值为观测器的特征值为-2，-4，试设计一个观测器，试设计一个观测器状态反馈状态反馈系统，并画出系统的模拟结构图，计算整个闭环系统的传系统，并画出系统的模拟结构图，计算整个闭环系统的传递函数。递函数。q解解:1.检查控制系统的能控性和能观性检查控制系统的能控性和能观性 所以系统是状态完全能控能观的。从而存在矩阵所以系统是状态完全能控能观的。从而存在矩阵K,G使得使得系统及观测器极点任意配置。系统及观测器极点任意配置。2.设计状态反馈矩阵设计状态反馈矩阵K 设设K k1,k2,则引入状态反馈后系统的特征多项式为则引入状态反馈后系统的特征多项式为由希望极点确定的特征多项式为由希望极点确定的特征多项式为:(s 1 j)(s 1 j)s2 2s 2从而得到从而得到:k1 2,k2 2,即即K 2,2。3.设计状态观测器的输出反馈矩阵设计状态观测器的输出反馈矩阵G状态观测器的特征多项式为状态观测器的特征多项式为 (s 2)(s 4)s2 6s 8设设G g1,g2T，则状态观测器子系统的特征多项式为，则状态观测器子系统的特征多项式为比较可得比较可得:g1 6,g2 8,即即G 6,8T。4.闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数如何如何?由传递函数的不变性可得由传递函数的不变性可得GK,G(s)=1/(s2 2s 2)习题习题-2（P259，例，例10-3，掌握）掌握）:给定线性定常系统给定线性定常系统 试设计带状态观测器的状态反馈系统，是反馈系统的极点试设计带状态观测器的状态反馈系统，是反馈系统的极点配置在配置在-1+j，-1-j，观测器的特征值为，观测器的特征值为-5，-5。设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点为设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点为解解:系统完全可观测的，可构造任意配置特征值系统完全可观测的，可构造任意配置特征值 全维状态观测器。全维状态观测器。1)1)由由 ,得得 ；例例3-2：给定系统的状态空间表达式为：给定系统的状态空间表达式为2)2)观测器的期望特征多项式为观测器的期望特征多项式为 得得 3)3)4)4)5)5)6)6)得全维状态观测器得全维状态观测器其模拟结构图如下所示其模拟结构图如下所示模拟结构图模拟结构图10.3.3 降维状态观测器及其设计降维状态观测器及其设计*Reduced-dimension state observerq用上述方法设计的状态观测器是用上述方法设计的状态观测器是n阶的，即阶的，即n维状态变量全部维状态变量全部由观测器获得，所以该观测器又可称为全维状态观测器。由观测器获得，所以该观测器又可称为全维状态观测器。由输出方程可知，其实状态变量的部分信息可直接由输由输出方程可知，其实状态变量的部分信息可直接由输出变量的测量值提供，如在特殊形式的下述输出方程中出变量的测量值提供，如在特殊形式的下述输出方程中 状状态态变变量量向向量量 x2 即即为为输输出出变变量量 y,故故该该系系统统只只要要对对 x1设设计计状态观测器即可状态观测器即可,对对 x2 就没有必要再设计状态观测器就没有必要再设计状态观测器。因因此此,所所设设计计的的状状态态观观测测器器的的维维数数就就少少于于状状态态变变量量的的维数维数n。该类状态观测器称为该类状态观测器称为降维状态观测器降维状态观测器。q由线性代数知识可知由线性代数知识可知,任何输出方程任何输出方程,只要输出矩阵只要输出矩阵 C 满秩满秩(行满秩行满秩),总可以找到非奇异的线性变换将输出方程变换成总可以找到非奇异的线性变换将输出方程变换成(a)所示的输出方程。所示的输出方程。变换方法介绍如下变换方法介绍如下:首先，对任何输出矩阵为满秩的状态空间模型，经过首先，对任何输出矩阵为满秩的状态空间模型，经过对状态变量的重新排列顺序，都可变换成如下形式的对状态变量的重新排列顺序，都可变换成如下形式的状态空间模型状态空间模型 其中矩阵其中矩阵 C2为为mm维的可逆方阵维的可逆方阵;状态变量向量状态变量向量 x1和和 x2 分别为分别为 n-m 维和维和 m 维的。维的。当选取变换矩阵当选取变换矩阵P为为q对状态空间模型对状态空间模型 ，状态变量，状态变量 即为输出变量即为输出变量y(t),因此只需对状态变量因此只需对状态变量 设计降维状态观测器即可。设计降维状态观测器即可。在求得状态变量在求得状态变量 的状态估计值后的状态估计值后，作上述线性变换，作上述线性变换的逆变换，则可求得原状态变量的逆变换，则可求得原状态变量 x(t)的估计值。的估计值。经上述变换后，状态变量经上述变换后，状态变量 所满足的状态方程为所满足的状态方程为q下面介绍下面介绍降维状态观测器的设计方法。降维状态观测器的设计方法。其中其中 z 是降维状态观测器的是降维状态观测器的n-m维状态变量维状态变量;仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法，构造状态仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法，构造状态变量变量 的全维状态观测器如下的全维状态观测器如下:是该降维状态观测器的输出变量，即变换后的系是该降维状态观测器的输出变量，即变换后的系统的状态变量统的状态变量 的估计值的估计值;矩阵矩阵 F,G,H 和和 L 为适宜维数的待定常数矩阵。为适宜维数的待定常数矩阵。q降维状态观测器的结构图如图降维状态观测器的结构图如图3-4所示。所示。图图3-4 降维状态观测器的结构图降维状态观测器的结构图q下面讨论如何选取下面讨论如何选取降维状态观测器降维状态观测器(b)的各矩阵，才能使得的各矩阵，才能使得 将上式及将上式及y=代入式代入式(c),可得可得和和由状态观测器方程由状态观测器方程(b)，有有将式将式(d)减去上式减去上式,可得状态估计误差可得状态估计误差 所满足的动态所满足的动态方程方程将状态空间模型中将状态空间模型中 所满足的状态方程代入上式所满足的状态方程代入上式,可得可得若取若取则状态观测误差则状态观测误差 所满足的状态方程所满足的状态方程(e)可记为可记为若取若取由式由式(g)可知，类似于前面所讨论的全维状态观测器，当可知，类似于前面所讨论的全维状态观测器，当矩阵对矩阵对 是状态完全可观的，则通过矩阵是状态完全可观的，则通过矩阵L的选的选择可任意配置矩阵择可任意配置矩阵F 的特征值，即能使的特征值，即能使F的特征值都具的特征值都具有负实部。有负实部。q由上式由上式(g)可知，欲使可知，欲使 渐近逼近渐近逼近 的充分必要条件为的充分必要条件为矩阵矩阵F的全部特征值都具有负实部。的全部特征值都具有负实部。因此矩阵因此矩阵L的选择方法与全维状态观测器中的反馈矩阵的选择方法与全维状态观测器中的反馈矩阵G的选取方法完全一致的选取方法完全一致,亦有相应的方法一和方法二。亦有相应的方法一和方法二。因此，由线性系统的输出方程和降维状态观测器，我们因此，由线性系统的输出方程和降维状态观测器，我们可得状态变量向量可得状态变量向量 的如下估计值的如下估计值则原系统的状态变量向量则原系统的状态变量向量x(t)的估计值为的估计值为于是所设计的原系统的降维状态观测器为于是所设计的原系统的降维状态观测器为q例例3-3 设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为 试设计一降维状态观测器，使其极点配置为试设计一降维状态观测器，使其极点配置为-3,-4。q解解(1)将系统作结构分解。将系统作结构分解。由于由于rank C=1，且，且C 阵的最后一个元素不为零，阵的最后一个元素不为零，所以不所以不必再重新排列状态变量，只要按虚线所示方式将系统分必再重新排列状态变量，只要按虚线所示方式将系统分解即可。解即可。按式按式(h)构造变换矩阵构造变换矩阵P如下如下:相应地相应地(2)计算计算 :(3)由式由式(b)可知，降维状态观测器的特征多项式为可知，降维状态观测器的特征多项式为(4)由给定的期望特征值得期望的特征多项式为由给定的期望特征值得期望的特征多项式为f*(s)=(s+3)(s+3)=s2+7s+12 令令f(s)=f*(s),则可得则可得(5)由由 F,G 和和 H 的计算公式的计算公式,可得降维状态观测器的各矩阵为可得降维状态观测器的各矩阵为 于是所得的降维状态观测器为于是所得的降维状态观测器为 则原系统的状态变量向量则原系统的状态变量向量x的估计值为的估计值为 作作 业业q 10-5(2),(4)q 10-7