热力学统计物理-第八章-课件剖析

第八章第八章玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式由第由第7.2节可知，非简并条件可以表达为节可知，非简并条件可以表达为或或n3 即是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的即是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能量的零点，即能量。如果取最低能级为能量的零点，即0=0，则有，则有 0化学势化学势由公式由公式确定，为温度确定，为温度T和粒子数密度和粒子数密度n=N/V的函数。的函数。l和和l都与温度无关，在粒子数密度都与温度无关，在粒子数密度n给定的情形下，给定的情形下，温度愈低，温度愈低，值必然愈高（值必然愈高（|愈小）。愈小）。利用第利用第6.2节公式节公式将上式的求和用积分代替，可将之表达为将上式的求和用积分代替，可将之表达为化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界临界温度温度TC时，时，将趋于将趋于-0。这时，。这时，趋于趋于1。临界温度临界温度TC由下式定出由下式定出令令x=/kTC，上式可表为，上式可表为由积分由积分可得对于给定的粒子数密度可得对于给定的粒子数密度n，临界温度，临界温度TC为为温度低于温度低于TC时会出现什么现象？时会出现什么现象？在在T0的粒子数密度的粒子数密度n0。在第二项中。在第二项中已取极限已取极限-0。首先计算上式中的第二项。令首先计算上式中的第二项。令x=/kT，得，得将此式代回上式得，温度为将此式代回上式得，温度为T 时处在最低能级时处在最低能级=0的粒子的粒子数密度数密度由此可知，在由此可知，在TC以下以下n0与与n具有相同的量级，具有相同的量级，n0随温度的变随温度的变化如图。化如图。这一现象称为这一现象称为玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚，简称，简称玻色凝聚玻色凝聚。TC称为称为凝聚温度凝聚温度。凝聚在。凝聚在0的粒子集合称为的粒子集合称为玻色凝聚体玻色凝聚体。凝聚体不但凝聚体不但能量能量、动量为零（对、动量为零（对压强压强无贡献），由于无贡献），由于凝聚体的微观状态完全确定，凝聚体的微观状态完全确定，熵熵也为零。也为零。在在T0的粒子的粒子能量的统计平均值能量的统计平均值其中其中x=/kT。将积分求出，并将临界温度。将积分求出，并将临界温度TC的表达式代入，的表达式代入，得得定容热容为定容热容为此式指出，在此式指出，在TTC时理想玻色气体的时理想玻色气体的CV与与T3/2成正比，到成正比，到T=TC时时CV达到极大值达到极大值CV=1.925Nk，高温时应趋于经典值，高温时应趋于经典值3Nk/2。将临界温度将临界温度TC的表达式改写为的表达式改写为满足此式时原子的热波长大于原子的平均间距，量子统计满足此式时原子的热波长大于原子的平均间距，量子统计关联起着决定性作用。故而此式是理想玻色气体出现凝聚关联起着决定性作用。故而此式是理想玻色气体出现凝聚的临界条件。的临界条件。出现凝聚体的条件为出现凝聚体的条件为n32.612由此可知，可以通过降低温度和增加气体粒子数密度的方由此可知，可以通过降低温度和增加气体粒子数密度的方法实现玻色凝聚。法实现玻色凝聚。8.4 光子气体光子气体平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关u=aT4根据粒子的观点，可以把空窖内的辐射场看作根据粒子的观点，可以把空窖内的辐射场看作光子气体光子气体。普朗克公式普朗克公式由德布罗意关系由德布罗意关系以及关系式以及关系式=ck，可得，可得光子的能量动量关系光子的能量动量关系=cp光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。故在导出玻色分布时只存在故在导出玻色分布时只存在E是常数的条件，因而只应引进一个拉氏是常数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子乘子。光子气体的统计分布为光子气体的统计分布为因为因为=-/kT,=0意味着平衡状态下光子气体的化学势为零。意味着平衡状态下光子气体的化学势为零。光子的自旋量子数为光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向的投影可取，自旋在动量方向的投影可取两个可能值。由第两个可能值。由第6.2节公式可知，在体积为节公式可知，在体积为V的空窖内，的空窖内，在在p到到p+dp的动量范围内，光子的量子态数为的动量范围内，光子的量子态数为由光子的能量动量关系又可得，在体积为由光子的能量动量关系又可得，在体积为V的空窖内，在的空窖内，在到到+d的圆频率范围内，光子的量子态数为的圆频率范围内，光子的量子态数为平均光子数为平均光子数为辐射场的内能则为辐射场的内能则为此式称为此式称为普朗克公式普朗克公式，所给出的辐射场内能按频率的分布，所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。与实验结果完全符合。对普朗克公式积分，可求得平衡辐射的内能对普朗克公式积分，可求得平衡辐射的内能引入变量引入变量x=/kT，上式化为，上式化为将积分求出得将积分求出得此式指出，平衡辐射的内能密度与热力学温度的四次方成此式指出，平衡辐射的内能密度与热力学温度的四次方成正比。正比。极限情况极限情况在在/kT1的高频范围，的高频范围，e/kT1，故有，故有此式称为此式称为维恩公式维恩公式。可以看出，当。可以看出，当/kT1时，时，U(,T)随随的增加而迅速地趋近于零。的增加而迅速地趋近于零。维恩位移定律维恩位移定律根据普朗克公式，辐射场的内能密度随根据普朗克公式，辐射场的内能密度随的分布有一的分布有一极大值极大值m。引入。引入x=/kT，则，则m由下式定出由下式定出由此可得由此可得3-3e-x=x这个方程可用图解或数值法解出这个方程可用图解或数值法解出此式指出，使辐射场能量取极大的此式指出，使辐射场能量取极大的m/kT值是一定的。换值是一定的。换句话说，句话说，m与与T成正比。这结论称为成正比。这结论称为维恩位移定律维恩位移定律。光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数对于光子气体，巨配分函数的对数为对于光子气体，巨配分函数的对数为将积分求出，可得将积分求出，可得进而光子气体的内能为进而光子气体的内能为与前面通过对与前面通过对普朗克公式积分普朗克公式积分得到的结果一致。得到的结果一致。光子气体的压强为光子气体的压强为比较上面两式，有比较上面两式，有光子气体的熵为光子气体的熵为光子气体的熵随光子气体的熵随T0而趋于零，符合热力学第三定律的要而趋于零，符合热力学第三定律的要求。求。在第在第2.6节曾导出平衡辐射的通量密度与内能密度的关节曾导出平衡辐射的通量密度与内能密度的关系系根据第根据第7.3节的泻流概念可以直接求得光子气体的辐射通量节的泻流概念可以直接求得光子气体的辐射通量密度密度8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体在初步的近似中，人们把金属中的在初步的近似中，人们把金属中的公有电子公有电子看作在金属内部看作在金属内部自由自由运动的近独立粒子运动的近独立粒子。实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容与离子振动实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容与离子振动的热容相比较，可以忽略。的热容相比较，可以忽略。强简并费米气体强简并费米气体例例铜铜(Cu)的密度为的密度为8.9103kgm-3，相对原子量为，相对原子量为63，如，如果一个铜原子贡献一个自由电子，则果一个铜原子贡献一个自由电子，则n=8.9/63NA=8.5 1028m-3。电子质量为。电子质量为9.110-31kg，故，故在在T=300K时，时，n3=3400。这说明金属中。这说明金属中自由电子自由电子形成形成强简强简并的费米气体并的费米气体。根据费米分布，温度为根据费米分布，温度为T时处在能量为时处在能量为的一个量子的一个量子态上的平均电子数为态上的平均电子数为根据第根据第6.2节公式，考虑到电子自旋在动量方向投影有两个节公式，考虑到电子自旋在动量方向投影有两个可能值，在体积可能值，在体积V内，在内，在+d的能量范围内，电子的量的能量范围内，电子的量子态数为子态数为所以在体积所以在体积V内，在内，在+d能量范围内，平均电子数为能量范围内，平均电子数为在给定电子数在给定电子数N、温度、温度T和体积和体积V时，化学势时，化学势由下式确定由下式确定由此式可知，由此式可知，是温度是温度T和电子数密度和电子数密度N/V的函数。的函数。T=0K以以(0)表示表示0K时电子气体的化学势，由平均粒子数时电子气体的化学势，由平均粒子数公式知，公式知，0K时时可知可知(0)是是0K时电子的最大能量，时电子的最大能量，由下式确定由下式确定上式积分，可解得上式积分，可解得(0)也常称为也常称为费米能级费米能级。令。令(0)=pF2/2m，可得，可得pF=(32n)1/3pF是是0K时电子的最大动量，称为时电子的最大动量，称为费米动量费米动量。由前式可知，由前式可知，(0)取决于电子气体的数密度。根据取决于电子气体的数密度。根据前面的数据，可计算得，对于铜前面的数据，可计算得，对于铜(0)=1.1210-18J 或 7.0eV定义定义费米温度费米温度TFkTF=(0)得铜的得铜的TF=8.2104K。这说明。这说明(0)的数值是很大的。的数值是很大的。费米面费米面费米球费米球0K时电子气体的时电子气体的内能内能为为由此可知，由此可知，0K时电子的平均能量为时电子的平均能量为3(0)/5。0K时电子气体的时电子气体的压强压强为为0K时铜的电子气体的压强为时铜的电子气体的压强为3.81010Pa。这是一个极大的值。这是一个极大的值。它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果，常称为电子气体它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果，常称为电子气体的的简并压简并压。由前面平均粒子数的公式可知，由前面平均粒子数的公式可知，0K时电子气体的微观时电子气体的微观状态是完全确定的。由玻尔兹曼关系状态是完全确定的。由玻尔兹曼关系S=kln知，其知，其熵熵为零。为零。T0K由平均粒子数公式知由平均粒子数公式知注意到函数注意到函数e(-)/kT 按指数规律随按指数规律随变化，实际上只在变化，实际上只在附近附近量级为量级为kT的范围内，电子的分布与的范围内，电子的分布与T=0K时的分布有差异。时的分布有差异。费米面费米面“模糊化模糊化”在在kT(0)即即TTF情形下，电子气体的分布与情形下，电子气体的分布与0K时的分布差时的分布差异不大，异不大，(T)与与(0)十分接近，此时恒有十分接近，此时恒有e-/kT 1。因此费米气体的强。因此费米气体的强简并条件也往往表为简并条件也往往表为T0时电子的分布可知，只有能量在时电子的分布可知，只有能量在附近、量级附近、量级为为kT范围内的电子对热容有贡献。范围内的电子对热容有贡献。以以N有效表示能量在表示能量在附近附近kT范围内对热容有贡献的有范围内对热容有贡献的有效电子数效电子数将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容的贡将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容的贡献为献为3kT/2，则金属中自由电子对热容的贡献为，则金属中自由电子对热容的贡献为前面对铜的估计指出，室温范围内前面对铜的估计指出，室温范围内T/TF1/270。所以。所以在室温范围，金属中自由电子对热容的贡献远小于经典理在室温范围，金属中自由电子对热容的贡献远小于经典理论值。与离子振动的热容相比，电子的热容可以忽略。论值。与离子振动的热容相比，电子的热容可以忽略。电子数电子数N满足满足上式可确定自由电子气体的化学势。电子气体的内能为上式可确定自由电子气体的化学势。电子气体的内能为将上两式的积分求出，得将上两式的积分求出，得式中式中 。进而化学势。进而化学势当当T0时，将时，将C代入，正好得到代入，正好得到=(0)。同时，上式中第。同时，上式中第二项很小，可用二项很小，可用(0)代替代替而得到而得到将上式代入上面内能将上式代入上面内能U，并作相应近似，可得，并作相应近似，可得上式给出自由电子气体的内能。由此得自由电子气体的定上式给出自由电子气体的内能。由此得自由电子气体的定容热容为容热容为这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。在常温范围，电子的热容远小于离子振动的热容。在常温范围，电子的热容远小于离子振动的热容。但在低温范围，离子振动的热容按但在低温范围，离子振动的热容按T3随温度而减少；电子热容与随温度而减少；电子热容与T成正比，减少比较缓慢。成正比，减少比较缓慢。所以，在足够低的温度下，电子热容将大于离子振动的热容而成所以，在足够低的温度下，电子热容将大于离子振动的热容而成为对金属热容的主要贡献。为对金属热容的主要贡献。作业：作业：8.1、8.5、8.8、8.10、8.18、8.20