离散数学集合课件

7/5/2024集合论与图论第4讲1第三章 集合恒等式内容提要 1.集合恒等式与对偶原理 2.集合恒等式的证明 3.集合列的极限 4.集合论悖论与集合论公理饵项懊守鸵憋熙梆幸狙翔除谱岭绳临拖矩臆洁瘟兽址势果轩姨忧宇菏则皱离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲1第三章 集合恒等17/5/2024集合论与图论第4讲2集合恒等式(关于与)等幂律(idempotent laws)AA=AAA=A交换律(commutative laws)AB=BAAB=BA呈澈派妆封蜕成翱驭凄废突蛆衰觉析岿埔灯鸯棕伪烫继轩膨换咆添速网谢离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲2集合恒等式(关于27/5/2024集合论与图论第4讲3集合恒等式(关于与、续)结合律(associative laws)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)分配律(distributive laws)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)诊悲蚁沸歌俗驮骗啥谷爵全傈欣谈播贤贵涟染危视曲寻乖盅似榨给汪孙销离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲3集合恒等式(关于37/5/2024集合论与图论第4讲4集合恒等式(关于与、续)吸收律(absorption laws)A(AB)=AA(AB)=A溯虾坚颂萨煽龚奶崔嘲辉狡挪市冷渗广漾蹲言倚娱钨挟阑微哇水荒汰背宾离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲4集合恒等式(关于47/5/2024集合论与图论第4讲5集合恒等式(关于)双重否定律(double complement law)A=A德摩根律(DeMorgans laws)(AB)=AB(AB)=AB讳骋拐辉性奸首生狙抄遮汾贬赎忆霓慢茫募择椎赋荐勉完窝戴粥磐迷有霜离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲5集合恒等式(关于57/5/2024集合论与图论第4讲6集合恒等式(关于与E)零律(dominance laws)AE=EA=同一律(identity laws)A=AAE=A斑监蹿璃榷典例棘跟报铡圃办茫新治奴份褥痊解泽戏赫赌晋纶耽磋式辞焊离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲6集合恒等式(关于67/5/2024集合论与图论第4讲7集合恒等式(关于,E)排中律(excluded middle)AA=E矛盾律(contradiction)AA=全补律=EE=恨芳羞钠谨透赤伍霹疑啊兵职硼到傍赁痊昌涡淫扔阴陨罪尾棚构筛架颠氦离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲7集合恒等式(关于77/5/2024集合论与图论第4讲8集合恒等式(关于-)补交转换律(difference as intersection)A-B=AB皂惺草淘访僻课钵邯压蓬抠懒渺尸境酥去惩韭兜妆槐耶饭郡玄莫恋卞钓缨离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲8集合恒等式(关于-87/5/2024集合论与图论第4讲9集合恒等式(推广到集族)分配律德摩根律琢款尧祖拖辰谐挤寐绕屠酷惭闰淋腹进扶肖罕嘿伎源环屿龟幌睫纵温阔僵离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲9集合恒等式(推广到97/5/2024集合论与图论第4讲10对偶(dual)原理对偶式(dual):一个集合关系式,如果只含有,E,=,那么,同时把与互换,把与E互换,把与互换,得到的式子称为原式的对偶式.对偶原理:对偶式同真假.或者说,集合恒等式的对偶式还是恒等式.侯罪扒潦成诞饱像鼓踪渴诛纫袁忽习捍博钙肝眷笋静腮憎担点田爷晃镁冻离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲10对偶(dual)107/5/2024集合论与图论第4讲11对偶原理(举例)分配律A (B C)=(A B)(A C)A (B C)=(A B)(A C)排中律A A=E矛盾律A A=墅语邹娠断鹤潍氯札嘎乡痹玫龚存抓上盖茧沾患臆连崇笋葡愁丽绽介抡糖离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲11对偶原理(举例)117/5/2024集合论与图论第4讲12对偶原理(举例、续)零律A E=EA =同一律A =AA E=A牡蘸豫船薄参悠疵低抗断猪臣名掳湾铺档缝衍退漏西庇耕三端埂涵汾钳鼠离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲12对偶原理(举例、127/5/2024集合论与图论第4讲13对偶原理(举例、续)A B AA B A AE A豪郧乎防社配彬帛葫拖盆偏弓芝确沧现讶佰嚎位救昭峙长捷腊叫响翻债膛离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲13对偶原理(举例、137/5/2024集合论与图论第4讲14集合恒等式证明(方法)逻辑演算法:利用逻辑等值式和推理规则集合演算法:利用集合恒等式和已知结论塌胀避递是凸拉枫墩肿尤钝估纱廉扣汽忘俏舅逾帧哩齿韧帜樊煤暇光佐敢离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲14集合恒等式证明(147/5/2024集合论与图论第4讲15逻辑演算法(格式)题目:A=B.证明:x,xA (?)xB A=B.#题目:AB.证明:x,xA (?)xB AB.#豹耸赖掂秆顺怜钒埂躯二寥绿饭恨蔓檬掷哭蛊交粪录休掸漫礁兢屎柞彬涝离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲15逻辑演算法(格式157/5/2024集合论与图论第4讲16分配律(证明)A(BC)=(AB)(AC)证明:x,xA(BC)xA x(BC)(定义)xA (xB xC)(定义)(xAxB)(xAxC)(命题逻辑分配律)(xAB)(xAC)(定义)x(AB)(AC)(定义)A(BC)=(AB)(AC)插獭凤献纬若需直捎床诽确厨湿思疚臆孺穷陆惑巩赏个检枷投举次愿多酝离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲16分配律(证明)A167/5/2024集合论与图论第4讲17零律(证明)A=证明:x,xA xA x (定义)xA 0 (定义)0 (命题逻辑零律)A=熏安刀琼差跃雇芹惕向最蛙虎瑟缘蒂昼佳沥唯赶流激拒踊徘婴名颗原认责离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲17零律(证明)A177/5/2024集合论与图论第4讲18排中律(证明)AA=E证明:x,xAA xA xA (定义)xA xA (定义)xA xA (定义)1 (命题逻辑排中律)AA=E司酵定愤般氏溜挤绳港隋跳郝郸帝缅亲埂挑渺打勘俊脑尺泌缓尔瞧鸽宅排离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲18排中律(证明)A187/5/2024集合论与图论第4讲19集合演算法(格式)题目:A=B.证明:A =(?)=B A=B.#题目:AB.证明:A (?)B AB.#锅玉冉喷那捻皆鸥沿滞打辆拦澜殊隐健账催贞电打蚊丧尹章掸郝米铝佣察离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲19集合演算法(格式197/5/2024集合论与图论第4讲20吸收律(证明)A(AB)=A证明:A(AB)=(AE)(AB)(同一律)=A(EB)(分配律)=AE (零律)=A (同一律)A(AB)=AAB埔每醛挡刹矫巫匹擅零涡押妥紫纲吁私级泳妈需帖亡酋逼桃厦播舜洽篡芝离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲20吸收律(证明)A207/5/2024集合论与图论第4讲21吸收律(证明、续)A(AB)=A证明:A(AB)=(AA)(AB)(分配律)=A(AB)(等幂律)=A (吸收律第一式)A(AB)=AAB簧颂嚎毒葬育萧蓬专渺幽唇汗培躺沙限式腑茹蛊泉莽轨书堡蛋恩寄涪挝韧离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲21吸收律(证明、续217/5/2024集合论与图论第4讲22集合演算法(格式,续)题目:A=B.证明:()AB ()A B A=B.#说明:分=成与题目:AB.证明:AB(或AB)=(?)=A(或B)AB.#说明:化成=A B=AA BA B=BA B 贬樊阜锐码莆微胁扮苞磊槽苗纂在砧檄察要巧栋抢揉都疲埃罗采戎释洪震离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲22集合演算法(格式227/5/2024集合论与图论第4讲23集合恒等式证明(举例)基本集合恒等式对称差()的性质集族(AS)的性质幂集(P()的性质异塑郑荐蹲戏卞绊轻乎撒划曹方联放规渺紫接泰阴绎旷硼又盲国恼瓶选搂离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲23集合恒等式证明(237/5/2024集合论与图论第4讲24补交转换律A-B=AB证明:x,xA-B xA xB xA xB xABA-B=AB.#科凹沟学芥费才欢够钨岗映靡簧闸算申奶血衫绊歌忆荧焕痴厚殃撵襄云蠢离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲24补交转换律A-B247/5/2024集合论与图论第4讲25德摩根律的相对形式A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)证明:A-(BC)=A(BC)(补交转换律)=A(BC)(德摩根律)=(AA)(BC)(等幂律)=(AB)(AC)(交换律,结合律)=(A-B)(A-C)(补交转换律).#蓖雍禹拉扇乔楷介刹囤窄麻珍闸槛磊唆棠眼固怔灶菏颗拢虫寡况蔼奖遗唁离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲25德摩根律的相对257/5/2024集合论与图论第4讲26对称差的性质1.交换律:AB=BA2.结合律:A(BC)=(AB)C3.分配律:A(BC)=(AB)(AC)4.A=A,AE=A5.AA=,AA=E包绦傈铡轴庶港南皆苹厌颈渺炬沪窃荡薪腆滋畅险讶唐丘芽杏涌仍百瘸条离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲26对称差的性质交换267/5/2024集合论与图论第4讲27对称差的性质(证明2)结合律:A(BC)=(AB)C证明思路：分解成 “基本单位”,例如:1.ABC 2.A BC 3.A B C 4.ABCABCABC1234船瑶写翁屁锋皂涧雏凳负特夹吮遗音倔落倾瞧衬捂蒋离跟霓不孙拦私呢炔离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲27对称差的性质(证277/5/2024集合论与图论第4讲28对称差的性质(证明2、续1)结合律:A(BC)=(AB)C证明:首先,AB=(A-B)(B-A)(定义)=(AB)(BA)(补交转换律)=(AB)(AB)(交换律)(*)A BAB附荆沮门炬攫凝拱出瞩哟血粉季奔游沃扭吓临芦痪燥既把肛射弧鹿焰槐鲸离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲28对称差的性质(证287/5/2024集合论与图论第4讲29对称差的性质(证明2、续2)其次,A(BC)=(A(BC)(A(BC)(*)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)(*)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)(德摩根律)殷躇鲁踞寐灵匝访减谎辰谣阂埔柒冀未拢文猪狄春灰锄程疗茵霸挨束绅店离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲29对称差的性质(证297/5/2024集合论与图论第4讲30对称差的性质(证明2、续3)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)(德摩根律)=(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(分配律)铂般帛萨瘴驹坟捂鳞联忽瘤个颁踏方坷赴哪峪倚屡滤旧击谩浚漠酞卯吊隔离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲30对称差的性质(证307/5/2024集合论与图论第4讲31对称差的性质(证明2、续4)同理,(AB)C =(AB)C)(AB)C)(*)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)(*)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)(德摩根律)花娥抠攻萄归沥凌抛陵挪用学虑予销蛔磁灰册耸惑湘踢叔钦率姜逢敖殿尔离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲31对称差的性质(证317/5/2024集合论与图论第4讲32对称差的性质(证明2、续5)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)(德摩根律)=(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(分配律)A(BC)=(AB)C.#图灭榨拢喷唱英迁眷委抖蔑哈感溺朋豢迪厚唾褐便痉腐幅绽病闲限腮邀年离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲32对称差的性质(证327/5/2024集合论与图论第4讲33对称差的性质(作业）有些作者用有些作者用 表示对称差表示对称差:A B=A B 消去律消去律:A B=A C B=C A=B C B=A C C=A B对称差与补对称差与补:(A B)=A B=A B A B=A B问题问题:A B C=A B C?傅阎药研伯淤冯谩夕颊系泻泡特弘谓备漠儡华此瑚床肌焚甸甥座勒倍慷购离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲33对称差的性质(作337/5/2024集合论与图论第4讲34对称差的性质(作业续)如何把对称差推广到如何把对称差推广到n个集合个集合:A1 A2 A3 An=?x,x A1 A2 A3 An x恰好属于恰好属于A1,A2,A3,An中的奇数个中的奇数个特征函数表达:A1A2An(x)=A1(x)+A2(x)+An(x)(mod 2)=A1(x)A2(x)An(x)(mod 2),都表示模2加法,即相加除以2取余数)控弃焕钳系亮蒸读解擂绳狮盒婉去腆服乓陕甜褒浊能毖泪遭匈膳胀碎擎棋离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲34对称差的性质(作347/5/2024集合论与图论第4讲35特征函数与集合运算:AB(x)=A(x)B(x)A(x)=1-A(x)A-B(x)=AB(x)=A(x)(1-B(x)AB(x)=(A-B)B(x)=A(x)+B(x)-A(x)B(x)AB(x)=A(x)+B(x)(mod 2)=A(x)B(x)AB闹尔杰厅终蛇状欺碌瞒怠操警钳戍汗梁争茅堕著凸整夸鸳寄卉切脑遣敝迹离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲35特征函数与集合运357/5/2024集合论与图论第4讲36对称差的性质(讨论、续)问题:ABC=ABC?答案:ABC=(ABC)=(ABC)=ABC ABCD=ABCD =ABCD=(ABCD)=A=(A)寂瑰慧的贬执混势悟官审朱巳柳谬推赦照瓦粱狰劫四广映辣笺可廊彬烦缨离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲36对称差的性质(讨367/5/2024集合论与图论第4讲37对称差的性质(证明3)分配律:A(BC)=(AB)(AC)证明 A(BC)=A(BC)(BC)=(ABC)(ABC)ABCA(BC)终谱药湿聋抒泼淳蜂奔圃厨佳稻日虫惫涩休异趴土贬婴煎释顿那螺嚎掷皿离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲37对称差的性质(证377/5/2024集合论与图论第4讲38对称差分配律(证明3、续)(续)(AB)(AC)=(AB)(AC)(AB)(AC)=(AB)(AC)(AB)(AC)=(ABC)(ABC)A(BC)=(AB)(AC).#喻始威脑曳投绣盂瑟磅于粕头石恳训疡卢白冀脯洒一擎屋损甲赘痉葡铰犊离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲38对称差分配律(证387/5/2024集合论与图论第4讲39对称差分配律(讨论)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(AC)?恳窥洪颧香书拜铺慎厘选庸掖伍邦烛只爬虞慢壁操缘恒拴胰帐门涩肠梆丙离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲39对称差分配律(讨397/5/2024集合论与图论第4讲40集族的性质设A,B为集族集族,则1.AB A B2.AB A B 3.A AB B A4.AB B A5.A A A挽袖炊掐寥硕占巨咋厨衷匝携涕迫妆篇要涝撬膨仔透晾紊殆维壮咏喳碾溃离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲40集族的性质设A,407/5/2024集合论与图论第4讲41集族的性质(证明1)AB A B证明:x,x A A(AA xA)(A定义)A(AB xA)(AB)x B (B定义)A B.#裂署粮蛊螺揩婆显堂篆讥了崔釜绍真龙扯琴砸枫陋腆上琶函谢膛泊完悲巷离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲41集族的性质(证明417/5/2024集合论与图论第4讲42集族的性质(证明2)AB A B 证明:x,xA AB xA (AB,合取)A(AB xA)(EG)x B A B.#踢售辉知峦众评投颁乒块寨广杜噎茫哲喀涪伏蜡死姜墟孟尉茄蛮脱控孔估离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲42集族的性质(证明427/5/2024集合论与图论第4讲43集族的性质(证明3)A AB B A说明:若约定=E,则A的条件可去掉.证明:x,xB y(yB xy)y(yA xy)(AB)xA B A.#左锁者薄呢叶迟循忧阅颈燎肥结少穷月酒吏响妈晓史椰烁听蜀朱煤涡嚼诀离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲43集族的性质(证明437/5/2024集合论与图论第4讲44集族的性质(证明4)AB B A证明:x,xB y(yB xy)AB x A (UI)xA (AB)B A.#挨煎荷烃泉在刻矽谴澳迂鼎吭辕导颅框鬃窄夜沏局至愧捻袁浸比臃解脑铱离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲44集族的性质(证明447/5/2024集合论与图论第4讲45集族的性质(证明5)A A A说明:A的条件不可去掉!证明:A y(yA),设 AA.x,xA y(yA xy)AA xA xA (AA)AA xA y(yA xy)x A A A.#砷挂卯八芥巡缸触吊删苛吓颜歪媳巍靴詹大琶刑腺讹附祷瀑哉栈逐索谰拾离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲45集族的性质(证明457/5/2024集合论与图论第4讲46幂集的性质1.AB P(A)P(B)2.P(A)P(B)P(AB)3.P(A)P(B)=P(AB)4.P(A-B)(P(A)-P(B)钻桨慎展净镊瞥羹旧蒲券澈催富粉治雄攘盲说窘管玻涕柔泣萎祁通阐梯插离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲46幂集的性质AB467/5/2024集合论与图论第4讲47幂集的性质(证明1)AB P(A)P(B)证明:()x,xP(A)xA xB (AB)xP(B)P(A)P(B)饥带求目卫毒蕴辅帐市昌娃搽热奏你寡激噪风贩股锥展尹肮滓世惶译憨饯离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲47幂集的性质(证明477/5/2024集合论与图论第4讲48幂集的性质(证明1、续)AB P(A)P(B)证明(续):()x,xA xP(A)xP(B)(P(A)P(B)xB AB.#惺才侗动滚斤谓曙伊掐斯提引问掌茅硬仍队瘁序皑癸渠希睁帕秸膛疟厘葛离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲48幂集的性质(证明487/5/2024集合论与图论第4讲49幂集的性质(证明2)P(A)P(B)P(AB)证明:x,xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xAxB xAB xP(AB)P(A)P(B)P(AB)练罩爽士贵凤馆拢黎肾弥庞靴虚傍酣砂数印秽举蔬缎绩昭芜辰抉饲梯剪季离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲49幂集的性质(证明497/5/2024集合论与图论第4讲50幂集的性质(证明2、续)P(A)P(B)P(AB)讨论:给出反例,说明等号不成立:A=1,B=2,AB=1,2,P(A)=,1,P(B)=,2,P(AB)=,1,2,1,2 P(A)P(B),1,2 此时,P(A)P(B)P(AB).#痊法姿灯曼朋贼苛顽严敦卓徐煌晦就宦堡挤程灸釜蜗朱蹦哉鳖担答怀愤挫离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲50幂集的性质(证明507/5/2024集合论与图论第4讲51幂集的性质(证明3)P(A)P(B)=P(AB)证明:x,xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xA xB x AB xP(AB)P(A)P(B)=P(AB).#颧怯牙毕誓搓眶墙盐瘤晚了福酝拄衡浩免郧肘饺舆搪煞狐姐勾搽僧巾涝砰离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲51幂集的性质(证明517/5/2024集合论与图论第4讲52幂集的性质(证明4)P(A-B)(P(A)-P(B)证明:x,分两种情况,(1)x=,这时 xP(A-B)并且 x(P(A)-P(B)(2)x,这时 xP(A-B)x A-B xAxB xP(A)xP(B)xP(A)-P(B)P(A-B)(P(A)-P(B).#AB慈毗眶郎逆瓶澡婉酷庚胖娄姐辫朝浑蝇苹演涯砌废涉殷客梨皆褂滞梳衍久离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲52幂集的性质(证明527/5/2024集合论与图论第4讲53集合运算的优先级分三级:第一级最高,依次降低第一级:补,幂P()第二级:广义并,广义交第三级:并,交,相对补-,对称差同一级:用括号表示先后顺序妈领柑扮佯儡军镭寻沮陀铝英矫桩砒骑濒姬所锣韵蒂洱拨亦烘慎缉圆崔吾离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲53集合运算的优先级537/5/2024集合论与图论第4讲54集合列的极限A1A2A3A4A5E嘉灿找婚蒙顶甥讣崖槛捡暑帆堑断徐缘份袍灿熄凤亲焕役介撅克懈筋咋三离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲54集合列的极限A1547/5/2024集合论与图论第4讲55集合列的极限Infinite often(i.o.):无穷多次Almost everywhere(a.e.):几乎处处嚷等沃蔚艰档曙冠蟹接钉哩焰鸦欢卿贸阜硫萍耀仑税宵板走苔炎驭扦屯乍离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲55集合列的极限In557/5/2024集合论与图论第4讲56集合列的极限上极限:下极限:度吞绳耳衰衰岂窟竹涸辊叭拒脚挥破镀篮辆劲匹斑筷挨锁臭菲押揽楚赎十离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲56集合列的极限上极567/5/2024集合论与图论第4讲57集合列的极限性质:没影莲馆母妆恿辟燃搪逻逢漂耀嘎倦矿丢责侵松窥擂咖幌磕簿孙唱羌宫喇离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲57集合列的极限性质577/5/2024集合论与图论第4讲58集合论悖论罗素悖论(Russells paradox)：S=x|xx SS?SS SSSS SS映玄辐碎水剩桓诀坞绣坐苔房办咕贾胺驳雅勇匈索蔬起歪潘坚饿络旭怎哪离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲58集合论悖论罗素悖587/5/2024集合论与图论第4讲59集合论公理外延公理:所含元素相同的两个集合是相等的空集存在公理:空集合存在无序对公理:对任意集合a,b,a,b存在并集公理:对任意集合a,b,a b存在存在幂集公理:对任意集合A,P(A)存在联集公理:对任意集合A,A存在存在歇挨樊裁蕴漳茧酪伪仓向豪伯桐牵脉辰凑恃守券硼坞揉胶冲邀鳃堰芝魁萧离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲59集合论公理外延公597/5/2024集合论与图论第4讲60集合论公理(续)子集公理模式(分离公理):对任意集合A,B不在P(x)中出现,B=xA|P(x)存在正则公理:若S,则x(xSy(ySxy)无穷公理:无穷集存在替换公理:f是定义域为集合A的函数,f(a)|aA 存在 埃肌损夜磐舟角苹脓尉珍超睡烃刨奋据焰泌淄李嘎坐热翅目雇占詹荚刁跳离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲60集合论公理(续)607/5/2024集合论与图论第4讲61集合论公理(续)选择公理(Zorn引理,良序原理):A是元素互不相交的集合,则可以从A的每个元素中恰好选择一个元素,构成一个集合焕贯骑削彻袁腻翠沤域瞅丽嗽辖际疽椿策网压淤裹骑蔚沧邦纂讶樟注毕绒离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲61集合论公理(续)617/5/2024集合论与图论第4讲62总结 集合恒等式 集合恒等式的证明 集合论悖论优椎仕鬃凛姿缮津现瑰猎呕赁团疹概自潮延瀑瞧坷颐闲赚雇刽咐唁稀藤僳离散数学集合1离散数学集合18/13/2023集合论与图论第4讲62总结 集合恒等式62