第4章离散傅里叶变换课件

1 第第4章章 图像像变换 为了了有有效效和和快快速速地地对图像像进行行处理理和和分分析析，常常常常需需要要将将原原定定义在在图像像空空间的的图像像以以某某种种形形式式转换到到其其他他空空间，并并且且利利用用图像像在在这个个空空间的的特特有有性性质进行行处理理，然后通然后通过逆逆变换操作操作转换到到图像空像空间。本本章章讨论图像像变换重重点点介介绍图像像处理理中中常常用用的的正正交交变换，如傅里叶，如傅里叶变换、离散余弦、离散余弦变换和小波和小波变换等。等。2024/7/5 第4章 图像变换 为了有效和快速地对11.1.1.1.一一一一维连续维连续傅里叶傅里叶傅里叶傅里叶变换变换 设f(x)f(x)为x x的函数，如果的函数，如果f(x)f(x)满足下面的狄里赫莱条件：足下面的狄里赫莱条件：(1)(1)具有有限个具有有限个间断点；断点；(2)(2)具有有限个极具有有限个极值点；点；(3)(3)绝对可可积。则定定义f(x)f(x)的傅里叶的傅里叶变换为：4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换2024/7/51.一维连续傅里叶变换 4.1 连续傅里叶变换2023/8/23 从从F(u)F(u)恢复恢复f(x)f(x)称称为傅里叶反傅里叶反变换，定，定义为：上述二式形成傅里叶变换对，记做上述二式形成傅里叶变换对，记做：函函数数f(x)f(x)的的傅傅里里叶叶变变换换一一般般是是一一个个复复数数，它它可可以以由由下下式式表表示示：F(u)=R(u)+jI(u)F(u)=R(u)+jI(u)R(u),I(u)R(u),I(u)分别为分别为F(u)F(u)的实部和虚部。的实部和虚部。写成指数形式：写成指数形式：4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换2024/7/5上述二式形成傅里叶变换对，记做：函数f(x)的傅里叶变换一34F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：复平面上的向量，它有幅度和相角：幅度：相角：幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，(u)称为相位谱。称为f(x)的能量谱或称为功率谱。4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换2024/7/5F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：幅度：相角：幅度45 2.2.二二维连续傅里叶傅里叶变换 傅里叶傅里叶变换可以推广到两个可以推广到两个变量量连续可可积的函数的函数f(x,y)f(x,y)若若f(x,y)f(x,y)满足狄里赫莱条件，足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶存在如下傅里叶变化化对：二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为：2024/7/5 2.二维连续傅里叶变换 二维函数的傅里叶谱、相位和能量561.1.一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换 对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点，则这个离散序列可表示为f(0),f(1),f(N-1)。借助这种表达，并令x为离散空域变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/51.一维离散傅里叶变换 4.1.2 离散傅里叶变换2023/67 傅里叶反傅里叶反变换定定义由表示：由表示：可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。其傅里叶谱、相位和能量谱如下：4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 傅里叶反变换定义由表示：可以证明离散傅里叶变换对总是存在782.2.离散傅里叶离散傅里叶变换（DFTDFT）的矩）的矩阵表示法表示法 由由DFTDFT的定的定义，N N4 4的原信号序列的原信号序列f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里叶的傅里叶变换F(u)F(u)展开展开为：4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/52.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法4.1.2 离散傅里89 将将e指数指数项化化简可写成矩可写成矩阵形式：形式：记作：可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时，参看图4.1(a)。把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该行系数。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 将e指数项化简可写成矩阵形式：记作：可用复平面910(a)(b)图4.1 复平面单位圆(a)N4(b)N84.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5(a)(b)图4.1 复平面单位圆(a)N4(b)N1011 同理N=8见图4-1(b)的单位圆。N=8的W阵应把单位圆分为8份，顺时顺次转0份,1份、,7份，可得W阵为:4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 同理N=8见图4-1(b)的单位圆。N=8的W阵11124.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/54.1.2 离散傅里叶变换2023/8/1312132.2.二二维离散傅里叶离散傅里叶变换 一一幅幅静静止止的的数数字字图像像可可看看做做是是二二维数数据据阵列列。因因此此，数字数字图像像处理主要是二理主要是二维数据数据处理。理。如果一幅二如果一幅二维离散离散图像像f(x,y)f(x,y)的大小的大小为M*NM*N，则二二维傅里叶傅里叶变换可用下面二式表示。可用下面二式表示。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/52.二维离散傅里叶变换 4.1.2 离散傅里叶变换2023/1314 在在图像像处理中，一般理中，一般总是是选择方形方形阵列，所以通常情列，所以通常情况下况下总是是M=NM=N。正逆。正逆变换对具有下列具有下列对称的形式：称的形式：4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况1415 3.3.二二维离散傅里叶离散傅里叶变换的性的性质 二二维离离散散傅傅里里叶叶变换有有一一些些重重要要的的性性质，这些些性性质为使用提供了极大的方便。使用提供了极大的方便。1 1）分离性）分离性 二二维离散傅里叶离散傅里叶变换具有分离性具有分离性 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 3.二维离散傅里叶变换的性质 4.1.2 离散傅里叶变换1516 分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其结果乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。如图4.6所示。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步求得1617行变换列变换图4.6 把二维傅里叶变换作为一系列一维的计算方法 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5行变换列变换图4.6 把二维傅里叶变换作为一系列一维的计算方1718 对逆逆变换f(x,y)也可以也可以类似地分两步似地分两步进行。行。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 对逆变换f(x,y)也可以类似地分两步进行。4.11819 2 2）平移性）平移性 傅里叶傅里叶变换和逆和逆变换对的位移性的位移性质是指：是指：由f(x,y)乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换，使频率平面的原点位移至(u0,v0)。同样地，以指数项乘以F(u,v)并取其反变换，将空间域平面的原点位移至(x0,y0)。当u0=v0=N/2时，指数项为：4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 2）平移性 由f(x,y)乘以指数项并取其乘1920即即为：这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以将f(x,y)的傅里叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心，这样才能看到整个谱图。另外，对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。此外，与连续二维傅里叶变换一样，二维离散傅里叶变换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有重要意义。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5即为：这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)2021 3.DFT 3.DFT应用中的用中的问题 1 1）频谱的的图像像显示示 DFTDFT在在计算机算机图像像处理中理中计算的中算的中间过程和程和结果要果要图像化。像化。对DFTDFT来来讲不但不但f(x,y)f(x,y)是是图像像,F(u,v),F(u,v)也要用也要用图像来像来显示其示其结果。果。谱图像就是把像就是把|F(u,v)|F(u,v)|作作为亮度亮度显示在屏幕上。但在示在屏幕上。但在傅里叶傅里叶变换中中F(u,v)F(u,v)随随u,vu,v的衰减太快，其高的衰减太快，其高频项只看到只看到一两个峰，其余皆不清楚。一两个峰，其余皆不清楚。由由于于人人的的视觉可可分分辨辨灰灰度度有有限限，为了了得得到到清清晰晰的的显示示效效果果，即即为了了显示示这个个频谱，可可用用下下式式处理理，设显示示信信号号为D(u,v),D(u,v),4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 3.DFT应用中的问题 4.1.2 离散傅里叶变换2022122 即用即用显示示D(u,v)D(u,v)来代替只来代替只显示示|F(u,v)|F(u,v)|不不够清楚的清楚的补救救方法。方法。谱的的显示加深了示加深了对图像的像的视觉理解。如一幅遥感理解。如一幅遥感图像像受正弦网受正弦网纹的干的干扰，从，从频谱图上立即可指出干上立即可指出干扰的空的空间频率并可方便地从率并可方便地从频域去除。域去除。如如图4.74.7为图像的傅里叶像的傅里叶频谱图像像4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 即用显示D(u,v)来代替只显示|F(u,v)|不够2223图4.7 图像的傅里叶频谱图像，原始图像，(b)频谱直接显示，(c)频谱经过变换后的结果(b)(c)4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换a.a.2024/7/5图4.7 图像的傅里叶频谱图像，原始图像，(b)频谱直接显示2324 2.2.频谱图像的移中像的移中显示示 常用的傅里叶正反常用的傅里叶正反变换公式都是以零点公式都是以零点为中心的公式，中心的公式，其其结果中心最亮点却在果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作像的左上角，作为周期性函数周期性函数其中心最亮点将分布在四角，其中心最亮点将分布在四角，为了了观察方便，将察方便，将频谱图像的像的零点移到零点移到显示的中心。示的中心。当周期当周期为N N时，应在在频域移域移动N/2N/2。利用。利用DFTDFT的平移性的平移性质，先把原先把原图像像f(x,y)f(x,y)乘以乘以(-1)(-1)(x+y)(x+y)然后再然后再进行傅里叶行傅里叶变换，其，其结果果谱就是移就是移N/2N/2的的F(u,v)F(u,v)。图4-84-8所示。所示。应当注意，当注意，显示是示是为了了观看，而看，而实际F(u,v)F(u,v)数据仍保留数据仍保留为原来的原来的值。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 2.频谱图像的移中显示 4.1.2 离散傅里叶变换2022425图4.8 频谱图像的移中显示 (a)未移至中心的频谱图像，(b)移至中心后的频谱图像(a)(b)4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5图4.8 频谱图像的移中显示 (a)未移至中心的频谱图像，2526 3.3.旋旋转性性 应用中，用中，对两幅两幅图像像进行傅里叶行傅里叶变换后，后，为求两幅求两幅图像的相似性，常像的相似性，常须对频域域图进行旋行旋转寻找匹配。此找匹配。此时FTFT公公式常用极坐式常用极坐标表示表示为傅里叶傅里叶变换对。设f(x,y)f(x,y)为原原图中任中任一点的坐一点的坐标，为(x,y)(x,y)点与点与x x轴的的夹角，角，则傅傅里叶里叶变换对为：若空域 频域 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 3.旋转性若空域 频域 4.1.2 离散傅里叶变换2022627则旋旋转不不变性性质为：上式表明，在空域中对图像f(x,y)旋转0对应于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转0，类似的，对F(u,v)旋转0也对应于将其傅里叶反变换f(x,y)旋转0。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5则旋转不变性质为：上式表明，在空域中对图像f(x,y)旋转2728(a)(b)图4.9 傅里叶变换的旋转性，对比图4.84.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5(a)(b)图4.9 傅里叶变换的旋转性，对比图4.84.128294.4.数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性 1)数字图像傅里叶变换的频谱分布 数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如图4.10所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上 因子进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/54.数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性 4.1.2 离2930图图4.10 二维傅里叶变换的频谱分布二维傅里叶变换的频谱分布 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5图4.10 二维傅里叶变换的频谱分布 4.1.2 离散傅里叶3031图4.11 频率位移示例4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5图4.11 频率位移示例4.1.2 离散傅里叶变换2023/3132 图4.11为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。2）图像傅里叶变换的统计分布 （1）傅里叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分量，根据傅里叶变换公式有：它反映了原始图像的平均亮度。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5 图4.11为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐3233（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2024/7/5（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85的33骑封篙尊慈榷灶琴村店矣垦桂乖新压胚奠倘擅寞侥蚀丽鉴晰溶廷箩侣郎虫林森-消化系统疾病的症状体征与检查林森-消化系统疾病的症状体征与检查谢谢骑封篙尊慈榷灶琴村店矣垦桂乖新压胚奠倘擅寞侥蚀丽鉴晰溶廷34骑封篙尊慈榷灶琴村店矣垦桂乖新压胚奠倘擅寞侥蚀丽鉴晰溶廷箩侣郎虫林森-消化系统疾病的症状体征与检查林森-消化系统疾病的症状体征与检查骑封篙尊慈榷灶琴村店矣垦桂乖新压胚奠倘擅寞侥蚀丽鉴晰溶廷箩侣35