第7章刚体力学课件

P264（习题）：（习题）：7.3.6，7.3.8，7.4.2第七章部分习题第七章部分习题P264（习题）：第七章部分习题第七章第七章 刚体力学刚体力学 (9(9学时学时)7.1 7.1 刚体运动的描述刚体运动的描述7.2 7.2 刚体的动量和刚体的动量和质心运动定理质心运动定理 7.3 7.3 刚体刚体定轴转动的角动量定轴转动的角动量转动惯量转动惯量7.4 7.4 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理7.5 7.5 刚体刚体平面运动的动力学平面运动的动力学 7.6 7.6 刚体的平衡刚体的平衡7.7 7.7 自转与转动自转与转动第七章 刚体力学(9学时)7.1 刚体运动的描述7.3 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量转动惯量转动惯量7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理7.3.4 刚体的重心刚体的重心7.3.5 典型例子典型例子7.3 刚体定轴转动的角动量转动惯量7.3.1 刚体定7.3 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量转动惯量转动惯量7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量1.转轴为对称轴转轴为对称轴 zm1m2Or1r2 如图如图,对对O点点 因因m1=m2=m 故总角动量故总角动量 7.3 刚体定轴转动的角动量转动惯量7.3.1 刚体定2.转轴为非对称轴转轴为非对称轴 zm1m2O 2 1 如图如图,对对O点同样有点同样有 总角动量与转轴成总角动量与转轴成 角角.刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量与角速度方向相同与角速度方向相同.一般情况，刚体定轴转动对轴上一般情况，刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之成一定夹角成一定夹角.2.转轴为非对称轴 zm1m2O21如图,7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量质点系对点的角动量质点系对点的角动量 设刚体绕设刚体绕Oz 轴转动，刚体角动量在轴转动，刚体角动量在 z 轴的投影轴的投影 刚体对刚体对 z 轴转动惯量轴转动惯量 刚体对刚体对 z 轴角动量轴角动量 转动惯量是转动惯性的量度转动惯量是转动惯性的量度.1.转动惯量转动惯量 7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量质点系对点的角动量 二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒 二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒 质量连续质量连续分布的刚体分布的刚体 其中其中、分别为质量的线密度、面密度和体分别为质量的线密度、面密度和体密度密度.转轴的位置转轴的位置;质量分布质量分布.总质量；总质量；转动惯量的决定因素：转动惯量的决定因素：质量连续其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度.转例例1求均质圆盘求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量转动惯量.解解xyzrdr盘由许多环组成盘由许多环组成 例1求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯2.几种典型形状刚体的转动惯量几种典型形状刚体的转动惯量 圆筒圆筒 圆环圆环I=mR2 RmO O 圆柱圆柱 R2R1细圆棒细圆棒2.几种典型形状刚体的转动惯量 圆筒 圆环I=mR2 R圆球圆球 球壳球壳 RR圆球 球壳 R(1)平行轴定理平行轴定理 ABCdxmi i i i 对对C A轴平行轴平行C 轴（质心轴）轴（质心轴）对对A由图由图 故：故：平行轴定理平行轴定理 4.反映转动惯量性质的定理反映转动惯量性质的定理 (1)平行轴定理 ABCdxmi iii 对C(2)垂直轴定理（正交轴定理）垂直轴定理（正交轴定理）mi ixyz yixiO(3)可叠加原理可叠加原理 若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加体对同一转轴的转动惯量之叠加.P231,例题例题7-5(2)垂直轴定理（正交轴定理）mi ixyz yixiO(7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量 角动量定理微分形式角动量定理微分形式 角动量定理积分形式角动量定理积分形式 7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体对定轴的刚体定轴转动刚体定轴转动 I=常量常量刚体定轴转动的转动定理刚体定轴转动的转动定理说明：说明：刚体定轴转动 I=常量刚体定轴转动的转动定理说明：验证刚体定轴转动定理的演示实验验证刚体定轴转动定理的演示实验 验证刚体定轴转动定理的演示实验 7.3.4 刚体的重心刚体的重心重心重心刚体处于不同方位时刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那重力作用线都要通过的那 一点一点.如图如图,被悬挂刚体处于静止被悬挂刚体处于静止,C为重心为重心,因因C不动不动,可视为可视为转轴转轴.因为刚体静止因为刚体静止,所以诸体元重力对所以诸体元重力对C 轴合力矩为零轴合力矩为零.xzCyABDWCCABDW7.3.4 刚体的重心重心刚体处于不同方位时,重力作用则重心坐标与质心坐标同，但概念不同则重心坐标与质心坐标同，但概念不同.质心是质量质心是质量中心，其运动服从质心运动定理中心，其运动服从质心运动定理.重心是重力合力作重心是重力合力作用线通过的那一点用线通过的那一点.若取若取则重心坐标与质心坐标同，但概念不同.质心是质量中心，其运动7.3.5 典型例子典型例子例题例题2如图如图(a)表示半径为表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图的放水弧形闸门，可绕图中左方质点转动，总质量为中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴质心在距转轴 处，处，闸门及钢架对质点的总转动惯量为闸门及钢架对质点的总转动惯量为 ,可用钢可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度为重力加速度,不计摩擦不计摩擦,不计水浮力不计水浮力.图图(a)7.3.5 典型例子例题2如图(a)表示半径为R的放水（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和支点对闸门钢架的支承力和支点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门图图(b)需拉力是多少？需拉力是多少？图图(b)（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和支点对闸门xyO图图(a)解解（1）以弧形闸门及钢架）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图为隔离体，受力如图(a)所示所示.建立直角坐标系建立直角坐标系Oxy，向向x及及y轴投影得轴投影得 根据转动定理根据转动定理起动时起动时根据质心运动定理根据质心运动定理 xyO图(a)解（1）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如即起动瞬时绳对闸板的拉力为即起动瞬时绳对闸板的拉力为 ，质点，质点O 对闸门钢对闸门钢架的支承力竖直向上，大小等于架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.图图(b)(2)用用 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：用牛顿第二定律，得：比较上面结果，可见提升弧形闸门比较上面结果，可见提升弧形闸门所用的拉力较小所用的拉力较小.即起动瞬时绳对闸板的拉力为 ，质点O 例题例题3如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为的重物，已知转动架惯量为I0，并测得，并测得m自静止开始下落自静止开始下落 h 高度的时间为高度的时间为 t,求待测物体的转动惯求待测物体的转动惯量量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的长度不变长度不变.hII0rm例题3如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体解解分别以质点分别以质点 m 和转动系统和转动系统 I+I0 作为研究对象，作为研究对象，受力分析如图受力分析如图.xyO解分别以质点 m 和转动系统 I+I0 作为研究对象，受解：解：以过以过O点垂直于纸面的点垂直于纸面的O轴为轴为转轴，向外为正方向。转轴，向外为正方向。COlx【补充例题补充例题补充例题补充例题】均匀直杆质量为均匀直杆质量为m长为长为l，初始水平静止，初始水平静止，轴光滑，求：杆下摆轴光滑，求：杆下摆 角后的角速度和轴对杆作用力角后的角速度和轴对杆作用力。由由定轴转动定理定轴转动定理解：以过O点垂直于纸面的O轴为转轴，向外为正方向。COlx【运用质心运动定理，对质心运用质心运动定理，对质心C：COlx运用质心运动定理，对质心C：COlx7.4刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 7.4.1力矩的功力矩的功 7.4.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 7.4.3 刚体的重力势能刚体的重力势能 7.4刚体定轴转动的动能定理 7.4.1力矩的功 对有限角位移对有限角位移作用于刚体的外力的功，可用外作用于刚体的外力的功，可用外力对转轴的力矩力对转轴的力矩 所做的功来计算所做的功来计算.力矩的功率：力矩的功率：7.4.1力矩的功力矩的功 刚体中刚体中P点在力点在力 的作用下位移的作用下位移 则则力元功力元功 OzP 对有限角位移作用于刚体的外力的功，可用外力对转轴的力矩 所做7.4.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 当刚体绕定轴转动时当刚体绕定轴转动时,其动能为所有质点作圆其动能为所有质点作圆周运动动能的总和周运动动能的总和.任意质元的动能为：任意质元的动能为：1.定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 刚体的动能刚体的动能 7.4.2 刚体定轴转动的动能定理 当2.定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等于刚体绕定轴转动动能的改变量于刚体绕定轴转动动能的改变量.2.定轴转动刚体的动能定理 作用于刚体的7.4.3 刚体的重力势能刚体的重力势能 刚体的重力势能与质量集中在刚体的重力势能与质量集中在重心重心上的一个质点上的一个质点的重力势能相同的重力势能相同.刚体的重力势能刚体的重力势能 7.4.3 刚体的重力势能 刚体的重力势例题例题1装置如图所示，均质圆柱体质量为装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为，半径为R，重锤质量为，重锤质量为m2，最初静止，后将重锤释放下落并带动，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求重锤下落柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率高度时的速率v，不计阻力，不计阻力，不计绳的质量及伸长不计绳的质量及伸长.hR解解 方法方法1.利用质点和刚体转利用质点和刚体转动的动能定理求解动的动能定理求解.由质点动能定理由质点动能定理 由刚体动能定理由刚体动能定理 例题1装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，重锤约束关系约束关系 联立得联立得 方法方法2.利用质点系动能定理求解利用质点系动能定理求解 将转动柱体、下落物体视作质点系将转动柱体、下落物体视作质点系 由质点系动能定理由质点系动能定理 约束关系约束关系 联立得联立得 约束关系 联立得 方法2.利用质点系动能定理求解 例题例题2均质杆的质量为均质杆的质量为m，长为，长为l,一端为光滑的支点一端为光滑的支点.最最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示.（1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v；（2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.O例题2均质杆的质量为m，长为l,一端为光滑的支点.最初处解解(1)由机械能守恒得由机械能守恒得联立得联立得 CEp=0(2)根据质心运动定理根据质心运动定理 分量式分量式 解(1)由机械能守恒得联立得 CEp=0(2)根据质杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角加速度为零，所以加速度为零，所以方向向上方向向上.又又 P241：例题：例题7-11杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角加速度为零，所以7.5 刚体平面运动的动力学刚体平面运动的动力学 7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程刚体平面运动的基本动力学方程 7.5.2 作用于刚体上的力作用于刚体上的力 7.5.3 刚体平面运动的动能刚体平面运动的动能 7.5.4 滚动摩擦力偶矩滚动摩擦力偶矩 7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度汽车轮的受力汽车的极限速度 7.5 刚体平面运动的动力学 7.5.1 刚体平面运动的7.5 刚体平面运动的动力学刚体平面运动的动力学 7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程刚体平面运动的基本动力学方程 平面运动平面运动=平动平动+定轴转动定轴转动 1.求质心的运动求质心的运动 根据质心运动定律根据质心运动定律 m 刚体的质量刚体的质量.所有外力的矢量和所有外力的矢量和,刚体作平面运动，受力必是平面力刚体作平面运动，受力必是平面力 直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式 (7.5.1)7.5 刚体平面运动的动力学 7.5.1 刚体平面运2.刚体绕质心的转动刚体绕质心的转动 在质心系中刚体作定轴转动在质心系中刚体作定轴转动.选质心坐标系选质心坐标系 Cxyz,设设z为过质心而垂直于固为过质心而垂直于固定平面的轴定平面的轴.在质心系中在质心系中 M外外i 外力对质心的力矩外力对质心的力矩,又又 M惯惯=0 M惯惯 惯性力对质心力矩惯性力对质心力矩.2.刚体绕质心的转动 在质心系中刚体作定轴转动.即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转动定律动定律.式式(7.5.1)和和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动力称刚体平面运动的基本动力学方程学方程.(7.5.2)即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转动定7.5.2 作用于刚体上的力作用于刚体上的力 1.作用于刚体上力的两种效果作用于刚体上力的两种效果 滑移矢量滑移矢量 (1)施于刚体的力的特点施于刚体的力的特点 作用力通过质心，对质心轴上的作用力通过质心，对质心轴上的力矩为零，使刚体产生平动力矩为零，使刚体产生平动.力作质心轴的力矩使刚体产力作质心轴的力矩使刚体产生角加速度生角加速度.施于刚体的某个点的力施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去决不可以随便移到另一点去.AB7.5.2 作用于刚体上的力 1.作用于刚体上力的两种效(2)施于刚体的力是滑移矢量施于刚体的力是滑移矢量 右图中右图中,施于施于A点的力点的力F 可用施于可用施于B点的力点的力F 代代替替,即力可沿作用线滑移即力可沿作用线滑移.ABC作用于刚体的力的三要素：作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线大小、方向和作用线.(2)施于刚体的力是滑移矢量 右图中,施2.力偶和力偶矩力偶和力偶矩 力偶力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力大小相等方向相反彼此平行的一对力.大小大小 与参考点的选择无关与参考点的选择无关.Odm1m2 一般作用于刚体的力等效一般作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一于一作用线通过质心的力和一力偶，这力的方向和大小与原力偶，这力的方向和大小与原力相同，而力偶矩等于原力对力相同，而力偶矩等于原力对质心轴的力矩质心轴的力矩.2.力偶和力偶矩 力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力.7.5.3 刚体平面运动的动能刚体平面运动的动能 动能动能 动能定理动能定理 如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力作功，则系统的机械能也守恒作功，则系统的机械能也守恒.7.5.3 刚体平面运动的动能 动能 动能定理 例题例题1如图，固定斜面倾角为如图，固定斜面倾角为 ，质量为，质量为 m 半径为半径为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的加速度加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力及斜面作用于柱体的摩擦力F .x yOCx y 解解根据质心运动定理根据质心运动定理y 轴上投影轴上投影对质心轴的转动定理对质心轴的转动定理无滑滚动无滑滚动 例题1如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径为 R例题例题2质量为质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动停止转动.前后轮相距前后轮相距L，与地面的摩擦因数为，与地面的摩擦因数为 .汽车质汽车质心离地面高度为心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为，与前轮轴水平距离为l.求前后车轮对求前后车轮对地面的压力地面的压力.例题2质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动OCxyx y 解解 汽车受力如图汽车受力如图.y 轴投影轴投影对质心轴的转动定理对质心轴的转动定理根据质心运动定理根据质心运动定理OCxyx y 解 汽车受力如图.y 轴投影对由上面方程可解出由上面方程可解出根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为FN1、FN2 ，但方向向下，但方向向下.由上面方程可解出根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别例题例题3 在例题在例题1中，设圆柱体自静止开始滚下，求质中，设圆柱体自静止开始滚下，求质心下落高度心下落高度 h 时，圆柱体质心的速率时，圆柱体质心的速率.x yOCx y 解解 因为是无滑滚动，静摩因为是无滑滚动，静摩擦力擦力F 不做功，只有重力不做功，只有重力W做功，机械能守恒做功，机械能守恒.无滑滚动条件无滑滚动条件例题3 在例题1中，设圆柱体自静止开始滚下，求质心下落高7.5.4 滚动摩擦力偶矩滚动摩擦力偶矩 滚动摩擦发生的原因：滚动摩擦发生的原因：是物体与接触面处的非弹是物体与接触面处的非弹性形变引起性形变引起.设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变.OO OM滚滚如图如图 对质心产生反向力矩对质心产生反向力矩 滚动摩擦力矩滚动摩擦力矩M滚滚 摩擦因数，由实验测摩擦因数，由实验测.7.5.4 滚动摩擦力偶矩 滚动摩擦发生M滚滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速.滚动阻力因数滚动阻力因数 r是轮半径是轮半径.路面类型路面类型良好的沥青或混凝土路面良好的沥青或混凝土路面0.0100.018一般的沥青或混凝土路面一般的沥青或混凝土路面0.0180.020坑洼的卵石路面坑洼的卵石路面0.0350.050泥泞土路（雨季或解冻）泥泞土路（雨季或解冻）0.1000.250结冰路面结冰路面0.0100.030表表7.2常见汽车轮在几种典型路面上的常见汽车轮在几种典型路面上的 值值 M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，从而产生滚动摩擦滚动摩擦 滑动摩擦滑动摩擦 CM滚滚CA设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为 联立得联立得 若滚子匀速平动若滚子匀速平动 表表7.2与表与表3.2相比，有相比，有 滚动摩擦 滑动摩擦 CM滚CA设滚子匀速滚动，则7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度汽车轮的受力汽车的极限速度 CM滚滚M驱驱M滚驱滚驱CM滚滚驱动轮驱动轮 被动轮被动轮 汽车牵引力汽车牵引力 7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度 CM滚M驱M滚驱例题例题4桑塔纳汽车匀速行驶桑塔纳汽车匀速行驶,汽车横截面积为汽车横截面积为 S=1.89m2,空气阻力因数空气阻力因数Cv=0.425.发动机功率为发动机功率为P发发=60kW,设经内设经内部传动机构能量损失部传动机构能量损失10%,空气密度空气密度 =1.2258 Ns2/m4.汽车行驶所受空气阻力汽车行驶所受空气阻力 求汽车沿水平路求汽车沿水平路面行驶的最高速率面行驶的最高速率vmax解解 取发动机燃烧物以外的整个汽车为质点系取发动机燃烧物以外的整个汽车为质点系 功功 功率功率 P外外=P发发+滚动摩擦力偶矩功率滚动摩擦力偶矩功率+空气阻力功率空气阻力功率P阻阻 例题4桑塔纳汽车匀速行驶,汽车横截面积为 S=1.89m不计滚动摩擦力偶矩功率不计滚动摩擦力偶矩功率 估算滚动摩擦力偶矩的功率估算滚动摩擦力偶矩的功率 滚动摩擦力偶矩的功率滚动摩擦力偶矩的功率 ,W为总车重为总车重 取取得滚动摩擦力偶矩的功率得滚动摩擦力偶矩的功率 7.0 kW 影响最高速度的主要因素是空气阻力影响最高速度的主要因素是空气阻力.不计滚动摩擦力偶矩功率 估算滚动摩擦力偶矩的功率 滚7.6 刚体的平衡刚体的平衡 7.6.1 刚体的平衡方程刚体的平衡方程 7.6.2 杆的受力特点杆的受力特点 7.6 刚体的平衡 7.6.1 刚体的平衡方程 7.67.6 刚体的平衡刚体的平衡 7.6.1 刚体的平衡方程刚体的平衡方程 无平动无平动（对某定点如（对某定点如A）刚体平衡的充要条件刚体平衡的充要条件无转动无转动 当两条件满足时，外力对任何定点的力矩的矢当两条件满足时，外力对任何定点的力矩的矢量和也为零量和也为零.7.6 刚体的平衡 7.6.1 刚体的平衡方程 无平是力对是力对z轴力矩的代数和为零轴力矩的代数和为零,z是垂直于是垂直于Oxy面的任意轴面的任意轴.其中其中 刚体平衡方程的其它形式刚体平衡方程的其它形式(1)诸力对任意轴的力矩和为零诸力对任意轴的力矩和为零.在力的作用平面内选在力的作用平面内选O和和O 两个参考点，两个参考点，OO 连线不与连线不与Ox轴正交轴正交(2)在力的作用平面内选在力的作用平面内选O、O 和和O 三个参考点，三个参考点，O、O 和和O 三点不共线三点不共线是力对z轴力矩的代数和为零,z是垂直于Oxy面的任意轴.7.6.2 杆的受力特点杆的受力特点 在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡.1.杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对对光滑铰链联结光滑铰链联结,只有通过节点的压力只有通过节点的压力.节点节点铰销中心铰销中心.2.负荷对杆的作用力过节点负荷对杆的作用力过节点.3.杆的自重与负荷相比可忽略不计杆的自重与负荷相比可忽略不计.7.6.2 杆的受力特点 在下面三个条件下，可认为杆仅受例题例题1 如图表示小型火箭发射架如图表示小型火箭发射架.火箭重量为火箭重量为W=1.5 kN，重心在，重心在C处处.导轨重量为导轨重量为 W=4 kN，重心为，重心为C 处处.支杆支杆ABC xyABE0.3m0.2m30 C重量可以不计重量可以不计.A、B 和和 E 处均系光滑铰链连接处均系光滑铰链连接.BE=2.0m,BAE=30,支架支架其它部分尺寸和夹角如图所其它部分尺寸和夹角如图所示；重心示；重心C和和C 与节点与节点 B 在一条直线上且此直线与导在一条直线上且此直线与导轨垂直轨垂直.求导轨在求导轨在 E 处和支处和支杆在杆在 B 处所受的力处所受的力.例题1 如图表示小型火箭发射架.火箭重量为W=1.5 kC xyABE0.3m0.2m30 C解解 受力分析如图受力分析如图.建立建立直角坐标系直角坐标系 Exyz，得，得选择过选择过E点点 z 轴为定轴轴为定轴解以上三方程得解以上三方程得C xyABE0.3m0.2m30 C解 受力分例题例题2将长为将长为l,质量为质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下的均匀梯子斜靠在墙角下,已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为别为 1 和和 2，为使质量为，为使质量为m2 的人爬到梯子顶端时的人爬到梯子顶端时,梯梯子尚未发生滑动子尚未发生滑动.试求梯子与地面间的最小夹角试求梯子与地面间的最小夹角.例题2将长为l,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下,m1g解解平衡条件平衡条件 lO联立求解得：联立求解得：m1g解平衡条件 lO联立求解得：7.7 自转与旋进自转与旋进 7.7.1 常平架回转仪常平架回转仪 7.7.2 回转仪的旋进回转仪的旋进 7.7.3 地球的旋进与章动地球的旋进与章动 7.7 自转与旋进 7.7.1 常平架回转仪 7.77.7 自转与旋进自转与旋进 7.7.1 常平架回转仪常平架回转仪 绕质心运动的角动量守恒绕质心运动的角动量守恒,1.常平架回转仪的构造常平架回转仪的构造 2.常平架回转仪的原理常平架回转仪的原理 转动体自转轴方位保持不变转动体自转轴方位保持不变.O xyz 支架支架 外环外环 内环内环 转动体转动体 3.应用应用 安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随时纠安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随时纠正导弹等的方向和姿态正导弹等的方向和姿态.7.7 自转与旋进 7.7.1 常平架回转仪 绕质心运7.7.2 回转仪的旋进回转仪的旋进 旋进旋进(进动进动)自转物体的轴自转物体的轴,在空间转动的现象在空间转动的现象.WGl 1.杠杆陀螺的进动杠杆陀螺的进动 陀螺高速自转陀螺高速自转,有重力矩有重力矩,仅方向不同仅方向不同.t 很小时很小时xz 角动量增量角动量增量7.7.2 回转仪的旋进 旋进(进动)自转物体的轴,在矢量式矢量式 旋进角速度旋进角速度因此因此xz 矢量式 旋进角速度因此xz 2.玩具陀螺的进动玩具陀螺的进动 与与 并不一致，因并不一致，因陀螺的形状是对称的，外力陀螺的形状是对称的，外力矩较小，近似认为一致矩较小，近似认为一致.进动原理同杠杆陀螺进动原理同杠杆陀螺.2.玩具陀螺的进动 与 第7章刚体力学课件7.7.3 地球的旋进与章动地球的旋进与章动 太阳太阳冬冬夏夏太阳视运动轨道太阳视运动轨道 黄道面法线黄道面法线 S23.5 N地球在太阳引力矩的作用下的旋进地球在太阳引力矩的作用下的旋进 章动章动 的夹角发生周期性的变化的夹角发生周期性的变化.7.7.3 地球的旋进与章动 太阳冬夏太阳视运动轨道